2022-2023学年福建省福州市鼓楼区延安中学八年级（下）第一次适应性数学试卷
一、选择题：（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个正确答案.）
1．一种微粒的半径是0.00002米，数0.00002用科学记数法表示为（ ）
A．2×10﹣5 B．0.2×10﹣4 C．2×10﹣3 D．2×105
2．下面四组数，其中是勾股数组的是（ ）
A．3，4，5 B．0.3，0.4，0.5
C．32，42，52 D．6，7，8
3．平面直角坐标系内的点A（﹣1，3）与点B（﹣1，﹣3）的位置关系是（ ）
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．无法确定
4．下列各式中，正确的是（ ）
A． B．﹣ C． D．
5．下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当x＝2时，的值为零
B．当x为任意实数时，的值总为正数
C．无论x为何值，不可能得整数值
D．当x≠3时，有意义
6．如果a＝（﹣2012）0，b＝（﹣0.1）﹣1，c＝（﹣）﹣2，那么a、b、c三个数的大小为（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a
7．如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A．∠BAQ＝40° B．DE＝BD C．AF＝AC D．∠EQF＝25°
8．若x＝2m+1，y＝3+4m，则用含x的代数式表示y为（ ）
A．3+ B．3+x2 C．3+ D．3+4x2
9．如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为﹣2，2，CB⊥AB于点B，且BC＝2．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（ ）
A．2﹣2 B．2﹣4 C．4﹣4 D．2﹣4
10．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使B与C重合，CD，AE相交于F，已知BD＝4AD，设△ABC的面积为S，△CEF的面积为S1，△ADF的面积为S2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分.）
11．在有理数范围内分解因式：2a2﹣4a＝ ．
12．如图，在等边三角形ABC中AB＝2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE＝CD，则BE的长为 ．
13．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ．
14．若（2023﹣x）（x﹣2021）＝﹣2022，则（2023﹣x）2+（x﹣2021）2的值为 ．
15．设，，，…，．
设，则S＝ （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 ．
三、解答题：（本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（16分）计算：
（1）（a﹣1b2）3；
（2）（4a2b3﹣8a3b2）÷（﹣2ab）2；
（3）；
（4）（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y）．
18．如图是单位长度为1的正方形网格．
（1）在图1中画出一条长度为的线段AB；
（2）在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形．
19．先化简：，然后再从﹣2＜x≤2的范围内选取一个合适的整数x代入求值．
20．若a，b，c都是实数，且，c为的小数部分，求a+b+c的值．
21．某商店第一次用6300元购进某款球鞋，很快卖完，第二次又用4200元购进该款球鞋，但这次每双球鞋的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了40双．
（1）求第一次每双球鞋的进价是多少元？
（2）若第二次进货后按160元/双的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的球鞋按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于2200元，问最低可打几折？
22．如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高，将△ADC沿AD所在的直线翻折，使点C落在BC边上的点E处．
（1）若AB＝20，AC＝13，CD＝5，求△ABC的面积；
（2）求证：AB2﹣AC2＝BE BC．
23．对于平面内三个点P，A，B，给出如下定义：将线段PA与线段PB长度的和叫做线段AB关于点P的折线距离，记为d（P，AB）．例如图1中，A，B，C三点共线，AB＝2，BC＝1，则线段AC关于点B的折线距离d（B，AC）＝BA+BC＝2+1＝3，线段AB关于点C的折线距离d（C，AB）＝CA+CB＝3+1＝4．
（1）如图2，△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝90°，D是AB中点，
①d（A，DC）＝ ．
②P是线段BC上动点，确定点P的位置使得d（P，AD）的值最小，并求出d（P，AD）的最小值．
（2）△ABC中，AB＝AC＝2，过点C作AC的垂线l，点Q在直线l上，直接写出d（Q，AB）的最小值的取值范围．
24．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式．
（1）请根据以上信息，写出根分式M＝中x的取值范围： ；
（2）已知两个根分式M＝与N＝．
①是否存在x的值使得N2﹣M2＝1，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由；
②当M2+N2是一个整数时，求无理数x的值．
25．平面直角坐标系中，点在x轴正半轴，点B（0，b）在y轴正半轴，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，点C关于y轴的对称点为点D，连接AD，BD，且AD交y轴于点E．
（1）在图中，补全图形，并填空：
①若点C（2，3），则点D的坐标是 ；
②若∠CBD＝140°，则∠AEO＝ °；
（2）如图，若|a﹣2|+b2﹣4b+4＝0，求证：BD垂直平分AC；
（3）当a＜b时，探究OE，BE，DE的数量关系，并证明．
参考答案
一、选择题：（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个正确答案.）
1．一种微粒的半径是0.00002米，数0.00002用科学记数法表示为（ ）
A．2×10﹣5 B．0.2×10﹣4 C．2×10﹣3 D．2×105
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：数0.00002用科学记数法表示为2×10﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．下面四组数，其中是勾股数组的是（ ）
A．3，4，5 B．0.3，0.4，0.5
C．32，42，52 D．6，7，8
【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足a2+b2＝c2 的三个数，称为勾股数．由此判定即可．
解：A、32+42＝52，能构成勾股数，故正确；
B、0.3，0.4，0.5，不是正整数，所以不是勾股数，故错误；
C、（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成勾股数，故错误；
D、62+72≠82，不能构成勾股数，故错误．
故选：A．
【点评】此题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
3．平面直角坐标系内的点A（﹣1，3）与点B（﹣1，﹣3）的位置关系是（ ）
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．无法确定
【分析】纵坐标互为相反数，横坐标不变可知两点关于x轴对称．
解：平面直角坐标系内的点A（﹣1，3）与点B（﹣1，﹣3）关于x轴对称．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
4．下列各式中，正确的是（ ）
A． B．﹣ C． D．
【分析】利用二次根式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
解：∵＝|﹣3|＝3，
∴A选项的结论不正确；
∵﹣＝﹣3，
∴B选项的结论正确；
∵＝|﹣3|＝3，
∴C选项的结论不正确；
∵＝3，
∴D选项的结论不正确，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质，正确利用二次根式的性质对每个选项进行判断是解题的关键．
5．下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当x＝2时，的值为零
B．当x为任意实数时，的值总为正数
C．无论x为何值，不可能得整数值
D．当x≠3时，有意义
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0；分式的值为正数的条件是分式的分子、分母同号；分式值是0的条件是分子等于0，分母不为0即可得到结论．
解：A、当x＝2时，无意义，故本选项不合题意；
B、当x为任意实数时，的值总为正数，故本选项符合题意；
C、当x＝0或2时，能得整数值，故本选项不合题意；
D、当x≠0时，有意义，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件．分式有意义的条件是分母不等于0．分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．
6．如果a＝（﹣2012）0，b＝（﹣0.1）﹣1，c＝（﹣）﹣2，那么a、b、c三个数的大小为（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则分别进行计算，从而作出判断．
解：由题意可得：a＝1，b＝﹣10，c＝，
∴a＞c＞b，
故选：C．
【点评】本题考查负整数指数幂，零指数幂，理解a0＝1（a≠0），a﹣p＝（a≠0）是解题关键．
7．如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A．∠BAQ＝40° B．DE＝BD C．AF＝AC D．∠EQF＝25°
【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．
解：A．由作图可知，AQ平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠CAP＝∠BAC＝40°，
故选项A正确，不符合题意；
B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴DE＝BD，
故选项B正确，不符合题意；
C．∵∠B＝30°，∠BAP＝40°，
∴∠AFC＝70°，
∵∠C＝70°，
∴AF＝AC，
故选项C正确，不符合题意；
D．∵∠EFQ＝∠AFC＝70°，∠QEF＝90°，
∴∠EQF＝20°；
故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
8．若x＝2m+1，y＝3+4m，则用含x的代数式表示y为（ ）
A．3+ B．3+x2 C．3+ D．3+4x2
【分析】先根据x＝2m+1，得到，再根据y＝3+4m＝3+22m＝3+（2m）2，即可解答．
解：x＝2m+1，
x＝2m×2，
，
y＝3+4m＝3+22m＝3+（2m）2＝3+＝3+．
故选：C．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解决本题的关键是熟记幂的乘方和积的乘方法则．
9．如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为﹣2，2，CB⊥AB于点B，且BC＝2．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（ ）
A．2﹣2 B．2﹣4 C．4﹣4 D．2﹣4
【分析】根据勾股定理求出AC，即可得到，再根据点移动的规律求出答案．
解：∵点A，B表示的数分别为﹣2，2，
∴AB＝2﹣（﹣2）＝4，
∵CB⊥AB于点B，且BC＝2，
∴，
∵CD＝BC＝2，
∴，
∴，
∴点E表示的实数是．
故选：B．
【点评】此题考查了勾股定理，数轴上两点之间的距离，点移动的规律，正确掌握勾股定理求出AC是解题的关键．
10．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使B与C重合，CD，AE相交于F，已知BD＝4AD，设△ABC的面积为S，△CEF的面积为S1，△ADF的面积为S2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由折叠性质可得S1+S△DEF＝S△BDE...①，过E作EH⊥AB于H，CM⊥AB交BA的延长线于M，由三角形面积公式得S2+S△DEF＝S△BDE...②，①﹣②得，S1﹣S2＝S△BDE，然后由三角形的和差倍分可得答案．
解：由折叠可知△BDE≌△CDE，
∴S△CDE＝S△BDE，
∴S△CEF+S△DEF＝S△BDE，
∴S1+S△DEF＝S△BDE...①，
过E作EH⊥AB于H，CM⊥AB交BA的延长线于M，
∴S△ADE＝AD EH，S△BDE＝BD EH，
∵BD＝4AD，
∴AD＝BD，
∴S△ADE＝BD EH＝ BD EH＝S△BDE，
∴S2+S△DEF＝S△BDE...②，
①﹣②得，S1﹣S2＝S△BDE，
∵CM⊥AB，
∴S△ABC＝S＝AB CM＝（AD+BD） CM
＝（AD+4AD） CM
＝×5AD CM，
S△BDC＝BD CM＝×4AD CM，
∴2S△BDE＝×4BD CM，
∴＝，
∴S＝S△BDE，
∴＝＝，
故选：C．
【点评】此题考查的是翻折变换、三角形的面积公式，正确作出辅助线是解决此题关键．
二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分.）
11．在有理数范围内分解因式：2a2﹣4a＝ 2a（a﹣2） ．
【分析】直接提公因式即可分解．
解：2a2﹣4a＝2a（a﹣2），
故答案为：2a（a﹣2）．
【点评】本题考查了因式分解，利用了了提公因式法，注意分解要彻底．
12．如图，在等边三角形ABC中AB＝2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE＝CD，则BE的长为 3 ．
【分析】由等边三角形的性质可得AC＝BC＝AB＝2，根据BD是∠ABC的高线，可得AD＝CD＝1，再由题中条件CE＝CD，即可求得BE．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝2，
∵BD是∠ABC的高线，
∴D为AC的中点，
∴AD＝CD＝AC，
∵CE＝CD，
∴CE＝AC＝1，
∴BE＝BC+CE＝2+1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD＝CD＝AC是正确解答本题的关键．
13．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 m≥2且m≠3 ．
【分析】解出分式方程，根据解是非负数求出m的取值范围，再根据x＝1是分式方程的增根，求出此时m的值，得到答案．
解：去分母得，
m﹣3＝x﹣1，
解得x＝m﹣2，
由题意得，m﹣2≥0，
解得，m≥2，
x＝1是分式方程的增根，所有当x＝1时，方程无解，即m≠3，
所以m的取值范围是m≥2且m≠3．
故答案为：m≥2且m≠3．
【点评】本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程的增根的判断方法是解题的关键．
14．若（2023﹣x）（x﹣2021）＝﹣2022，则（2023﹣x）2+（x﹣2021）2的值为 4048 ．
【分析】将（2023﹣x）和（x﹣2021）看作一个整体，利用完全平方公式变形计算即可．
解：∵（2023﹣x）（x﹣2021）＝﹣2022，
∴（2023﹣x）2+（x﹣2021）2
＝[（2023﹣x）+（x﹣2021）]2﹣2（2023﹣x）（x﹣2021）
＝4﹣2（2023﹣x）（x﹣2021）
＝4﹣2×（﹣2022）
＝4048．
故答案为：4048．
【点评】本题考查了完全平方公式，解题的关键是利用整体的数学思想，灵活运用完全平方公式．
15．设，，，…，．
设，则S＝ （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
【分析】由Sn＝1++＝＝＝，求，得出一般规律．
解：∵Sn＝1++＝＝＝，
∴＝＝1+＝1+﹣，
∴S＝1+1﹣+1+﹣+…+1+﹣
＝n+1﹣
＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值．关键是由Sn变形，得出一般规律，寻找抵消规律．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 ．
【分析】以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，由“SAS”可证△ABE≌△ACP，可得BE＝PC，则当BE有最小值时，PC有最小值，即可求解．
解：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，
∵点A的坐标为（0，6），
∴OA＝6，
∵点P为OA的中点，
∴AP＝3，
∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP，
∴AF＝PF＝，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAP，
在△ABE和△ACP中，
，
∴△ABE≌△ACP（SAS），
∴BE＝PC，
∴当BE有最小值时，PC有最小值，
即BE⊥x轴时，BE有最小值，
∴BE的最小值为OF＝OP+PF＝3+＝，
∴PC的最小值为，
故答案为．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
三、解答题：（本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（16分）计算：
（1）（a﹣1b2）3；
（2）（4a2b3﹣8a3b2）÷（﹣2ab）2；
（3）；
（4）（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y）．
【分析】（1）直接利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得出答案；
（2）先算乘方，再算除法；
（3）先算开方和绝对值，再算加减法；
（4）运用完全平方公式及平方差公式计算即可．
解：（1）原式＝a﹣3b6
＝；
（2）原式＝（4a2b3﹣8a3b2）÷4a2b2
＝（4÷4）a2﹣2b3﹣2﹣（8÷4）a3﹣2b2﹣2
＝b﹣2a；
（3）
＝
＝；
（4）原式＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy
＝9xy．
【点评】本题主要考查了二次根式的运算、整式的混合运算，掌握实数、整式的运算法则和运算顺序及是解决本题的关键．
18．如图是单位长度为1的正方形网格．
（1）在图1中画出一条长度为的线段AB；
（2）在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形．
【分析】（1）根据勾股定理作出以1和3直角边的三角形的斜边即可；
（2）利用勾股定理作以为边的正方形即可．
解：如图所示．
【点评】本题考查了勾股定理，是基础题，熟练掌握网格结构以及勾股定理的应用是解题的关键．
19．先化简：，然后再从﹣2＜x≤2的范围内选取一个合适的整数x代入求值．
【分析】先将分式化简，再从﹣2＜x≤2的范围内选取一个不是增根的数代入求值．
解：原式＝+
＝+
＝+
＝
＝，
当x＝﹣1时，原式＝0．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式化简的方法．
20．若a，b，c都是实数，且，c为的小数部分，求a+b+c的值．
【分析】根据二次根式有意义的条件求出a值，从而得到b值，再估算出的范围，从而得到小数部分，即为c值，代入计算即可．
解：∵，
∴a﹣1≥0，1﹣a≥0，
∴a＝1，
∴b＝2，
∵，
∴，
∴，
∴的小数部分为，即，
∴．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，无理数的估算，利用被开方数是非负数得出a的值是解题关键．
21．某商店第一次用6300元购进某款球鞋，很快卖完，第二次又用4200元购进该款球鞋，但这次每双球鞋的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了40双．
（1）求第一次每双球鞋的进价是多少元？
（2）若第二次进货后按160元/双的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的球鞋按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于2200元，问最低可打几折？
【分析】（1）设第一次每双球鞋的进价是x元，根据“6300元购进某款球鞋，很快卖完，第二次又用4200元购进该款球鞋，但这次每双球鞋的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了40双”可列方程求解．
（2）设应打y折，根据若第二次进货后按160元/双的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的球鞋全部按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于2200元，可列出不等式求解．
解：（1）设第一次每双球鞋的进价是x元，
﹣40＝
x＝70．
经检验得出x＝70是原方程的解，且符合题意，
答：第一次每双球鞋的进价是70元．
（2）设应打y折．
4200÷（70×1.2）＝50（双）
160×25+160×0.1y 25﹣4200≥2200
y≥6
故最低打6折．
【点评】本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，第一问以数量作为等量关系列方程求解，第二问以利润作为不等量关系列不等式求解．
22．如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高，将△ADC沿AD所在的直线翻折，使点C落在BC边上的点E处．
（1）若AB＝20，AC＝13，CD＝5，求△ABC的面积；
（2）求证：AB2﹣AC2＝BE BC．
【分析】（1）由AD是BC边上的高，AC＝13，CD＝5，得AD＝12，BD＝16，即有BC＝BD+CD＝16+5＝21，故S△ABC＝BC AD＝126（平方单位）；
（2）根据△ADC沿AD所在的直线翻折得到△ADE，得AC＝AE，DC＝DE，而AB2﹣AC2＝AB2﹣（AD2+DC2）＝AB2﹣AD2﹣DC2＝（BD﹣DE）（BD+DE），即可证明AB2﹣AC2＝BE BC．
【解答】（1）解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，
∵AC＝13，CD＝5，
∴AD＝＝12，
在Rt△ADB中，
∵AB＝20，AD＝12，
∴BD＝＝16，
∴BC＝BD+CD＝16+5＝21，
∴S△ABC＝BC AD＝×21×12＝126（平方单位）；
（2）证明：∵△ADC沿AD所在的直线翻折得到△ADE，
∴AC＝AE，DC＝DE，
在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC2＝AD2+DC2，
在Rt△ADB中，由勾股定理，得BD2＝AB2﹣AD2，
∴AB2﹣AC2＝AB2﹣（AD2+DC2）
＝AB2﹣AD2﹣DC2
＝BD2﹣DE2
＝（BD﹣DE）（BD+DE），
∵BE＝BD﹣DE，BC＝BD+DC＝BD+DE，
∴AB2﹣AC2＝BE BC．
【点评】本题考查三角形中的折叠，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握折叠的性质及勾股定理的应用．
23．对于平面内三个点P，A，B，给出如下定义：将线段PA与线段PB长度的和叫做线段AB关于点P的折线距离，记为d（P，AB）．例如图1中，A，B，C三点共线，AB＝2，BC＝1，则线段AC关于点B的折线距离d（B，AC）＝BA+BC＝2+1＝3，线段AB关于点C的折线距离d（C，AB）＝CA+CB＝3+1＝4．
（1）如图2，△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝90°，D是AB中点，
①d（A，DC）＝ 3 ．
②P是线段BC上动点，确定点P的位置使得d（P，AD）的值最小，并求出d（P，AD）的最小值．
（2）△ABC中，AB＝AC＝2，过点C作AC的垂线l，点Q在直线l上，直接写出d（Q，AB）的最小值的取值范围．
【分析】（1）①根据折线距离的定义判断即可；
②如图2中，作点D关于BC的对称点D′，连接AD′交BC于点P，连接DP，此时PA+PD的值最小，过点A作AH⊥D′D交D′D的延长线于点H．利用勾股定理求出AD′可得结论；
（2）如图3中，作点A关于CQ的对称点A′，连接A′Q，A′B．求出BA′的取值范围，可得结论．
解：（1）①∵AB＝AC＝2，D是AB的中点，
∴AD＝DB＝AB＝，
∴d（A，DC）＝AD+AC＝+2＝3．
故答案为：3．
②如图2中，作点D关于BC的对称点D′，连接AD′交BC于点P，连接DP，此时PA+PD的值最小，过点A作AH⊥D′D交D′D的延长线于点H．
在Rt⊥AHD′中，AH＝1，D′H＝3，
∴AD′＝＝＝，
∴d（P，AD）的最小值＝PA+PD＝PA+PD′＝AD′＝．
（2）如图3中，作点A关于CQ的对称点A′，连接A′Q，A′B．
∴QA＝QA′，
∴d（Q，AB）＝QA+QB＝QA′+QB≥AB′，
∵AB＝AC＝CA′＝2，
∴2≤A′B≤6，
∴d（Q，AB）的最小值的取值范围：2≤d（Q，AB）的最小值≤6．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，学会利用轴对称的性质解决问题．
24．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式．
（1）请根据以上信息，写出根分式M＝中x的取值范围： x≥1且x≠2 ；
（2）已知两个根分式M＝与N＝．
①是否存在x的值使得N2﹣M2＝1，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由；
②当M2+N2是一个整数时，求无理数x的值．
【分析】（1）根据平方根的被开方数不能为负数、分母不能为0，代数式才有意义即可得答案；
（2）①根据已知列出方程，解方程即得答案；
②计算M2+N2，变形为1+，M2+N2是一个整数，则（x﹣2）2的值为1或2，解出方程取无理数且x≥1即可．
解：（1）由x﹣1≥0且x﹣2≠0可得：x≥1且x≠2，
故答案为：x≥1且x≠2；
（2）①不存在，理由如下：
由N2﹣M2＝1得﹣＝1，
解得x＝2，
经检验，x＝2是原方程的增根，
∴原方程无解，
∴不存在；
②M2+N2＝+＝＝1+，
∵M2+N2是一个整数，
∴是整数，
∴（x﹣2）2＝1或（x﹣2）2＝2，
解得x＝3或x＝+2或x＝﹣+2，
∵x为无理数，且x﹣1≥0，
∴x＝+2．
【点评】本题考查根分式有意义的条件，无理方程及根分式的值，解题的关键是掌握无理方程需检验，是整数，则（x﹣2）2＝1或（x﹣2）2＝2．
25．平面直角坐标系中，点在x轴正半轴，点B（0，b）在y轴正半轴，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，点C关于y轴的对称点为点D，连接AD，BD，且AD交y轴于点E．
（1）在图中，补全图形，并填空：
①若点C（2，3），则点D的坐标是 （﹣2，3） ；
②若∠CBD＝140°，则∠AEO＝ 60 °；
（2）如图，若|a﹣2|+b2﹣4b+4＝0，求证：BD垂直平分AC；
（3）当a＜b时，探究OE，BE，DE的数量关系，并证明．
【分析】（1）①根据关于y轴的对称的性质即可解答；
②根据C、D两点关于y轴的对称，可知y轴是线段CD的垂直平分线可得BD＝BC，，再根据平角的定义可得∠ABE＝50°，然后由等边△ABC得BC＝AB∠CBA＝60°，BC＝AB，可得AB＝BD，∠BDA＝∠BAD＝10°，最后根据三角形的外角性质即可解答；
（2）由|a﹣2|+b2﹣4b+4＝0可得a＝b＝2，即∠ABO＝45°，然后根据平角得∠CBF的度数、∠CBG的度数，进而得到∠CBG＝∠ABG，再根据等腰三角形的性质即可证得结论；
（3）先证∠EAO＝30°，可得AE＝2EO，然后作HE＝BE，证△BDE △BAH可得DE＝AH，最后证BH＝BE+2EO即可解答．
【解答】（1）解：补全图形如下图
①∵C、D两点关于y轴的对称的两点，
∴横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∵C（2，3），
∴D（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）；
②∵C、D两点关于y轴的对称，∠CBD＝140°，
∴BD＝BC，
∴，，
∴∠ABE＝180°﹣70°﹣60°＝50°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CBA＝60°，BC＝AB，
∴BD＝AB，∠ABD＝360°﹣140°﹣60°＝160°，
∴，
∴∠AEO＝∠BAE+∠ABE＝50°+10°＝60°．
故答案为：60；
（2）解：如下图：延长DB交AC于点G，
∵|a﹣2|+b2﹣4b+4＝0，
∴|a﹣2|+（b﹣2）2＝0，
∴a＝b＝2，
∴AO＝BO，
∴∠ABO＝45°，
∴∠CBF＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴∠CBG＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠ABG＝60°﹣30°＝30°，
∴∠CBG＝∠ABG，
∵AB＝AC，
∴BD垂直平分AC；
（3）解：DE＝BE+2EO，证明如下：
如图：作HE＝BE，连接BH，
∵C、D两点关于y轴的对称，
∴∠CBF＝∠DBF，
∴∠CBE＝∠DBE，
∵∠CBE＝60°+∠ABO，
∴∠DBE＝60°+∠ABO，
∴∠DBA＝60°+2∠ABO，
∴，
∴∠AEO＝∠ABO+∠DAB＝∠ABO+60°﹣∠ABO＝60°，
∴∠EAO＝30°，
∵∠AOB＝90°，
∴AE＝2EO，
∵HE＝BE，∠BEA＝∠BEH＝60°，
∴△BEH是等边三角形，
∴BH＝BE，∠HBE＝60°，
∴∠DBH＝∠ABO，
∵∠DBE＝∠DBH+60°，∠ABH＝∠ABO+60°，
∴∠DBE＝∠ABH，
在△BDE和△BAH中，
，
∴△BDE △BAH（SAS），
∴DE＝AH，
∵HE＝BE，AE＝2EO，
∴AH＝AE+HE＝BE+2EO，
∴DE＝BE+2EO．
【点评】本题主要考查了关于y轴的对称的性质、等边三角形的性质、三角形的内角与外角的性质、垂直平分线的判定、在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半、全等三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线并灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
