第五章：相交线与平行线练习题
一、单选题
1．（2022春·北京延庆·七年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，如果∠1=35°，那么∠2的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·北京朝阳·七年级统考期末）下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是( )
A． B． C． D．
3．（2022春·北京平谷·七年级统考期末）如图，下列条件中，能判断直线ABCD的是（ ）
A．∠2＝∠3 B．∠1＝∠4
C．∠BAD＝∠BCD D．∠1+∠2＝180°
4．（2022春·北京怀柔·七年级校考期末）如图，直线a，b被c所截，下列四个结论：
①∠1和∠7互为对顶角；
②∠2和∠6是同位角；
③∠3=∠5；
④∠4和∠5是同旁内角．
其中，结论一定正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2022春·北京丰台·七年级统考期末）下列命题中为假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
6．（2022春·北京朝阳·七年级统考期末）在下面的四个图形中，能由已知图经过平移得到的图形是( )
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2022春·北京通州·七年级统考期末）为了测量一座古塔外墙底部的底角∠AOB的度数，李潇同学设计了如下测量方案：作AO，BO的延长线OD，OC，量出∠COD的度数，从而得到∠AOB的度数．这个测量方案的依据是_______________．
8．（2022春·北京朝阳·七年级统考期末）如图，AB⊥CD，垂足为O，OE平分∠BOC，则∠DOE的度数为______°．
9．（2022春·北京东城·七年级统考期末）如图，在三角形中，，，，，则点到的距离等于______.
10．（2022春·北京房山·七年级统考期末）如图，四边形ABCD，点E是AB的延长线上的一点．请你添加一个条件，能判定．这个条件是______．
11．（2022春·北京延庆·七年级统考期末）已知：在同一平面内，三条直线a，b，c．下列四个命题为真命题的是_____________．（填写所有真命题的序号）
①如果ab，，那么； ②如果，，那么；
③如果ab，cb，那么ac； ④如果，，那么bc．
12．（2022春·北京房山·七年级统考期末）若用一组x，y的值说明命题“若，则”是假命题，则这样的一组值可以是______，______．
13．（2022春·北京西城·七年级统考期末）将命题“同角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为_________________．
14．（2022春·北京通州·七年级统考期末）手工课上，老师将同学们分成A，B两个小组制作两个汽车模型，每个模型先由A组同学完成打磨工作，再由B组同学进行组装完成制作，两个模型每道工序所需时间如下：
工序 时间 模型 打磨（A组） 组装（B组）
模型1 9分钟 5分钟
模型2 6分钟 11分钟
则这两个模型都制作完成所需的最短时间为__________分钟．
15．（2022春·北京大兴·七年级统考期末）将三角形ABC沿BC方向平移1个单位得到三角形DEF，若三角形ABC的周长等于7，则四边形ABFD的周长是______．
三、解答题
16．（2022秋·北京怀柔·七年级统考期末）将下面的解答过程补充完整：已知：如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOF，∠COE=90°．求证：∠FOB=2∠AOC．
证明：因为OE平分∠AOF，所以∠AOE=∠EOF．（ ）
因为∠COE=90°，
所以∠AOC+∠AOE=90°
因为直线AB，CD相交于点O．
所以∠EOD=180°-∠COE=90°
所以．∠EOF+∠FOD=90°．
所以∠AOC=_ ___．（ ）
因为直线AB，CD相交于O，
所以 ．（ ）
所以∠FOB=∠FOD+∠BOD=2∠AOC
17．（2022春·北京海淀·七年级统考期末）如图，点在直线外，点在直线上，连接．选择适当的工具作图．
(1)在直线上作点，使，连接；
(2)在的延长线上任取一点，连接；
(3)在，，中，最短的线段是______________，依据是______________．
18．（2022春·北京密云·七年级统考期末）如图，直线，E为直线CD上一点，射线EH交直线AB于点F．
(1)按要求画图：
①利用量角器及直尺，画∠FED的角平分线EM，交直线AB于点N；
②过点N作NP⊥CD，垂足为P．
(2)完成下列填空：
比较线段NE和NP的大小，可以得到NE____________NP；（填“＞”、“＝”或“＜”）理由是____________．
19．（2022春·北京东城·七年级统考期末）如图，直线与直线，分别交于点，，是它的补角的3倍，．判断与的位置关系，并说明理由．
20．（2022春·北京海淀·七年级统考期末）下图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出，
(1)①如图1，点在一条格线上，当∠1＝20°时，∠2＝________°；
②如图2，点在两条格线之间，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并证明；
(2)在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示α与B之间的数量关系．
21．（2022春·北京丰台·七年级统考期末）阅读下列材料：
如图1，，，分别是，上的点，点在，之间，连接，．用等式表示，与的数量关系．
小刚通过观察，实验，提出猜想：．
接着他对猜想的结论进行了证明，证明思路是：
过点作，由，可得，根据平行线的性质，可得，，从而证得．
请你利用小刚得到的结论或解题思路，完成下列问题．
已知，，分别是，上的点，点在，之间，连接，．
(1)如图2，若，，则的度数为______；
(2)如图3，与的平分线交于点，用等式表示与的数量关系，并证明；
(3)如图4，与的平分线交于点，直接用等式表示与的数量关系．
22．（2022春·北京顺义·七年级统考期末）已知，如图，O为直线AB上一点，OC⊥AB于点O．点P为射线OC上一点，从点P引两条射线分别交直线AB于点D，E（点D在点O左侧，点E在点O右侧），过点O作OF∥PD交PE于点F，G为线段PD上一点，过G作GM⊥AB于点M．
(1)①依题意补全图形；
②若∠DPO=63°，求∠EOF的度数；
(2)直接写出表示∠EOF与∠PGM之间的数量关系的等式．
23．（2022春·北京石景山·七年级统考期末）如图，直线CE，BF被直线，所截，CEBF且．
(1)求证：；
(2)过点作于点A，以点B为顶点作，BD交于点D，连接AD．
①补全图形；
②若DA平分，求的度数．
24．（2022春·北京西城·七年级统考期末）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠BCD＝∠A．点E，F分别在BC，AC边上，，，DF的延长线上一点G满足∠G＝∠CDE．
(1)求证：；
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵，，∠BCD＝∠A，
∴∠ADF＝∠______．（理由：______）
∵∠G＝∠CDE，∴∠______＝∠______．（理由：______）
∴．（理由：______）
(2)图中与∠DCG相等的角是______．
参考答案：
1．A
【分析】根据对顶角的性质解答 ．
【详解】解：由对顶角的性质可得：∠1=∠2，
∵∠1=35°，
∴∠2=35°，
故选A．
【点睛】本题考查对顶角的应用，熟练掌握对顶角的性质是解题关键 ．
2．B
【分析】根据邻补角的概念进行判定即可得出答案．
【详解】解：A．与是对顶角，故选项不符合题意；
B．与是邻补角，故选项符合题意；
C．与不存在公共边，不是邻补角，故选项不符合题意；
D．与是同旁内角，故选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是邻补角的定义，熟练掌握邻补角的定义是解题的关键．
3．B
【分析】根据平行线的判定定理依次分析并判断．
【详解】解：∵∠2=∠3，∴AD∥BC，故A选项不符合题意；
∵∠1=∠4，∴AB∥CD，故B选项符合题意；
由∠BAD＝∠BCD，不能证明哪两条直线平行，故C选项不符合题意；
由∠1+∠2＝180°不能证明哪两条直线平行，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
4．B
【分析】根据对顶角，同位角，同旁内角的定义，平行线的性质逐一判断即可．
【详解】解：①∠1和∠7不互为对顶角，说法错误；
②∠2和∠6是同位角，说法正确；
③∠3与∠5不相等，说法错误；
④∠4和∠5是同旁内角，说法正确；
∴说法正确的有两个，
故选B．
【点睛】本题主要考查了对顶角，同位角，同旁内角的定义．平行线的性质，熟知相关知识是解题的关键．
5．B
【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质、平行公理等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、对顶角相等，正确，是真命题；
B、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误，是假命题；
C、在同一平面内，垂直于同条直线的两条直线互相平行，正确，是真命题；
D、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，正确，是真命题，
故选：B．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的性质与判定、平行公理等知识，难度不大．
6．C
【分析】根据平移的性质判断即可．
【详解】解：C选项图形中，是由如图经过平移得到的图形，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平移的概念，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
7．对顶角相等
【分析】由对顶角相等即可得出结论．
【详解】这个测量方案的依据是：对顶角相等；
故答案是：对顶角相等．
【点睛】本题考查的是对顶角相等的性质和作图；根据题意正确作出图形、设计出测量方案是解题的关键．
8．135
【分析】根据垂线的性质和角平分线的定义解答即可．
【详解】解：，
，
平分，
，
，
故答案为：135．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质和角平分线的定义，熟练掌握相关的定义和性质是解答本题的关键．
9．3
【分析】点到直线的距离是指过直线外一点向直线做的垂线段的长度，根据定义可以得出答案．
【详解】解：∵，
∴AC⊥BC，
∴线段AC的长度就是点A到BC的距离，
∵AC=3，
∴点A到的距离等于3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查的是点到直线的距离，属于基础题型．解决这个问题的关键就是要明白点到直线距离的定义．
10．（答案不唯一）
【分析】根据平行线的判定方法结合图形进行补充条件即可．
【详解】解：补充：
由同位角相等，两直线平行可得
补充：
根据同旁内角互补，两直线平行可得
故答案为：或（任写一个即可）
【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握“同位角相等，两直线平行或同旁内角互补，两直线平行”是解本题的关键．
11．①③④
【分析】分别根据每种情况画出符合条件的图形，再结合垂直的定义，平行线的判定逐一判断即可．
【详解】解：如图，ab，，
则，故①符合题意；
如图，，，
则 故②不符合题意；④符合题意；
如图，ab，cb，
则ac；故③符合题意；
故答案为：①③④
【点睛】本题考查的是平面内直线与直线的位置关系，平行线的性质，垂直的定义，命题真假的判断，掌握“平行公理，平面内垂直于同一直线的两直线平行”是解本题的关键．
12． 0 -2
【分析】根据x>y给出x、y值，计算乘方，使x2
∴x2=0，y2=4，
∴x2
【点睛】此题考查了有理数的大小比较，假命题的判断，正确理解命题中的题设和结论，对应给出数值是解题的关键．
13．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.
【分析】每一个命题都是基于条件的一个判断，只要把条件部分和判断部分分开即可.
【详解】解：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.
14．22
【分析】根据题意存在两种情况：①A组同学先打磨模型1，再打磨模型2；②A组同学先打磨模型2，再打磨模型1，再根据表中数据计算各自所需时间，进行比较即可解答．
【详解】由题意知，存在以下两种情况：
①A组同学先打磨模型1，需要9分钟，然后B组同学组装模型1需要5分钟，同时A组同学打磨模型2，还需要1分钟完成，之后B组同学组装模型2需要11分钟，则共用最短时间为9+5+1+11=26分钟；
②A组同学先打磨模型2，需要6分钟，然后B组同学组装模型2需要11分钟，同时A组同学打磨模型1完成，之后B组同学组装模型1需要5分钟，则共用最短时间为6+11+5=22分钟，
因为26﹥22，所以这两个模型都制作完成所需的最短时间为22分钟，
故答案为：22．
【点睛】本题考查了有理数的加法、推理与论证，解答的关键是读懂题意，能利用推理的方法解决问题．
15．9
【分析】根据平移的性质可得AD=CF=1，AC=DF，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可．
【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，
∴AD=CF=1，AC=DF，
∴四边形ABFD的周长=AB+（BC+CF）+DF+AD=AB+BC+AC+AD+CF，
∵△ABC的周长=7，
∴AB+BC+AC=7，
∴四边形ABFD的周长=7+1+1=9．
故答案为9.
【点睛】本题考查了平移的性质、线段的和差等知识点，根据平移的性质得到相等的线段是解答本题的关键．
16．角平分线的定义； ；等角的余角相等；∠BOD=∠AOC；对顶角相等
【分析】根据题目提供的解析过程结合具体问题进行解答即可．
【详解】证明：∵OE平分∠AOF，
∴∠AOE=∠EOF，（角平分线的定义）
∵∠COE=90°，
∴∠AOC+∠AOE=90°，
∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠EOD=180°-∠COE=90°，
∴∠EOF+∠FOD=90°，
∴∠AOC=∠FOD（等角的余角相等）
∵直线AB，CD相交于O，
∴∠BOD=∠AOC,（对顶角相等）
∴∠FOB=∠FOD+∠BOD=2∠AOC．
故答案为：角平分线的定义；；等角的余角相等；∠BOD=∠AOC；对顶角相等．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角，邻补角，熟练掌握同角或等角的余角相等是解题的关键．
17．(1)图见解析
(2)图见解析
(3)，垂线段最短
【分析】（1）利用直角三角板作，再利用直尺连接即可得；
（2）利用直尺连接即可得；
（3）根据垂线段最短即可得．
【详解】（1）解：利用直角三角板和直尺作图如下：
（2）解：利用直尺连接，作图如下：
（3）解：在，，中，最短的线段是，依据是垂线段最短，
故答案为：，垂线段最短．
【点睛】本题考查了利用三角板和直尺作图、垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题关键．
18．(1)见解析
(2)＞；垂线段最短
【分析】（1）①利用量角器及直尺可直接进行作图；②根据垂线可进行作图；
（2）根据垂线段最短可进行求解．
(1)
解：如图所示：
(2)
解：比较线段NE和NP的大小，可以得到NE＞NP；理由是垂线段最短；
故答案为＞，垂线段最短．
【点睛】本题主要考查尺规作图及垂线段最短，熟练掌握垂线的作图及垂线段最短是解题的关键．
19．；理由见解析
【分析】先根据补角的定义求出的度数，然后求出∠CFE和∠2的度数，最后根据平行线的判定进行解答即可．
【详解】解：；理由如下：
∵是它的补角的3倍，
∴设，则的补角为，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了补角的有关计算，平行线的判定，根据题意求出，是解题的关键．
20．(1)①40；②∠1+∠2=60°，证明见解析；
(2)α+β=105°或α-β=15°
【分析】（1）①先标出∠3和∠4，然后再根据平行的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，然后再利用角的和差解答即可；
②如图：过点C作一条直线平行于格线，标出∠3和∠4 ，再根据平行的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，然后再利用角和差解答即可；
（2）分两种情况：当射线OC在∠AOB的内部，当射线OC在∠AOB的外部，然后利用平行线的性质和三角形的外角的性质进行计算，即可解答．
（1）
解：①如图1：标出∠3和∠4
由格线平行，利用平行的性质可得：∠1=∠3，∠2=∠4
∵∠3+∠4=∠AOB=60°，∠1=20°
∴∠1+∠2=60°
∴∠2=60°-20°=40°
故答案为：40；
②∠1+∠2=60°，证明如下：
证明：如图：过点C作一条直线平行于格线，标出∠3和∠4
由格线平行可得∠1=∠3，∠2=∠4
∵∠3+∠4=∠AOB=60°
∴∠1+∠2=60°．
（2）
解：设OA与图中一条格线形成的锐角为，OC与另一条格线形成的锐角为
当射线OC在∠AOB的内部，如图：
在图中随意选择两条格线标出、且过O点作平行于格线的辅助线，并标出∠1和∠2
由格线平行可得∠2=，∠1+∠2=
∵∠AOB=60°，∠COB=45°
∴∠AOC=15°即∠1=15°，∠1+=
∴=15°+
即
当射线OC在∠AOB的外部，如图：
∵∠COB=45°，∠AOB=60°
∴∠AOC=∠AOB+∠COB=105°
由（1）中②知，∠AOC=α+β
∴α+β=105°
综上所述：α+β=105°或α-β=15°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．难点是作辅助线，第（2）要分类讨论，不要出现遗漏情况．
21．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）如图，过点作，证明，再证明，求解 从而可得答案；
（2）由（1）同理可得： 再证明 从而可得答案；
（3）由（1）同理可得： 再证明 从而可得结论．
(1)
解：如图，过点作，
，，
，
，
．
，，
(2)
由（1）同理可得：
与的平分线交于点，
(3)
由（1）同理可得：
与的平分线交于点，
【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，作出合适的辅助线是解本题的关键．
22．(1)①见解析；②∠EOF=27°
(2)∠PGM-∠EOF=90°
【分析】（1）①根据题意画出图形；②根据平行线的性质和垂线的定义解答即可；
（2）过点G作GN∥AB，交OC于点N，根据平行线的性质和垂线的定义可得∠PGM-∠EOF=90°．
【详解】（1）解：①如图：
②∵OF∥PD，
∴∠1=∠2，
∵∠2=63°，
∴∠1=63°．
∵OC⊥AB，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠EOF=27°；
（2）如图，过点G作GN∥AB，交OC于点N，
∵GN∥AB，
∴∠4=∠5，
∵OF∥PD，
∴∠3=∠4，
∴∠3=∠5，
∵GM⊥AB，GN∥AB，
∴GM⊥GN，
∴∠MGN=90°，
∴∠PGM=∠5+90°，
∴∠PGM=∠3+90°，
∴∠PGM-∠3=90°，
即∠PGM-∠EOF=90°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、垂线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质和垂线的定义．
23．(1)见解析
(2)①见解析；②65°
【分析】（1）根据平行线的性质得出，再根据等量代换得到，从而证明结论；（2）①根据已知补全图形即可；②根据平行线的性质先求出∠BDC的度数，再根据角平分线的定义求出∠ADC的度数，进而利用直角三角形锐角互余求出∠CAD．
(1)
证明：∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）；
(2)
解：①补全图形如下图，
②∵（已证），
∴（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴（等量代换），
∵平分（已知），
∴（角平分线定义），
∴（等量代换），
∵（已证），
∴（等量代换），
∵（已知），
∴（垂直定义），
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识点，能熟记平行线的性质和判定是解题的关键．
24．(1)CDE；等角的余角相等；ADF；G；等量代换；内错角相等，两直线平行
(2)∠BDC和∠BCA
【分析】（1）根据等角的余角相等得出∠ADF=∠CDE，进而推出∠ADF=∠G，即可判定CG∥AB；
（2）根据平行线的性质及角的和差求解即可．
(1)
解：证明：∵∠A+∠ADF=90°，∠BCD+∠CDE=90°，∠BCD=∠A，
∴∠ADF=∠CDE（理由：等角的余角相等），
∵∠G=∠CDE，
∴∠ADF=∠G（理由：等量代换），
∴CG∥AB（理由：内错角相等，两直线平行），
故答案为：CDE；等角的余角相等；ADF；G；等量代换；内错角相等，两直线平行；
(2)
解：∵CG∥AB，
∴∠ACG=∠A，∠BDC=∠DCG，
∵∠BCD=∠A，
∴∠ACG=∠BCD，
∴∠ACG+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
即∠DCG=∠BCA，
∴图中与∠DCG相等的角是∠BDC和∠BCA，
故答案为：∠BDC和∠BCA．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
