2022-2023学年浙教版七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请将正确答案填在答题卷的相应位置上）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3x﹣x＝3 B．（x2）3＝x5 C．x2 x3＝x5 D．（2x）2＝2x2
2．（3分）如图，已知直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1＝110°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．110°
3．（3分）如图是一个安全用电标记图案，可以抽象为下边的几何图形，其中AB∥DC，BE∥FC，点E，F在AD上，若∠A＝15°，∠B＝65°，则∠AFC的度数是（ ）
A．50° B．65° C．80° D．90°
4．（3分）若x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），则m的值是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．2
5．（3分）由方程组，可得到x与y的关系式是（ ）
A．x﹣y＝8 B．x﹣y＝2 C．x﹣y＝﹣2 D．x﹣y＝﹣8
6．（3分）把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A．a（x﹣2）2 B．a（x+2）2
C．a（x﹣4）2 D．a（x+2）（x﹣2）
7．（3分）若M＝（a+3）（a﹣4），N＝（a+2）（2a﹣5），其中a为有理数，则M、N的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定
8．（3分）如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ）
A．2cm2 B．2acm2 C．4acm2 D．（a2﹣1）cm2
9．（3分）如果多项式4x4+4x2+M是完全平方式，那么M不可能是（ ）
A．x6 B．8x3 C．1 D．4
10．（3分）已知关于x、y的二元一次方程组给出下列结论：①当k＝5时，此方程组无解；②若此方程组的解也是方程6x+15y＝16的解，则k＝10；③无论整数k取何值，此方程组一定无整数解（x、y均为整数），其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
二、填空题：（本大题共8小题，每题2分，共16分.请将正确答案写在答题卷的相应位置上）
11．（2分）已知m+n＝4，mn＝5，则多项式m2n+mn2的值是 ．
12．（2分）已知是方程mx+3y＝1的一个解，则m的值是 ．
13．（2分）如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1＝120°，∠2＝40°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转 °．
14．（2分）如图是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置OP1、OP2与线绳的夹角分别是30°和70°，则吊杆前后两次的夹角∠P1OP2＝ °．
15．（2分）若代数式x2+3x+2可以表示为（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，则a+2b的值是 ．
16．（2分）某商品按标价八折出售仍能盈利b元，若此商品的进价为a元，则该商品的标价为 元．（用含a，b的代数式表示）．
17．（2分）已知x2﹣2（m+1）xy+16y2是一个完全平方式，则m的值是 ．
18．（2分）已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于 ．
三、解答题（共54分，要有必要解题过程.）
19．（6分）已知方程组的解恰好是方程x+y＝11的解，求a的值．
20．（12分）化简
（1）
（2）（﹣2a+b）（﹣2a+b）
（3）[（2x﹣y）2+（y﹣2x）（2x﹣4y）+（x﹣2y）2]÷（x+y）﹣1
21．（12分）在实数范围内因式分解
（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）
（2）x4﹣81
（3）
（4）x7y7﹣16x4y4+64xy
22．（5分）如图，DB∥FG∥EC，∠ABD＝60°，∠ACE＝40°，AP平分∠BAC．
（1）求∠BAG的度数．
（2）求∠PAG的度数．
23．（5分）设实数x，y满足y＝5﹣x，x＝6y﹣1，求x2+y2，x3+y3的值．
24．（5分）已知实数x，y满足x2﹣2xy+y2﹣y+12＝0，求代数式xy的最小值并指出是否存在取到最小值时的x，y值．
25．（9分）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到（a+b）2＝a2+2ab+b2
（1）写出由图2所表示的数学等式：
（2）写出由图3所表示的数学等式：
（3）已知实数a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1
求①ab+bc+ca的值
②a3+b3+c3﹣3abc的值
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请将正确答案填在答题卷的相应位置上）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3x﹣x＝3 B．（x2）3＝x5 C．x2 x3＝x5 D．（2x）2＝2x2
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、3x﹣x＝2x；
B、（x2）3＝x6，故本选项不符合题意；
C、x2 x3＝x5，故本选项符合题意；
D、（2x）2＝4x2，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．
2．（3分）如图，已知直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1＝110°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．110°
【分析】直接根据平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠3＝∠1＝110°，
∴∠2＝180°﹣110°＝70°，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
3．（3分）如图是一个安全用电标记图案，可以抽象为下边的几何图形，其中AB∥DC，BE∥FC，点E，F在AD上，若∠A＝15°，∠B＝65°，则∠AFC的度数是（ ）
A．50° B．65° C．80° D．90°
【分析】先根据平行线的性质得出∠DFC＝∠AEB，再由∠AFC+∠DFC＝180°即可得出结论．
【解答】解：∵BE∥FC，∠A＝15°，
∴∠DFC＝∠AEB＝180°﹣15°﹣65°＝100°，
∵∠AFC+∠DFC＝180°
∴∠AFC＝180°﹣100°＝80°．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，先根据题意得出∠DFC的度数是解答此题的关键．
4．（3分）若x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），则m的值是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．2
【分析】把等式的右边展开得：x2+mx﹣15＝x2+nx+3x+3n，然后根据对应项系数相等列式求解即可．
【解答】解：∵x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），
∴x2+mx﹣15＝x2+nx+3x+3n，
∴3n＝﹣15，m＝n+3，
解得n＝﹣5，m＝﹣5+3＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查因式分解与多项式的乘法是互为逆运算，根据对应项系数相等列出等式是解本题的关键．
5．（3分）由方程组，可得到x与y的关系式是（ ）
A．x﹣y＝8 B．x﹣y＝2 C．x﹣y＝﹣2 D．x﹣y＝﹣8
【分析】把方程组的两边同时相减，判断出x与y的关系式即可．
【解答】解：
①﹣②，可得
x﹣y﹣m﹣4＝5﹣m，
∴x﹣y＝8．
故选：A．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
6．（3分）把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A．a（x﹣2）2 B．a（x+2）2
C．a（x﹣4）2 D．a（x+2）（x﹣2）
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：ax2﹣4ax+4a，
＝a（x2﹣4x+4），
＝a（x﹣2）2．
故选：A．
【点评】本题先提取公因式，再利用完全平方公式分解，分解因式时一定要分解彻底．
7．（3分）若M＝（a+3）（a﹣4），N＝（a+2）（2a﹣5），其中a为有理数，则M、N的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定
【分析】把M与N代入M﹣N中计算，判断差的正负即可得到结果．
【解答】解：∵M﹣N＝（a+3）（a﹣4）﹣（a+2）（2a﹣5）＝a2﹣a﹣12﹣2a2+a+10＝﹣a2﹣2≤﹣2＜0，
∵M＜N．
故选：B．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（3分）如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ）
A．2cm2 B．2acm2 C．4acm2 D．（a2﹣1）cm2
【分析】根据题意得出矩形的面积是（a+1）2﹣（a﹣1）2，求出即可．
【解答】解：矩形ABCD的面积是S正方形EFGH﹣S正方形HQNM
＝（a+1）2﹣（a﹣1）2，
＝a2+2a+1﹣（a2﹣2a+1），
＝4a（cm3），
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力，题型较好，难度不大．
9．（3分）如果多项式4x4+4x2+M是完全平方式，那么M不可能是（ ）
A．x6 B．8x3 C．1 D．4
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【解答】解：A、当M＝x6时，原式＝4x4+4x2+x6＝（x3+2x）2，故正确；
B、当M＝8x3时，原式＝4x4+4x2+8x3＝（2x2+2x）2，故正确；
C、当M＝1时4x4+4x2+1＝（2x2+1）2，故正确；
D、当M＝4时x4+2x2+4，不正确，
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10．（3分）已知关于x、y的二元一次方程组给出下列结论：①当k＝5时，此方程组无解；②若此方程组的解也是方程6x+15y＝16的解，则k＝10；③无论整数k取何值，此方程组一定无整数解（x、y均为整数），其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
【分析】①将k＝5代入，得到方程组，求解即可做出判断；
②解方程组得：，把x＝，y＝代入6x+15y＝16，即可做出判断；
③解方程组得：，根据k为整数即可作出判断．
【解答】解：∵当k＝5时，方程组为；∴①正确；
∵解方程组得：，
把x＝，y＝，方程左右两边相等；
∵解方程组得：，
又∵k为整数，若y是整数，﹣5，2，1，﹣8此时x不是整数，
∴x、y不能均为整数．
故选：A．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
二、填空题：（本大题共8小题，每题2分，共16分.请将正确答案写在答题卷的相应位置上）
11．（2分）已知m+n＝4，mn＝5，则多项式m2n+mn2的值是 20 ．
【分析】首先将原式变形为mn（m+n），再将m+n＝4，mn＝5代入可得结果．
【解答】解：因为m+n＝4，mn＝5，
所以m2n+mn2＝mn（m+n）＝5×4＝20，
故答案为：20．
【点评】本题主要考查了代数式求值．能够正确运用整体代入法是解答此题的关键．
12．（2分）已知是方程mx+3y＝1的一个解，则m的值是 5 ．
【分析】把代入方程mx+3y＝1，即可解答．
【解答】解：∵是方程mx+3y＝1的一个解，
∴2m﹣9＝1，
解得：m＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是明确二元一次方程组的解的定义．
13．（2分）如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1＝120°，∠2＝40°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转 20 °．
【分析】根据同位角相等，两直线平行推出即可．
【解答】解：旋转20°，理由是：
如图，旋转到直线b′，
∵∠1＝120°，
∴∠DAE＝180°﹣120°＝60°，
∵∠EAC＝20°，
∴∠DAC＝60°﹣20°＝40°，
∵∠2＝40°，
∴∠7＝∠DAC，
∴直线c∥直线b′，
即当直线b绕点A逆时针旋转20°时，直线b与直线c平行，
故答案为：20．
【点评】本题考查了平行线的判定，旋转的性质的应用，能熟记平行线的判定是解此题的关键．
14．（2分）如图是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置OP1、OP2与线绳的夹角分别是30°和70°，则吊杆前后两次的夹角∠P1OP2＝ 40 °．
【分析】首先根据题意可得：P1A∥P2B，∠1＝30°，∠2＝70°，然后求得∠OAP1的度数，再根据三角形内角和180°，求得吊杆前后两次的夹角∠P1OP2的度数．
【解答】解：根据题意得：P1A∥P2B，∠1＝30°，
∴∠3＝∠2＝70°，
∴∠OAP1＝180°﹣70°＝110°，
∴∠P1OP2＝180°﹣∠OAP1﹣∠1＝180°﹣110°﹣30°＝40°．
故答案为：40．
【点评】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，内错角相等．
15．（2分）若代数式x2+3x+2可以表示为（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，则a+2b的值是 17 ．
【分析】根据题意列出等式，整理后确定出a与b的值，即可求出a+2b的值．
【解答】解：根据题意得：x2+3x+2＝（x﹣1）2+a（x﹣1）+b＝x2+（a﹣2）x﹣a+b+1，
∴a﹣2＝3，﹣a+b+1＝2，
解得：a＝5，b＝6，
则a+2b＝5+2×6＝17，
故答案为：17．
【点评】此题考查了配方法的应用，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（2分）某商品按标价八折出售仍能盈利b元，若此商品的进价为a元，则该商品的标价为 元．（用含a，b的代数式表示）．
【分析】首先设标价x元，由题意得等量关系：标价×打折﹣利润＝进价，代入相应数值，再求出x的值．
【解答】解：设标价x元，由题意得：
80%x﹣b＝a，
解得：x＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，标价×打折﹣利润＝进价．
17．（2分）已知x2﹣2（m+1）xy+16y2是一个完全平方式，则m的值是 ﹣5或3 ．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：∵（x±4y）2＝x2±8xy+16y2，
∴﹣2m﹣2＝±8，
∴m＝﹣5或3，
故答案为：﹣5或3；
【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
18．（2分）已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于 4 ．
【分析】已知等式变形后代入原式，利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可确定出最小值．
【解答】解：∵m﹣n2＝1，即n2＝m﹣1≥0，m≥1，
∴原式＝m2+2m﹣2+4m﹣1＝m2+6m+9﹣12＝（m+3）2﹣12，
则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于（1+3）2﹣12＝4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
三、解答题（共54分，要有必要解题过程.）
19．（6分）已知方程组的解恰好是方程x+y＝11的解，求a的值．
【分析】两方程相加后，方程的两边同除以7即可得到结论．
【解答】解：，
①+②得，7（x+y）＝2a﹣3，
∴x+y＝，
∵x+y＝11，
∴＝11．a=40
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解，熟知能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系．
20．（12分）化简
（1）
（2）（﹣2a+b）（﹣2a+b）
（3）[（2x﹣y）2+（y﹣2x）（2x﹣4y）+（x﹣2y）2]÷（x+y）﹣1
【分析】（1）根据负整数指数幂和零指数幂可以解答本题；
（2）根据完全平方公式可以解答本题；
（3）根据完全平方公式及多项式除以多项式可以解答本题．
【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣27×9+1，
＝﹣243；
（2）原式＝4a2﹣5ab+b2；
（3）原式＝[（2x﹣y）2﹣2（2x﹣y）（x﹣2y）+（x﹣2y）2]÷（x+y）﹣1，
＝（x+y）2÷（x+y）﹣1，
＝（x+y）3．
【点评】本题考查整式的混合运算、实数的运算、零指数幂，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
21．（12分）在实数范围内因式分解
（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）
（2）x4﹣81
（3）
（4）x7y7﹣16x4y4+64xy
【分析】（1）根据提取公因式的方法分解即可；
（2）根据平方差公式分解因式即可；
（3）首先提取公因式，然后利用公式法分解即可；
（4）首先提取公因式，然后利用公式法分解即可．
【解答】解：（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）＝（a﹣b）（2m+3n）；
（2）x4﹣81＝（x2+9）（x2﹣9）＝（x2+9）（x+3）（x﹣3）；
（3）＝[（3m﹣n）2﹣4（m+3n）2]＝[（7m﹣n）+2（m+3n）][（6m﹣n）﹣2（m+3n）]＝；
（4）x7y7﹣16x4y4+64xy＝xy（x6y6﹣16x3y3+64）＝xy（x3y3﹣8）2．
【点评】本题考查了实数范围内因式分解：利用完全平方公式或平方差公式在实数范围内进行因式分解．
22．（5分）如图，DB∥FG∥EC，∠ABD＝60°，∠ACE＝40°，AP平分∠BAC．
（1）求∠BAG的度数．
（2）求∠PAG的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质解答即可；
（2）由平行线的性质得出内错角相等，求出∠BAC的度数，再由角平分线的定义得出∠PAC的度数，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵DB∥FG∥EC，∠ABD＝60°，
∴∠BAG＝∠ABD＝60°，
（2）∵DB∥FG∥EC，
∴∠BAG＝∠ABD＝60°，∠GAC＝∠ACE＝40°；
∴∠BAC＝∠BAG+∠GAC＝100°，
∵AP是∠BAC的平分线，
∴∠PAC＝∠BAC＝50°，
∴∠PAG＝∠PAC﹣∠GAC＝50°﹣40°＝10°
【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义；熟练掌握平行线的性质，由平行线的性质得出∠BAC的度数是解决问题的关键．
23．（5分）设实数x，y满足y＝5﹣x，x＝6y﹣1，求x2+y2，x3+y3的值．
【分析】先求出x+y和xy的值，再根据完全平方公式即可求出x2+y2，先把x3+y3分解因式，代入后即可求出答案．
【解答】解：∵实数x，y满足y＝5﹣x﹣1＝，
∴x+y＝5，xy＝6，
∴x7+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣7×6＝13；
x3+y7＝（x+y）（x2﹣xy+y2）＝8×（13﹣6）＝35．
【点评】本题考查了完全平方公式和立方和公式，能正确根据公式进行变形是解此题的关键．
24．（5分）已知实数x，y满足x2﹣2xy+y2﹣y+12＝0，求代数式xy的最小值并指出是否存在取到最小值时的x，y值．
【分析】根据配方法将原式化为非负式子的形式即可求xy的最小值，再根据整体代入法即可得结论．
【解答】解：由题意得：
（x﹣y）2﹣（x+y）+12＝3，
（x+y）2﹣4xy﹣（x+y）+12＝0，
配方，得（x+y）2﹣（x+y）+﹣，
即（x+y﹣）2+＝2xy，
∴xy＝（x+y﹣）2+，
∵（x+y﹣）2≥0，
∴（x+y﹣）2+≥，
∴代数式xy的最小值是，
把xy的最小值代入（x+y﹣）2+＝2xy，得
x+y＝，
再将x+y＝代入（x﹣y）2﹣（x+y）+12＝0，得
（x+y）2＝﹣，
此方程不成立，
所以不存在取到最小值时的x，y值．
答：代数式xy的最小值为，不存在取到最小值时的x．
【点评】本题考查了配方法的应用、非负数的性质，解决本题的关键是熟练掌握配方法和完全平方公式的变形．
25．（9分）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到（a+b）2＝a2+2ab+b2
（1）写出由图2所表示的数学等式：
（2）写出由图3所表示的数学等式：
（3）已知实数a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1
求①ab+bc+ca的值
②a3+b3+c3﹣3abc的值
【分析】（1）大正方形的面积等于9个长方形的面积和；
（2）图中阴影部分面积为正方形等于阴影部分面积等于大正方形面积减去8个长方形面积；
（3）①将（1）式子变形ab+bc+ca＝[（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）]，代入已知即可求解；②先求出（a+b+c）3＝a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3bc2+6abc，再结合已知条件，将式子逐步代入，得到1＝3（a+b+c）﹣2（a3+b3+c3）+6abc，即可求解．
【解答】解：（1）大正方形的面积为（a+b+c）2，
9个长方形的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）图中阴影部分面积为正方形，则有（a﹣c﹣b）（a﹣b﹣c）＝（a﹣b﹣c）2，
阴影部分面积等于大正方形面积减去8个长方形面积，即a2+b2+c2﹣6ab﹣2ac+2bc，
∴（a﹣b﹣c）2＝a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac+2bc；
（3）①由（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
可得ab+bc+ca＝ [（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）]，
∵a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1，
∴ab+bc+ca＝0；
②∵（a+b+c）3＝a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3bc2+3abc，
∵a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1，
∴8＝a3+b3+c3+3[b（a2+c2）+a（b2+c2）+c（a2+b2）]+6abc＝a3+b3+c3+5[b（1﹣b2）+a（8﹣a2）+c（1﹣c2）]+6abc
1＝3（a+b+c）﹣2（a3+b3+c3）+6abc，
∴6＝3﹣2（a3+b3+c3）+8abc，
∴a3+b3+c3﹣3abc＝1．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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