5.1矩形 (2)
重点提示
判定一个四边形是矩形有三种方法：
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)有三个角是直角的四边形是矩形.(3)对角线相等的平行四边形是矩形.
注意方法 (1)和 (3)要先利用平行四边形的判定方法证明四边形是平行四边形．
1.已知 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形
为矩形的是 ( B ) .
A. ∠A=∠B B. ∠A=∠C
C. AC=BD D. AB⊥BC
2.如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否 (第 5题) (第 6题)
和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的
两条对角线 AC，BD 6.如图，连结四边形 ABCD各边的中点，得到四边形就可以判断，其推理依据是
( D ) . EFGH，还要添加 AC⊥BD 条件，才能保证四边
形EFGH是矩形.
A. 矩形的对角线相等
B. 矩形的四个角是直角 7.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OM
C. 对角线相等的四边形是矩形 ⊥BC于点M，且BM=CM．
D. 对角线相等的平行四边形是矩形 求证： ABCD是矩形．
【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，
OB=OD．
(第 2题) (第 4题)
又 ∵ OM⊥ BC，BM = CM，∴ OB = OC． ∴ AC =
3.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框 BD.∴ ABCD是矩形．
是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正
8.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，
确的是 ( D ) .
F分别为OB，OD的中点，延长 AE至点G，使AE=
A. 测量对角线是否相互平分
GE，连结CG，CF.
B. 测量两组对边是否分别相等
(1)求证：△AOE≌△COF.
C. 测量对角线是否相等
(2 ) 只需添加一个条件，即 ，可使四边形
D. 测量其中三个角是否都为直角
CGEF为矩形，请加以证明.
4.如图，已知四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相
垂直，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点.
若 AC = 6 ，BD = 8 ，则四边形 EFGH 的面积为
( C ) .
A. 48 B. 24 【答案】(1) ∵四边形 ABCD是平行四边形，∴ OB =
C. 12 D. 条件不足，无法计算 OD，OA=OC.
1
5.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，DF∥ ∵E，F分别为OB，OD的中点，∴EO= 2 OB，FO=
AB，DE∥AC，则当∠B= 45 ° 时，四边形AEDF 1
2 OD.∴OE=OF.?
是矩形.
OA=OC，
在 △ AOE 和 △ COF 中 ，∵ ∠AOE=∠COF，∴OE=OF，
△AOE≌△COF(SAS).?
() ·1·
(2)添加AC= 2AB时，可使四边形 CGEF为矩形.证 ∵MN ∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6.∴∠1=∠2，∠3=
明如下： ∠4．∴EO=CO，FO=CO.∴OE=OF．
由 (1)得 ∠AEO=∠CFO，∴ AE ∥ CF .∵ EA= EG，
OA=OC，∴EO是△AGC的中位线.
∴ EO ∥ GC .∴四边形 CGEF是平行四边形.∵ AC=
2AB，AC= 2AO，∴AB=AO.∵ E是OB的中点，∴
AE⊥OB.∴∠OEG= 90°.∴平行四边形 CGEF是矩 (2)如图所示，∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5
形． +∠6= 90°．∵CE= 12，CF= 5，∴ EF= 122+52 =
13．∴OC= 1 132 EF= 2 ．
9.平行四边形内角平分线能够围成的四边形是 ( B ) . (3 ) 当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时，四边形
A. 梯形 B. 矩形 AECF是矩形. 理由如下：当 O为 AC的中点时，AO
C. 正方形 D. 不是平行四边形 =CO．∵EO= FO，∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF= 90°，∴ AECF是矩形．
10.如图，在 △ABC中，AC的中垂
线交AC，AB于点D，F，BE⊥ 14.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点
DF交DF延长线于点 E，若∠A B作BE⊥CD于点 E，延长CD到点 F，使DF=CE，
= 30°，BC= 2，AF= BF，则四 连结AF.
边形BCDE的面积是 ( A ) . (1)求证：四边形ABEF是矩形.
A. 2 3 B. 2 2 (2)连结OF，若AB= 6，DE= 2，∠ADF= 45°，求OF
C. 3 3 D. 3 2 的长.
11.如图，将 ABCD的边DC延长到点 E，使 CE= CD，
连结 AE 交 BC 于点 F ，∠AFC = n∠D，当 n =
2 时，四边形ABEC是矩形．
【答案】(1) ∵四边形 ABCD是平行四边形，∴ AD ∥
BC 且 AD = BC .∴ ∠ADF = ∠BCE . 在 △ADF 和
AD=BC，△BCE 中，∵ ∠ADF=∠BCE，∴ △ADF ≌ △BCEDF=CE，
(第 11题) (第 12题) (SAS).?∴AF=BE，∠AFD=∠BEC= 90°.∴AF∥
= BE.∴四边形ABEF是平行四边形.∵∠AFD= 90°,∴12.如图，已知 ABCD，给出下列条件：① AC BD；②
AB = AD；③ ∠1 = ∠ ⊥ 四边形ABEF是矩形.2；④ AB BC . 其中能说明
( ) (2)由 (1)知四边形ABEF是矩形，∴ EF=AB= 6.∵ABCD是矩形的有 ①④ 填序号 ．
DE= 2，∴DF=CE= 4.∴CF= 4+ 4+ 2= 10.
13.如图，在△ABC中，O是边AC上一个动点，过点O作 在Rt△ADF中，∠ADF= 45°，∴AF=DF= 4.由勾股
直线MN ∥ BC . 设MN交∠ACB的平分线于点 E，交 定理得AC= AF 2+CF 2= 42+102= 2 29?.
∠ACB的外角平分线于点F． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC .∴OF=
(1)求证：OE=OF． 1
2 AC= 29.(2)若CE= 12，CF= 5，求OC的长．
(3)当点 O在边 AC上运动到什么位置时，四边形 15.【临沂】如图，在 ABCD 中，
AECF是矩形？请说明理由． M ，N 是 BD 上两点，BM =
DN，连结AM，MC，CN，NA，
添 加 一 个 条 件 ，使 四 边 形
AMCN是矩形，这个条件是 ( A ) .
A. OM= 1( 1 ) ∵ MN ∠ACB E 2 AC B. MB=MO【答案】 交 的平分线于点 ，交
∠ACB的外角平分线于点 F，∴∠2=∠5，∠4=∠6． C. BD⊥AC D. ∠AMB=∠CND
() ·2·
16.【连云港】如图，C是BE的中点，四边形ABCD是平行
四边形.
(1)求证：四边形ACED是平行四边形.
(2)若AB=AE，求证：四边形ACED是矩形.
【答案】(1) ∵四边形 ABCD是平行四边形，∴ AD ∥
BC，且AD=BC．
∵C是BE的中点，∴BC=CE.∴AD=CE.
∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形.
(2) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC.
∵AB=AE，∴DC=AE.
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
17.已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置 (如
图 1 )时，易证得结论 PA2+PC 2= PB2+PD2.请你探
究：当点 P分别在图 2、图 3 中的位置时，PA2，PB2，
PC 2和PD2又有怎样的数量关系？请你写出对上述两
种情况的探究结论，并利用图 2证明你的结论．
对图 2的探究结论为 ；
对图 3的探究结论为 .
图 1 图 2 图 3
【答案】结论均是PA2+PC2=PB2+PD2．
证明：如图所示，过点 P作MN ∥AB，交AD于点M，
交BC于点N．
∴四边形ABNM和四边形NCDM均为矩形，根据 (1)
中的结论可得，在矩形 ABNM中有 PA2+PN 2= PB2
+PM 2，在矩形 NCDM中有 PC 2+PM 2= PD2+PN 2，
两式相加得PA2+PN 2+PC 2+PM 2=PB2+PM 2+PD2
+PN 2，∴PA2+PC2=PB2+PD2．
() ·3·
() ·4·
5.1矩形 (2)
重点提示
判定一个四边形是矩形有三种方法：
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)有三个角是直角的四边形是矩形.(3)对角线相等的平行四边形是矩形.
注意方法 (1)和 (3)要先利用平行四边形的判定方法证明四边形是平行四边形．
1.已知 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形
为矩形的是 ( ) .
A. ∠A=∠B B. ∠A=∠C
C. AC=BD D. AB⊥BC
2.如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否 (第 5题) (第 6题)
和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的
AC BD 6.如图，连结四边形 ABCD各边的中点，得到四边形两条对角线 ， 就可以判断，其推理依据是
( ) . EFGH，还要添加 条件，才能保证四边
形EFGH是矩形.
A. 矩形的对角线相等
B. 矩形的四个角是直角 7.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OM
C. 对角线相等的四边形是矩形 ⊥BC于点M，且BM=CM．
D. 对角线相等的平行四边形是矩形 求证： ABCD是矩形．
(第 2题) (第 4题)
3.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框
是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正
确的是 ( ) .
A. 测量对角线是否相互平分 8.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，
B. 测量两组对边是否分别相等 F分别为OB，OD的中点，延长 AE至点G，使AE=
C. 测量对角线是否相等 GE，连结CG，CF.
D. 测量其中三个角是否都为直角 (1)求证：△AOE≌△COF.
4.如图，已知四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相 (2 ) 只需添加一个条件，即 ，可使四边形
垂直，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点. CGEF为矩形，请加以证明.
若 AC = 6 ，BD = 8 ，则四边形 EFGH 的面积为
( ) .
A. 48 B. 24
C. 12 D. 条件不足，无法计算
5.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，DF∥
AB，DE∥AC，则当∠B= 时，四边形AEDF
是矩形.
9.平行四边形内角平分线能够围成的四边形是 ( ) .
A. 梯形 B. 矩形
C. 正方形 D. 不是平行四边形
() ·1·
10.如图，在 △ABC中，AC的中垂
线交AC，AB于点D，F，BE⊥
DF交DF延长线于点 E，若∠A
= 30°，BC= 2，AF= BF，则四
边形BCDE的面积是 ( ) .
A. 2 3 B. 2 2
C. 3 3 D. 3 2
11.如图，将 ABCD的边DC延长到点 E，使 CE= CD，
连结 AE 交 BC 于点 F ，∠AFC = n∠D，当 n = 15.【临沂】如图，在 ABCD 中，
时，四边形ABEC是矩形． M ，N 是 BD 上两点，BM =
DN，连结AM，MC，CN，NA，
添 加 一 个 条 件 ，使 四 边 形
AMCN是矩形，这个条件是 ( ) .
A. OM= 12 AC B. MB=MO
(第 11题) (第 12题) C. BD⊥AC D. ∠AMB=∠CND
12.如图，已知 ABCD，给出下列条件：① AC= BD；② 16.【连云港】如图，C是BE的中点，四边形ABCD是平行
AB = AD；③ ∠1 = ∠2；④ AB⊥ BC . 其中能说明
四边形.
ABCD是矩形的有 (填序号)． (1)求证：四边形ACED是平行四边形.
13.如图，在△ABC中，O是边AC上一个动点，过点O作 (2)若AB=AE，求证：四边形ACED是矩形.
直线MN ∥ BC . 设MN交∠ACB的平分线于点 E，交
∠ACB的外角平分线于点F．
(1)求证：OE=OF．
(2)若CE= 12，CF= 5，求OC的长．
(3)当点 O在边 AC上运动到什么位置时，四边形
AECF是矩形？请说明理由．
17.已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置 (如
图 1 )时，易证得结论 PA2+PC 2= PB2+PD2.请你探
究：当点 P分别在图 2、图 3 中的位置时，PA2，PB2，
PC 2和PD2又有怎样的数量关系？请你写出对上述两
种情况的探究结论，并利用图 2证明你的结论．
对图 2的探究结论为 ；
对图 3的探究结论为 .
14.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点
B作BE⊥CD于点 E，延长CD到点 F，使DF=CE，
图 1 图 2 图 3
连结AF.
(1)求证：四边形ABEF是矩形.
(2)连结OF，若AB= 6，DE= 2，∠ADF= 45°，求OF
的长.
() ·2·
() ·3·
