泸州市龙马高中高 2022 级高一下第一次月考
数学试题（参考答案）
选择题 1-8．C A C A A C C B 9．BD 10．AC 11．ABC 12．BC
7．【分析】由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据的图象变换规律，可得结论．
【详解】解：由函数（其中，的图象可得，，求得．再根据五点法作图可得，求得，函数．故把的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，故选．
8．【分析】利用三角函数的单调性与周期性的关系及周期公式，结合三角函数的最值即可求解.【详解】因为在上单调，所以，即,则，
由此可得．
因为当，即时，函数取得最值，
欲满足在上存在极最点，
因为周期，故在上有且只有一个最值，
故第一个最值点，得，
又第二个最值点，
要使在上单调，必须，得．
综上可得，的取值范围是．故选：B．
12．【分析】根据三角恒等变换求得的解析式，对于A，取特殊值，，即可得出判断，对于B，求出的表达式，由三角函数的奇偶性即可判断，对于C，当时，求得，结合正弦函数单调性即可判断；对于D，令，则，由题意解得，由此即可判断．
【详解】由题意得函数，
对于A，当时，，但不是的整数倍，A错误；
对于B，是偶函数，B正确；
对于C，当时，，
由正弦函数在上单调递减，知在上为减函数，C正确；
对于D，令，则，
即，由，解得，
因为，所以，因此在区间上有20个零点，D错误，
故选：BC
填空题
13． 14． 15． 16．3
16．【分析】根据三角函数知识求出，再根据必要条件的概念列式可解得结果.
【详解】函数f（θ）＝2θ.
当θ∈时，,所以，
所以，即，
若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则B A．
所以，所以，
∴b﹣a的最小值是3．故答案为：3．
三、解答题
17．解：(1)由已知得；
∵，∴；
(2)∵，∴，
当集合时，，即；.
当集合时，，即，
综上所述，实数的取值范围为.
18．解：设点坐标为，则，
因为点在第二象限，所以，
点坐标为.
（2）解：由诱导公式可得
由（1）知，所以，
所以.
19．解：（1）根据二次不等式的解集与系数的关系可得和是方程的两根，故，解得，由韦达定理有，解得.
故，
（2）在上恒成立，即恒成立.当时满足题意，当时，恒成立，因为，当且仅当时取等号.故，即的取值范围为.
20.解：（1）依题意，，
设，则，
即扇形圆心角的大小为.
（2）连接，设，过作，垂足为，
在中，，
所以，
设四边形的面积为，
则
，
由于，
所以当时，取得最大值为（平方米）.
所以当是的中点时，裁下的钢板符合要求，最大面积为平方米.
21．解：函数f（x）＝4sin（x）cosx．
化简可得：f（x）＝2sinxcosx﹣2cos2x
＝sin2x（cos2x）
＝sin2xcos2x
＝2sin（2x）
（1）函数的最小正周期T，
由2x时单调递增，
解得：
∴函数的单调递增区间为：[，]，k∈Z．
（2）函数g（x）＝f（x）﹣m所在[0，]匀上有两个不同的零点x1′，x2′，
转化为函数f（x）与函数y＝m有两个交点
令u＝2x，∵x∈[0，]，∴u∈[，]
可得f（x）＝sinu的图象（如图）．
从图可知：m在[，2），函数f（x）与函数y＝m有两个交点，
其横坐标分别为x1′，x2′．
故得实数m的取值范围是m∈[，2），
由题意可知x1′，x2′是关于对称轴是对称的：
那么函数在[0，]的对称轴x
∴x1′+x2′2
那么：tan（x1′+x2′）＝tan
22．解；(1)因为函数是一个奇函数，
所以，即，
可得，即，
则，得或．此时定义域为R，满足题意.
(2)①因为，所以．函数，定义域为，
因为与在定义域上单调递增，所以在上单调递增．
②对任意实数x，恒成立，，
由①知函数在上单调递增，
可得在上恒成立．
因为，
所以，即．
于是正整数m的最小值为3．泸州市龙马高中高 2022 级高一下第一次月考
数学试题
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名考号、姓名、班级填写在答题卡。
2. 回答选择题时，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目所选的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后再涂黑。回答非选择题，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.总分 150 分，建议答题不超过 120 分钟;考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的．）
1．已知集合 A 1,5 ，B 1,5,7 ，则 A B =（ ）
A． 1,5,7 B． 1,1,5,7 C． 5 D． 1,5
2． sin160 cos10 cos20 sin10 的值是（ ）
A 1
1
． 2 B
3 3
． C． D．
2 2 2
3．若 sin
1
，则 cos2
3
（ ）
2 4
1
A 2． 3 B
1
． 2 C． D．03
4．在自然界中，存在着大量的周期函数，比如声波，若两个声波随时间的变化规律分别为：
y1 4sin(100 t), y2 4cos(100 t)，则这两个声波合成后即 y y1 y2 的振幅为（ ）
A．4 2 B．8 C．4 D．8 2
1
5．已知 ,
0, ， sin
5
， cos ，则 （ ）
2 5 10
3
A． B． C． D． 或
4 4 4 4 4
6．函数 y sin(2x )的图象的一个对称轴方程是（ ）
4
x A． B ． x C． x D． x
8 4 8 4
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7．某正弦型函数的图像如图，则该函数的解析式可以为（ ）．
y 2sin( x ) y 2sin( x 5 A． B． )
2 6 2 12
y 2sin(3x 3 3x C． ) D． y 2sin( )
2 4 2 4
8．若函数 f x sin x π 0 π π 在 , π
上单调，且在 0, 上存在最值，则 的取
3 2 4
值范围是（ ）．
1A ,2
2 7
． B． ,
3 3 6
2 1 7
C． ,2 D．3
,
3 6
二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．）
9．下列叙述不正确的是（ ）
A．若a b 0，则 a2 b2
B．“ a b ”是“ ln a lnb ”的充分不必要条件
C．命题 p： x R ， x2 0，则命题 p的否定： x R ， x2 0
D．函数 f x 4 x 的最小值是 4
x
π
10．为了得到函数 f (x) sin 3x 的图象，只需将函数 g(x) sin x的图象（ ）
6
1 π
A．所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再将所得图象向右平移 个单位长度
3 18
π
B．所有点的横坐标伸长到原来的 3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移 个单位长度
18
π 1
C．向右平移 个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
6 3
π 1
D．向右平移 个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
18 3
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11．下列说法正确的有（ ）
A．若函数 f x x 的图象经过点 2, 4 ，则函数 f x 是偶函数
x
B．函数 f x 2 1 为奇函数
2x 1
C．函数 f x loga x 1 1（a 0且 a 1）的图像恒过定点（2，1）
D．函数 f x 2x2 4 x 3的递减区间是 , 1 0,1
12 1．已知函数 f x 3 sin x cosx cos 2x ，则下列选项中结论正确的是（ ）
2
1
A．由 f x1 f x2 可得 x1 x2是 π的整数倍2
B．函数 f x
π
为偶函数
3
C．函数 f x π π 在 , 为减函数 3 2
D．函数 f x 在区间 0,10π 上有 19个零点
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．）
13．求值： cos2 75 sin2 75 ___________．
sin cos
14．已知 tan 2，则 _____________．
3cos sin
15．函数 y tan x 3 的定义域为______．
16．记集合 A＝[a，b]，当θ∈ , 时，函数 f（θ）＝26 4 3 sin cos 2cos
2 θ的值域为 B，
若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则 b﹣a的最小值是________．
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知集合 A {x∣2 x 6},B {x∣0 x 4},C {x∣m 1 x 2m 1} .
(1)求 A B， R (A B)；
(2)B C C，求实数 m的取值范围.
18．（12分）已知 A,B是单位圆O上的点，点A是单位圆与 x轴正半轴的交点，点 B在第二
AOB sin 3象限，记 且 .
5
(1)求点 B的坐标；
sin sin
(2) 求 2 的值.
4tan
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19．（12 2分）已知函数 f x x a 1 x 1．
(1)若关于 x的不等式的 f x 0的解集是 x m x 2 ，求 a，m的值；
(2)设关于 x不等式的 f x 0在 0,1 上恒成立，求实数 a的取值范围．
π
20．（12分）如图所示，有一块扇形钢板 OPQ，面积是 平方米，其所在圆的半径为 1米，
6
(1)求扇形圆心角的大小；
(2)现在钢板 OPQ上裁下一块平行四边形钢板 ABOC，要求使裁下的钢板面积最
大.设 AOP ，试问如何确定 A的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大
面积为多少？
21．（12分）已知函数 f x 4sin x cos x 3．
3
（1）求函数 f x 的最小正周期和单调递增区间；
g x f x m （2）若函数 所在 0, 上有两个不同的零点2 x
m
1
，x2 ，求实数 的取值范围，
并计算 tan x 1 x2 的值．
22 2．（12分）已知函数 f x ln 1 x ax 是奇函数．
(1)求实数 a的值；
(2)当 a 0时，
①判断 f x 的单调性（不要求证明）；
2
②对任意实数 x，不等式 f sin x cos x f 3 2m 0恒成立，求正整数 m的最小值．
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