2022-2023学年湖北省黄冈市八年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式计算正确的是（ ）
A．6﹣2＝4 B．5+5＝10 C．4÷2＝2 D．4×2＝8
3．直角三角形两边分别为5和12，则第三边为（ ）
A．13 B． C．13或 D．7
4．等式成立的条件是（ ）
A．x≥1 B．x≥﹣1 C．﹣1≤x≤1 D．x≥1或x≤﹣1
5．下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数．它们的逆命题成立的个数是（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
6．如图，有一块Rt△ABC的纸片，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC沿AD折叠，使点B落在AC上的E处，连接ED，则BD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6．
7．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．② C．①②③ D．①③
8．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若AD＝4，CD＝2，则BD的长为（ ）
A．6 B．2 C．5 D．2
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．已知，那么（a+b）2023+1的值为 ．
10．当x＝+3时，代数式x2﹣6x﹣2的值是 ．
11．已知，，则a2﹣b2＝ ．
12．若是正整数，则整数n的最小值为 ．
13．在实数范围因式分解：a2﹣5＝ ．
14．观察下列各式：2×＝；3×＝；4×＝，……依此规律，则第4个式子是 ．
15．如图，∠AOB＝40°，M、N分别在OA、OB上，且OM＝2，ON＝4，点P、Q分别在OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 ．
16．一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是 ．
三、解答题（共72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．已知x＝+3，y＝﹣3，求下列各式的值：
（1）x2﹣2xy+y2
（2）x2﹣y2．
19．若a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c满足（a﹣6）2+（b﹣8）2+|c﹣10|＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
20．如图：已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足．DE+DF＝2，三角形ABC面积为3+2，求AB的长．
21．一架方梯AB长25米，如图所示，斜靠在一面上：
（1）若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
22．观察下列运算：
由，得；
由，得；
由，得；
…
（1）通过观察得＝ ；
（2）利用（1）中你发现的规律计算：．
23．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵a＝＝＝2﹣，
∴a﹣2＝﹣，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若a＝，求4a2﹣8a﹣3的值．
24．已知，在等腰Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB，点A，B在第四象限．###
（1）如图1，若A（1，﹣3），则 ①OA＝ ； ②求点B的坐标；
（2）如图2，AD⊥y轴于点D，M为OB的中点，求证：DO+DA＝DM．
25．已知△ABC是等边三角形．
（1）如图1，△BDE也是等边三角形，求证：AD＝CE；
（2）如图2，点D是△ABC外一点，且∠BDC＝30°，请探究线段DA、DB、DC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，点D是等边三角形△ABC外一点，若DA＝13，DB＝5，DC＝7，试求∠BDC的度数．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】化简得到结果，即可做出判断．
解：A、，本选项不合题意；
B、，本选项不合题意；
C、，本选项不合题意；
D、不能化简，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
2．下列各式计算正确的是（ ）
A．6﹣2＝4 B．5+5＝10 C．4÷2＝2 D．4×2＝8
【分析】直接利用二次根式的加减、乘除运算法则分别判断得出答案．
解：A．6﹣2＝4，故此选项不合题意；
B．5+5无法合并，故此选项不合题意；
C．4÷2＝2，故此选项不合题意；
D．4×2＝8，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．直角三角形两边分别为5和12，则第三边为（ ）
A．13 B． C．13或 D．7
【分析】由勾股定理可直接求出第三边的长．
解：直角三角形两边分别为5和12，根据勾股定理可知，
第三边长为或，
即第三边长为13或，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，注意第三边可以是斜边也可以是直角边是解题的关键．
4．等式成立的条件是（ ）
A．x≥1 B．x≥﹣1 C．﹣1≤x≤1 D．x≥1或x≤﹣1
【分析】根据二次根式的乘法法则适用的条件列出不等式组解答即可．
解：∵，
∴，解得：x≥1．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的乘法法则，即 ＝（a≥0，b≥0）．
5．下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数．它们的逆命题成立的个数是（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解：①对顶角相等逆命题是相等的角是对顶角，不成立；
②全等三角形的对应边相等逆命题是对应边相等的三角形是全等三角形，成立；
③如果两个实数是正数，它们的积是正数逆命题是如果两个数的积是正数，那么这两个数是正数，不成立．
故选：B．
【点评】本题主要考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
6．如图，有一块Rt△ABC的纸片，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC沿AD折叠，使点B落在AC上的E处，连接ED，则BD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6．
【分析】由题意可得∠AED＝∠B＝90°，AE＝AB＝3，由勾股定理即可求得AC的长，则可得EC的长，然后设BD＝ED＝x，则CD＝BC﹣BD＝8﹣x，由勾股定理CD2＝EC2+ED2，即可得方程，解方程即可求得答案．
解：如图，点E是沿AD折叠，点B的对应点，连接ED，
∴∠AED＝∠B＝90°，AE＝AB＝6，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
∴EC＝AC﹣AE＝10﹣6＝4，
设BD＝ED＝x，则CD＝BC﹣BD＝8﹣x，
在Rt△CDE中，CD2＝EC2+ED2，
即：（8﹣x）2＝x2+16，
解得：x＝3，
∴BD＝3．
故选：A．
【点评】此题考查了折叠的性质与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意掌握折叠中的对应关系．
7．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．② C．①②③ D．①③
【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．
解：①∵△ABC为直角三角形，
∴根据勾股定理：x2+y2＝AB2＝49，
故本选项正确；
②由图可知，x﹣y＝CE＝＝2，
故本选项正确；
③由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为4××xy+4＝49，
即2xy+4＝49；
故本选项正确．
∴正确结论有①②③．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．
8．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若AD＝4，CD＝2，则BD的长为（ ）
A．6 B．2 C．5 D．2
【分析】根据等式的性质，可得∠BAD与∠CAD′的关系，根据SAS，可得△BAD与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．
解：作AD′⊥AD，AD′＝AD，连接CD′，DD′，如图：
∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，
∴∠BAC＝∠DAD'＝90°，AC＝AB，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中，
，
∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD＝CD′，
∵AD＝AD'＝4，∠DAD'＝90°，
∴DD'＝＝＝4，∠ADD'＝45°，且∠ADC＝45°
∴∠D'DC＝90°，
∴CD'＝＝＝6，
∴BD＝6
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理，作出全等图形是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．已知，那么（a+b）2023+1的值为 0 ．
【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代值计算即可．
解：∵，，
∴，
∴a﹣2＝0，b+3＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴（a+b）2023+1＝（2﹣3）2023+1＝（﹣1）2023+1＝﹣1+1＝0，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了算术平方根的非负数的性质，代数式求值，熟知如果几个非负数相加的结果为0，那么这几个非负数的结果都为0是解题的关键．
10．当x＝+3时，代数式x2﹣6x﹣2的值是 ﹣4 ．
【分析】先利用已知条件得到x﹣3＝，两边平分可得x2﹣6x＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵x＝+3，
∴x﹣3＝，
∴（x﹣3）2＝7，即x2﹣6x+9＝7，
∴x2﹣6x＝﹣2，
∴x2﹣6x﹣2＝﹣2﹣2＝﹣4．
故答案为﹣4．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．
11．已知，，则a2﹣b2＝ 8 ．
【分析】将a与b代入所求式子中，利用完全平方公式化简，合并即可得到结果．
解：∵a＝2+，b＝2﹣，
∴a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝（2++2﹣）[2+﹣（2﹣）]
＝4×2
＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练平方差公式及二次根式运算法则是解本题的关键．
12．若是正整数，则整数n的最小值为 3 ．
【分析】先化简二次根式，然后依据化简结果为整数可确定出n的值．
解：＝2．
∵n是一个正整数，是整数，
∴n的最小值是3．
故答案是：3．
【点评】本题主要考查的是二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
13．在实数范围因式分解：a2﹣5＝ （a+）（a﹣） ．
【分析】在实数范围内利用平方差公式因式分解即可．
解：a2﹣5＝a2﹣（）2＝（a+）（a﹣），
故答案为：（a+）（a﹣）．
【点评】本题主要考查了实数范围内因式分解，实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）．
14．观察下列各式：2×＝；3×＝；4×＝，……依此规律，则第4个式子是 5×＝ ．
【分析】根据题目中数字的变化特点可以得到第n个式子是（n+1）＝，从而可以写出第4个式子，本题得以解决．
解：由题意可得，
第4个式子是：5×＝，
故答案为：5×＝，
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的式子．
15．如图，∠AOB＝40°，M、N分别在OA、OB上，且OM＝2，ON＝4，点P、Q分别在OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 ．
【分析】作点N关于AO的对称点E，作点M关于OB的对称F，连接EF，EF的长即为MP+PQ+QN的最小值．
解：作点N关于AO的对称点E，作点M关于OB的对称F，连接EF，EF的长即为MP+PQ+QN的最小值．
∵∠AOB＝40°
∴∠EOF＝120°
作FH⊥EO
∵OF＝OM＝2，OE＝ON＝4
∴∠HOF＝60°
∴HO＝1
∴EF＝
∴MP+PQ+QN的最小值．
【点评】本题考查了多线段求和极值问题，主要是运用轴对称的方法将线段关系进行转化，是一道很经典的问题．
16．一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是 10 ．
【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2＝S3，于是S3＝S1+S2，
即S3＝2+5+1+2＝10．
故答案是：10．
【点评】本题考查了勾股定理的应用．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．
三、解答题（共72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的混合计算法则求解即可．
解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）
＝
＝12﹣6
＝6．
【点评】本题考查了二次根式的乘除混合计算，平方差公式，掌握相应的计算方法是关键．
18．已知x＝+3，y＝﹣3，求下列各式的值：
（1）x2﹣2xy+y2
（2）x2﹣y2．
【分析】（1）先计算出x﹣y＝6，再利用完全平方公式得到x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2，然后利用整体代入的方法计算；
（2）先计算出x+y＝2，x﹣y＝6，再利用平方差公式得到x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），然后利用整体代入的方法计算．
解：（1）∵x＝+3，y＝﹣3，
∴x﹣y＝6，
∴x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝62＝36；
（2）∵x＝+3，y＝﹣3，
∴x+y＝2，x﹣y＝6，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2×6＝12．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
19．若a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c满足（a﹣6）2+（b﹣8）2+|c﹣10|＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
【分析】（1）根据非负数的性质可得到三个等式，进而可得a、b、c的值；
（2）根据勾股定理的逆定理进行解答即可．
【解答】（1）由题意得：
a﹣6＝0，b﹣8＝0，c﹣10＝0，
解得：a＝6，b＝8，c＝10．
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵在△ABC中，a、b、c三条边满足：62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，以及勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
20．如图：已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足．DE+DF＝2，三角形ABC面积为3+2，求AB的长．
【分析】连接AD，然后根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD列出方程，求解即可．
解：如图，连接AD，S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
＝AB DE+AC DF，
＝AB（DE+DF），
∵DE+DF＝2，
∴AB×2＝（3+2），
∴AB＝＝3+2．
【点评】本题考查了二次根式的应用，主要利用了二次根式的除法运算，作辅助线把△ABC分成两个三角形是解题的关键．
21．一架方梯AB长25米，如图所示，斜靠在一面上：
（1）若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【分析】（1）利用勾股定理可得OA＝＝，再计算即可；
（2）在直角三角形A′OB′中计算出OB′的长度，再计算BB′即可．
解：（1）在Rt△AOB中，AB＝25米，OB＝7米，
OA＝＝＝24（米）．
答：梯子的顶端距地面24米；
（2）在Rt△AOB中，A′O＝24﹣4＝20米，
OB′＝＝＝15（米），
BB′＝15﹣7＝8米．
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
22．观察下列运算：
由，得；
由，得；
由，得；
…
（1）通过观察得＝ ；
（2）利用（1）中你发现的规律计算：．
【分析】（1）从数字找规律，即可解答；
（2）利用（1）的规律，然后进行计算即可解答．
解：（1）＝，
故答案为：；
（2）
＝++…+
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵a＝＝＝2﹣，
∴a﹣2＝﹣，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若a＝，求4a2﹣8a﹣3的值．
【分析】根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．
解：a＝＝＝+1，
（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，
a2﹣2a＝1．
4a2﹣8a﹣3＝4（a2﹣2a）﹣3＝4×1﹣3＝1，
4a2﹣8a﹣3的值是1．
【点评】本题考查了分母有理化的应用，能求出a的值和正确变形是解此题的关键．
24．已知，在等腰Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB，点A，B在第四象限．###
（1）如图1，若A（1，﹣3），则 ①OA＝ ； ②求点B的坐标；
（2）如图2，AD⊥y轴于点D，M为OB的中点，求证：DO+DA＝DM．
【分析】（1）①根据勾股定理计算OA的长；②作辅助线，构建全等三角形，证明△ADO≌△BEA（AAS），则BE＝AD＝1，AE＝OD＝3，可得B的坐标；
（2）解法一：
如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△DAM≌△EBM（SAS），则DM＝EM，∠DMA＝∠EMB，得△DME是等腰直角三角形，可得结论；
解法二：
如图4，作辅助线，构建全等三角形，证明△MDO≌△MFB（ASA），同理可得结论．
解：（1）①如图1，过A作AP⊥y轴于P，
∵A（1，﹣3），
∴OP＝3，PA＝1
∴OA＝，
故答案为：；
②如图2，过点A作AD⊥y轴于D，过点B作BE⊥AD于E，
则∠ODA＝∠AEB＝90°，∠DOA＝∠BAE，OA＝AB，
∴△ADO≌△BEA（AAS），
∴BE＝AD＝1，AE＝OD＝3，
∴DE＝4，
∴B（4，﹣2）；
（2）解法一：
如图3，连接AM，过B作BE⊥AD，交DA的延长线于点E，
∵△AOB是等腰直角三角形，M是OB的中点，
∴AM⊥OB，BM＝AM，∠OAM＝∠ABM＝45°，
由（1）知：△ODA≌△AEB，
∴∠DAO＝∠EBA，
∴∠DAM＝∠EBM，AD＝BE，
∴△DAM≌△EBM（SAS），
∴DM＝EM，∠DMA＝∠EMB，
∴∠DME＝∠AMB＝90°，
∴△DME是等腰直角三角形，
∴DE＝DM，
∴DA+DO＝DA+AE＝DE＝DM；
解法二：
如图4，过B作BE⊥DA交DM的延长线于点F，交DA的延长线于E，
由（1）可知：△ADO≌△BEA，
∴BE＝AD，AE＝OD，
∵M是OB的中点，
∴OM＝BM，
∵OD∥BF，
∴∠DOM＝∠MBF，
∵∠DMO＝∠BMF，
∴△MDO≌△MFB（ASA），
∴BF＝OD＝AE，DM＝FM，
∴DE＝FE，
∴DA+DO＝DA+AE＝DE＝DF＝DM．
【点评】本题考查三角形综合题、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．已知△ABC是等边三角形．
（1）如图1，△BDE也是等边三角形，求证：AD＝CE；
（2）如图2，点D是△ABC外一点，且∠BDC＝30°，请探究线段DA、DB、DC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，点D是等边三角形△ABC外一点，若DA＝13，DB＝5，DC＝7，试求∠BDC的度数．
【分析】（1）如图1中，连接AD．根据SAS证明△ABD≌△CBE即可解决问题；
（2）如图2中，结论：DA2＝DC2+DB2．以BD为边向下作等边△BDE，连接EC．证明△ABD≌△CBE（SAS），推出AD＝CE，再证明∠CDE＝90°，即可解决问题；
（3）如图3中，以BD为边向下作等边△BDE，连接EC，作EH⊥CD交CD的延长线于H．同法可证：△ABD≌△CBE（SAS），可得AD＝CE＝13，设EH＝x，DH＝y，利用勾股定理构建方程组，求出x，y即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，连接AD．
∵△ABC，△BDE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE．
（2）解：结论：DA2＝DC2+DB2．
理由：如图2中，以BD为边向下作等边△BDE，连接EC．
∵△ABC，△BDE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE，
∵∠CDB＝30°，∠BDE＝60°，
∴∠CDE＝90°，
∴CE2＝CD2+DE2，
∵DB＝DE，DA＝EC，
∴DA2＝DC2+DB2．
（3）解：如图3中，以BD为边向下作等边△BDE，连接EC，作EH⊥CD交CD的延长线于H．
同法可证：△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE＝13，设EH＝x，DH＝y，
则有，
解得，
∴DH＝HE＝5，
∵∠H＝90°，
∴∠EDH＝45°，
∴∠CDE＝135°，
∵∠BDE＝60°，
∴∠BDC＝135°﹣60°＝75°．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．
