山东省临沂市莒南县2021-2022学年高一下学期数学期中试卷
一、单选题
1．（2022高一下·莒南期中）已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．i B．－i C．1 D．－1
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意，，故虚部为1，
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z，再利用复数的虚部的定义，进而得出复数z的虚部。
2．（2022高一下·莒南期中）设直线若与是异面直线，与平行，则与的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．平行或异面 D．相交或异面
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】考虑正方体中，如图所示
直线看做直线，直线看做直线，即直线和直线是异面直线，
若直线看做直线，可得，平行，则，异面；
若直线看做直线，可得，平行，则，相交.
若，平行，由，平行，可得，平行，这与，异面矛盾，故，不平行.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、线线相交的判断方法、异面直线的判断方法，进而判断出直线b，c的位置关系。
3．（2022高一下·莒南期中）已知向量，，则为（ ）
A．－1 B．－2 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】因为向量，，
所以，，两式相减可得，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则，进而结合相减法得出的值。
4．（2022高一下·莒南期中）下图为青岛五四广场主题钢雕塑，由艺术家黄震设计，名为“五月的风”.该雕塑以单纯简练的造型元素排列组合成旋转腾空的“风”，通体火红，寓意五四运动是点燃新民主主义革命的“火种”及青岛与五四运动的渊源.雕塑形状可视为有公共底面的两个相同圆锥的组合体，且圆锥的底面半径和圆锥的高均为15米，据此可知的表面积为（ ）
A．平方米 B．平方米
C．平方米 D．平方米
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
【解析】【解答】由题意，半径，高，则母线，
所以圆锥的侧面积为，
所以的表面积为，
故答案为：B
【分析】由题意，半径，高，再利用勾股定理得出母线长，再结合圆锥的侧面积公式得出圆锥的侧面积，再结合组合体的表面积求解方法得出组合体的表面积。
5．（2022高一下·莒南期中）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】∵，则
又∵，则
∴，即，则
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合二倍角的正弦公式和诱导公式以及角的取值范围，进而得出角的正弦值，从而得出角的值，再结合正切函数的定义得出角的正切值。
6．（2022高一下·莒南期中）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数k的值可以为（ ）
A．－1 B． C．1 D．2
【答案】A
【知识点】数量积的坐标表达式；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】因为向量，，且与的夹角为锐角，
所以，且与不共线，
所以，解得且，
所以实数k的值可以为-1，
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合角的取值范围和数量积的坐标表示以及向量共线定理，进而得出实数k的取值范围，从而得出实数k可以的取值。
7．（2022高一下·莒南期中）筒车是一种以水流作动力，取水灌田的工具，是中国古代人民伟大的发明之一.如图，已知某个半径为6m的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转2圈，筒车轴心O距水面3m，设筒车上某个盛水筒P，以P刚浮出水面时开始计算时间，则盛水筒P出水后第一次到达最高点的时间（单位：s）为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】函数的周期性
【解析】【解答】过O做OQ垂直水面，为最高点，如图所示
由题意得，
所以，则，
所以，所以盛水筒P出水后第一次到达最高点要旋转，即为个周期，
又筒车每分钟匀速旋转2圈，可得周期为30秒，
所以盛水筒P出水后第一次到达最高点用时秒，
故答案为：D
【分析】过O做OQ垂直水面，为最高点，由题意得，再利用余弦函数的定义得出的值，再结合两角互补得出的值，所以盛水筒P出水后第一次到达最高点要旋转，即为个周期，再利用筒车每分钟匀速旋转2圈，可得周期为30秒，从而得出盛水筒P出水后第一次到达最高点用时时间。
8．（2022高一下·莒南期中）已知B，C为单位圆O上的两点，且，动点A在圆O上，则的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【知识点】数量积的坐标表达式；三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的最值
【解析】【解答】以圆心为原点，建立直角坐标系，画出单位圆，
如图所示，设，
过点向作垂线，垂足为，
因为，所以，则，所以，
则设点，
设点，
所以，，，，
所以
，
所以当，即时，的最大值为.
故答案为：A
【分析】以圆心为原点，建立直角坐标系，画出单位圆，设，过点向作垂线，垂足为，再结合和余弦函数的定义得出的值，从而得出的值，则设点，设点，再利用向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合数量积的坐标表示和辅助角公式化简函数为余弦型函数，再利用余弦型函数的图象求最值的方法得出的最大值。
二、多选题
9．（2022高一下·莒南期中）设a，b，c，为空间中三条不同的直线，，为空间中两个不同的平面，则下列结论正确的为（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
【答案】B,C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】对于A， 若，，则a，b可能平行也可能异面，A不符合题意；
对于B，若，，根据平行关系的传递性，可得，B符合题意；
对于C， 若，，，根据线面平行的性质定理可得，C符合题意；
对于D， 若，，，，当a，b相交时，，当a，b平行时，推不出，D不符合题意，
故答案为：BC
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、面面平行的判定定理，进而找出结论正确的选项。
10．（2022高一下·莒南期中）已知函数，则下列结论正确的为（ ）
A．的最小正周期为
B．是函数的一个单调递增区间
C．将图象上所有点的横坐标都拉伸2倍，得到的图象
D．将的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
【答案】A,D
【知识点】函数的单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由可得函数最小正周期为 ，A符合题意；
当时，，由于正弦函数在时不单调，
故不是函数的一个单调递增区间，B不符合题意；
图象上所有点的横坐标都拉伸2倍，得到的图象，C不符合题意；
将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，由于为奇函数，故其图象关于原点对称，D符合题意，
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式、正弦型函数的图象判断单调性的方法得出函数的单调递增区间、正弦型函数的图象变换得出函数的图象、正弦型函数的图象变换和奇函数的定义以及奇函数的图象的对称性，从而找出结论正确的选项。
11．（2022高一下·莒南期中）已知点，，，，则下列结论正确的为（ ）
A．当时，
B．当时，点P在直线AB上
C．当时，
D．当时，在方向上的投影向量的模为
【答案】B,D
【知识点】向量的模；平面向量的基本定理及其意义；数量积判断两个平面向量的垂直关系；三点共线；向量的投影
【解析】【解答】由已知，
对于A，由，得，所以，
所以，不正确，A不正确；
对于B，当时，由，
得，从而可知点三点共线，因此点P在直线AB上，B符合题意；
对于C，若成立，则有，这显然不成立，C不正确；
对于D，当时，，
则在方向上的投影向量的模为，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系、点与直线的位置关系、平面向量基本定理、数量积求投影向量的方法、向量的模的求解方法，进而找出结论正确的选项。
12．（2022高一下·莒南期中）在四面体ABCD中，，且，若用平面去截四面体ABCD，则下列结论正确的为（ ）
A．截四面体ABCD所得截面形状可以为菱形
B．当时，截四面体ABCD所得截面形状不可能为直角三角形
C．当，时，截四面体ABCD所得截面形状的周长为定值
D．四面体ABCD的外接球表面积为
【答案】A,C,D
【知识点】棱锥的结构特征；球的体积和表面积；三角形的形状判断
【解析】【解答】A：当过棱，，，的中点构成的平面四边形，
∵，
∴由三角形中位线性质可知：截面形状为菱形，故正确；
B：如图，当为中点时，，
此时△中，即为钝角，
若截面过且，即面与面或面的交线，
所以交线在向顶点A或D移动过程中趋向于0，
故△可能为直角三角形，故错误；
C：如图，截四面体所得截面为四边形，
∵，，
∴由线面平行的性质可知：四边形为平行四边形，
，，
∴，则，
∴平行四边形的周长为定值，故正确；
D：如图，四面体可由棱长分别为，，的长方体的对角线构成，
易知四面体的外接球即为长方体的外接球，
外接球的直径为长方体的体对角线的长度，
∴外接球半径为，表面积为，故正确；
故答案为：ACD.
【分析】当过棱，，，的中点构成的平面四边形，再利用和三角形中位线性质可知截面形状为菱形；当为中点时，，再利用余弦定理和三角函数值在各象限的符号判断方法，进而判断出为钝角，若截面过且，即面与面或面的交线，所以交线在向顶点A或D移动过程中趋向于0，再结合直角三角形的判断方法判断出三角形△可能为直角三角形；利用截四面体所得截面为四边形结合，，所以由线面平行的性质可知四边形为平行四边形，再利用两直线平行对应边成比例，所以，再利用平行四边形的周长公式得出平行四边形的周长为定值；利用四面体可由棱长分别为，，的长方体的对角线构成，易知四面体的外接球即为长方体的外接球，再利用外接球的直径为长方体的体对角线的长度，从而得出外接球半径，再结合球的表面积公式得出四面体ABCD的外接球表面积，从而找出结论正确的选项。
三、填空题
13．（2022高一下·莒南期中）如图，是用斜二测画法得到的的直观图，其中，，则AB的长度为 .
【答案】5
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】由题意，根据斜二测画法的原则，，，
所以，
故答案为：5
【分析】利用已知条件结合斜二测画法画直观图的方法，再结合勾股定理得出AB的长。
14．（2022高一下·莒南期中）在平行四边形ABCD中，点E是边AB的中点，点F在边CD上，满足，若，，且，则 .
【答案】1
【知识点】向量的模；数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设，
则由题意可得，，，，
所以，，
因为，所以，即，
所以，解得或（舍去），
所以，
故答案为：1.
【分析】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设，则由题意可得点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以，再利用数量积的坐标表示得出满足要求的实数a的值，再结合向量的模的求解方法得出的值。
15．（2022高一下·莒南期中）设函数，若在上有且仅有2个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】因为，当，
所以，
因为在上有且仅有个零点，
所以，解得，即。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合x的取值范围和不等式的基本性质，再结合零点存在性定理得出实数的取值范围。
16．（2022高一下·莒南期中）拿破仑不仅是伟大的军事家、政治家，在数学方面，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.在中，以AB，BC，CA为边向外构造三个等边三角形，其中心依次为，，，设，的面积依次为，，若，且，则实数的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】以，，为边向外构造三个等边三角形分别为，，，
如图所示，设，，
∴的面积，
∵为中心，∴，，
同理可得，，
∵，∴，
∴由勾股定理得：，
∵为边长为的等边三角形，
∴，
∴，当且仅当时等号成立，
∴实数的最小值为，
故答案为：.
【分析】以，，为边向外构造三个等边三角形分别为，，，设，，再结合三角形的面积公式得出三角形的面积，再利用点为中心，所以，，同理可得，，再利用，进而得出的值，由勾股定理得出，再利用为边长为的等边三角形结合三角形的面积公式得出，所以，再结合均值不等式求最值的方法得出实数的最小值。
四、解答题
17．（2022高一下·莒南期中）设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限.
（1）若复数为纯虚数，求实数m的值；
（2）若，且是关于x的方程的一个复数根，求.
【答案】（1）解：由题可知，其中，
∵复数为纯虚数，∴，且，
∴.
（2）解：∵，∴，∴，
∴关于的方程的两根分别为，，
∵对应的点在第一象限，∴，且 ，
∵，∴，
∴，或，
∵，∴，∴，∴，
∴.
【知识点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数为纯虚数的判断方法，进而得出实数m的值。
（2）利用已知条件结合一元二次方程求解方法和复数的几何意义得出 且 ， 再利用复数求模公式得出a的值，从而得出复数，再结合复数与共轭复数的关系和复数的混合运算法则得出 复数。
18．（2022高一下·莒南期中）如图，在平面四边形ABCD中，.
（1）若，求∠BAD；
（2）若，且，求四边形ABCD的面积.
【答案】（1）解：∵，
∴，
由正弦定理，可得，
不妨设，，，
则由余弦定理得，
∵，
∴.
（2）解：在中，由余弦定理，可得，
∴，
同理可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
记四边形的面积为，的面积为，的面积为，
∴，
∴.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合比例设法和两角互补的关系、正弦定理、余弦定理，再结合三角形中角的取值范围，进而得出∠BAD的值。
（2）利用已知条件结合余弦定理、诱导公式得出的值，再利用三角形中角的取值范围和三角函数的图象以及同角三角函数基本关系式得出的值，记四边形的面积为，的面积为，的面积为，再利用四边形的面积公式和三角形的面积公式以及求和法得出四边形ABCD的面积。
19．（2022高一下·莒南期中）如图，在长方体中，，，点E，F分别为边，的中点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）证明：平面平面BDE.
【答案】（1）解：显然三棱锥与三棱锥的体积相等，即，
∵长方体，
∴三棱锥的高为，且三棱锥的底面面积即△的面积为，
∴ 三棱锥的体积.
（2）证明：∵长方体，
∴，，
∵点，分别为边，的中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又平面，平面，
∴平面，
如图，连接交于点，连接，
∴点为的中点，∴，
又平面，平面，
∴平面，
∵，
∴平面平面.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的判定
【解析】【分析】（1） 利用已知条件，显然三棱锥与三棱锥的体积相等，即，再利用长方体，所以，三棱锥的高为，且三棱锥的底面面积即△的面积，再结合三角形的面积公式得出三角形△的面积，再利用三棱锥的途径公式得出三棱锥的体积。
（2）利用 长方体，所以，，再利用点，分别为边，的中点，再利用中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，所以平面，连接交于点，连接，所以点为的中点，再结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出线面平行，所以平面，再利用线面平行证出面面平行，从而证出平面平面。
20．（2022高一下·莒南期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）已知B为钝角，且的面积，过点B作AB的垂线交边AC于D，证明：.
【答案】（1）解：由正弦定理，可得，
∴，∴，
∴，
∵角为的内角，∴，∴.
（2）证明：设，，
∵，∴，，，
∴，
由题可知，
所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，即，
所以，即，
∴.
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和辅助角公式和三角形中角的取值范围，从而得出角A的值。
（2）设，，利用，所以，，，再结合两角互补得出的值，由题意结合三角形的面积公式得出，在中，由余弦定理可得，进而证出成立。
21．（2022高一下·莒南期中）如图，在四棱锥中，，，点F为棱CD的中点，与E，F相异的动点P在棱EF上.
（1）当P为EF的中点时，证明：平面ADE；
（2）设平面EAD与平面EBC的交线为l，是否存在点P使得平面PBD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：如图，设点为棱的中点，连接，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又平面，平面，
∴平面.
（2）解：如图，延长，相交于点，连接，则直线为平面与平面的交线，连接，交于点，
若平面，由线面平行的性质可知，
设，
∵点为棱的中点，，，
∴，
∵，，三点共线，
∴，即，
所以当时，，∴，
又平面，平面，∴平面，
∴存在满足条件的点使得平面，此时.
【知识点】三点共线；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1） 设点为棱的中点，连接，，再利用中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，，再利用，，再结合平行和相等的传递性，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面。
（2） 延长，相交于点，连接，则直线为平面与平面的交线，连接，交于点，若平面，由线面平行的性质可知，设，利用点为棱的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，，再结合向量共线定理和平面向量基本定理和，，三点共线，从而得出实数的值，所以当时，，再结合对应边成比例，两直线平行，所以，再利用线线平行证出线面平行，所以平面，所以存在满足条件的点使得平面，此时。
22．（2022高一下·莒南期中）设函数.
（1）设，在处取得最大值，求；
（2）关于x的方程在区间上恰有12个不同的实数解，求实数k的取值范围.
【答案】（1）解：因为，
所以函数关于直线对称，
因为当时，，其中，，
所以存在，使得为函数在区间上的最大值，由对称性可知也为在区间上的最大值，
所以，
所以，，
，
由对称性可知还存在，使得为函数在区间上的最大值，
所以，，
综上，；
（2）解：因为，
所以函数为周期函数，周期为，
所以原问题等价于关于的方程在区间上恰有个不同的实数解，
又由对称性可知关于的方程在区间上恰有个不同的实数解，
当时，，，，
所以，
因为，所以，
因为，所以，解得，
所以的取值范围为.
【知识点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值；图形的对称性
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数的对称性判断方法判断出函数关于直线对称，当时结合辅助角公式得出，所以存在，使得为函数在区间上的最大值，由对称性可知也为在区间上的最大值，所以，再利用诱导公式和二倍角的余弦公式以及对称性得出存在，使得为函数在区间上的最大值，进而得出的值，再结合二倍角的余弦公式得出的值。
（2）利用已知条件结合周期函数的定义判断出函数为周期函数，周期为，所以原问题等价于关于的方程在区间上恰有个不同的实数解，又由对称性可知关于的方程在区间上恰有个不同的实数解，再利用辅助角公式得出当时，，，，进而得出的取值范围，再利用，所以，再结合，所以，再利用一元二次不等式求解方法得出实数的取值范围。
山东省临沂市莒南县2021-2022学年高一下学期数学期中试卷
一、单选题
1．（2022高一下·莒南期中）已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．i B．－i C．1 D．－1
2．（2022高一下·莒南期中）设直线若与是异面直线，与平行，则与的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．平行或异面 D．相交或异面
3．（2022高一下·莒南期中）已知向量，，则为（ ）
A．－1 B．－2 C．1 D．2
4．（2022高一下·莒南期中）下图为青岛五四广场主题钢雕塑，由艺术家黄震设计，名为“五月的风”.该雕塑以单纯简练的造型元素排列组合成旋转腾空的“风”，通体火红，寓意五四运动是点燃新民主主义革命的“火种”及青岛与五四运动的渊源.雕塑形状可视为有公共底面的两个相同圆锥的组合体，且圆锥的底面半径和圆锥的高均为15米，据此可知的表面积为（ ）
A．平方米 B．平方米
C．平方米 D．平方米
5．（2022高一下·莒南期中）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高一下·莒南期中）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数k的值可以为（ ）
A．－1 B． C．1 D．2
7．（2022高一下·莒南期中）筒车是一种以水流作动力，取水灌田的工具，是中国古代人民伟大的发明之一.如图，已知某个半径为6m的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转2圈，筒车轴心O距水面3m，设筒车上某个盛水筒P，以P刚浮出水面时开始计算时间，则盛水筒P出水后第一次到达最高点的时间（单位：s）为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．（2022高一下·莒南期中）已知B，C为单位圆O上的两点，且，动点A在圆O上，则的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．4
二、多选题
9．（2022高一下·莒南期中）设a，b，c，为空间中三条不同的直线，，为空间中两个不同的平面，则下列结论正确的为（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
10．（2022高一下·莒南期中）已知函数，则下列结论正确的为（ ）
A．的最小正周期为
B．是函数的一个单调递增区间
C．将图象上所有点的横坐标都拉伸2倍，得到的图象
D．将的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
11．（2022高一下·莒南期中）已知点，，，，则下列结论正确的为（ ）
A．当时，
B．当时，点P在直线AB上
C．当时，
D．当时，在方向上的投影向量的模为
12．（2022高一下·莒南期中）在四面体ABCD中，，且，若用平面去截四面体ABCD，则下列结论正确的为（ ）
A．截四面体ABCD所得截面形状可以为菱形
B．当时，截四面体ABCD所得截面形状不可能为直角三角形
C．当，时，截四面体ABCD所得截面形状的周长为定值
D．四面体ABCD的外接球表面积为
三、填空题
13．（2022高一下·莒南期中）如图，是用斜二测画法得到的的直观图，其中，，则AB的长度为 .
14．（2022高一下·莒南期中）在平行四边形ABCD中，点E是边AB的中点，点F在边CD上，满足，若，，且，则 .
15．（2022高一下·莒南期中）设函数，若在上有且仅有2个零点，则实数的取值范围为 .
16．（2022高一下·莒南期中）拿破仑不仅是伟大的军事家、政治家，在数学方面，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.在中，以AB，BC，CA为边向外构造三个等边三角形，其中心依次为，，，设，的面积依次为，，若，且，则实数的最小值为 .
四、解答题
17．（2022高一下·莒南期中）设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限.
（1）若复数为纯虚数，求实数m的值；
（2）若，且是关于x的方程的一个复数根，求.
18．（2022高一下·莒南期中）如图，在平面四边形ABCD中，.
（1）若，求∠BAD；
（2）若，且，求四边形ABCD的面积.
19．（2022高一下·莒南期中）如图，在长方体中，，，点E，F分别为边，的中点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）证明：平面平面BDE.
20．（2022高一下·莒南期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）已知B为钝角，且的面积，过点B作AB的垂线交边AC于D，证明：.
21．（2022高一下·莒南期中）如图，在四棱锥中，，，点F为棱CD的中点，与E，F相异的动点P在棱EF上.
（1）当P为EF的中点时，证明：平面ADE；
（2）设平面EAD与平面EBC的交线为l，是否存在点P使得平面PBD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
22．（2022高一下·莒南期中）设函数.
（1）设，在处取得最大值，求；
（2）关于x的方程在区间上恰有12个不同的实数解，求实数k的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意，，故虚部为1，
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z，再利用复数的虚部的定义，进而得出复数z的虚部。
2．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】考虑正方体中，如图所示
直线看做直线，直线看做直线，即直线和直线是异面直线，
若直线看做直线，可得，平行，则，异面；
若直线看做直线，可得，平行，则，相交.
若，平行，由，平行，可得，平行，这与，异面矛盾，故，不平行.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、线线相交的判断方法、异面直线的判断方法，进而判断出直线b，c的位置关系。
3．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】因为向量，，
所以，，两式相减可得，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则，进而结合相减法得出的值。
4．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
【解析】【解答】由题意，半径，高，则母线，
所以圆锥的侧面积为，
所以的表面积为，
故答案为：B
【分析】由题意，半径，高，再利用勾股定理得出母线长，再结合圆锥的侧面积公式得出圆锥的侧面积，再结合组合体的表面积求解方法得出组合体的表面积。
5．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】∵，则
又∵，则
∴，即，则
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合二倍角的正弦公式和诱导公式以及角的取值范围，进而得出角的正弦值，从而得出角的值，再结合正切函数的定义得出角的正切值。
6．【答案】A
【知识点】数量积的坐标表达式；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】因为向量，，且与的夹角为锐角，
所以，且与不共线，
所以，解得且，
所以实数k的值可以为-1，
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合角的取值范围和数量积的坐标表示以及向量共线定理，进而得出实数k的取值范围，从而得出实数k可以的取值。
7．【答案】D
【知识点】函数的周期性
【解析】【解答】过O做OQ垂直水面，为最高点，如图所示
由题意得，
所以，则，
所以，所以盛水筒P出水后第一次到达最高点要旋转，即为个周期，
又筒车每分钟匀速旋转2圈，可得周期为30秒，
所以盛水筒P出水后第一次到达最高点用时秒，
故答案为：D
【分析】过O做OQ垂直水面，为最高点，由题意得，再利用余弦函数的定义得出的值，再结合两角互补得出的值，所以盛水筒P出水后第一次到达最高点要旋转，即为个周期，再利用筒车每分钟匀速旋转2圈，可得周期为30秒，从而得出盛水筒P出水后第一次到达最高点用时时间。
8．【答案】A
【知识点】数量积的坐标表达式；三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的最值
【解析】【解答】以圆心为原点，建立直角坐标系，画出单位圆，
如图所示，设，
过点向作垂线，垂足为，
因为，所以，则，所以，
则设点，
设点，
所以，，，，
所以
，
所以当，即时，的最大值为.
故答案为：A
【分析】以圆心为原点，建立直角坐标系，画出单位圆，设，过点向作垂线，垂足为，再结合和余弦函数的定义得出的值，从而得出的值，则设点，设点，再利用向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合数量积的坐标表示和辅助角公式化简函数为余弦型函数，再利用余弦型函数的图象求最值的方法得出的最大值。
9．【答案】B,C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】对于A， 若，，则a，b可能平行也可能异面，A不符合题意；
对于B，若，，根据平行关系的传递性，可得，B符合题意；
对于C， 若，，，根据线面平行的性质定理可得，C符合题意；
对于D， 若，，，，当a，b相交时，，当a，b平行时，推不出，D不符合题意，
故答案为：BC
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、面面平行的判定定理，进而找出结论正确的选项。
10．【答案】A,D
【知识点】函数的单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由可得函数最小正周期为 ，A符合题意；
当时，，由于正弦函数在时不单调，
故不是函数的一个单调递增区间，B不符合题意；
图象上所有点的横坐标都拉伸2倍，得到的图象，C不符合题意；
将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，由于为奇函数，故其图象关于原点对称，D符合题意，
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式、正弦型函数的图象判断单调性的方法得出函数的单调递增区间、正弦型函数的图象变换得出函数的图象、正弦型函数的图象变换和奇函数的定义以及奇函数的图象的对称性，从而找出结论正确的选项。
11．【答案】B,D
【知识点】向量的模；平面向量的基本定理及其意义；数量积判断两个平面向量的垂直关系；三点共线；向量的投影
【解析】【解答】由已知，
对于A，由，得，所以，
所以，不正确，A不正确；
对于B，当时，由，
得，从而可知点三点共线，因此点P在直线AB上，B符合题意；
对于C，若成立，则有，这显然不成立，C不正确；
对于D，当时，，
则在方向上的投影向量的模为，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系、点与直线的位置关系、平面向量基本定理、数量积求投影向量的方法、向量的模的求解方法，进而找出结论正确的选项。
12．【答案】A,C,D
【知识点】棱锥的结构特征；球的体积和表面积；三角形的形状判断
【解析】【解答】A：当过棱，，，的中点构成的平面四边形，
∵，
∴由三角形中位线性质可知：截面形状为菱形，故正确；
B：如图，当为中点时，，
此时△中，即为钝角，
若截面过且，即面与面或面的交线，
所以交线在向顶点A或D移动过程中趋向于0，
故△可能为直角三角形，故错误；
C：如图，截四面体所得截面为四边形，
∵，，
∴由线面平行的性质可知：四边形为平行四边形，
，，
∴，则，
∴平行四边形的周长为定值，故正确；
D：如图，四面体可由棱长分别为，，的长方体的对角线构成，
易知四面体的外接球即为长方体的外接球，
外接球的直径为长方体的体对角线的长度，
∴外接球半径为，表面积为，故正确；
故答案为：ACD.
【分析】当过棱，，，的中点构成的平面四边形，再利用和三角形中位线性质可知截面形状为菱形；当为中点时，，再利用余弦定理和三角函数值在各象限的符号判断方法，进而判断出为钝角，若截面过且，即面与面或面的交线，所以交线在向顶点A或D移动过程中趋向于0，再结合直角三角形的判断方法判断出三角形△可能为直角三角形；利用截四面体所得截面为四边形结合，，所以由线面平行的性质可知四边形为平行四边形，再利用两直线平行对应边成比例，所以，再利用平行四边形的周长公式得出平行四边形的周长为定值；利用四面体可由棱长分别为，，的长方体的对角线构成，易知四面体的外接球即为长方体的外接球，再利用外接球的直径为长方体的体对角线的长度，从而得出外接球半径，再结合球的表面积公式得出四面体ABCD的外接球表面积，从而找出结论正确的选项。
13．【答案】5
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】由题意，根据斜二测画法的原则，，，
所以，
故答案为：5
【分析】利用已知条件结合斜二测画法画直观图的方法，再结合勾股定理得出AB的长。
14．【答案】1
【知识点】向量的模；数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设，
则由题意可得，，，，
所以，，
因为，所以，即，
所以，解得或（舍去），
所以，
故答案为：1.
【分析】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设，则由题意可得点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以，再利用数量积的坐标表示得出满足要求的实数a的值，再结合向量的模的求解方法得出的值。
15．【答案】
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】因为，当，
所以，
因为在上有且仅有个零点，
所以，解得，即。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合x的取值范围和不等式的基本性质，再结合零点存在性定理得出实数的取值范围。
16．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】以，，为边向外构造三个等边三角形分别为，，，
如图所示，设，，
∴的面积，
∵为中心，∴，，
同理可得，，
∵，∴，
∴由勾股定理得：，
∵为边长为的等边三角形，
∴，
∴，当且仅当时等号成立，
∴实数的最小值为，
故答案为：.
【分析】以，，为边向外构造三个等边三角形分别为，，，设，，再结合三角形的面积公式得出三角形的面积，再利用点为中心，所以，，同理可得，，再利用，进而得出的值，由勾股定理得出，再利用为边长为的等边三角形结合三角形的面积公式得出，所以，再结合均值不等式求最值的方法得出实数的最小值。
17．【答案】（1）解：由题可知，其中，
∵复数为纯虚数，∴，且，
∴.
（2）解：∵，∴，∴，
∴关于的方程的两根分别为，，
∵对应的点在第一象限，∴，且 ，
∵，∴，
∴，或，
∵，∴，∴，∴，
∴.
【知识点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数为纯虚数的判断方法，进而得出实数m的值。
（2）利用已知条件结合一元二次方程求解方法和复数的几何意义得出 且 ， 再利用复数求模公式得出a的值，从而得出复数，再结合复数与共轭复数的关系和复数的混合运算法则得出 复数。
18．【答案】（1）解：∵，
∴，
由正弦定理，可得，
不妨设，，，
则由余弦定理得，
∵，
∴.
（2）解：在中，由余弦定理，可得，
∴，
同理可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
记四边形的面积为，的面积为，的面积为，
∴，
∴.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合比例设法和两角互补的关系、正弦定理、余弦定理，再结合三角形中角的取值范围，进而得出∠BAD的值。
（2）利用已知条件结合余弦定理、诱导公式得出的值，再利用三角形中角的取值范围和三角函数的图象以及同角三角函数基本关系式得出的值，记四边形的面积为，的面积为，的面积为，再利用四边形的面积公式和三角形的面积公式以及求和法得出四边形ABCD的面积。
19．【答案】（1）解：显然三棱锥与三棱锥的体积相等，即，
∵长方体，
∴三棱锥的高为，且三棱锥的底面面积即△的面积为，
∴ 三棱锥的体积.
（2）证明：∵长方体，
∴，，
∵点，分别为边，的中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又平面，平面，
∴平面，
如图，连接交于点，连接，
∴点为的中点，∴，
又平面，平面，
∴平面，
∵，
∴平面平面.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的判定
【解析】【分析】（1） 利用已知条件，显然三棱锥与三棱锥的体积相等，即，再利用长方体，所以，三棱锥的高为，且三棱锥的底面面积即△的面积，再结合三角形的面积公式得出三角形△的面积，再利用三棱锥的途径公式得出三棱锥的体积。
（2）利用 长方体，所以，，再利用点，分别为边，的中点，再利用中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，所以平面，连接交于点，连接，所以点为的中点，再结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出线面平行，所以平面，再利用线面平行证出面面平行，从而证出平面平面。
20．【答案】（1）解：由正弦定理，可得，
∴，∴，
∴，
∵角为的内角，∴，∴.
（2）证明：设，，
∵，∴，，，
∴，
由题可知，
所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，即，
所以，即，
∴.
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和辅助角公式和三角形中角的取值范围，从而得出角A的值。
（2）设，，利用，所以，，，再结合两角互补得出的值，由题意结合三角形的面积公式得出，在中，由余弦定理可得，进而证出成立。
21．【答案】（1）解：如图，设点为棱的中点，连接，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又平面，平面，
∴平面.
（2）解：如图，延长，相交于点，连接，则直线为平面与平面的交线，连接，交于点，
若平面，由线面平行的性质可知，
设，
∵点为棱的中点，，，
∴，
∵，，三点共线，
∴，即，
所以当时，，∴，
又平面，平面，∴平面，
∴存在满足条件的点使得平面，此时.
【知识点】三点共线；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1） 设点为棱的中点，连接，，再利用中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，，再利用，，再结合平行和相等的传递性，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面。
（2） 延长，相交于点，连接，则直线为平面与平面的交线，连接，交于点，若平面，由线面平行的性质可知，设，利用点为棱的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，，再结合向量共线定理和平面向量基本定理和，，三点共线，从而得出实数的值，所以当时，，再结合对应边成比例，两直线平行，所以，再利用线线平行证出线面平行，所以平面，所以存在满足条件的点使得平面，此时。
22．【答案】（1）解：因为，
所以函数关于直线对称，
因为当时，，其中，，
所以存在，使得为函数在区间上的最大值，由对称性可知也为在区间上的最大值，
所以，
所以，，
，
由对称性可知还存在，使得为函数在区间上的最大值，
所以，，
综上，；
（2）解：因为，
所以函数为周期函数，周期为，
所以原问题等价于关于的方程在区间上恰有个不同的实数解，
又由对称性可知关于的方程在区间上恰有个不同的实数解，
当时，，，，
所以，
因为，所以，
因为，所以，解得，
所以的取值范围为.
【知识点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值；图形的对称性
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数的对称性判断方法判断出函数关于直线对称，当时结合辅助角公式得出，所以存在，使得为函数在区间上的最大值，由对称性可知也为在区间上的最大值，所以，再利用诱导公式和二倍角的余弦公式以及对称性得出存在，使得为函数在区间上的最大值，进而得出的值，再结合二倍角的余弦公式得出的值。
（2）利用已知条件结合周期函数的定义判断出函数为周期函数，周期为，所以原问题等价于关于的方程在区间上恰有个不同的实数解，又由对称性可知关于的方程在区间上恰有个不同的实数解，再利用辅助角公式得出当时，，，，进而得出的取值范围，再利用，所以，再结合，所以，再利用一元二次不等式求解方法得出实数的取值范围。
