2023年中考数学一轮复习（基础篇）：动点问题（圆与三角形）
1．在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°
（1）如图1，D，E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF
①求证：△AED≌△AFD；
②当BE＝3，CE＝7时，求DE的长；
（2）如图2，点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE，当BD＝3，BC＝9时，求DE的长．
2．如图，已知 中， 厘米， 厘米，点 为 的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后， 与 是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等， 与 是否可能全等？若能，求出全等时点Q的运动速度和时间；若不能，请说明理由．
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在 的哪条边上相遇？
3．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（m，0），以AB为腰作等腰 ，如图所示．
（1）若 的值为5平方单位，求m的值；
（2）记BC交y轴于点D，CE⊥y轴于点E，当y轴平分∠BAC时，求 的值
（3）连接OC，当OC＋AC最小时，求点C的坐标．
4．如图：已知点A（0，1），点B在第一象限，△OAB是等边三角形，点C是X轴上的动点，以AC为边作等边三角形△ACD(A、C、D三点按逆时针排列)，直线BD交Y轴于点E
（1）求证：△CAO≌△DAB；
（2）点C运动时，点E是动点还是定点？若是动点，指出其运动路径；若是定点，求其坐标；
（3）连接CE，若∠ACD=25°，求∠CED的度数．
5．如图， ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点 P 从 A 点出发沿 A-C-B 路径向终点运动，终点为 B点；点 Q 从 B 点出发沿 B-C-A 路径向终点运动，终点为 A 点，点 P 和 Q 分别以 1cm/s 和 xcm / s 的运动速度 同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过 P 和 Q 作 PE⊥ l 于 E，QF⊥ l 于 F.
（1）如图，当x = 2 时，设点 P 运动时间为 ts ，当点 P 在 AC 上，点 Q 在 BC 上时：
用含t的式子表示CP和CQ，则CP= cm，CQ= cm；
（2）当t=2时, PEC 与 QFC全等吗？并说明理由；
（3）请问:当x = 3 时， PEC 与 QFC 有没有可能全等？若能，直接写出符合条件的 t 的值；若不能，请说明 理由。
6．在 中， ，点E在射线 上运动．连接 ，将线段 绕点E顺时针旋转 得到 ，连接 ．
（1）如图1，点E在点B的左侧运动．
①当 ， 时，则 ；
②猜想线段 与 之间的数量关系为 ．
（2）如图2，点E在线段 上运动时，第（1）问中线段 与 之间的数量关系是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系．
（3）点E在射线 上运动， ，设 ，以A，E，C，F为顶点的四边形面积为y，请直接写出y与x之间的函数关系式（不用写出x的取值范围）．
7．如图，是边长为的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P沿射线运动，点Q沿折线运动，且它们的速度都为．当点Q到达点A时，点P随之停止运动连接，，设点P的运动时间为．
（1）当点Q在线段上运动时，的长为 （），的长为 （）（用含t的式子表示）；
（2）当与的一条边垂直时，求t的值；
（3）在运动过程中，当是等腰三角形时，直接写出t的值．
8．已知：如图，∠QAN为锐角，H、B分别为射线AN上的点，点H关于射线AQ的对称点为C，连接AC，CB．
（1）依题意补全图；
（2）CB的垂直平分线交AQ于点E，交BC于点F．连接CE，HE，EB．
①求证：△EHB是等腰三角形；
②若AC+AB＝ AE，求 的值．
9．如图l，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P从点B出发，沿AB边向终点A以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→B→A向终点A以每秒3cm的速度运动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒.解答下列问题：
（1）当Q在BC边时，
①当t为 ▲ 秒时，PQ的长为2 cm？
②连接AQ，当t为几秒时，△APQ的面积等于16cm2？
（2）如图2，以P为圆心，PQ长为半径作⊙P，在整个运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙P正好与△ABD的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由.
10．在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”．
（1）如图1，的半径为1，当时，直接写出直线关于的“圆截距”；
（2）点M的坐标为，
①如图2，若的半径为1，当时，直线关于的“圆截距”小于，求k的取值范围；
②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值．
11．如图，是等边三角形，AB=6，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），已知点P、Q都以每秒的速度同时开始运动，连接PQ交AB于D．
（1）运动几秒后，为直角三角形？
（2）求证：在运动过程中，点D始终为线段PQ的中点；
（3）过P作PE⊥AB于E，在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段ED的长；如果变化请说明理由．
12．对于平面直角坐标系 中的点M和图形 ， 给出如下定义：点P为图形 上一点，点Q为图形 上一点，当点M是线段 的中点时，称点M是图形 ， 的“中立点”．如果点 ， ，那么“中立点”M的坐标为 ．已知，点 ， ， ．
（1）连接 ，在点 ， ， 中，可以成为点A和线段 的“中立点”的是 ；
（2）已知点 ， 的半径为2．如果直线 上存在点K可以成为点A和 的“中立点”，求点K的坐标；
（3）以点C为圆心，半径为2作圆．点N为直线 上的一点，如果存在点N，使得y轴上的一点可以成为点N与 的“中立点”．直接写出点N的横坐标n的取值范围．
13．如图1，在平面直角坐标系中，A、B坐标为(6，0)、(0，6)，P为线段AB上的一点
（1）如图1，若S△AOP＝12，求P的坐标
（2）如图2，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N从顶点O同时出发，且它们的速度都为1 cm/s，则在M、N运动的过程中，线段PM、PN之间有何关系？并证明
（3）如图3，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP、OA分别与F、D两点，E为OA上一点，且∠PEA＝∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由
14．若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时，的值最小．
（1）如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到处，连接，此时，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出 ．
（2）如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使，，求证：．
（3）如图4，在直角三角形ABC中 ，，，，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出的值．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F.
（1）探究发现：
如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则 ＝ ；
（2）数学思考：
①如图2，若点E在线段AC上，则 ＝ （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC＝ ，BC＝2 ，DF＝4 ，请直接写出CE的长.
16．在矩形 中， ， ，点 从点 出发沿 边以 的速度向点 移动（点 可以与点 重合），同时，点 从点 出发沿 以 的速度向点 移动（点 可以与点 重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动设运动时间为 秒．
（1）如图1，几秒后， 的面积等于 ？
（2）如图2，在运动过程中，若以 为圆心、 为半径的 与 相切，求 值；
（3）若以 为圆心， 为半径作 ．如图3，若 与四边形 的边有三个公共点，则 的取值范围为 ．（直接写出结果，不需说理）
答案解析部分
1．【答案】（1）解：①如图1中，
∵将△ABE绕点A逆时针旋转90°后，得到△AFC，
∴△BAE≌△CAF，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，
∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，
∴∠CAD+∠BAE＝∠CAD+∠CAF＝45°，
∴∠DAE＝∠DAF，
∵DA＝DA，AE＝AF，
∴△AED≌△AFD（SAS）；
②如图1中，设DE＝x，则CD＝7﹣x．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠ABE＝∠ACF＝45°，
∴∠DCF＝90°，
∵△AED≌△AFD（SAS），
∴DE＝DF＝x，
∵在Rt△DCF中， DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，
∴x2＝（7﹣x）2+32，
∴x＝ ，
∴DE＝
（2）解：∵BD＝3，BC＝9，
∴分两种情况如下：
①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠EAB＝∠DAC，
∵AE＝AD，AB＝AC，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝9-3=6，
∴∠EBD＝90°，
∴DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，
∴DE＝3 ；
②当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE．
同理可证△DBE是直角三角形，EB＝CD＝3+9=12，DB＝3，
∴DE2＝EB2+BD2＝144+9＝153，
∴DE＝3 ，
综上所述，DE的值为3 或3 ．
2．【答案】（1）解：①∵ 秒，
∴ 厘米，
∵ 厘米，点 为 的中点，
∴ 厘米．
又∵ 厘米，
∴ 厘米，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
在△BPD和△CQP中
∴ ．
②∵ ，
∴ ，
又∵ 与 全等，
，
则 ，
∴点 ，点 运动的时间 秒，
∴ 厘米/秒．
（2）解：设经过 秒后点 与点 第一次相遇，
∵
∴点 与点 第一次相遇时，点Q比点P多走AB＋AC=20厘米
∴ ，
解得 秒．
∴点 共运动了 厘米．
∵ ，
∴点 、点 在 边上相遇，
∴经过 秒，点 与点 第一次在边 上相遇．
3．【答案】（1）解：
（负根舍去），
又
在x轴的负半轴上，
（2）解：过C作 于H，
由勾股定理得：
作 G在 上，
轴平分∠BAC，
由勾股定理得：
（3）解：由（2）同理可得： ，
在直线 上，
设直线 与 轴分别交于 ，
则
过 作 于 使 连接 交 于C,
则此时 最小，
为 的中点，
设 为
解得：
为
解得：
即当 最小时，
4．【答案】（1）证明：∵△ACD与△OAB为等边三角形，
∴AC=AD，AO=AB，∠CAD=∠OAB，
∴∠CAO=∠DAB，
∴△CAO≌△DAB；
（2）解：点E是定点，
∵A(0，1)，
∴OA=AB=1，
由①得∠ABD=∠AOC=90° ，
又∵∠OAB=60°，
∴∠AEB=30°，
∴AE=2AB=2，
OE=AE-OA=2-1=1，
∴E(0，1)，
（3）解：由①得∠ADB=∠ACO=25°，由②得x轴垂直平分AE，
∴AC=EC，
又∵AC=DC，
∴CE=CD，
∴∠CED=∠CDE，
当D在第三象限时，∠CED=∠CDE=60+25=85°，
当D在第一象限时，∠CED=∠CDE=60-25=35°，
∴∠CED为85°或35°．
5．【答案】（1）6-t；8-2t
（2）解：当 t = 2 时，△PEC≌△CFQ；
理由如下：
当 t = 2 时，
∴ ，
∵∠ACB=90°，
∴∠PCE+∠QCF=90°,
∵PE⊥ l 于 E，QF⊥ l 于 F，
∴∠PEC=∠QFC=90°，
∴∠QCF+∠CQF=90°，
∴∠PCE=∠CQF，
在△PEC和△CFQ中，
有 ，
∴△PEC≌△CFQ（AAS）；
（3）解：①当P在AC上，Q在BC上时，有 ，
∵△PEC≌△CFQ，
∴CP=CQ，
即： ，
解得： ，
②当点P与点Q重合，如图2所示：
∴△PEC与△QFC全等，
∴6-t=3t-8．
解得：t=3.5．
③当点P在BC上，点Q到点A时，
此时：
∴t-6=6，
∴t=12，
即：满足条件的时间为：1秒或3.5秒或12秒．
∴当 x = 3 时，时间 s， ，有△PEC≌△CFQ；
6．【答案】（1）30；
（2）解：不成立．
如图2，过点F作 交 的延长线于点H．
∴ ，
∴∠AEB+∠FEH=90°，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠FEH=∠BAE，
∴ ，
∴ ,
∴ ,
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ．
又∵ ,
即 ．
（3）点E在点B左侧运动时， ；点E在线段 上运动时，
7．【答案】（1）t；（6-t）
（2）解：根据题意分三种情况讨论：
①如图所示：当时，，
∵三角形ABC为等边三角形，
∴
∴
∴，
由（1）可得：，
解得：；
②如图所示：当时，，
∵
∴
∴，
由（1）可得：，
解得：；
③如图所示：当时，，
∵
∴
∴，
由（1）可得：，
解得：；
综上可得：当或或时，PQ与的一条边垂直；
（3）解：当或
8．【答案】（1）解：图形如图1所示：
（2）解：①证明：如图2中，
∵C，H关于AQ对称，
∴∠CAE＝∠EAH，AC＝AH，
∵AE＝AE，
∴△ACE≌△AHE（SAS），
∴EC＝EH，
∵EF垂直平分线段BC，
∴EC＝EB，
∴EH＝EB，
∴△EHB是等腰三角形．
②解：如图2﹣1中，作EM⊥AB于M．
∵EH＝EB，EM⊥BH，
∴HM＝MB，
∴AC+AB＝AH+AB＝AM﹣HM+AM+BM＝2AM，
∵AC+AB＝ AE，
∴4AM＝ AE，
在Rt△AEM中， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ．
9．【答案】（1）解：①2
②由题意知：点Q在BC边上，
∵△APQ的面积= 16，
∴ ，
解得t1= ，t2=8（舍去），
∴当t为 秒时，△APQ的面积等于16cm2；
（2）解：存在t，使⊙P正好与△ABD的边AD或BD相切，此时Q在AB上，且 ，
若与BD相切，作PK⊥BD于K，
则△PBK∽△DBA，
∴ ，
∵PK=PQ=3t-8，BD= =10，
∴
∴ ；
若与AD相切，当P、Q两点中Q点先到A点时，
此时 ，
∴6- = ，
∴⊙P的半径为 ；
若与AD相切，当点Q未到达点A时，
则PA=PQ，
∴6-t=t-（3t-8），
解得t=2，
当t=2时，PB=2则AP=6-2=4 PQ，故舍去，
综上，t值为 或 .
10．【答案】（1）解：
（2）解：①如图2，设直线与y轴正半轴交点为A，且A(0，1)
∵点M的坐标为，的半径为1，
∴圆与x轴正半轴交点为B(2，0)，
当时，直线的解析式为y=kx+1，
当直线经过点B时，2k+1=0，
解得k=；
过点M作MF⊥AB，垂足为F，
∵OA=1，OB=2，
∴AB=，
∴sin∠ABO=，
∵MB=1，sin∠ABO=，
∴，，
设直线AB与圆M的另一个交点为C，
则BC=2BF=，
∵关于的“圆截距”小于，
∴k的取值范围是；
设直线AM与圆的一个交点为N，
∵点A(0，1)，点M的坐标为，
∴OA=OM，
∴∠AMO=45°，
∴∠BMN=45°，
根据圆的对称性，直线AB和直线AD关于直线AN对称，此时ED=CB，
∴∠DMN=45°，
∴∠DMB=90°，
∴D的坐标为(1，-1)，
∴k+1=-1，
解得k=-2，
直线AD的解析式为y=-2x+1，
∵关于的“圆截距”小于，
∴k的取值范围是；
综上所述，k的取值范围是或．
②b的取值范围-≤b≤．
11．【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6cm，
∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．
设x秒时，△PCQ为直角三角形，
∴∠CPQ＝90°，
AP＝0.5x，BQ＝0.5x，
PC＝6 0.5x，CQ＝6＋0.5x，
∵∠C＝60°
∴∠AED＝30°，
∴CQ＝2PC，
∴6＋0.5x＝2（6 0.5x），
解得：x＝4；
答：运动4秒后，△PCQ为直角三角形；
（2）证明：如图，过P点作 ，交 于点F．
，
，
是等边三角形
，
，
，
在△DQB和△DPF中
，
，
∴点D是线段 的中点；
（3）不发生变化，定值为3
12．【答案】（1）D、F
（2）解：如图中，点A和 的“中立点”在以O为圆心，1为半径的圆上运动，
因为点K在直线 上，设 ，
则有 ，
解得 或1，
点K坐标为 或 ．
（3）
13．【答案】（1）解：如图1中，作PH⊥OA于H．
∵A(6，0)，B(0，6)，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6．
∵ OA PH=12，
∴PH=4，
当y=4时，4=﹣x+6，
∴x=2，
∴P（2，4）．
（2）解：结论：PM=PN，PM⊥PN．证明如下：
如图2中，连接OP．
∵OB=OA，∠AOB=90°，PB=PA，
∴OP=PB=PA，OP⊥AB，∠PON=∠A=45°，
∴∠OPA=90°．
∵AM=ON，OP=OP，
∴△PON≌△PAM，
∴PN=PM，∠OPN=∠APM，
∴∠NPM=∠OPA=90°，
∴PM⊥PN，PM=PN．
（3）解：结论：OD=AE．理由如下：
如图3中，作AG⊥x轴交OP的延长线于G．
∵BD⊥OP，
∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，
∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°，
∴∠AOG=∠DBO，
∵OB=OA，
∴△DBO≌△GOA，
∴OD=AG，∠BDO=∠G．
∵∠BDO=∠PEA，
∴∠G=∠AEP．
∵∠PAE=∠PAG=45°，PA=PA，
∴△PAE≌△PAG，
∴AE=AG，∴OD=AE．
14．【答案】（1）150°
（2）证明：∵点P为△ABC的费马点，
∴，
∴，
又∵，
∴APD为等边三角形
∴，，
∴，
∴，
在△APC和△ADE中，
∴ （ASA）；
∴，
∵，
∴BE＝PA＋PB＋PC；
（3）解：如图，将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴，
把△APB绕点B顺时针方向旋转60°得到△A′P′B，
∴∠A′BC＝∠ABC＋60°＝30°＋60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△APB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′P′B，
∴A′B＝AB＝2，BP＝BP′，A′P′＝AP，
∴△BPP′是等边三角形，
∴BP＝PP′，∠BPP′＝∠BP′P＝60°，
∵∠APC＝∠CPB＝∠BPA＝120°，
∴∠CPB＋∠BPP′＝∠BP′A′＋∠BP′P＝120°＋60°＝180°，
∴C、P、A′、P′四点共线，
在Rt△A′BC中，，
∴PA＋PB＋PC＝A′P′＋PP′＋PC＝A′C＝．
15．【答案】（1）1；
（2）；解：成立 如图， ， ， 又 ， ， ， ， ， 即 ， ∽ ， ， ， ， ∽ ， ， .
（3）解：由 有， ∽ ，
，
，
，
在 中， ， ，
，
当E在线段AC上时，在 中， ， ，
根据勾股定理得， ，
，或 舍
当E在直线AC上时，
在 中， ， ，
根据勾股定理得， ，
，
，或 舍 ，
即： 或
16．【答案】（1）解：由题意知， ， ，则 ，由 可得 ，解得 或 ，故当运动时间为2秒或4秒时， 的面积为 ；
（2）如图1，设切点为 ，连接 ．
∵ ，
∴ 与 相切，
∴ 分别与 ， 相切，
∴ ．
∵ 与 相切，
∴ ，
在 中，依据勾股定理可得 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
在 中，依据勾股定理可得， ，解得 ；
（3）0＜t＜-10+2
