贵阳市北大培文学校2022-2023学年第二学期3月月考
高二年级数学学科试题参考答案
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．A
【分析】先求出，再根据交集的定义可求.
【详解】，故，
故选：A.
2．B
【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．
【详解】由题意有，故．
故选：B．
3．D
【分析】先求得，然后求得.
【详解】因为，所以.
故选：D
4．B
【分析】根据柱体和锥体体积公式求得正确答案.
【详解】如图所示，原长方体，
设矩形的面积为，，
鳖臑的体积为，
即，所以，
即原长方体的体积是.
故选：B
5．B
【分析】依题意先列出所有的基本事件，再列出甲、乙所选科目相同的基本事件，求其比值即可.
【详解】甲、乙同学所选的科目情况有：（化学，化学），（化学，生物），（生物，化学），（生物，生物），（政治，化学），（政治，生物），共6种，其中甲、乙同学所选的科目相同的情况有（化学，化学），（生物，生物），共2种，
故所求概率．
故选：B.
6．A
【分析】根据正弦型函数图象性质即可求解.
【详解】由题可知，
所以函数的值域为，故A正确；
令，即即，
令，，所以，
所以有两个零点，故B错误；
,故C错误；
令即，
没有任何能使得，故D错误；
故选:A.
7．D
【分析】根据， ，所以，进而可判断三者的关系.
【详解】由于，所以，而，所以，
又 ，所以 ，因此，
故选：D
8．A
【分析】作出图形，设，，由三角形相似得到，得到圆锥的表面积为，令，由导函数得到当时，圆锥的表面积取得最小值，进而得到此时与，作出圆锥的外接球，设外接球半径为，由勾股定理列出方程，求出外接球半径和表面积.
【详解】设圆锥的顶点为，底面圆的圆心为，内切球圆心为，
则，，
因为⊥，⊥，所以∽，则，
设，，
故，由得：，
由得：，
故，所以，，
解得：，
所以圆锥的表面积为，
令，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在时取得最小值，，
此时，，
设圆锥的外接球球心为，连接，设，
则，
由勾股定理得：，即，
解得：，故其外接球的表面积为.
故选：A
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．ABD
【分析】根据正方体的特征和性质，线面平行、线面垂直的判定、异面直线所成的角和直线与平面所成的角，逐项进行分析即可求解.
【详解】对于A：在正方体中，，又平面，平面，所以平面，故A正确；
对于B：连接，
易知，，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，故B正确；
对于C：易知直线平面，所以，所以异面直线与所成的角为90°，故C错误；
对于D：连接BD，
易知平面ABCD，所以直线与平面ABCD所成的角为，设正方体的棱长为1，则，在中，，所以直线与平面ABCD所成角的正弦值为，故D正确.
故选：.
10．ABC
【分析】对于A，利用导数，结合极小值点的定义，可得答案；
对于B，利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理，可得答案；
对于C，根据切线的求解方程，利用导数检测，可得直线为函数的切线，结合图象，可得答案；
对于D，整理函数解析式，利用奇函数的定义，可得答案.
【详解】由函数，则求导可得，
令，解得或，可得下表：
极大值 极小值
则是的极小值点，故A正确；
，，
由，，
显然函数在分别存在一个零点，即函数存在三个零点，故B正确；
联立，消去可得，化简可得，
则该方程组存在唯一实根，故C正确；
令，
，故D错误.
故选：ABC.
11．BCD
【分析】讨论两顶点的位置，由椭圆的性质结合勾股定理求解.
【详解】由题意可知，，
若这两个顶点为长轴的两个端点时，；
若这两个顶点为短轴的两个端点时，；
若一个顶点短轴的端点，另一个为长轴的端点时，；
故选：BCD
12．AB
【分析】利用函数的平移变换和伸缩变换判断A，利用导函数研究的单调性，结合奇函数的性质判断B，利用是奇函数和是偶函数求得的周期判断CD.
【详解】因为的图象关于直线对称，
所以将的图象向右平移个单位得的图象关于轴对称，
再将的横坐标扩大为原来的2倍得的图象关于轴对称，即为偶函数，A正确；
由题意可得当时令，则在恒成立，
所以单调递减，
又，所以当时，单调递增，当时，，单调递减，
因为是奇函数，所以在上单调递减，B正确；
由A可得关于对称，结合是奇函数可得，
所以，即是以为周期的周期函数，
因为，结合 单调性和关于对称可得在区间上有2个零点，
又因为是定义在上的奇函数，，所以在区间上有6个零点，
所以在区间上有3036个零点，C错误；
因为，，，，
所以，D错误；
故选：AB
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．10
【分析】利用二项式系数和和二项展开式的通项公式即可.
【详解】因为二项式系数和为32，
；
当时，
故答案为：10
14． （答案不唯一，只需满足与直线 和圆都相切即可）.
【分析】根据相切关系，列出圆心和半径应该满足的条件即可.
【详解】设圆的方程为:
和直线相切可以得：
和圆相切得：或
若则
此时圆的方程：
故答案为： （答案不唯一，只需满足与直线 和圆都相切即可）.
15．
【分析】分别求两条曲线的切线方程，比较系数得a的值.
【详解】函数的图象在处的切线的切点为，
因为，所以切线斜率为，切线方程为，即，
设的图象的切线的切点为，因为，所以切线斜率为，
切线方程为，即，
由题，解得，，斜率为.
故答案为：.
16．
【分析】（1）联立直线方程和，求得点的坐标，然后将点代入椭圆方程，化简整理，即可求得本题答案.
【详解】设椭圆的右焦点为，依题意可得，
双曲线的一条渐近线为，
因为，所以，
由，解得，即，又点在椭圆上，
所以，即，
即，即，即，
即，即，
即，即，
即，解得或（舍去），
所以椭圆方程为，则，所以椭圆的离心率.
故答案为：.
解答题：共计40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列中，，.
(1)证明为等比数列；
(2)求数列的前项和.
【详解】(1)证明：由已知条件可得，
又，
∴是首项为，公比为的等比数列；
(2)由（1）得，则，
.
18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面积；
（2）若sinA+sinC=，求C.
【详解】（1）由余弦定理可得，
的面积；
（2）[方法一]：多角换一角
，
，
，
.
[方法二]：正弦角化边
由正弦定理及得．故．
由，得．
又由余弦定理得，所以，解得．
所以．
19．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以的分布列为
（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以．
因为，所以小明应选择先回答类问题．
20．如图，正方体的棱长为1，E，F是线段上的两个动点．
(1)若平面，求的长度；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）连接交于点O，连接，由线面平行证线线平行，证得即可求值；
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量解决线面角问题.
【详解】（1）正方体，连接交于点O，连接，如图所示，
∴平面，平面平面，平面，
∴，又，∴为平行四边形，
则.
（2）以点C为坐标原点，，，方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
，，
，，
设平面的法向量为，则，
取，解得，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
21．已知O为坐标原点，M是椭圆上的一个动点，点N满足，设点N的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程．
(2)若点A，B，C，D在椭圆上，且与交于点P，点P在上．证明：的面积为定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【分析】（1）利用相关点法即得；
（2）由题可得A，B分别为的中点，进而可得C，D都在直线上，然后利用弦长公式及三角形面积公式结合条件即得.
【详解】（1）设，则，
因为，
所以，
所以，
即曲线的方程为；
（2）设，则，
由，可知A，B分别为的中点，
所以，
则，作差可得．
因为，
所以，
同理，
所以C，D都在直线上，
联立，可得，
即，
点P到直线的距离，
所以的面积为，
即的面积为定值．
22．已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.
【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；
（2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.
【详解】（1）当时，，，
令，解得，令，解得，
所以的减区间为，增区间为；
（2）若有两个零点，即有两个解，
从方程可知，不成立，即有两个解，
令，则有，
令，解得，令，解得或，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
且当时，，
而时，，当时，，
所以当有两个解时，有，
所以满足条件的的取值范围是：.贵阳市北大培文学校 2022-2023 学年第二学期 3 月月考
高二年级数学试题（1-3班适用）
考试时间：120 分钟 分值：150 分
一、单项选择题(本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中只有
一项符合题目要求)
1.已知函数 = 2 + 3，则 y在 2,2.1 上的平均变化率为（ ）
A．0.2 B．2 C．0.4 D．4
2.某质点沿直线运动，位移 y（单位：m）与时间 t（单位：s）之间的关系为 y t 4t2 3，
则质点在 t 2时的瞬时速度为（ ）
A．19m/s B．16m/s C．11m/s D．8m/s
3.已知函数 f x 的导函数为 f x ，且 f 1 3 lim 1+ 1，则 =( )
→0
1
A． 1 B．3 C． D．1
3
4.设函数 f x cos x ，则 f x 在 ,0 处的切线方程为（ ）
2
A． x y 1 0 B． x y 1 0
C． x y 0 D． x y 0
2 2
5.由数字 1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为( )
A．15 B．12 C．10 D．5
6.从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出 5个元素组成子集，使得这 5个元素中任意两个元素的
和都不等于 11，则这样的子集有( )
A．32个 B．34个 C．36个 D．38个
7. f x f x f x f x 偶函数 为 的导函数， 的图象如图所示，则函数 的图象可能为（ ）
1
A． B．
C． D．
8.对于函数 f (x)
x
，下列说法正确的是（ ）
ln x
A．单调递减区间是 (0,e) B．有极小值 e C．有最小值 e D．最大值为
二、多项选择题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的四个选项中有多
项符合题目要求，全部选对得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的不得分)
9. 3 2已知函数 f x x ax bx c，下列结论中正确的是（ ）
A． x0 R， f x0 0
B．函数 f x 的值域为 R
C．若 x0是 f x 的极值点，则 f x0 0
D．若 x0是 f x 的极小值点，则 f x 在区间 , x0 单调递减
10.如图是导数 y＝f′(x)的图象，下列说法正确的是( )
A.(－1，3)为函数 y＝f(x)的单调递增区间
B.(3，5)为函数 y＝f(x)的单调递减区间
C.函数 y＝f(x)在 x＝0处取得极大值
D.函数 y＝f(x)在 x＝5处取得极小值
11.已知函数 f(x)及其导函数 f′(x)，若存在 x0，使得 f(x0)＝f′(x0)，则称 x0是 f(x)的一个“巧值
点”，则下列函数中有“巧值点”的是( )
A.f(x)＝x2 B.f(x) e－＝ x C.f(x)＝ln x D.f(x) 1＝
x
12.已知 f (x)的导函数为 f (x)，且 f (x) f (x) 0 对任意的 x R 恒成立，则（ ）
A． 2 f (ln 2) f (0) B． e2 f (2) f (0) C． 2 f (ln 2) f (0) D． e2 f (2) f (0)
2
三、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，把答案填在题中的横线上)
13.如图所示，在 A，B间有 4个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致线路不通，现发现 A，
B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．
14.函数 f(x)＝x3－3x的单调递减区间是________.
15.函数 f x x x 在区间 0,3 上的最小值为_________.e
16.法国数学家拉格朗日于 1797年在其著作《解析函数论》中给出一个定理：如果函数 y＝
f(x)满足条件：
(1)在闭区间[a，b]上是连续不断的；
(2)在区间(a，b)上都有导数.
则在区间(a，b)上至少存在一个实数 t，使得 f(b)－f(a)＝f′(t)(b－a)，其中 t称为“拉格朗日
中值”.函数 g(x)＝x2在区间[0，1]上的“拉格朗日中值”t＝________.
四、解答题(本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分) f x ex已知函数 ．
(1)求函数 f x 的图象在 x 1处的切线方程；
(2)令 g x f x x2 4x 1 ，求函数 g x 的单调区间．
18.(12分)当 x∈[－1，2]时，x3－x2－x＜m恒成立，则实数 m的取值范围
19.(12分)(1)有 8本不同的书，任选 3本分给 3个同学，每人 1本，有多少种不同的分法？
(2)4位旅客到 3个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？
3
20.(12分)已知函数 f(x)＝xln x(x>0).
(1)求 f(x)的单调区间和极值；
2
(2)若对任意 x∈(0，＋∞)，f(x) －x ＋mx－3≥ 恒成立，求实数 m的最大值.
2
21.(12分)现有 0，1，2，3，4，5六个数字．
（1）用所给数字能够组成多少个四位数？
（2）用所给数字组成没有重复数字的五位数中，比 40000大的偶数有多少个？
22.(12分)已知两曲线 y x3 ax和 y x2 bx c都经过点 P 1,2 ，且在点 P处有公切线．
(1)求 a，b，c的值；
(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(3)若曲线 y ln bx 1 上的点 M到直线 2x y 3 0的距离最短，求点 M的坐标和最短距
离．
4
