第三单元 长方体和正方体解决问题（提升卷）
2023年春五年级数学下册期中重难点易错题专项突破
一、解答题
1．一个棱长4分米的正方体无盖空水箱。华华不小心在这个水箱的侧面扎了一个洞，洞口下沿距水箱底部2.2分米（如下图），如果往这个空水箱中缓慢地注入32升水，那么水是否会由这个洞口溢出？（水箱厚度忽略不计）
2．南街小学修一个沙坑，沙坑的长为9米，宽为3米，在沙坑里铺一层50厘米的沙土，需要多少立方米的沙土？
3．一个长方体沙坑，长8m、宽2.5m、深0.5m，一辆车每次运送1.5m3的沙土，至少需要运多少次才能填满这个沙坑？
4．把一个所有棱长之和为144厘米的正方体实心铁块熔铸成一个长为9厘米，宽为6厘米的长方体实心铁块，这个长方体实心铁块的高是多少厘米？
5．一个棱长20厘米的正方体玻璃缸，里面装满水，现在将水倒入一个长20厘米，宽16厘米，深30厘米的空长方体玻璃缸中，水面离缸口有多少厘米？
6．有一个棱长是9分米的正方体钢锭，要把它熔铸成一个底面是正方形，底面周长是12分米的长方体钢材，钢材长是多少米？
7．一个长方体容器有水若干，从里而量长8分米，宽5分米，高4分米，水深2.5分米。如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，这个长方体容器里的水溢出多少升？
8．一个长方体的玻璃缸，从里面量长是8dm，宽是6dm，高是4dm，水深为3.2dm。如果在缸内放入一个不规则形状的铁块（完全浸没），缸里的水溢出11.6L，那么这个铁块的体积是多少立方分米？
9．把一个棱长8分米的实心正方体钢坯熔铸成一个长16分米，宽4分米的实心长方体钢坯，这个实心长方体钢坯的高是多少分米？
10．小亮家要砌一道长20米，厚0.24米，高3米的砖墙。如果每立方米用砖500块，一共要用多少块砖？
11．一个水槽长20厘米、宽10厘米、高8厘米，先往水槽加水，此时水深3厘米；再往水里放一块石头浸没在水里，水深变成5厘米。求这块石头的体积？
12．如图，现有空的长方体容器A和水深24厘米的长方体容器B（单位：厘米）。
（1）如果将容器B中的水全部倒入容器A，容器A中的水深会是多少厘米？
（2）如果将容器B中的水倒一部分给容器A，使两容器中水的高度相同。这时水深是多少厘米？
13．阳光小学新建的长方形跳远沙池，长6米，宽3米。工程队运来5.4立方米沙子，刚好把沙池填满，这个沙池有多深？
14．一个底面长和宽都是2分米的长方体玻璃容器里面有5.6升水，若将一个苹果浸没在水中时水深15厘米，这个苹果的体积是多少立方分米？（玻璃的厚度忽略不计）
15．一个长方体鱼缸，长70厘米，宽50厘米，蓄水深30厘米。现将一块景观石完全浸没水中后，水面上升了4厘米。求这块景观石的体积。
16．一根长1米的长方体木料平均截成3段，表面积增加了60平方厘米。这根木料的体积是多少立方厘米？
17．一个正方体容器，棱长为20厘米，现装有深度为12厘米的水。在沉入一个物体后水面上升到18厘米，请你算出这个物体的体积。
18．一个底面积是1.5平方分米的玻璃鱼缸里有一块石头（完全浸没在水中），水深18厘米，拿出石块后水面下降到15厘米，这块石头体积是多少？
19．如图，将一个正方体的高增加3厘米，它的表面积就增加了84平方厘米，原来正方体的体积是多少？
20．一个长方体的容器（如图），里面的水深5厘米。把这个容器盖紧，竖放后使长10厘米、宽8厘米的面朝下，这时里面的水深多少厘米？
21．有甲、乙两个无盖的长方体水箱，甲水箱装满水，乙水箱空着。从里面量，宽32cm，水深20cm，宽24cm，深25cm。将甲水箱中的部分水倒入乙水箱，现在水深多少厘米？
22．一个棱长10cm的正方体容器内水深5厘米，奇思想要测量一颗玻璃弹珠的体积，他把10颗玻璃弹珠放入水中，测得这时水深大约5.2厘米。平均每颗玻璃弹珠的体积大约是多少？
23．一个长方体容器，底面长4厘米、宽2厘米，高1.5厘米，放入一个土豆后水面提升了0.2厘米，求这个土豆的体积是多少？
24．用玻璃做一个无盖的长方体水槽，这个水槽长5分米、宽3分米，高2分米。
（1）做这个水槽至少需要多少平方分米的玻璃？
（2）在这个水槽里放进一块体积为6立方分米的石头后（石头能完全放进水槽），再放在一个水龙头下，打开水龙头开关，水均匀地流出来。如果水龙头每分钟流出800毫升的水，那么多长时间能将这个水槽灌满水？
25．学校新规划了一个跳远场地，其中一个沙坑长8米，宽2.5米现打算在沙坑里铺一层60厘米厚的沙子，需要多少立方米的沙子？如果一辆车每次运送2.5立方米的沙子，至少需要运多少次？
参考答案
1．水不会由这个洞口溢出。
【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据求出高是2.2分米的长方体水箱的体积，再化成升，再和32升进行比较，大于32升，水会溢出，小于32升，水就不会溢出，据此解答。
【详解】4×4×2.2
＝16×2.2
＝35.2（立方分米）
35.2立方分米＝35.2升
35.2＞32，水不会溢出。
答：水不会有这个洞口溢出。
熟记长方体体积公式以及体积单位的换算是解答本题的关键。
2．13.5立方米
【分析】长方体体积＝底面积×高。据此先将单位统一，再将数据代入公式，求出需要多少立方米的沙土。
【详解】50厘米＝0.5米
9×3×0.5
＝27×0.5
＝13.5（立方米）
答：需要13.5立方米的沙土。
本题考查了长方体的体积，熟记长方体体积公式是解题的关键。
3．7次
【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出求出需要沙的体积，然后用需要沙的体积除以每次运沙的体积即可。
【详解】8×2.5×0.5÷1.5
＝20×0.5÷1.5
＝10÷1.5
≈7（次）
答：至少需要运7次才能填满这个沙坑。
此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，“包含”除法的意义及应用，关键是熟记公式。
4．32厘米
【分析】根据体积的意义可知，把正方体铁块熔铸成长方体铁块，体积不变，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，那么棱长＝棱长总和÷12，据此求出正方体的棱长，再根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷ab，把数据代入公式解答。
【详解】144÷12＝12（厘米）
12×12×12÷（9×6）
＝144×12÷54
＝1728÷54
＝32（厘米）
答：这个长方体实心铁块的高是32厘米。
此题主要考查正方体的棱长总和公式、体积公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
5．5厘米
【分析】根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出这个正方体玻璃缸里水的体积，再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，高＝体积÷（长×宽），代入数据，求出正方体玻璃缸的水倒入长方体玻璃缸后的高度，再用长方体玻璃缸的高度－倒入水后水的高度，即可解答。
【详解】30－20×20×20÷（20×16）
＝30－400×20÷320
＝30－8000÷320
＝30－25
＝5（厘米）
答：水面离缸口5厘米。
解答本题的关键明确正方体玻璃缸中的水的体积倒入长方体玻璃缸后体积没有变化。
6．81分米
【分析】根据正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出这个正方体钢锭的体积；再根据正方形周长公式：周长＝边长×4，边长＝周长÷4；代入数据，求出熔铸后长方体钢材的宽和高；再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；长＝体积÷（宽×高），代入数据，即可解答。
【详解】12÷4＝3（分米）
9×9×9÷（3×3）
＝81×9÷9
＝729÷9
＝81（分米）
答：钢材长是81分米。
本题考查正方体体积公式、长方体体积公式以及正方形周长公式的应用，关键是熟记公式，灵活运用。
7．4升
【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，分别求出这个长方体的容器的体积和水深2.5分米时长方体容器内水的体积；再根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体铁块的体积，再用长方体容器内水的体积＋正方体铁块的体积，再减去长方体容器的体积，即可求出水溢出的体积，即可解答。
【详解】4×4×4＋8×5×2.5－8×5×4
＝16×4＋40×2.5－40×4
＝64＋100－160
＝164－160
＝4（立方分米）
4立方分米＝4升
答：这个长方体容器里的水溢出4升。
熟记长方体体积公式和正方体体积公式是解答本题的关键，注意单位名数的换算。
8．50立方分米
【分析】铁块的体积＝长方体的体积－原有水的体积＋溢出的水的体积，长方体的体积：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。
【详解】11.6升＝11.6立方分米
8×6×（4－3.2）＋11.6
＝48×0.8＋11.6
＝38.4＋11.6
＝50（立方分米）
答：这个铁块的体积是50立方分米。
本题考查了测量不规则物体体积的方法，注意单位名数的换算。
9．8分米
【分析】把正方体钢坯铸成长方体后体积不变，首先根据正方体的体积公式：V＝a3，求出钢坯的体积，再根据长方体的体积公式：V＝abh，用钢坯的体积除以长方体的底面积即可求出高。
【详解】8×8×8÷（16×4）
＝512÷64
＝8（分米）
答：这个实心长方体钢坯的高是8分米。
此题主要考查正方体、长方体的体积公式的灵活运用。
10．7200块
【分析】先根据V＝abh求出砖墙的体积，再乘500即可求出一共要用的砖的块数。
【详解】20×0.24×3×500
＝4.8×3×500
＝14.4×500
＝7200（块）
答：一共要用7200块砖。
本题考查了长方体体积的计算，需熟练掌握长方体体积公式。
11．400立方厘米
【分析】如果物体浸没在水里，且水没有溢出容器，则物体体积＝水面升高部分体积＝水面升高高度×容器底面积；据此解答。
【详解】20×10×（5－3）
＝200×2
＝400（立方厘米）
答：这块石头的体积是400立方厘米。
此题考查了探索某些实物体积的测量方法，本题关键是明白：将物体放入或取出，水面上升或下降的水的体积就是物体的体积。
12．（1）12厘米
（2）8厘米
【分析】（1）根据长方体的体积公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，用容器B中的水的体积除以容器A的底面积即可求出水深。
（2）根据题意，可设两个容器的水深同为x厘米，则容器A中水的体积是（40×30×x）立方厘米，B容器中水的体积是（30×20×x）立方厘米，根据两个容器内水的体积等于原来B容器中水的体积，可得方程：40×30×x＋30×20×x＝30×20×24，解此方程即可。
【详解】（1）30×20×24÷（40×30）
＝600×24÷1200
＝14400÷1200
＝12（厘米）
答：容器A中的水深会是12厘米。
（2）解：设两个容器的水深同为x厘米。
40×30×x＋30×20×x＝30×20×24
1200x＋600x＝14400
1800x＝14400
1800x÷1800＝14400÷1800
x＝8
答：这时水深是8厘米。
此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。
13．0.3米
【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷a÷b，把数据代入公式解答。
【详解】5.4÷6÷3
＝0.9÷3
＝0.3（米）
答：这个沙池有0.3米深。
此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
14．0.4立方分米
【分析】求苹果的体积就是上升水的体积，可以先求出放入苹果后水的体积，再减去原有水的体积，即苹果的体积，由此即可列式解答。
【详解】5.6升＝5.6立方分米
2×2×1.5
＝4×1.5
＝6（立方分米）
6－5.6＝0.4（立方分米）
答：这个苹果的体积是0.4立方分米。
此题主要考查求不规则物体的体积，关键是理解不规则物体的体积等于上升水的体积。
15．14000立方厘米
【分析】现将一块景观石完全浸没水中后，水面升高了，升高水的体积就是这块景观石的体积，升高的部分是一个长70厘米，宽50厘米，高4厘米的长方体，根据长方体的体积公式：V＝abh进行计算即可。
【详解】70×50×4
＝3500×4
＝14000（立方厘米）
答：这块景观石的体积是14000立方厘米。
此题主要考查特殊物体体积的计算方法，将物体放入或取出水中，水面上升或下降的体积就是物体的体积。
16．1500立方厘米
【分析】由题可知：一根长1米的长方体木料平均截成3段，需要锯2次，每锯一次就会多出2个长方体的横截面，由此可得锯成3段后表面积增加了4个横截面的面积，再根据“表面积增加了60平方厘米”即可求出这根木料的底面积，而木料的高也就是木料的长度已知，从而利用长方体的体积公式V＝Sh，代入数据即可求得木料的体积。
【详解】1米＝100厘米
60÷4×100
＝15×100
＝1500（立方厘米）
答：这根木料的体积是1500立方厘米。
利用长方体的切割方法得到切割后增加的表面积情况，是解决此类问题的关键。
17．2400立方厘米
【分析】根据题意可知，水面上升部分的体积就是这个物体的体积，根据正方体体积公式：体积＝底面积×高，即底面积×水面上升的高度，代入数据，即可解答。
【详解】20×20×（18－12）
＝400×6
＝2400（立方厘米）
答：这个物体的体积是2400立方厘米。
本题考查不规则物体的体积计算，把不规则的物体的体积化为规则物体的体积进行解答。
18．450立方厘米
【分析】根据题意可知，水面下降部分的体积就是这个石头的体积，根据长方体体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。
【详解】1.5平方分米＝150平方厘米
150×（18－15）
＝150×3
＝450（立方厘米）
答：这块石头体积是450立方厘米。
本题考查不规则物体的体积的计算方法，注意单位名数的统一。
19．343立方厘米
【分析】由于高增加3厘米，那么相当于增加了4个侧面的面积，由于长和宽相等，说明4个侧面的面积一样，4个侧面的面积是84平方厘米，则一个面的面积是：84÷4＝21（平方厘米），由于宽是3厘米，那么长是：21÷3＝7（厘米），再根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，把数代入公式即可求解。
【详解】84÷4＝21（平方厘米）
21÷3＝7（厘米）
7×7×7
＝49×7
＝343（立方厘米）
答：原来正方体的体积是343立方厘米。
本题主要考查正方体的体积以及长方体的表面积公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。
20．12.5厘米
【分析】正放时长方体容积的长是20厘米、宽是10厘米，水深5厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出容器内水的体积；因为这个容器是盖紧的，所以无论正放还是竖放，容器内水的体积不变；竖放时，容积的长是10厘米，宽是8厘米，根据长方体的高＝体积÷（长×宽），求出此时水的深度。
【详解】20×10×5＝1000（立方厘米）
1000÷（10×8）
＝1000÷80
＝12.5（厘米）
答：这时里面的水深12.5厘米。
抓住立体图形等积变形中的“体积不变”以及灵活运用长方体的体积公式是解题的关键。
21．12.8厘米
【分析】根据长方体的容积（体积）公式：V＝abh，先求出甲水箱中有水多少立方厘米，要求现在两个水箱中水的高度，用水的体积除以甲、乙两个水箱的底面积之和就是现在水的深。
【详解】40×32×20÷（40×32＋30×24）
＝1280×20÷（1280＋720）
＝25600÷2000
＝12.8（厘米）
答：现在水深12.8厘米。
此题主要考查长方体容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。
22．2立方厘米
【分析】根据题意可知，水面上升的部分的体积就是10颗玻璃弹珠的体积，根据正方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，高是（5.2－5）厘米水的体积，即10颗弹珠的体积，再除以10，即可求出平均每颗玻璃弹珠的体积。
【详解】10×10×（5.2－5）÷10
＝100×0.2÷10
＝20÷10
＝2（立方厘米）
答：平均每颗玻璃弹珠的体积大约是2立方厘米。
本题考查不规则物体的体积的计算，关键明确，水面上升部分的体积就是10颗玻璃弹珠的体积。
23．1.6立方厘米
【分析】根据题意可知，水面提升的0.2厘米的体积就是土豆的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。
【详解】4×2×0.2
＝8×0.2
＝1.6（立方厘米）
答：这个土豆的体积是1.6立方厘米。
本题考查不规则物体的体积的计算，关键明确水面提升部分的体积就是土豆的体积。
24．（1）47平方分米
（2）30分钟
【分析】（1）已知这个长方体水槽无盖，所以需要玻璃的面积等于这个长方体的一个底面与4个侧面的总面积，灵活运用长方体的表面积公式：即求出它的5个面的总面积。
（2）根据长方体的体积（容积）公式：，求出这个长方体水槽的容积减去这块石头的体积就是剩余空间，然后要剩余的空间除以每分钟注水的体积就是需要的时间。
【详解】（1）
＝15＋20＋12
＝35＋12
（平方分米）
答：做这个水槽至少需要47平方分米的玻璃。
（2）800毫升立方分米
＝（30－6）
＝24
＝30（分钟）
答：30分钟能将这个水槽灌满水。
此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
25．12立方米，5次
【分析】由于铺60厘米后的沙子，则沙子的形状相当于一个长方体，需要多少立方米的沙子，则是求长方体的体积，根据长方体的体积公式：长×宽×高，把数代入公式即可求解；之后用沙子的体积除以2.5即可出要运多少次，要注意统一单位。
【详解】60厘米＝0.6米
8×2.5×0.6
（立方米）
12÷2.5≈5（次）
答：需要12立方米的沙子，至少需要运5次。
本题主要考查长方体的体积公式以及小数除法的计算方法，要注意最后的结果用进一法求解。
