2023 年 3 月湖北省部分重点高中联考
高二数学试卷
参考答案
1-4. BCAA 5-8. CDCB 9. BD 10. BC 11. AB 12. BCD
13. 8 14. 3 3 15. 3 2 16. 34800
2 2
21 7
17．【答案】(1) (2) x2证明见解析 4 和 64x
【详解】(1)由第 2，3，4项的二项式系数依次成等差数列得 2C 2 C1 3n n Cn
解得 n 2（舍去）或n 7
1 7 r r r 7 r 1 1 14 3r r x 的展开式的通式为T C x C x 4
2 4 x
r 1 7 2 4 x 7 2
14 3r 14
令 0，得 r N ，故展开式中没有常数项；
4 3
14 3r
(2)令 Z4 ，则 r 2或 r 6
2
1 14 6T C2 21
6
2 6
1 1 7
3 7 x 4 x ，T2 4 7
C7 x
2 64x
21 7
所以展开式中的有理项为T x23 和T7 4 64x
18．【答案】(1)729； (2)2023 22022.
n
【详解】(1)设 f x 1 2x a 2 n *0 a1x a2x anx ， n N ，
1 2x n的展开式通项为T rr 1 Cn 2x
r Cr 2r xrn ，
所以，a 2 2 2 2 Cn 2 2n n 1 60，即 n n 30 0， n N ，解得n 6，
所以， f x 1 2x 6 a0 a1x a x22 a6x6
a0 a1 a2 a6 a0 a1 a2 a6 f 1 f 1 36 1
6 729 .
(2)因为 1 + 2023 = + + 2 + + 20230 1 2 2023
两边求导，得：2023 1 + 2022 = 1 + 2 2 + 3 3 2 + + 2023 20222023
令 = 1，有 1 + 2 2 + 3 3 + + 2023 20222023 = 2023 2
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又因为 1 + 2023二项展开式中 2023 = 2023= 2023 = 2023 ，
所以 2022 + 2 2021 + 3 2020 + + 2023 0
= 20221 + 2 2 + 3 3 + + 2023 2023 = 2023 2
19 3 2．【答案】（1） f x x 6x 9x 4；（2）1 m 5
【详解】（1）由 f x x3 3ax2 bx a2可得 f x 3x2 6ax b，
因为 f x x3 3ax2 bx a2在 x= 1时有极值 0，
f 1 0 3 6a b 0 a 1 a 2
所以
f 1 0
，即
1 3a b a
2 0，解得 b 3或 b 9
，
当 a 1，b 3时， f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0，
函数 f x 在 R上单调递增，不满足在 x= 1时有极值，故舍去，
当a 2，b 9时满足题意，所以常数 a，b的值分别为a 2，b 9，
f x x 3 6x 2所以 9x 4．
（2 3 2）由（1）可知 h x x 6x 9x m 5，
h x 3 x2 4x 3 3 x 1 x 3 ，
令 h x 0，解得 x1 1， x2 3，
∴当 x 3或 x 1时， h x 0，当 3 x 1时， h x 0，
∴ h x 的递增区间是 , 3 和 1, ，单调递减区间为 3, 1 ，
当 x 3时， h x 有极大值 m 5；当 x= 1时， h x 有极小值1 m，
m 5 0
要使函数 h x 有三个零点，则须满足 1 m 5
1 m 0
，解得 ．
20.【答案】(1)单调递增区间为 ( , 1)和 (1, )，单调递减区间为 1,1
(2) a > 4
【详解】（1）当 a 1时， f (x) x3 3x 1, x R．
由 f (x) 3x2 3，令 f (x) 0，解得 x 1或 x 1；
令 f (x) 0，解得 1 x 1．
所以 f (x)的单调递增区间为 ( , 1)和 (1, )，单调递减区间为 ( 1,1)．
（2）易知原点 O不在函数 f (x)的图像上，设切点为 (t, f (t))(t 0)．
f (t)
求导得 f (x) 3x2 2(a 1)x 3，则 f (t)t ，
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t3 (a 1)t2 3t 1
即 3t2 2(a 1)t 3，整理得2t3 (a 1)t2 1 0，
t
1
所以1 a 2t
t 2
，
令 g(t) 2t
1 2
2 (t 0)，则 g (t) 2 ，t t3
令 g (t) 0，解得 t 0或 t 1；令 g (t) 0，解得 1 t 0，
所以函数 g(t)在区间 ( , 1)上单调递增，在 ( 1,0)上单调递减，在 (0, )上递增，
故当 t 0时， g(t)max g( 1) 3；
当 t 时， g(t) ； t 0时， g(t) ，
当 t 0时， g(t)的取值范围为R．
f (t)
而过原点 O可作三条直线与 f (x)的图像相切，则 f (t)有三个不相等的实数
t
根，也就是直线 y 1 a与函数 y g(t)的图象有三个交点，则有1 a 3，即 a 4．
21.【答案】(1)当a 0时，函数 f x 在 0, 单调递增，
1 1
当a 0
时，函数 f x 在 x 0, 上单调递增，函数 f x 在 x , a 上单调递减； a
(2)a 3 .
【详解】（1）因为函数 f x ln x ax 2(a R, x 0)，
所以 f x
1
a
x ，
当a 0时， f x 1 a 0，所以函数 f x 在 0, 单调递增，
x
f x 1 1当a 0时，另 a 0，得 x ，
x a
x 当 0,
1
时， f x
1
a 0
a ，所以函数
f x 单调递增，
x
x 1 , 当 时， f x
1
a 0
a ，所以函数
f x 单调递减，
x
综上所述，当a 0时，函数 f x 在 0, 单调递增，
1a
1
当 0时，函数 f x 在 x 0, a 上单调递增，在
x , a 上单调递减；
（2）若不等式 f (x) g(x)恒成立，则有 f (x) g(x) 0，
即 ln x ax 2 xex x a(x 1) 0，
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化简得 a xex ln x x 2，
x
设函数 h x xe ln x x 2， x 0，
h x 1 1 ex xex 1 x 1 ex
x x ，
h x 0 1令 得 ex 0，即 ex 1 ，
x x
所以存在 x0 0, ，使得 h
1
x0 0 x成立，所以 e 0 x ，①，0
x ln 1且 0 ln xx 0 ，即
ln x0 x0，②，
0
当 x 0, x0 时， h x 0， h x 单调递减，
当 x x0 , 时， h x 0， h x 单调递增，
所以 h x h x x x0min 0 0e ln x0 x0 2，
代入①②，可得 h x x
1
x x 2 3
min 0 x 0 0 ，0
要使得 a h x 恒成立，则 a h x min即可，
所以 a 3 .
22.【答案】(1)最大值为： 2e3 3e，最小值为： e
(2)证明见解析
x
【详解】（1）当a e时，可得： f x x 1 e e x .
求导，可得： f x x ex e， f 1 0 .
x
设 g x x e e，求导可得： g x x 1 ex .
当 1 x 3时， g x 0， g x 在 1,3 上单调递增，即 f x 在 1,3 上单调递增.
又 f 1 0，可得：当 x 1,1 时， f′ x 0；当 x 1,3 时， f′ x 0；
故 f x 在区间 1,1 上单调递减，在区间 1,3 上单调递增.
3
可得： f x f 1 e， f x max f 1 , f 3 f 3 2e 3emin max .
故函数 f x 在区间 1,3 上的最大值与最小值分别为： 2e3 3e， e .
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（2）对 f x 求导，可得： f x x ex a .
由（1）可知， f x 在区间 , 1 上单调递减，在区间 1, 上单调递增.
要使函数 f x 有两个极值点，则方程 x ex a 0必有有两个零点 1， 2( 1 < 2)
令 h x x ex， h 0 0，可得： h x x 1 ex .
故 h x h 1 1 ，当 x无限趋近 时， h xmin 无限趋近 0 .e
1
可得： a 0，且 x x 0 .
e 1 2
由方程 x ex a 0，可得： ln x x ln a .
即关于 x的方程 ln x x ln a 由两个不同的实数根 1， 2( 1 < 2 < 0).
令T x ln x x 1，可得：T x 1.
x
故T x 在区间 , 1 上单调递增，在区间 1,0 上单调递减.
1
可得： x1 1 x2 0，所以 1x .2
S x T x T 1 2ln x x 1令 （ x 0）， S 1 0x . x
2
可得： S x 1 1
0，即 S x 在区间 1,0 上单调递增.
x
故当 x 1,0 时， S x 0 .
1
可得：T x1 T x2 T .
x2
1
根据T x 函数的单调性，可得：0 x1 x ，即 x1x2 1，.2
故 x1x2 1.
数学答案第 5页，共 5页2023年 3月湖北省部分重点高中联考
高二数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；
2．请将答案正确填写在答题卡上。
第 I卷（选择题）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每个小题给出的选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．某城市新修建的一条道路上有 12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常
的照明，可以熄灭其中的 4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两
盏灯，则熄灯的方法有( )
A． 4 B． 4 C． 4 D． 48 7 12 11
2. 直线 = 分别与直线 = 、曲线 = 4 ln 交于点 A, B，则 的最小值
为( )
1
A． ln 3 B 1 ln 3． 2 C．1 ln3 D．2 ln32
3. 园林高中三月开展“学雷锋践初心，喜迎两会”志愿活动．现有 4名男同学和 3
名女同学，分配到 3个“学雷锋志愿服务站”参加志愿活动，若每个志愿服务站至
少有男、女同学各 1名，则不同的分配方案种数为( )
A．216种 B．108种 C．72种 D．36种
4. 若函数 f (x) 2x2 ln x在其定义域的一个子区间 (2k 1,k 1)内不是单调函数,
则实数 k的取值范围是( )
A 1 , 3 B [3 , ) C [1 , 2) D 1 3 ． ． ． ． , [来 2 4 4 2 2 4
5. 已知定义在R上的偶函数 f (x)的导函数为 f x ，若 ( 1) = 0，且当 x 0时，
有 2 f (x) xf (x) 0，则使得 f (x) 0成立的 的取值范围是( )
A．( ∞, 1) ∪ (1, + ∞) B．( 1,0) ∪ (1, + ∞)
C．( 1,0) ∪ (0,1) D．( ∞, 1) ∪ (0,1)
6．若 x4 (x 1)7 a a (x 2) a (x 2)2 a (x 2)7 ，则a0 1 2 7 2 ( )
A．45 B．27 C．15 D．3
ex7. 已知函数 f x 2 2a lnx ax 存在唯一的极值点，则实数 a的取值范围为( )x
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2 2 2 2 2 2A． , B． , C． ∞, D． , +∞
4 4 4 4 4 4
8．已知定义在R上的函数 y f x ，当 x 0时， f x 0， f x 为其导函数，且
满足 f x f x 恒成立，若 0 < a < 1，则3 f 0 ， f a ，af 1 三者的大小关系
为( )
A．af 1 f a 3 f 0 B．3 f 0 f a af 1
C．3 f 0 af 1 f a D． f a 3 f 0 af 1
二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每个小题给出的选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的 5分，部分选对的 2分，有选错的 0分。
9. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、
“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设 6天，则下列结论正
确的是( )
A．从六门课程中选两门的不同选法共有 20种
B．课程“数”不排在最后一天的不同排法共有 600种
C．课程“乐”、“射”、“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有 72种
D．课程“礼”、“书”排在相邻两天的不同排法共有 240种
10. 下列四个关系式中，一定成立的是( )
A m 1
n 1 !
．A B．Am nAm 1n 1 m n ! n n 1
C．3C38 2C25 148 D．C3 3 3 34 C5 C6 C10 328
11. 已知 f (x) x2 x ln x 2, g(x) f (x) ex ,则( )
A.函数 f (x)在[1,1] 27上的最大值为 3 B. x 0, f (x)
4 16
C.函数 g(x)的极值点有 2个 D.函数 g(x)存在唯一零点 x∈(3,4)
12．已知函数 f (x) x 4 2，则( )
x
A． f (x)的值域为[6, )
B．直线3x y 6 0是曲线 y f (x)的一条切线
C． f (x 1)图象的对称中心为（1，2）
D．方程 f 2 (x) 5 f (x) 14 0有三个实数根
试卷第 2页，共 4页
第 II卷（非选择题）
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13. 跳格游戏：如图所示，人从格外只能进入第 1格，在格中每次可向前跳 1格
或 2格，那么人从格外跳到第 6格可以有________种办法．
14. 函数 = 2sin + sin2 在 0, 上的最大值为_________．
15. 若点 P是曲线 y＝x2－lnx上任意一点，点 Q是直线 3 = 0上任意一
点，则 的最小距离为_________.
16. 某区突发新冠疫情，为抗击疫情，某医院急从甲、乙、丙等 9名医务工作者
中选 6人参加周一到周六的某社区核酸检测任务，每天安排一人，每人只参加一
天．现要求甲、乙、丙至少选两人参加．考虑到实际情况，当甲、乙、丙三人都
参加时，按照乙、甲、丙先后顺序排列而不一定相邻，那么不同的安排数为
__________．（请算出实际数值）
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。
n
17 1 ．（10分）在 x n 3,n N * 的展开式中，第 2，3，4项的二项式系
2 4 x
数依次成等差数列．
(1)证明展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有的有理项．
18．(12分)(1)已知 1 + 2 = + 2 0 1 + 2 + + ( ∈ )，其中 2 = 60,
求( 0 + 1 + 2 + + ) 0 1 + 2 + 1 的值；
(2)设 1 + 2023 = 0 + 1 + 2 2 + + 20232023 ，求 2022 + 2 2021 + 3 2020
+ + 2023 0.
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19.（12 3 2 2分）已知函数 f x x 3ax bx a 在 x= 1时有极值 0．
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)记 h x f x m 1，若函数 h x 有三个零点，求实数 m的取值范围．
20.（12分）函数 f (x) x3 (a 1)x2 3x 1．
(1)当 a 1时，求函数 f (x)的单调区间；
(2)若过原点 O可作三条直线与 的图像相切，求实数 a的取值范围．
21.（12分）已知函数 f x ln x ax 2 a R , g x xex x a x 1 .
(1)求函数 f (x)的单调区间；
(2)若不等式 f (x) g(x)恒成立，求实数 a的取值范围.
22.（12分）已知函数 f x x 1 ex ax．
(1)当a e时，求函数在区间 1,3 上的最大值与最小值；
(2)若函数 f x 的两个极值点分别为 1， 2( 1 < 2)，证明： 1 2 < 1．
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