2023年山东省潍坊市高考数学测评试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
2. 已知全集，集合，则( )
A. B.
C. D. ，
3. 甲、乙两名篮球运动员在场比赛中的单场得分用茎叶图表示图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图图完好，则( )
A. 甲的单场平均得分比乙低 B. 乙的分位数为
C. 甲、乙的极差均为 D. 乙得分的中位数是
4. 已知函数，函数在上的零点的个数为( )
A. B. C. D.
5. 如图，在正三棱锥中，，，为底面的中心，点在线段上，且，若平面，则实数( )
A.
B.
C.
D.
6. 阿基米德螺线是一个点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动而产生的轨迹如图，在平面直角坐标系中，螺线与坐标轴依次交于点，，，，，，，，并按这样的规律继续下去若四边形的面积为，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 已知双曲线：的左，右焦点分别为，，点与抛物线：的焦点重合，点为与的一个交点，若的内切圆圆心的横坐标为，的准线与交于，两点，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8. 设，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布单位：，生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为，随机变量服从正态密度函数，其中，则( )
附：随机变量，则，，．
A. 正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为
B. 生产线乙的食盐质量
C. 生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重
D. 生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常是合理的
10. 已知非零向量，，对任意，恒有，则( )
A. 在上的投影的数量为 B.
C. D.
11. 已知函数的定义域关于原点对称，且，当时，；且对任意，，，都有，则( )
A. 是奇函数 B.
C. 是周期函数 D. 在上单调递减
12. 设，当时，规定，如，则( )
A.
B.
C. 设函数的值域为，则的子集个数为
D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，，为虚数单位，则 ．
14. 已知圆满足与直线：和圆：都相切，且直线与垂直，请写出一个符合条件的圆的标准方程 ．
15. 若，，则的最大值为 ．
16. 公元年，唐代李淳风注九章算术时提到祖暅的开立圆术祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”“幂”是截面积，“势”是几何体的高意思是两个同高的几何体，若在等高处的截面积相等，则体积相等右图是某厂家生产的游泳池浮漂实物图及设计图，则的长度为 ；利用祖暅原理可求得该浮漂的体积为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
将正奇数数列，，，，，的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如右图的三角形数表．
设数表中每行的最后一个数依次构成数列，求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
18. 本小题分
设钝角的内角，，所对的边分别为，，，且，其中是外接圆的半径．
若，求的大小；
若，，证明：为等腰三角形．
19. 本小题分
如图，直角梯形中，，，，直角梯形绕旋转一周形成一个圆台．
求圆台的表面积和体积；
若直角梯形绕逆时针旋转角到，且直线与平面所成角的正弦值为，求角的最小值．
20. 本小题分
某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛，最终高三一班人和高三二班人进入决赛决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有个选择题和个填空题，乙箱中有个选择题和个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据；环节二：由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次．
环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取名同学，并统计每位同学答对题目的数量，统计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为，方差为；二班抽取同学答对题目的平均数为，方差为，求这人答对题目的均值与方差；
环节二，王刚先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后李明再抽取题目，已知李明从乙箱中抽取的第一题是选择题，求王刚从甲箱中取出的是两道选择题的概率．
21. 本小题分
已知动点与两定点，，直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
设，为直线上一动点，直线交曲线于，两点，若、、、依次为等比数列的第、、、项，且，求实数的值．
22. 本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若对任意，都有，求实数的取值范围；
当时，对任意的，，且，试比较与的大小．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为为可导函数，且，
则，
所以，即为曲线在点处的切线斜率，
故选：．
将已知关系式化为，由此即可求解．
本题考查了导数的几何意义，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，
所以或．
故选：．
求解全集以及集合，根据补集的定义计算补集即可求出结果．
本题主要考查了集合补集运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：：由茎叶图和折线图，甲比赛得分为，平均得分为，
乙比赛得分为，平均得分为，甲高于乙，故A错误；
：由，故乙的分位数为，故B错误；
：甲的极差为，乙的极差为，故C错误；
：乙得分的中位数是，故D正确．
故选：．
根据茎叶图、折线图，平均数、中位数、百分数、极差的求法判断各项的正误即可．
本题主要考查了茎叶图的应用，考查了平均数、百分位数、中位数和极差的计算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以，
令，令，则，解得，
因为，所以或或，
所以函数在上的零点的个数为个．
故选：．
首先求出的解析式，即可得到，再根据余弦函数的性质计算可得．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：连接，，由正三棱锥可知为的外接圆的半径，设半径为，
则，
且面，
所以，可得，
因为平面，可得，且，
在中，，所以，
所以，
所以，求即，即，
故选：．
由正三棱锥的性质可知为的外接圆的圆心，由三角形的边长可知外接圆的半径的大小，进而求出的大小，再由底面，求出的大小，进而求出，求出的值．
本题考查正三棱锥的性质的应用，线段之比与向量的系数的关系的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，四边形中，，
到的距离为，到的距离为，
若四边形的面积为，则有，
解可得：或舍，
故．
故选：．
根据题意，分析可得，且到的距离为，到的距离为，进而可得，解可得答案．
本题考查合情推理的应用，注意分析的规律，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由题设，，
又点与抛物线的焦点重合，即，
由，则，
故，即，
如下图示，内切圆与各边的切点为，，，
所以，，，又，
则，
所以为双曲线右顶点，又的内切圆圆心的横坐标为，即，
故，则，所以离心率为．
故选：．
令，，由题设知且求得，再由内切圆中切线长性质及双曲线定义、性质确定与的切点的位置，进而求离心率．
本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，数形结合思想，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：由，令且，
所以，
令且，则，即递减，
所以，故在上恒成立，则在上递减，
所以，即，则，
由，令且，
所以在上递增，故，
故在上递增，，即，则，
综上，．
故选：．
利用、的形式构造函数，应用导数研究其在上单调性，进而比较相应函数值的符号，即可知参数的大小关系．
本题主要考查了导数与单调性关系在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由正态分布密度曲线函数，可得：，，，
生产线乙的食盐质量，B错误；
对于，质量服从正态分布，虽然，
但都是预测，估计值，不能说“一定”，C错误；
设正常情况下，甲生产线上包装出来的食盐质量为，
由题意可知，
，所以根据正态分布的对称性与“原则”可知：
，A正确；
由于，所以，，
如果生产线不出现异常，随机抽取两包检查，
质量都大于的概率约为，
几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现了异常，
检测员的判断是合理的，D正确．
故选：．
根据密度函数定义可得乙生产线中，，，可判断项；，项可根据“原则”计算，项，要注意正态分布研究的是对样本的估计．
本题考查了正态分布密度曲线的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：已知非零向量，，对任意，恒有，
则恒成立，
即恒成立，
即，
即，
即，
对于选项A，在上的投影的数量为，即选项A正确；
对于选项B，，即，即选项B正确；
对于选项C，不一定等于，即与不一定垂直，即选项C错误；
对于选项D，，即，即选项D正确．
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的投影的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的投影的运算，属基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，令，则，
所以函数是奇函数，故A正确；
对于，由，得，
所以，
则，
所以，故B错误；
对于，由，可得，
则，
由，
所以函数是以为周期的周期函数，故C正确；
对于，令，则，，，
则，所以，
，所以，
所以，，因为，所以，
所以，
即，所以在上单调递减，故D正确．
故选：．
对于，令，根据，证明即可判断；
对于，根据，结合即可求得，，即可判断；
对于，先求出，再根据求出，即可判断；
对于，令，先判断，的符号，再根据，比较，即可判断．
本题考查了抽象函数的奇偶性，周期性及单调性，选项的关键在于根据判断与的关系，选项的关键在于令，判断出，的符号，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，例如，
则，，
可得，所以A错误；
对于，由，
所以，
所以，
所以，所以B正确；
对于，因为，可得，
当，，，时，可得，，，，，
即函数的值域为，
所以集合的子集个数为，所以C正确；
对于中，设，，
因为，所以，
所以，，
则，
所以的周期为，
又当时，可得，此时，
，此时，
，此时，
，此时，所以，结合周期为，即恒为，所以D正确．
故选：．
举反例，可判定A错误；
结合，可判定B正确；
结合正弦、余弦函数的值域，得到的值域为，可判定C正确；
设，，得到的周期为，证得恒为，可判定D正确．
本题属于新概念题，考查了函数的周期性、值域，也考查了逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
，，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数相等的条件，属于基础题．
14.【答案】或
【解析】解：由圆：，所以圆心，半径为，
直线与垂直，的坐标为，
设圆的半径为，
圆满足与直线：和圆：都相切，
，或，
解得或，
圆的方程为：或，
故答案为：或．
由题意得的坐标为，，或，求解即可．
本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：，
当且仅当且，即时，取等号，
所以的最大值为．
故答案为：．
由，再利用基本不等式即可得解．
本题主要考查基本不等式及其应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由实物轴截面如图，为球心，
结合设计图知，，，
，解得，
由题设知：若为球体体积，为圆柱体积，为圆柱一端的球冠体积，
由祖暅原理知：
，
该浮漂的体积为
故答案为：；
根据设计图截面结构，结合球体轴面的性质确定球体半径、实物高及中间柱体底面的关系求；应用祖暅原理求圆柱两端处球冠的体积，然后用球体体积减去圆柱体积，两个球冠体积即可得实物体积．
本题考查祖暅定理、球冠体积、球体体积、球体截面性质、圆柱体积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：由题意及图可知，为第行的最后一个数，
第行一共有个数，
从第行到第行一共有个数，
，．
由，可得，
则
．
【解析】先根据题意及图分析出从第行到第行一共有个数，再根据正奇数数列与项数的关系可推导出数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前项和．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，等差数列求和公式的运用，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
18.【答案】解：因为，
由余弦定理得：，所以，
由正弦定理得：，所以，
又，所以，又，所以．
证明：由题意得，
由知：，所以，所以，
则，即，即，
在中，
在中，所以，解得，
故，又，故，
即，
所以为等腰三角形．
【解析】应用正余弦边角关系及三角形内角性质得，即可求的大小；
由及题设易知，则有，应用余弦定理可得，求出，即可证明．
本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：由题意，直角梯形旋转形成下底面半径为，上底面半径为，高为的圆台，可得该圆台的母线长为，
所以该圆台的表面积，
该圆台的体积，
故所求圆台的表面积和体积分别为；
作，以点为坐标原点，，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，即，
又平面的一个法向量，
设与平面所成的角为，
则，
两边平方并结合，解得或，
故时所求的最小值为．
【解析】利用圆台的表面积、体积公式求圆台的表面积和体积；
构建空间直角坐标系，确定、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示列方程求，进而可求的最小值．
本题考查了圆台的体积和表面积的计算，考查了直线与平面所成的角的计算问题，属于中档题．
20.【答案】解：一班抽取人，二班抽取人，
一班样本平均数为，样本方差为，
二班样本的平均数为，样本方差为，
总样本的平均数为，
记总样本的样本方差为，
所以，这人答对题目的样本均值为，样本方差为．
设事件为“李明同学从乙箱中抽出的第个题是选择题”，
事件为“王刚同学从甲箱中取出个题都是选择题”，
事件为“王刚同学从甲箱中取出个选择题个填空题“，
事件为“王刚同学从甲箱中取出个题都是填空题”，
则、、，彼此互斥，且，
，，，
，，，
，
所求概率即是发生的条件下发生的概率：．
【解析】首先求分层抽取的两个班的人数，再根据两个班抽取人数的平均数和方差，结合总体平均数和方差公式，代入求值；
根据全概率公式和条件概率公式，即可求解．
本题考查均值与方差的计算，考查全概率公式，是中档题．
21.【答案】解：设动点的坐标为，
由题意得，，
化简得：，
故所求的方程为．
设，，设直线的方程为：，
设，，联立方程：消去得，
所以，，
由题意得，
所以，即，
即，
从而，
所以，
即，
所以，又，，经检验满足题意．
【解析】设点坐标，依据题意列出等式，化简可求出轨迹方程；
依据等比数列的性质可得，代入弦长公式化简结合韦达定理可求出的值．
本题主要考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：当时，，所以，，
所以在点处的切线方程为．
对都有且，而，则，
所以，此时，故，则，
在上，，即单调递增，且，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，满足题意，
综上，．
不妨设，令，
所以，则，
又，，，且，
当，，而，，
所以，故，在上单调递增，
所以，所以单调递增，故，
所以，即．
【解析】利用导数几何意义求切线方程；
由已知不等式恒成立且知，进而求得，再代入应用导数研究恒成立，根据充要关系确定参数值；
设，构造，利用导数研究单调性，进而确定其函数值符号，即可证结论．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
第1页，共1页
