第9章 平面向量单元综合能力测试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，满足，，且，的夹角为，则（ ）
A． B．2 C．4 D．
2．如图，将扇形圆弧拉直后，恰得一边长为的等边三角形，若利用泰勒公式的前三项计算的值，则在扇形中计算（ ）
A． B．
C． D．
3．在中，，分别在，上，且，，，交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，若共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知非零向量的夹角余弦值为，且，则（ ）
A．2 B． C． D．1
6．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在平行四边形中， 分别在边 上，，与相交于点，记，则（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．在单位圆中，是圆上的动点（可重合），则下列结论一定成立的有（ ）
A．
B．在上的投影向量可能为
C．
D．若，则
10．已知，则下列结论正确的有（ ）
A． B．与方向相同的单位向量是 C． D．与平行
11．中，点M是边的中点，，则一定不是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．把一条线段分为两部分，使较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，该比值是无理数，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比 黄金分割不仅仅体现在诸如绘画 雕塑 音乐 建筑等艺术领域，而且在管理 工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在中，点为线段的黄金分割点，点为的中点，点为线段上的一点（包含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．的取值范围是
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，，，则______.
14．已知向量，，若与的夹角为钝角，则整数的一个取值可以是______.
15．已知平面向量，，若，，（其中表示向量，的夹角），则______．
16．如图，已知正六边形ABCDEF边长为1，点P是其内部一点，（包括边界），则的取值范围为______
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
平面内给定两个向量.
(1)求；
(2)若，求实数的值.
18．（12分）
如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设，．
(1)用，表示，；
(2)如果，，且，求．
19．（12分）
设平面三点A（1，0），B（0，1），C（2，5）．
(1)试求向量2＋的模；
(2)试求向量与的夹角；
(3)试求与垂直的单位向量的坐标．
20．（12分）
如图，数轴的交点为，夹角为，与轴 轴正向同向的单位向量分别是.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标）.
(1)若为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；
(2)若，点的坐标为，求向量与的夹角的余弦值.
21．（12分）
已知向量，满足，，．
(1)求向量和的夹角；
(2)设向量，，是否存在正实数t和k，使得？如果存在，求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由．
22．（12分）
已知半圆圆心为O点，直径，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)若，求与夹角的大小；
(3)试求点P的坐标，使取得最小值，并求此最小值．第9章 平面向量单元综合能力测试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，满足，，且，的夹角为，则（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】B
【解析】，所以，， ，所以.
故选：B
2．如图，将扇形圆弧拉直后，恰得一边长为的等边三角形，若利用泰勒公式的前三项计算的值，则在扇形中计算（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：扇形的圆弧长为4,
又,
所以,
由的前三项,
则,
则.
故选：A.
3．在中，，分别在，上，且，，，交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，过点作的平行线交于
在中，为中位线，
又
在中，
所以
故选：A
4．已知向量，若共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知，，
则，，
，，解得：
故选：A
5．已知非零向量的夹角余弦值为，且，则（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【解析】由题意，，即，，
因为故，则.
故选：A
6．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，故，
，故，，故.
故选：B
7．已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，
设，则.
由于，所以A，B，D三点共线，如图所示，
∵与反向共线，，∴，∴，
∴.
故选：D
8．在平行四边形中， 分别在边 上，，与相交于点，记，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】过点作平行于，交于点，
因为，则为的中点，所以且，
因为，所以，
由可得：，所以，
因为，
所以，
故选：.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．在单位圆中，是圆上的动点（可重合），则下列结论一定成立的有（ ）
A．
B．在上的投影向量可能为
C．
D．若，则
【答案】BC
【解析】对选项A，，故A错误.
对选项B，在上的投影向量为，
若，
则，即所成角为.
所以当所成角为时，在上的投影向量为，故B正确.
对选项C，，
因为是单位圆上的动点（可重合），所以，
所以，故C正确.
对选项D，因为，所以，
所以，故D错误.
故选：BC
10．已知，则下列结论正确的有（ ）
A． B．与方向相同的单位向量是 C． D．与平行
【答案】ABC
【解析】因，则，A正确；
与方向相同的单位向量是，B正确；
，而，所以，C正确；
因，则与不平行，D不正确.
故选：ABC
11．中，点M是边的中点，，则一定不是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】ABC
【解析】因为点M是边的中点，
所以,
故由可得,
所以,
即,
故选：ABC
12．把一条线段分为两部分，使较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，该比值是无理数，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比 黄金分割不仅仅体现在诸如绘画 雕塑 音乐 建筑等艺术领域，而且在管理 工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在中，点为线段的黄金分割点，点为的中点，点为线段上的一点（包含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
如图，，则有，
，故A错，B对；
由于为中点，故，
，故，
在上的投影向量为，故C对；
，明显可见，
当时，取最小值，当与重合时有最大值
，故，可得D对；
故选：BCD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，，，则______.
【答案】
【解析】，，，
.
故答案为：.
14．已知向量，，若与的夹角为钝角，则整数的一个取值可以是______.
【答案】（或，，，，，，，填写一个答案即可）
【解析】因为与的夹角为钝角，所以，
所以，
若与平行，即，所以，
化简得，得，其中当时，与反向平行，
故整数的取值可以是，，，，，，，.
故答案为：（或，，，，，，，填写一个答案即可）
15．已知平面向量，，若，，（其中表示向量，的夹角），则______．
【答案】
【解析】
故答案为：.
16．如图，已知正六边形ABCDEF边长为1，点P是其内部一点，（包括边界），则的取值范围为______
【答案】
【解析】由正六边形的性质得： ，
则，，
，
而表示在上的投影，
当点P在C处时，投影最大为，当点P在F处时，投影最小为0，
所以的取值范围为，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
平面内给定两个向量.
(1)求；
(2)若，求实数的值.
【解析】（1）因为，
所以.
（2）因为，
所以，
若，则，解得：.
18．（12分）
如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设，．
(1)用，表示，；
(2)如果，，且，求．
【解析】（1）因为，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，
所以，
.
（2）由（1）可知，，
所以，由，可得，
所以
．
19．（12分）
设平面三点A（1，0），B（0，1），C（2，5）．
(1)试求向量2＋的模；
(2)试求向量与的夹角；
(3)试求与垂直的单位向量的坐标．
【解析】（1）∵,
∴,
∴
（2）∵||＝＝．
＝， ＝（﹣1）×1+1×5＝4．
∴cosA＝＝＝
（3）设所求向量为,则． ①
又，由得． ②
由①②，得或
∴，或
20．（12分）
如图，数轴的交点为，夹角为，与轴 轴正向同向的单位向量分别是.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标）.
(1)若为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；
(2)若，点的坐标为，求向量与的夹角的余弦值.
【解析】（1）当时，坐标系为平面直角坐标系，
设点，则有，而，
又，所以，又因，
解得，故点的坐标是；
（2）依题意夹角为，
，
，
所以.
21．（12分）
已知向量，满足，，．
(1)求向量和的夹角；
(2)设向量，，是否存在正实数t和k，使得？如果存在，求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1），
∴，
设向量和的夹角为，
，
∴与夹角为．
（2）假设存在正实数t和k，使得，则，
∴
∵，∴，
∴，，
故 或 ，解得
即存在且t的取值范围为．
22．（12分）
已知半圆圆心为O点，直径，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)若，求与夹角的大小；
(3)试求点P的坐标，使取得最小值，并求此最小值．
【解析】（1）因为半圆的直径，由题易知：又，.
又，，则，，即.
（2）由（1）知，，，
所以.
设与夹角为，则，
又因为，所以，即与的夹角为.
（3）设，由（1）知，，，，
所以，
又因为，所以当时，有最小值为，
此时点的坐标为.
