九年级综合测试 数学试题
一、选择题(每小题2分,共12分)
1.如图是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是（ ）
2.若两个相似三角形的相似比是4: 9，则其面积之比是（ ）
A.2：3 B.4:9 C.9: 4 D.16: 81
3.下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
4.若将抛物线y=x2一1向下平移3个单位长度后所得的抛物线记为G，则抛物线G对应的y与x之间的函数关系式为（ ）
A.y= (x-- 3)2 B.y=(x+3)2- 1
C.y= x2-4 D.y= x2+2
5.如图,已知AB是⊙O的直径,C、D是⊙0上的两点，若∠ ABD = 60°，则∠BCD等于( )
A.54° B. 56° C.30° D.46°
6.如图某村准备在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5m.那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A.5cosam B. m C.5sinam D.m
二、填空题(每小题3分,共24分)
7.计算:sin260°=
8.若一元二次方程x2一x十m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是
9.如图，a//b//c,若=，DF=12，则BD的长边为
10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.若sinA=,则tanA =
11.如图，点A在双曲线y =上，AB⊥y轴于点B,若SΔABO=3，则k=
12.如图①，西周数学家商高用“矩”测量物高的方法:把矩的两边放置成如图②的位置，从矩的一端A(人眼)望点E,使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG的长,即可算得物高EG ，经测量,得CD= 60cm,AD= 120cm,AB = 1.5m. 设BG= x(m),EG = y(m),则y与x之间的函数关系式为
13.如图，在菱形ABCD中，∠A= 60°，AB= 3，分别以A、B、C、D为圆心，边长为半径画弧。得到一个眼状图形，则阴影部分的面积为 (结果保留π),
14.如图,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB'C'D' ,连接CC' ,使点B'落在CC'上，AB交CD于点H，若AB = 4,AD= 3,则AH的长为
三、解答题(每小题5分,共20分)
15.计算:·cos45° - sin30° + tan2 60°.
16.抛掷一枚质地均匀的普通硬币,仅有两种可能的结果:“出现正面"或“出现反面”正面朝上记2分，反面朝上记1分，小明抛掷这枚硬币两次，用画树状图或列表的方法,求两次分数之和等于3的概率。
17.把一定体积的钢锭拉成钢丝，钢丝的总长度y(m)是其横截面积x(mm2) 的反比例函数,其图象如图所示。
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当钢丝总长度不少于80m时,钢丝的横截面积最多是多少mm2
18. 如图，在一块矩形空地的相邻两边修宽度相等的小路(阴影部分),其余部分绿化，若矩形的长为30米，宽为20米。绿化部分的面积为504平方米，求小路的宽度。
四、解答题(每小题7分,共28分)
19.图①、图②均是6X6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中,分别按下列要求画图保留作图痕迹。
(1)在图①中画△ABC的中位线DE，使点D、E分别在边AB、BC上;
(2)在图②中画ΔABC的高线BF.
20.如图在矩形ABCD中，E为边BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F，
(1)求证:△ADF∽△EAB；
(2)若AB=4，BC=6,求EF的长。
21.如图,AB是⊙0的直径，点E在⊙0上，连接AE和BE,BC平分∠ABE交⊙0于点C，过点C作CD⊥BE交BE的延长线于点D，连接CE.
(1)判断直线CD与⊙0的位置关系,并说明理由;
(2)若CD= ,BC = 2,求弧AC的长(结果保留π).
22.安装了软件"Smart Measure"的智能于机可以测量物高，其数学原理是:该软件通过测量手机离地面的高度，物体底端的俯角和顶端的仰角即可知道物体高度.如图2.小明测得大树底端C点的俯角a为20°，D点的仰角β为60° .点A离地面的高度AB=1.5m，求大树CD的高(结果精确到0.1米，参考数据:sin20°≈0. 34，cos20°≈0.94,tan20°≈0. 36,≈1. 73,≈2. 24).
五、解答题(每小题8分,共16分)
23. 如图，抛物线y= ax2+bx +c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，抛物线的对称轴为直线x=1,其中点A的坐标为(-3,0).
(1)求点B的坐标;
(2)已知a= 1,C为地物线与轴的交点，求抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，若点P在抛物线上，且SΔPOC=4SΔBOC，求点P的坐标。
24. [题目]如图①.在矩形ABCD中,AD=2AB,F是AB延长线上一点，且BF =AB，连接DF，交BC于点E，连接AE.试判断线段AE与DF的位置关系.
[探究展示]小明发现，AE垂直平分DF ,并展示了如下的证明方法:
证明:∵BF= AB,∴AF = 2AB. ∵AD=2AB;∴AD= AF.∵四边形ABCD是矩形，
∴AD // HC.∴= (依据1).∵BF = AB, ∴=1.∴DE = EF.∵AD= AF,
∴AE⊥DF(依据2),∴AE垂直平分DF.
[反思交流](1)上述证明过程中的“依据1”是
“依据2”是
(2)小颖受到小明的启发，继续进行探究如图②,连接图①中的CF，将CF绕点C顺时针旋转90°得到CG,连接EC.求证:点G在线段BC的垂直平分线上;
[拓展应用]如图③,将图②中的CF绕点F顺时针旋转90°得到FH.分别以点B、C为圆心.m为半径作弧，两弧交于点M,连接MH.若MH=AB= 1.直接写出m的值.
六、解答题(每小题10分，共20分)
25.如图，在ABC中，∠C= 9O°.AC =4.AB=5,点D为边AI上的点，且BD=1.动点P从点A出发(点P不与点A、C重合)，沿AC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动,同时点Q从点C出发，以相同的速度治折线CB - BD向终点D运动，以DP、DQ为邻边构造 PEQD，设点P运动的时间为t(0
(2)当点E落在AC边上时,求t的值;
(3)设 PEQD的面积为S(S>0)，求S与t之间的函数关系式；
(4)连接PQ，直接写出PQ与心ABC的边平行时t的值。
26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2 +bx +c(b、c是常数)经过点(0,-4).其对称轴是直线x= 1.点A在这个抛物线上，其横坐标为m.点B、C的坐标分别为(m.2- m)、(1- m，2 - m)，点D在坐标平面内，以A、B、C、D为顶点构造矩形ABCD.
(1)求该抛物线对应的函数关系式;
(2)当点A、B重合时，求m的值;
(3)当抛物线的最低点在矩形ABCD的边上时,设该矩形与抛物线交点的纵坐标之差为h(h> 0),求h的值；
(4)当该抛物线在矩形ABCD内部的部分的图象对应的函数值y随x增大而减小时，直接写出m的取值范围.
参考答案
一、1.B 2.D) 3.B 4.C 5.C 6.B
二、7.
8.m<
9.6
10.
11.6
y=x+1.5
3π
三.15.
16.解:画树状图如图.
由树状图知两次分数之和等于3的概率是.
17.解:(1)由图象得，反比例函数图象经过点(+.32).设y与工的函数关系式是y =,则=32，解得k=128.∴y与x的函数关系式是y =
(2)当y=80时，即= 80,解得x= 1.6(mm2),∴钢丝的横截面积最多为1.6mm2.
18.解:设小路的宽为x米，由题意，得(30-x)(20-x) = 504，解得x1 = 2，x2 = 48.经检验,x2 = 48不符合本题要求，舍去.x1 = 2符合本题要求.
答:小路的宽为2米.
四、19.解:(1)如图①.
(2)如图②.
20. (1)证明:∵四边形ABCD为矩形,DF⊥AE.∴∠B=∠AFD= 90°.AD // BC,
∴∠AEB =∠DAF,∴ΔADF ∽ΔEAB.
(2)解:∵E为边BC的中点.BE=EC=3.在Rt△ABE中,由勾股定理，得AE=5, ∵△A DF∽ΔEAB,∴= ,∴=，∴AF= 3.6,
∴EF = AE-AF = 5-3.6= 1.4.
21.解:(1)CD与⊙0相切，理由如下:连接0C,∵0C = OB..∠OCB =∠0BC,
:BC平分∠ABD，∠DBC=∠OBC,.∠OCB=∠DBC,oc // BD. :CD
⊥BE.:∠BDC= 90°.:0C !/ BD..∠OCD= 90°，又:0C是半径，.CD与
00相切.
(2) π
22.解:如图，过点A作AE⊥CD于点E，在Rt△ACE中，AB=CE =1. 5m,由tan20°=，得AE≈4.17.在Rt△ADE中，由tan60° =,得DE≈7.21,∴CD=CE+DE= 1.5+7.21= 8.71≈8.7(m).
答:大树CD的高约为8.7米.
五、23.解:(1)点B的坐标为(1,0);
(2)y= x2+2x- 3.
(3)∵二次函数的解析式为y= 给x2+2x-3,∴抛物线与y轴的交点C的坐标为(0，一3),0C=3.设点P的坐标为(r,x2 +2x-3)，∵SΔpoc= 4SΔBOC,∴X3X|x|=4XX3Xl. ∴| x|= 4.∴x=士4.当x=4时.x2+2x-3= 16+8-3 =21;当x=1时,x2 +2x-3= 16-8-3=5.∴点P的坐标为(4,21)或(-4,5).
24.[反思交流](l)两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例;等腰三角形的三线合一.
(2)由旋转，得∠GCF=90°,CF=CG.∠BCF+∠ECG=90°，∵四边形ABCD是矩形，点F在AB的延长线上，∠CBF =∠ABC=∠GCF= 90°.
∴∠BCF+∠BFC= 90°.∴∠BFC=∠ECG.在Rt△ADF中,AE是DF的中垂线，∴DE = EF,∵AB = BF,∠EBA = 90°，∴AB = BE= CE= BF,∴ΔGEC≌△CBF,∴∠GEC =∠CBF = 90°.∴点G在BC的垂直平分线上.
[拓展应用]m=或m= .
六、25.解:(1)3.
(2)当点E落在AC边上时，DQ // AC,∴=,∴=,∴t =
(3)当0
26.解:(1)y= x2-2x-4.
(2)2-m = m2-2m-4.解得m1 = 3,m2 =- 2.
(3)y= x2-2x-4配方，得y=(x-1)2-5.∴顶点的坐标为(1,-5).①当点A是该抛物线的顶点时，则m= 1.∴点B、C的坐标分别为(1,1)(0,1).∴h =-4-(-5) = 1.②当抛物线的顶点在边BC上时，2一m=一5，解得m=7.∴点A的坐标分 别为(7,31).∴h =31- (-5) = 36.
(4)m的取值范围为≤m<-2,
