安徽省皖北名校2022-2023学年高二下学期3月联考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
2、在等差数列中，若，，则公差d等于( )
A.2 B.3 C.-2 D.-3
3、在等比数列中，，公比，则与的等比中项是( )
A.1 B.3 C. D.
4、已知等差数列的前n项和为，若，则( )
A.8 B.6 C.5 D.4
5、函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
6、已知等比数列中，，，则公比( )
A.3 B.2 C.3或2 D.2或-1
7、若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8、已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、在曲线上的切线的倾斜角为的点的横坐标可能为( )
A. B. C. D.
10、在正项等比数列中，已知，，其前n项和为，则下列说法中正确的是( )
A. B. C. D.
11、若函数的图象上不存在互相垂直的切线，则实数a的值可以是( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
12、如图，是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆(其直径为前一个剪掉半圆的半径)得图形，，…，，…，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
13、已知函数的导函数为，且满足，则__________.
14、已知等比数列满足，则数列的通项公式可能是__________.(写出满足条件的一个通项公式即可)
15、已知函数，若，则实数a的取值范围为____________.
16、南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，若某个二阶等差数列的前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第50项为____________.
四、解答题
17、已知的两个极值点分别为-1，2.
(1)求a，b的值；
(2)求函数在区间上的最值.
18、在①；②，，成等比数列；③.这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并进行解答.
已知各项均为正数的等差数列的首项，___________.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
19、已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
20、为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：，设为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和.
(1)求的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值.
21、已知各项均为正数的数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
22、已知函数.
(1)若，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)若存在整数a使得恒成立，求整数a的最大值.
(参考数据：，，，，，)
参考答案
1、答案：D
解析：该物体在时间段上的平均速度为，当无限趋近于0时，无限趋近于4，即该物体在时的瞬时速度为.
2、答案：C
解析：，解得.
3、答案：D
解析：因为，所以与的等比中项是.
4、答案：B
解析：，解得，所以.
5、答案：A
解析：由题意得，令，得，故函数的单调递增区间是.
6、答案：B
解析：因为，，所以，解得或(舍去).
7、答案：C
解析：因为有两个不同的极值点，所以在上有2个不同的零点，所以在有2个不同的实数根，所以解得.
8、答案：A
解析：等价于.令函数，则，故是增函数.所以等价于，即.令函数，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，故实数a的取值范围为.
9、答案：AD
解析：切线的斜率，设切点为，则，又，所以，所以.
10、答案：ABD
解析：设公比为q，，，A正确；，故B正确；，故C错误；，故D正确.
11、答案：AB
解析：因为函数，所以，当且仅当，即时，等号成立，因为函数的图象上，不存在互相垂直的切线，所以，即，解得.
12、答案：AC
解析：根据题意可得纸板相较于纸板剪掉了半径为的半圆，故，即，故，，，，…，，累加可得，所以，故A正确，C正确；又，故，即，又，，，…，，累加可得，故，故B，D错误.
13、答案：1
解析：由，解得.
14、答案：
解析：由，得，所以，所以，取，则(写出一个首项为-2的等比数列即可).
15、答案：
解析：因为恒成立，所以函数在R上单调递增，若，则，解得.
16、答案：1226
解析：高阶等差数列：1，2，4，7，11，16，22，…，令，则数列：1，2，3，4，5，6，…，数列为等差数列，首项，公差，，则，则.
17、答案：(1)，
(2)最大值为，最小值为
解析：(1)由题意可得：，
则解得
经检验，-1，2为函数的极值点，故，.
(2)由(1)知，.
令，解得或；令，解得，
则的递增区间为，，递减区间为，
因为，所以在上单调递增，在上单调递减，
则函数在区间上的最大值为，
又因为，，即，
则函数在区间上的最小值为，
故函数在区间上的最大值为，最小值为.
18、答案：(1)
(2)
解析：(1)选①，
设的公差为d，，
，
解得，
.
选②，
因为，，成等比数列，所以，
又，设的公差为，所以，解得或(舍)，
所以.
选③，
设的公差为d，，
，
即，，
.
(2)因为，
数列是首项为3，公比为3的等比数列，数列是首项为3，公差为3的等差数列，
所以.
19、答案：(1)
(2)
解析：(1)由，得，
所以，，，…，，，
累乘得，又，所以时，，
当时，，符合上式，
所以.
(2)由(1)，得，
所以.
20、答案：(1)
(2)当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为112万元
解析：(1)每年能源消耗费用为，建造费用为8x，
.
(2)，令得或(舍).
当时，，当时，.
在上单调递减，在上单调递增.
当时，取得最小值，
当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为112万元.
21、答案：(1)
(2)
解析：(1)由，知数列是以2为公差的等差数列.
又，所以，
解得或-11(舍去)，
所以.
(2)因为，
所以①，
②，
①-②得
，
.
22、答案：(1)
(2)整数a的最大值为0
解析：(1)时，，，
所以，，
所以函数的图象在点处的切线方程为，即.
(2)恒成立，即恒成立.
令，则，
令，则，
令，则，
所以函数在上递增，即函数在上递增，
又，则当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
又，，，
所以函数存在唯一的零点，且，此时，
则当时，，即，当时，，即，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
令，，则，，
所以函数在上递减，
所以，
又，，
所以，
又存在整数a使得恒成立，
所以整数a的最大值为0.
