山东省菏泽市鄄城县2021-2022学年九年级下学期期中数学试题
一、单选题
1．下列各数中，绝对值最大的数是（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数大小比较
【解析】【解答】解：
∵
∴绝对值最大的数是
故答案为：D．
【分析】先利用绝对值的性质化简，再比较大小即可。
2．（2022·鄄城模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用单项式乘单项式、合并同类项和单项式除以单项式的计算方法逐项判断即可。
3．（2021·南开模拟）如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据几何体可得：
主视图为： ，
左视图为： ，
俯视图为： ，
故答案为：C．
【分析】根据三视图的含义，判断得到答案即可。
4．（2021·金华）一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】图中数轴表示的解集是x<2.
A选项，解不等式得x>-2，故该选项不符合题意，
B选项，解不等式得x<2，故该选项符合题意，
C选项，解不等式得 ，故该选项不符合题意，
D选项，解不等式得x>2，故该选项不符合题意，
故答案为：B.
【分析】先求出各选项中的每一个不等式的解集，再根据数轴可知x＜2，由此可得答案.
5．（2021八上·临淄期中）5月1日至7日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．中位数是
B．众数是
C．平均数是
D．4日至5日最高气温下降幅度较大
【答案】A
【知识点】折线统计图；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：由题意可得，共7个数据，分别为26；30；33；33；23；27；25
从小到大排列后为23；25；26；27；30；33；33
位于中间位置的数据是27，
∴中位数为27，A符合题意；
出现次数最多的数据是33，
∴众数是33，B不符合题意；
平均数为（26+30+33+33+23+27+25）÷7= ，C不符合题意；
从统计图可看出4日气温为33℃，5日气温为23℃，
∴4日至5日最高气温下降幅度较大，D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】先将数据从小到大排列，再根据中位数、众数、平均数的计算方法逐项判断即可。
6．（2021·苏州）已知抛物线 的对称轴在 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则 的值是（ ）
A．-5或2 B．-5 C．2 D．-2
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2+kx-k2的对称轴在y轴右侧，
∴x=，
∴k＜0.
∵抛物线y=x2+kx-k2=.
∴将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：，
∴将（0，0）代入，得0=，
解得k1=2（舍去），k2=-5.
故答案为：B.
【分析】先将二次函数配成顶点式，再根据二次函数平移的点的坐标变化规律“左加右减、上加下减”可得平移后的解析式，再根据平移后的抛物线经过原点可将（0,0）代入平移后的解析式得关于k的一元二次方程，解方程可求得k的值，再根据对称轴在y轴右侧可得x=-＞0，解不等式可得k的范围，结合范围可确定k的值.
7．（2021·天津）如图，在 中， ，将 绕点C逆时针旋转得到 ，点A，B的对应点分别为D，E，连接 ．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】由旋转可知 ，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故A不符合题意；
由旋转可知 ，
∵ 为钝角，
∴ ，
∴ ，故B不符合题意；
∵ ，
∴ ，故C不符合题意；
由旋转可知 ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
∴ ，
∴ ，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】由旋转可知 ，求出 ，据此判断A；由旋转可知 ，在△EDC中，，可得，据此判断B；在△EDC中，由 ，可得 ，据此判断C；可证 为等边三角形，
可得 ，从而得出，可证 ，据此判断D.
8．（2021·岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图，在正方形 中，点 ，点 ，则互异二次函数 与正方形 有交点时 的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，-1 B． ，-1 C．4，0 D． ，-1
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由正方形的性质可知：B（2，2）；
若二次函数 与正方形 有交点，则共有以下四种情况:
当 时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有 ，
解得： ；
当 时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有 ，
解得： ；
当 时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有 ，
解得： ；
当 时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有 ，
解得： ；
综上可得： 的最大值和最小值分别是 ， .
故答案为：D.
【分析】先求出点B（2，2），分四种情况：①当 时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点；②当 时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点；③当 时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点；④当 时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，据此分别列出不等式组，求解即可.
二、填空题
9．（2020八上·密云期末）化简 的结果为 .
【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】原式= .
故答案为：1.
【分析】根据平方差公式进行计算即可.
10．（2021·扬州）在平面直角坐标系中，若点 在第二象限，则整数m的值为 .
【答案】2
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由题意得： ，
解得： ，
∴整数m的值为2，
故答案为：2.
【分析】根据第二象限点的坐标符号为负正，据此列出不等式组，求出解集即可.
11．（2022·鄄城模拟）小明训练飞镖，在木板上画了直径为20cm和30cm的同心圆，如图，他在距木板5米开外将一个飞镖随机投掷到该图形内，则飞镖落在阴影区域的概率为 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：大圆面积：π×（）2＝225π （cm2），
小圆面积：π×（）2＝100π（cm2），
阴影部分面积：225π 100π＝125π（cm2），
飞镖落在阴影区域的概率为：．
故答案为：．
【分析】利用圆的面积公式求出大圆的面积和小圆的面积，再求出阴影部分的面积，最后利用几何概率公式求解即可。
12．（2021·南开模拟）如图，数轴上有若干个点，每相邻两点相距1个单位长度．其中点A，B，C，D对应的数分别是整数a，b，c，d，且 ，则 的值为 ．
【答案】-3
【知识点】实数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由数轴可知： ，
∴
∵ ，
∴ ，
解得a=-5，
∴b=-2，c=-1，
∴ =-3，
故答案为：-3．
【分析】根据题目中的数量关系，列出方程组，解出a和d的值，继而计算得到答案即可。
13．（2022·鄄城模拟）在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于x的方程的实数根的个数为 ．
【答案】1或2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵直线不经过第一象限，
∴，
当时，方程是一次方程，有一个根，
当时，
∵关于x的方程，
∴，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根，
故答案为：1或2．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系求出m的取值范围，再分两种情况当时，当时，分别利用一元一次方程和一元二次方程的根的判别式求解即可。
14．（2021·天津）如图，正方形 的边长为4，对角线 相交于点O，点E，F分别在 的延长线上，且 ，G为 的中点，连接 ，交 于点H，连接 ，则 的长为 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解:如图,作OK⊥BC，垂足为点K，
∵正方形边长为4，
∴OK=2，KC=2，
∴KC=CE，
∴CH是△OKE的中位线
∴ ，
作GM⊥CD，垂足为点M，
∵G点为EF中点，
∴GM是△FCE的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
在Rt△MHG中， ，
故答案为： ．
【分析】作OK⊥BC，垂足为点K，根据正方形的性质得出OK=2，KC=2，利用三角形中位线定理可得
，作GM⊥CD，垂足为点M，利用三角形中位线定理可得 ， 从而求出，继而得出MH=MC-CH=，利用勾股定理求出GH的长.
三、解答题
15．计算：
【答案】解：原式=
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先利用负指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值和二次根式的性质化简，再计算即可。
16．（2022·鄄城模拟）先化简，再求值，其中
【答案】解：原式
原式
【知识点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，将代入计算即可。
17．如图，菱形的对角线、相交于点，是的中点，点、在上，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形为菱形，
∴点为的中点，
∵点为中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，∴四边形为平行四边形，
∵，∴平行四边形为矩形．
（2）解：∵点为的中点，，
∴
∵，，
∴在中，．
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴．
故的长为2．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再结合，证出平行四边形为矩形即可；
（2）先利用勾股定理求出AF的长，利用矩形的性质可得，再利用线段的和差求出BG的长即可。
18．（2022·鄄城模拟）为迎接建校七十周年，某校举行歌唱比赛．九年级一班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元．缤纷棒比荧光棒少20根，已知缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．那么缤纷棒和荧光棒的单价各是多少元？
【答案】解：设荧光棒的单价为元，则缤纷棒的单件为元，由题意得
解得
经检验，是原方程的解
答：荧光棒的单价为元，则缤纷棒的单件为元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒的单件为1.5x元，根据题意列出方程求解即可。
19．（2022·鄄城模拟）国庆假期间，小华一家外出去某景点B地游玩，到达A地后，根据导航提示，车辆应沿北偏东方向行驶8千米至C地，再沿北偏西方向行驶一段距离到达B地，小华发现B地恰好在A地的正北方向，求和的长（结果保留小数点后一位）．参考数据：，，，）
【答案】解：如图，由题意可知，，，千米，作CD⊥AB于D，
在中，∵，
∴千米，千米，
在中，∵，，
∴千米，
千米，
∴（千米）
答：B、C两地的距离约为5.3千米，A、B两地的距离约为9.2千米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】先利用解直角三角形的方法求出AD和BD的长，再利用线段的和差可得。
20．（2022·鄄城模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数的图像交于点C，连接．已知点，．
（1）求b、k的值；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：过点C作CD⊥x轴，则OB∥CD，
把代入得：，解得：b=2，
∴，
令x=0代入，得y=2，即B（0，2），
∴OB=2，
∵，OB∥CD，
∴，
∴，即：
∴DA=6，CD=3
∴OD=6-4=2，
∴D（2，3），
∴，解得：k=6；
（2）解：的面积=．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据三角形面积公式代入计算即可。
21．某中学为组织学生参加北京2022年冬奥会和冬残奥会“共迎未来”中外青少年人文交流暨第二届“中外人文交流小使者”书画展评活动，全校征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了、、、四个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）王老师所调查的4个班共征集到作品 ▲ 件，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示班的扇形圆心角的度数为 ；
（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1件作品的作者是男生，3件作品的作者是女生，现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）
【答案】（1）解：24；补全条形统计图如图：
（2）150°
（3）解：画树状图为：
由图知，一共有12种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为6，
所以恰好抽中一男一女的概率．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】（1）解：总件数为4÷=24（件），B班件数为24-4-10-4=6（件），
∴王老师所调查的4个班共征集到作品24件，
故答案为：24，
（2）解：班的扇形圆心角的度数为360°×=150°，
故答案为：150°；
【分析】（1）利用“A”的数量求出对应的百分比可得总人数，再求出“B”的数量并作出条形统计图即可；
（2）先求出“C”的百分比，再乘以360°可得答案；
（3）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
22．（2022·鄄城模拟）如图所示，AB是的直径，点C、D是上不同的两点，BD与OC相交于点E、与CF相交于点F，若，且．
（1）求证：直线CF是的切线；
（2）连接OD、AD、AC、DC，若．求证：．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴直线CF是的切线．
（2）证明：∵，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由，得出，再由，得出，即可得出结论；
（2）由，，得出，再由，即可得出结论。
23．（2022·鄄城模拟）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O和原点重合，，，动点P从点O开始向点A运动，以CP为对称轴．把折叠，所得与矩形OABC重叠部分面积为y．
（1）当点恰好落在BC上时，求点P坐标；
（2）设，当时，求y关于t的函数关系式；
【答案】（1）解：当点O′恰好落在BC上时，如图所示：
由折叠性质可知：∠COP=∠CO'P=90°，O'C=OC=2，
∴此时四边形OCO'P为正方形，
故OC=OP=2，
∴当点O′恰好落在BC上时，P坐标为（2，0）；
（2）解：当0＜t≤2时，如图所示：
OP=t，由折叠性质可知△COP≌△CO'P，
∴y=S△CO'P=S△COP=CO OP=×2×t=t，
当2＜t≤5时，如图所示：
由折叠性质可知：∠CPO=∠CPO'，PO=PO'=t，
∵CB∥OA，
∴∠DCP=CPO，
∴∠DCO=∠DPC，
∴DC=DP，
设CD=a，则DP=a，O'D=t-a，
在Rt△CO'D中，CO'2+O'D2=CD2，
∴22+（t-a）2=a2，
解得：a=，
∴y=S△CDP=CD CO′=，
综上所述：．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）当点O′恰好落在BC上时，由折叠性质可知：∠COP=∠CO'P=90°，O'C=OC=2，可得出四边形OCO'P为正方形，推出OC=OP=2，即可得出结论；
（2）当0＜t≤2时，当2＜t≤5时，由折叠性质可知：∠CPO=∠CPO'，PO=PO'=t，由平行线的性质得出DC=DP，设CD=a，则DP=a，O'D=t-a，在Rt△CO'D中，利用勾股定理得出CO'2+O'D2=CD2，代入得出a的值，即可得解。
24．（2021·常德）如图，在平面直角坐标系 中，平行四边形 的 边与y轴交于E点，F是 的中点，B、C、D的坐标分别为 .
（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）试判断抛物线的顶点是否在直线 上；
（3）设过F与 平行的直线交y轴于Q，M是线段 之间的动点，射线 与抛物线交于另一点P，当 的面积最大时，求P的坐标.
【答案】（1）解：∵平行四边形 ，B、C、D的坐标分别为
∴A（3，10）
设直线AB的解析式为y=kx+b
则 ，解得
∴直线AB的解析式为y=2x+4
当x=0时，y=4，则E的坐标为（0,4）
设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c
，解得
∴过B、E、C三点的抛物线的解析式为
（2）解：顶点是在直线 上，理由如下：
∵F是 的中点
∴F（8,10）
设直线EF的解析式为y=mx+n
则 ，解得
∴直线EF的解析式为y= x+4
∵
∴抛物线的顶点坐标为（3， ）
∵ = ×3+4
∴抛物线的顶点在直线 上
（3）解：∵ ，则设P点坐标为（p， ），直线BP的解析式为y=dx+e
则 ，解得
∴直线EF的解析式为y= x+
当x=0时，y= ，则M点坐标为（0， ）
∵AB//FQ,
∴设FQ的解析式为y=2x+f，则10=2×8+f，解得f=-6
∴FQ的解析式为y=2x-6,
∴Q的坐标为（0，-6）
∴|MQ|= +6
∴S△PBQ= S△MBQ+ S△PMQ
=
=
=
=
∴当p=9时， 的面积最大时
∴P点坐标为（9， ）
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，可得到点A的坐标，利用点A，B的坐标，可求出直线AB的函数解析式；设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，分别将点B，E，C的坐标代入，建立关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到二次函数解析式.
（2）利用线段的中点，可求出点F的坐标，利用待定系数法求出直线EF的函数解析式；再将二次函数解析式转化为顶点式，将顶点的横坐标代入直线EF的的函数解析式，可做出判断.
（3） 利用二次函数解析式，设P点坐标为（p， ），直线BP的解析式为y=dx+e，将点P代入，可得到直线EF的函数解析式，再求出当x=0时的y的值，可得到点M的坐标；利用AB∥FQ， 设FQ的解析式为y=2x+f，可求出直线FQ的函数解析式，即可得到点Q的坐标；再求出MQ的长，S△PBQ= S△MBQ+ S△PMQ，可得到S△PBQ与p的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出点P的坐标.
山东省菏泽市鄄城县2021-2022学年九年级下学期期中数学试题
一、单选题
1．下列各数中，绝对值最大的数是（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．
2．（2022·鄄城模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·南开模拟）如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·金华）一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八上·临淄期中）5月1日至7日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．中位数是
B．众数是
C．平均数是
D．4日至5日最高气温下降幅度较大
6．（2021·苏州）已知抛物线 的对称轴在 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则 的值是（ ）
A．-5或2 B．-5 C．2 D．-2
7．（2021·天津）如图，在 中， ，将 绕点C逆时针旋转得到 ，点A，B的对应点分别为D，E，连接 ．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图，在正方形 中，点 ，点 ，则互异二次函数 与正方形 有交点时 的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，-1 B． ，-1 C．4，0 D． ，-1
二、填空题
9．（2020八上·密云期末）化简 的结果为 .
10．（2021·扬州）在平面直角坐标系中，若点 在第二象限，则整数m的值为 .
11．（2022·鄄城模拟）小明训练飞镖，在木板上画了直径为20cm和30cm的同心圆，如图，他在距木板5米开外将一个飞镖随机投掷到该图形内，则飞镖落在阴影区域的概率为 ．
12．（2021·南开模拟）如图，数轴上有若干个点，每相邻两点相距1个单位长度．其中点A，B，C，D对应的数分别是整数a，b，c，d，且 ，则 的值为 ．
13．（2022·鄄城模拟）在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于x的方程的实数根的个数为 ．
14．（2021·天津）如图，正方形 的边长为4，对角线 相交于点O，点E，F分别在 的延长线上，且 ，G为 的中点，连接 ，交 于点H，连接 ，则 的长为 ．
三、解答题
15．计算：
16．（2022·鄄城模拟）先化简，再求值，其中
17．如图，菱形的对角线、相交于点，是的中点，点、在上，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
18．（2022·鄄城模拟）为迎接建校七十周年，某校举行歌唱比赛．九年级一班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元．缤纷棒比荧光棒少20根，已知缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．那么缤纷棒和荧光棒的单价各是多少元？
19．（2022·鄄城模拟）国庆假期间，小华一家外出去某景点B地游玩，到达A地后，根据导航提示，车辆应沿北偏东方向行驶8千米至C地，再沿北偏西方向行驶一段距离到达B地，小华发现B地恰好在A地的正北方向，求和的长（结果保留小数点后一位）．参考数据：，，，）
20．（2022·鄄城模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数的图像交于点C，连接．已知点，．
（1）求b、k的值；
（2）求的面积．
21．某中学为组织学生参加北京2022年冬奥会和冬残奥会“共迎未来”中外青少年人文交流暨第二届“中外人文交流小使者”书画展评活动，全校征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了、、、四个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）王老师所调查的4个班共征集到作品 ▲ 件，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示班的扇形圆心角的度数为 ；
（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1件作品的作者是男生，3件作品的作者是女生，现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）
22．（2022·鄄城模拟）如图所示，AB是的直径，点C、D是上不同的两点，BD与OC相交于点E、与CF相交于点F，若，且．
（1）求证：直线CF是的切线；
（2）连接OD、AD、AC、DC，若．求证：．
23．（2022·鄄城模拟）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O和原点重合，，，动点P从点O开始向点A运动，以CP为对称轴．把折叠，所得与矩形OABC重叠部分面积为y．
（1）当点恰好落在BC上时，求点P坐标；
（2）设，当时，求y关于t的函数关系式；
24．（2021·常德）如图，在平面直角坐标系 中，平行四边形 的 边与y轴交于E点，F是 的中点，B、C、D的坐标分别为 .
（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）试判断抛物线的顶点是否在直线 上；
（3）设过F与 平行的直线交y轴于Q，M是线段 之间的动点，射线 与抛物线交于另一点P，当 的面积最大时，求P的坐标.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数大小比较
【解析】【解答】解：
∵
∴绝对值最大的数是
故答案为：D．
【分析】先利用绝对值的性质化简，再比较大小即可。
2．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用单项式乘单项式、合并同类项和单项式除以单项式的计算方法逐项判断即可。
3．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据几何体可得：
主视图为： ，
左视图为： ，
俯视图为： ，
故答案为：C．
【分析】根据三视图的含义，判断得到答案即可。
4．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】图中数轴表示的解集是x<2.
A选项，解不等式得x>-2，故该选项不符合题意，
B选项，解不等式得x<2，故该选项符合题意，
C选项，解不等式得 ，故该选项不符合题意，
D选项，解不等式得x>2，故该选项不符合题意，
故答案为：B.
【分析】先求出各选项中的每一个不等式的解集，再根据数轴可知x＜2，由此可得答案.
5．【答案】A
【知识点】折线统计图；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：由题意可得，共7个数据，分别为26；30；33；33；23；27；25
从小到大排列后为23；25；26；27；30；33；33
位于中间位置的数据是27，
∴中位数为27，A符合题意；
出现次数最多的数据是33，
∴众数是33，B不符合题意；
平均数为（26+30+33+33+23+27+25）÷7= ，C不符合题意；
从统计图可看出4日气温为33℃，5日气温为23℃，
∴4日至5日最高气温下降幅度较大，D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】先将数据从小到大排列，再根据中位数、众数、平均数的计算方法逐项判断即可。
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2+kx-k2的对称轴在y轴右侧，
∴x=，
∴k＜0.
∵抛物线y=x2+kx-k2=.
∴将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：，
∴将（0，0）代入，得0=，
解得k1=2（舍去），k2=-5.
故答案为：B.
【分析】先将二次函数配成顶点式，再根据二次函数平移的点的坐标变化规律“左加右减、上加下减”可得平移后的解析式，再根据平移后的抛物线经过原点可将（0,0）代入平移后的解析式得关于k的一元二次方程，解方程可求得k的值，再根据对称轴在y轴右侧可得x=-＞0，解不等式可得k的范围，结合范围可确定k的值.
7．【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】由旋转可知 ，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故A不符合题意；
由旋转可知 ，
∵ 为钝角，
∴ ，
∴ ，故B不符合题意；
∵ ，
∴ ，故C不符合题意；
由旋转可知 ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
∴ ，
∴ ，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】由旋转可知 ，求出 ，据此判断A；由旋转可知 ，在△EDC中，，可得，据此判断B；在△EDC中，由 ，可得 ，据此判断C；可证 为等边三角形，
可得 ，从而得出，可证 ，据此判断D.
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由正方形的性质可知：B（2，2）；
若二次函数 与正方形 有交点，则共有以下四种情况:
当 时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有 ，
解得： ；
当 时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有 ，
解得： ；
当 时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有 ，
解得： ；
当 时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有 ，
解得： ；
综上可得： 的最大值和最小值分别是 ， .
故答案为：D.
【分析】先求出点B（2，2），分四种情况：①当 时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点；②当 时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点；③当 时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点；④当 时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，据此分别列出不等式组，求解即可.
9．【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】原式= .
故答案为：1.
【分析】根据平方差公式进行计算即可.
10．【答案】2
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由题意得： ，
解得： ，
∴整数m的值为2，
故答案为：2.
【分析】根据第二象限点的坐标符号为负正，据此列出不等式组，求出解集即可.
11．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：大圆面积：π×（）2＝225π （cm2），
小圆面积：π×（）2＝100π（cm2），
阴影部分面积：225π 100π＝125π（cm2），
飞镖落在阴影区域的概率为：．
故答案为：．
【分析】利用圆的面积公式求出大圆的面积和小圆的面积，再求出阴影部分的面积，最后利用几何概率公式求解即可。
12．【答案】-3
【知识点】实数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由数轴可知： ，
∴
∵ ，
∴ ，
解得a=-5，
∴b=-2，c=-1，
∴ =-3，
故答案为：-3．
【分析】根据题目中的数量关系，列出方程组，解出a和d的值，继而计算得到答案即可。
13．【答案】1或2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵直线不经过第一象限，
∴，
当时，方程是一次方程，有一个根，
当时，
∵关于x的方程，
∴，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根，
故答案为：1或2．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系求出m的取值范围，再分两种情况当时，当时，分别利用一元一次方程和一元二次方程的根的判别式求解即可。
14．【答案】
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解:如图,作OK⊥BC，垂足为点K，
∵正方形边长为4，
∴OK=2，KC=2，
∴KC=CE，
∴CH是△OKE的中位线
∴ ，
作GM⊥CD，垂足为点M，
∵G点为EF中点，
∴GM是△FCE的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
在Rt△MHG中， ，
故答案为： ．
【分析】作OK⊥BC，垂足为点K，根据正方形的性质得出OK=2，KC=2，利用三角形中位线定理可得
，作GM⊥CD，垂足为点M，利用三角形中位线定理可得 ， 从而求出，继而得出MH=MC-CH=，利用勾股定理求出GH的长.
15．【答案】解：原式=
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先利用负指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值和二次根式的性质化简，再计算即可。
16．【答案】解：原式
原式
【知识点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，将代入计算即可。
17．【答案】（1）证明：∵四边形为菱形，
∴点为的中点，
∵点为中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，∴四边形为平行四边形，
∵，∴平行四边形为矩形．
（2）解：∵点为的中点，，
∴
∵，，
∴在中，．
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴．
故的长为2．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再结合，证出平行四边形为矩形即可；
（2）先利用勾股定理求出AF的长，利用矩形的性质可得，再利用线段的和差求出BG的长即可。
18．【答案】解：设荧光棒的单价为元，则缤纷棒的单件为元，由题意得
解得
经检验，是原方程的解
答：荧光棒的单价为元，则缤纷棒的单件为元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒的单件为1.5x元，根据题意列出方程求解即可。
19．【答案】解：如图，由题意可知，，，千米，作CD⊥AB于D，
在中，∵，
∴千米，千米，
在中，∵，，
∴千米，
千米，
∴（千米）
答：B、C两地的距离约为5.3千米，A、B两地的距离约为9.2千米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】先利用解直角三角形的方法求出AD和BD的长，再利用线段的和差可得。
20．【答案】（1）解：过点C作CD⊥x轴，则OB∥CD，
把代入得：，解得：b=2，
∴，
令x=0代入，得y=2，即B（0，2），
∴OB=2，
∵，OB∥CD，
∴，
∴，即：
∴DA=6，CD=3
∴OD=6-4=2，
∴D（2，3），
∴，解得：k=6；
（2）解：的面积=．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据三角形面积公式代入计算即可。
21．【答案】（1）解：24；补全条形统计图如图：
（2）150°
（3）解：画树状图为：
由图知，一共有12种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为6，
所以恰好抽中一男一女的概率．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】（1）解：总件数为4÷=24（件），B班件数为24-4-10-4=6（件），
∴王老师所调查的4个班共征集到作品24件，
故答案为：24，
（2）解：班的扇形圆心角的度数为360°×=150°，
故答案为：150°；
【分析】（1）利用“A”的数量求出对应的百分比可得总人数，再求出“B”的数量并作出条形统计图即可；
（2）先求出“C”的百分比，再乘以360°可得答案；
（3）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
22．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴直线CF是的切线．
（2）证明：∵，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由，得出，再由，得出，即可得出结论；
（2）由，，得出，再由，即可得出结论。
23．【答案】（1）解：当点O′恰好落在BC上时，如图所示：
由折叠性质可知：∠COP=∠CO'P=90°，O'C=OC=2，
∴此时四边形OCO'P为正方形，
故OC=OP=2，
∴当点O′恰好落在BC上时，P坐标为（2，0）；
（2）解：当0＜t≤2时，如图所示：
OP=t，由折叠性质可知△COP≌△CO'P，
∴y=S△CO'P=S△COP=CO OP=×2×t=t，
当2＜t≤5时，如图所示：
由折叠性质可知：∠CPO=∠CPO'，PO=PO'=t，
∵CB∥OA，
∴∠DCP=CPO，
∴∠DCO=∠DPC，
∴DC=DP，
设CD=a，则DP=a，O'D=t-a，
在Rt△CO'D中，CO'2+O'D2=CD2，
∴22+（t-a）2=a2，
解得：a=，
∴y=S△CDP=CD CO′=，
综上所述：．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）当点O′恰好落在BC上时，由折叠性质可知：∠COP=∠CO'P=90°，O'C=OC=2，可得出四边形OCO'P为正方形，推出OC=OP=2，即可得出结论；
（2）当0＜t≤2时，当2＜t≤5时，由折叠性质可知：∠CPO=∠CPO'，PO=PO'=t，由平行线的性质得出DC=DP，设CD=a，则DP=a，O'D=t-a，在Rt△CO'D中，利用勾股定理得出CO'2+O'D2=CD2，代入得出a的值，即可得解。
24．【答案】（1）解：∵平行四边形 ，B、C、D的坐标分别为
∴A（3，10）
设直线AB的解析式为y=kx+b
则 ，解得
∴直线AB的解析式为y=2x+4
当x=0时，y=4，则E的坐标为（0,4）
设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c
，解得
∴过B、E、C三点的抛物线的解析式为
（2）解：顶点是在直线 上，理由如下：
∵F是 的中点
∴F（8,10）
设直线EF的解析式为y=mx+n
则 ，解得
∴直线EF的解析式为y= x+4
∵
∴抛物线的顶点坐标为（3， ）
∵ = ×3+4
∴抛物线的顶点在直线 上
（3）解：∵ ，则设P点坐标为（p， ），直线BP的解析式为y=dx+e
则 ，解得
∴直线EF的解析式为y= x+
当x=0时，y= ，则M点坐标为（0， ）
∵AB//FQ,
∴设FQ的解析式为y=2x+f，则10=2×8+f，解得f=-6
∴FQ的解析式为y=2x-6,
∴Q的坐标为（0，-6）
∴|MQ|= +6
∴S△PBQ= S△MBQ+ S△PMQ
=
=
=
=
∴当p=9时， 的面积最大时
∴P点坐标为（9， ）
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，可得到点A的坐标，利用点A，B的坐标，可求出直线AB的函数解析式；设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，分别将点B，E，C的坐标代入，建立关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到二次函数解析式.
（2）利用线段的中点，可求出点F的坐标，利用待定系数法求出直线EF的函数解析式；再将二次函数解析式转化为顶点式，将顶点的横坐标代入直线EF的的函数解析式，可做出判断.
（3） 利用二次函数解析式，设P点坐标为（p， ），直线BP的解析式为y=dx+e，将点P代入，可得到直线EF的函数解析式，再求出当x=0时的y的值，可得到点M的坐标；利用AB∥FQ， 设FQ的解析式为y=2x+f，可求出直线FQ的函数解析式，即可得到点Q的坐标；再求出MQ的长，S△PBQ= S△MBQ+ S△PMQ，可得到S△PBQ与p的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出点P的坐标.
