必修第二册 4.1.2 指数函数的性质与图像
一、选择题（共17小题）
1. 若指数函数 在 上是减函数，则 的取值范围是
A. B. C. D.
2. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A. B. C. D.
3. 已知 （ ， 为常数）的图象经过点 ，则 值域为
A. B. C. D.
4. 定义在 上的函数 和 严格递增，且 ，若对任意 ，存在 ，，使得 成立，则称 是 在 上的“ 函数”．若 ，则下列四个命题：
① 是 在 上的“ 函数”；
②若 是 在 上的“ 函数”，则 ；
③ 是 在 上的“ 函数”；
④当 时，存在 ，使得 是 在 上的“ 函数”．
其中正确命题有
A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③
5. 射线测厚技术原理公式为 ，其中 ， 分别为射线穿过被测物前后的强度， 是自然对数的底数， 为被测物厚度， 为被测物的密度， 是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅 （）低能 射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为 ，钢的密度为 ，则这种射线的吸收系数为（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到 ）
A. B. C. D.
6. 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 （ 的单位：天）的 模型：，其中 为最大确诊病例数．当 时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（）
A. B. C. D.
7. 若指数函数 是减函数，则下列不等式中，能够成立的是
A. B. C. D.
8. 函数 的图象如图所示，其中 ， 为常数，则下列结论正确的是
A. ， B. ， C. ， D. ，
9. 若函数 ，，，，则下列图象正确的是
A. B.
C. D.
10. 函数 与 （ 且 ）关于
A. 轴对称 B. 原点对称
C. 轴对称 D. 直线 对称
11. 设 ，，，则 ，， 的大小关系是
A. B. C. D.
12. 若 ， ，则函数 的图象一定经过
A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限
C. 第二、三、四象限 D. 第一、二、四象限
13. 函数 （ 且 ）的图象必经过点
A. B. C. D.
14. 函数 的值域为
A. B. C. D.
15. 已知 是函数 的一个零点，若 ，，则
A. ， B. ，
C. ， D. ，
16. 已知 ，当 时，有 ，则必有
A. ，， B. ，，
C. D.
17. 函数 （ 且 ），对于任意实数 ， 都有
A. B.
C. D.
二、填空题（共6小题）
18. 设 ，则二次函数 的最大值为 ．
19. 已知函数 是指数函数，若 ，则 ．（用“”“”或“”填空）
20. 当 时，不等式 恒成立，则正数 的取值范围是 ．
21. 已知 ，若函数 满足： 对任意 都成立，则实数 的取值范围是 ．
22. 已知 若对于任意 ，，， 的值总可以作为某一个三角形的三边长，则实数 的取值范围是 ．
23. 已知函数 的零点 ，且 ，，，则 ．
三、解答题（共8小题）
24. 已知函数 的图象经过点 ，其中 ，且 ．
（1）求 的值；
（2）求函数 的值域．
25. 已知函数 ，，，，解答下列问题：
（1）在同一直角坐标系中作出上述函数的大致图象．
（2）分别计算当 时，上述函数各自的函数值．
26. 设 ，．计算 与 ， 与 ， 与 的值，从中你能得到什么结论
27. 设在海拔 米处的大气压强是 帕， 与 之间的函数关系式是 ，其中 ， 为常量．已知某地某天在海平面的大气压强为 帕， 米高空的大气压强为 帕，求 米高空的大气压强．（结果保留 个有效数字）．
28. 已知函数 的图象恒过定点 ，求 的值．
29. 已知函数 ，．
（1）当 时，求 的值域
（2）若对于任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围
30. 已知函数 的图象关于原点对称．
（1）求 的值．
（2）判断函数的单调性（不需证明）．
31. 已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）当 有最大值，且最大值大于 时，求 的取值范围．
答案
1. C
2. D
【解析】易知 与 是偶函数， 是奇函数．
3. C
【解析】由 过定点 可知 ，
因 在 上是增函数，
所以 ；
．
4. B
【解析】①当 时，，，若 ，由 的单调性知，，与 矛盾；故①错误，
②显然 时，，当 时，，
若 ，则 恒成立（如图 ），
若 ，则 ，故②正确（根据选择支提供的信息，可以不判断）；
③因为 ，所以 ，则当 时， 无解，
所以 不成立，故③错误，
④由上述判断知④成立，
事实上，因为 ，设 ，即 ，此时 ，
当 时，判别式 ，即方程有两个不同的根，假设比较大的根为 ，
则在 时，存在 使得 ，即 ，
即存在 ，，使得 成立，故④正确（如图 ）．
5. C
【解析】依题意得 ，所以 ，
所以 ．
6. C 【解析】因为 ，
所以 ，则 ，
所以 ，解得 ．
7. C
8. D
【解析】由 的图象可以观察出，函数 在定义域上单调递减，所以 ．
函数 的图象是在 的基础上向左平移得到的，所以 ．
9. A
10. C
11. A
12. A
13. D
14. D
15. B
16. D
【解析】根据题意画出函数图象，
A．三个不可能都小于 ，因为都为负数时，函数单调递减即 时，得不到 ；
B． 的符号不一定为正，还可以为负；
C．因为 ，所以 ，故错误；
D．根据函数图象可知：，，所以 ， 且 ，所以 ．
17. C
18.
19.
【解析】设 （ 且 ），
则 ，，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，，
所以 ．
20.
21.
22.
23.
【解析】因为 在 上单增，
在 上单增，
所以 在 上单增，
，
，
所以 ，
所以零点 ，
所以 ，，
所以 ．
24. （1） 因为函数图象经过点 ，
所以 ，
所以 ．
（2） ，由 ，得 ，
．
函数 的值域为 ．
25. （1） 如图所示：
（2） 当 时，，，，．
因此，当 时，上述函数的函数值依次为 ，，，．
26. ，，
，，
，．
结论：从以上计算的结果看，当两个函数的自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于 轴对称．
27. 把 ，，代入 ，得 ，所以 ．
把 ，，代入 ，得 ，从而 ．
解得 ．
所以当 时，．
因此在 米高空的大气压强为 帕．
28. 因为 时，，
所以 的图象恒过定点 ，
所以 ，即 ．
29. （1） ．
（2） 在 上 恒成立 恒成立．
解法一：设 ，，由 可知其在 上是严格增函数，当 时，，于是当且仅当 时函数 恒成立，故 ，即 的取值范围是 ．
解法二： 恒成立 恒成立，设 ，，
所以 ，即 的取值范围是 ．
30. （1） ．
（2） 在 上严格单调递增．
31. （1） 的定义域为 ，，
若 ，则 ，
所以 是 上的严格增函数；
若 ，则当 时 ，
当 时 ，
所以 是 上的严格增函数，是 上的严格减函数．
（2） 由（）知，当 时， 在 上无最大值；
当 时， 在 取得最大值，
最大值为 ，
因此 等价于 ，
令 ，则 在 上单调递增，，
于是，当 时，；当 时，，
所以 的取值范围是 ．
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