2022-2023学年人教新版九年级下册数学期中复习试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．若与y互为倒数，则y等于（ ）
A．﹣ B．﹣5 C． D．5
2．2019年以来，5G（第五代移动通讯网络）时代再度引起广泛关注，据测算，5G网络的网络延迟约为0.00075秒，数据0.00075用科学记数法表示为（ ）
A．7.5×10﹣4 B．7.5×10﹣3 C．0.75×10﹣3 D．7.5×104
3．在式子，2x2y，，﹣5，a，中，单项式的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．实数a在数轴对应点的位置如图所示，则﹣|3﹣a|＝（ ）
A．5 B．﹣5 C．﹣1 D．2a﹣5
5．下列各图是一些常用图形的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列句子，是命题的是（ ）
A．美好的未来 B．相等的角是同位角
C．作线段AB＝CD D．你喜欢运动吗？
7．如图，AB是⊙O的直径，C、D是上的三等分点，则∠A+∠D＝（ ）
A．120° B．95° C．105° D．150°
8．下列各点在反比例函数图象上的是（ ）
A．（﹣1，16） B．（1，﹣16） C．（﹣2，8） D．（4，4）
9．如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，同时点Q沿边AB，BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动，当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动．设点P出发x秒时，△PAQ的面积为ycm2，y与x的函数图象如图②，则下列四个结论，其中正确的有（ ）
①当点P移动到点A时，点Q移动到点C
②正方形边长为6cm
③当AP＝AQ时，△PAQ面积达到最大值
④线段EF所在的直线对应的函数关系式为y＝﹣3x+18
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
二．填空题（共8小题，满分24分）
11．一元二次方程x＝x2的根是 ．
12．一个长方形场地的周长为160米，长比宽的2倍少1米．如果设这个场地的宽为x米，那么可以列出方程为 ．
13．如图，O为坐标原点，矩形OABC中，A（﹣8，0），C（0，6），将矩形OABC绕点O旋转60°，得到矩形OA′B′C′，此时直线OA′与直线BC相交于P．则点P的坐标为 ．
14．设x0是关于x的方程x2+1﹣＝0的正数解，若1＜x0＜2，则实数k的取值范围为 ．
15．已知y1＝﹣x+3，y2＝3x﹣5，则当x满足条件 时，y1＜y2．
16．已知直角坐标平面内两点A（﹣3，4）和B（1，2），那么这两点之间的距离AB＝ ．
17．已知：如图，四边形ABCD中，∠BAD＝45°，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC和BD，若BD＝3，则AC＝ ．
18．如图，反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝x+2的图象交于A、B两点．当x满足 时，y1＜y2．
三．解答题（共8小题，满分96分）
19．（10分）先化简，再求值：，其中a是方程的解．
20．（10分）解不等式组，写出所有符合条件的正整数值．
21．（10分）将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率．
（1）取出的1张卡片数字恰为2的倍数的概率是 ；
（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“1”．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
22．（10分）今年是中国共产党建党100周年，某中学开展党史知识比赛，九年级（1）班、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．
（1）根据图示填写表格：
班级 中位数 平均数 众数
九（1）班 85 85
九（2）班 85
（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；
（3）如果规定成绩较稳定的班级胜出，你认为哪个班级能胜出？说明理由．
23．（12分）如图，△ABC的外接圆⊙O的直径为AC，P是⊙O上一点，BP平分∠ABC，连接PO、PC．
（1）求证：∠PBC＝∠OPC；
（2）过点P作⊙O的切线，与BC的延长线交于点Q，若BC＝2，QC＝3，求PQ的长．
24．（14分）已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；
（2）如图，若点M是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N；
①设点M的横坐标为m，用含m的式子表示出MN的长，并求出MN的最大值及此时M点的坐标；
②过点M作MD⊥MN，交抛物线于点D，是否存在点M使△DMN为等腰直角三角形？若存在，求出点M的横坐标m的值；若不存在，说明理由；
（3）点E为x轴正半轴上一点，直接写出使△ACE为等腰三角形的点E的坐标．
25．（15分）在矩形ABCD中，E是射线BA上一动点，过B作BG⊥CE于H，交AD于G．
（1）如图1，求证：；
（2）将线段BG沿着BC方向平移得到对应线段FI，交CE于T．
①如图2，I是AD中点，连接EI，若AD＝2AB，∠AEI＝∠BEC，求证：CF＝2BE；
②如图3，BC＝6，CD＝3，若点E在射线BA上运动，线段BG沿着BC方向平移得到对应线段FI的过程中，满足BF＝2DI，连接AT，求AT的最小值．
26．（15分）如图，一次函数y＝k1x+1的图象与反比例函数y＝点的图象相交于A、B两点，点C在x轴正半轴上，点D（1，﹣2），连接OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时，x的取值范围；
（3）设点P是直线AB上一动点，且S△OAP＝S菱形OACD，求点P的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：∵与y互为倒数，
∴y＝5．
故选：D．
2．解：0.00075＝7.5×10﹣4；
故选：A．
3．解：式子2x2y，﹣5，a，是单项式，
故选：B．
4．解：由图知：1＜a＜2，
∴a﹣2＜0，3﹣a＞0，
原式＝|a﹣2|﹣|3﹣a|
＝2﹣a﹣（3﹣a）
＝2﹣a﹣3+a
＝﹣1．
故选：C．
5．解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
6．解：A、美好的未来，没有做出判断，不是命题；
B、相等的角是同位角，是命题；
C、作线段AB＝CD，没有做出判断，不是命题；
D、你喜欢运动吗？没有做出判断，不是命题；
故选：B．
7．解：∵C、D是上的三等分点，
∴，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠BOD＝60°，∠A＝60°，
∵OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠D＝60°，
∴∠A+∠D＝120°，
故选：A．
8．解：因为k＝xy＝16，符合题意的只有（4，4），即k＝xy＝4×4＝16．
故选：D．
9．解：①∵点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，
同时点Q沿边AB，BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动，
当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动．
当点P移动到点A时，点Q移动到点C．
所以①正确；
②根据函数图象可知：
当2AP＝AQ时，△PAQ面积达到最大值为9，
设正方形的边长为a，
设正方形的边长为a（a＞0），
则△PAQ面积的最大值＝×a×a＝9，
解得：a＝6，解得a＝±6（﹣6舍去）
所以正方形的边长为6cm，
所以②正确；
③当2AP＝AQ时，△PAQ面积达到最大值，
所以③错误；
④∵当x＝3时，y＝9，当x＝6，时，y＝0，
代入y＝kx+b中，
得：，
解得k＝﹣3，b＝18，
所以线段EF所在的直线对应的函数关系式为y＝﹣3x+18．
所以④正确．
所以正确的结论有3个．
故选：C．
10．解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN周长的最小值．作DA延长线AH，如图所示．
∵∠DAB＝120°，
∴∠HAA′＝60°，
∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝60°．
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×60°＝120°．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分24分）
11．解：∵x＝x2，
∴x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
则x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
故答案为：x1＝0，x2＝2．
12．解：设这个场地的宽为x米，那么它的长为 （2x﹣1）米，
根据题意可列方程：2（x+2x﹣1）＝160，
故答案为：2（x+2x﹣1）＝160．
13．解：如图，矩形OABC绕点O旋转60°，可能顺时针旋转，也可能逆时针旋转，所以有两种可能，见图．
∵∠AOP1＝60°，∠AOC＝90°，
∴∠COP1＝30°，
在RT△COP1中，∵OC＝6，∠COP1＝30°，
∴CP1＝2，
∴点P1坐标为（﹣2，6），根据对称性，P1、P2关于y轴对称，
∴P2坐标（2，6）．
故答案为（﹣2，6）或（2，6）．
14．解：把x＝1代入方程x2+1﹣＝0得到k＝2，
把x＝2代入方程x2+1﹣＝0得到k＝10，
方程的解可以理解为函数y＝x2+1的图象与函数y＝的图象的交点的横坐标，
由图象可知，2＜k＜10．
15．解：由题意得：﹣x+3＜3x﹣5，
解得x＞2，
故答案为x＞2．
16．解：∵点A（﹣3，4），B（1，2），
∴AB＝＝2．
故答案为：2．
17．解：取AC的中点O，连接BO，DO，如图所示：
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴OB＝OD＝AC＝OA＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA，
∴∠BOC＝∠OAB+∠OBA＝2∠OAB，∠COD＝∠OAD+∠ODA＝2∠OAD，
∵∠BAD＝45°，
∴∠OAB+∠OAD＝45°，
∴∠BOD＝2（∠OAB+∠OAD）＝2×45°＝90°，
∴△BOD是等腰直角三角形，
∵BD＝3，
∴OB2+OD2＝BD2＝2，
∴OB＝OD＝3，
∴AC＝6．
故答案为：6．
18．解：解方程组得：或，
即A的坐标为（1，3），B的坐标为（﹣3，﹣1），
所以当﹣3＜x＜0或x＞1，y1＜y2．
故答案为：﹣3＜x＜0或x＞1．
三．解答题（共8小题，满分96分）
19．解：∵a是方程的解，
∴a2﹣a﹣＝0，
∴a﹣a2＝﹣
＝{}÷﹣a2
＝÷﹣a2
＝×﹣a2
＝a﹣a2，
∴代数式的值为﹣．
20．解：解不能等式﹣3（x﹣3）≤4﹣x，得：x≥，
解不等式＞x﹣2，得：x＜7，
则不等式组的解集为≤x＜7，
所以不等式组的正整数解为3、4、5、6．
21．解：（1）取出的1张卡片数字恰为2的倍数的概率是＝，
故答案为：；
（2）到表如下：
1 2 3 4
1 1，1 1，2 1，3 1，4
2 2，1 2，2 2，3 2，4
3 3，1 3，2 3，3 3，4
4 4，1 4，2 4，3 4，4
共有16种等可能的结果，至少有1张卡片的数字为“1”的结果有7种，
∴P（至少有1张卡片的数字为“1”）＝．
22．解：（1）由图可知九（1）班5名选手的复赛成绩为：85、75、80、85、100，
∴九（1）班5名选手的复赛成绩的平均数为×（85+75+80+85+100）＝85，
九（2）班5名选手的复赛成绩为：70、100、100、75、80，从小到大排列为：70、75、80、100、100，
∴九（2）的中位数为80，众数为100；
班级 中位数 平均数 众数
九（1）班 85 85 85
九（2）班 80 85 100
（2）九（1）的复赛成绩较好．
因为两个班的平均数相同，九（1）班的中位数高，所以九（1）班的复赛成绩较好；
（3）九（1）班成绩稳定些，能胜出，
理由：S12＝×[（85﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，
S22＝×[（70﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2+2×（100﹣85）2]＝160，
因为70＜160，
所以九（1）班成绩稳定些，能胜出．
23．解：（1）∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，
∵OP＝OC，
∴∠OPC＝∠OCP，
∵∠OCP＝∠ABP，
∴∠OPC＝∠ABP，
∴∠PBC＝∠OPC；
（2）∵△ABC的外接圆⊙O的直径为AC，
∴∠ABC＝90°．
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC＝∠ABC＝45°，
∴∠OPC＝∠PBC＝45°，
∵OP＝OC，
∴∠OPC＝∠OCP＝45°，
∴∠POC＝90°．
又∵PQ是⊙O的切线，
∴∠OPQ＝90°，
∴∠OPQ+∠POC＝180°，
∴OC∥PQ，
∴∠CPQ＝∠OCP，
又∵∠ABP＝∠OCP，
∴∠CPQ＝∠PBC，
∵∠Q＝∠Q，
∴△PCQ∽△BPQ，
∴＝，
∴PQ2＝CQ BQ，
∵BC＝2，QC＝3，
∴BQ＝5，
∴PQ＝＝．
∴PQ的长为．
24．解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝3，
∴﹣＝3，解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4．
当y＝0时，﹣ x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝8，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．
答：抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）；
（2）①当x＝0时，y＝﹣x2+x+4＝4，
∴点C的坐标为（0，4）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（8，0），C（0，4）代入y＝kx+b得：
，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．
设点M的坐标为（m，﹣ m2+m+4），则点N的坐标为（m，﹣ m+4），
∴MN＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣4）2+4，
∴当m＝4时，MN的最大值是4，
∵点M是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），
∴0＜m＜8，
∴此时M点的坐标为（4，6）．
答：用含m的式子表示出MN的长为﹣m2+2m，MN的最大值是4，此时M点的坐标为（4，6）；
②∵MD⊥MN，
∴∠DMN＝90°，
∴当DM＝MN时，△DMN为等腰直角三角形，
点M在对称轴右侧时，如图：
∵MD⊥MN，交抛物线于点D，MN∥y轴，抛物线的对称轴是直线x＝3，点M的横坐标为m，
∴DM＝2（m﹣3），∠DMN＝90°，
∴当DM＝MN时△DMN为等腰直角三角形，
∵MN的长为﹣m2+2m，
∴2（m﹣3）＝﹣m2+2m，解得：m＝2或﹣2（舍去），
∴m＝2；
点M在对称轴左侧时，如图：
∵MD⊥MN，交抛物线于点D，MN∥y轴，抛物线的对称轴是直线x＝3，点M的横坐标为m，
∴DM＝2（3﹣m），∠DMN＝90°，
∴当DM＝MN时△DMN为等腰直角三角形，
∵MN的长为﹣m2+2m，
∴2（3﹣m）＝﹣m2+2m，解得：m＝8﹣2或8+2（舍去），
∴m＝8﹣2；
∴存在，点M的横坐标m的值为2或8﹣2；
（3）∵点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，4）．
∴OA＝2，OC＝4，AC＝＝2，
①当点E为x轴正半轴上一点，AC＝CE时，如图，
∵OC⊥AE，
∴OE＝OA＝2，
∴点E的坐标为（2，0）；
②当点E为x轴正半轴上一点，AC＝AE时，如图：
AE＝AC＝2，则点E的坐标为（2﹣2，0）；
③当点E为x轴正半轴上一点，AE＝EC时，如图：过点E作EH⊥AC于H，
∴∠AHE＝∠AOC＝90°，AH＝AC＝，
∵∠EAH＝∠CAO，
∴△AHE∽△AOC，
∴＝，即，
∴AE＝5，
∴OE＝5﹣2＝3，
则点E的坐标为（3，0）；
故点E的坐标为：（2，0）或（2﹣2，0）或（3，0）．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠ABG+∠AGB＝90°，
∵BG⊥CE，
∴∠BHE＝90°，
∴∠ABG+∠BEC＝90°，
∴∠AGB＝∠BEC，
∴△ABG∽△BCE，
∴，
∴；
（2）①证明：如图2，∵∠A＝∠B，∠AEI＝∠BEC，
∴△AIE∽△BCE，
∴＝，
∴BE＝2AE，
过点I作IH⊥BC于H，则∠IHF＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
由平移知，FI⊥CE，
∴∠ETF＝90°，
∴∠BEC+∠BFI＝360°﹣∠B﹣∠ETF＝180°，
∵∠BFI+∠IFH＝180°，
∴∠BEC＝∠IFH，
∵∠AEI＝∠BEC，
∴∠AEI＝∠HFA，
∵I是AD中点，
∴AD＝2AI，
∵AD＝2AB，
∴AI＝AB，
∵∠A＝∠B＝∠IHB＝90°，
∴四边形ABHI是矩形，
∴IH＝AB，
∴矩形ABHI是正方形，
∴AB＝BH＝AI＝IH，
∴△AIE≌△HIF（AAS），
∴AE＝HF，
∴CF＝HF+CH＝AE+BH＝AE+AB＝AE+AB＝AE+AE+BE＝2AE+BE＝2BE；
②解：如图3，
连接BD，交IF于P，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BCD＝90°，
在Rt△BCD中，BC＝6，CD＝3，
∴BD＝3，
∵AD∥BC，
∴△DPI∽△BPF，
∴＝，
∴DP＝，
∵点P在BD上，
∴点P是定点，
连接CP，
∵FI⊥CE，
∴∠CTP＝90°，
∴点T是以CP为直径的圆上，记圆心为点O，连接OA交⊙O于T'，此时，AT最小为AT'＝AO﹣OP，过点P作PK⊥CD于K，
∴PK∥BC，
∴△DKP∽△DCB，
∴＝，
∴PK＝ BC＝6＝2，DK＝ CD＝，
∴CK＝2，
∴CP＝4，
过点O作OM⊥CD于M，
∴OM是△CPK的中位线，
∴OM＝1，
则DN＝1，
∴AN＝5，ON＝DM＝2，
∴OA＝＝，
∴AT'＝OA﹣OT'＝﹣2，
即AT的最小值﹣2．
26．解：（1）如图，连接AD，交x轴于点E，
∵四边形AODC是菱形，
∴AD⊥OA，AE＝DE，EC＝OE，
∵D（1，﹣2），
∴OE＝1，ED＝2，
∴AE＝DE＝2，EC＝OE＝1，
∴A（1，2），
将A（1，2）代入直线y＝k1x+b可得m+1＝2，
解得m＝1，
将A（1，2）代入反比例函数y＝可得2＝，
解得：k2＝2；
∴一次函数的解析式为y＝x+1；反比例函数的解析式为y＝；
（2）联立直线与反比例解析式得：，
消去y得：x+1＝，
解得：x＝1或x＝﹣2，
将x＝﹣2代入y＝x+1得：y＝﹣2+1＝﹣1，即B（﹣2，﹣1），
则反比例函数值大于一次函数值时，x的取值范围为：x＜﹣2或0＜x＜1；
（3）∵OC＝2OE＝2，AD＝2DE＝4，
∴S菱形OACD＝OC AD＝4，
∵S△OAP＝S菱形OACD，
∴S△OAP＝2，
设P点坐标为（a，a+1），AB与y轴相交于F，
则F（0，1），
∴OF＝1，
∵S△OAF＝×1×1＝，
当P在A的左侧时，S△FOP＝a OF＝a＝S△OAP﹣S△OAF＝2﹣＝，
∴a＝﹣3，a+1＝﹣2，
∴P（﹣3，﹣2），
当P在A的右侧时，S△FOP＝a OF＝a＝S△OAP+S△OAF＝2+＝，
∴a＝5，a+1＝6，
∴P（5，6），
综上所述，点P的坐标为（﹣3，﹣2）或（5，6）．
