东莞市第四高级中学2022-2023学年高三下学期第九次测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设为虚数单位），则为
A．3 B．4 C．10 D．
2．已知集合，或，则（ ）
A． B． C． D．
3．某校高一年级25个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的第80百分位数为（ ）
A．91 B．92 C．93 D．93.5
4．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
5．重庆有一玻璃加工厂，当太阳通过该厂生产的某型防紫外线玻璃时，紫外线将被过滤为原来的，而太阳通过一块普通的玻璃时，紫外线只会损失10％，设太阳光原来的紫外线为，通过x块这样的普通玻璃后紫外线为y，则，那么要达到该厂生产的防紫外线玻璃同样的效果，至少通过这样的普通玻璃块数为（ ）（参考数据：）
A．9 B．10 C．11 D．12
6．已知事件，满足，，下列说法错误的是（ ）
A．若，则，是互斥事件
B．若，则，是互斥事件
C．若，则，是相互独立事件
D．若，则，是相互独立事件
7．已知双曲线C：的右顶点为A，，若在双曲线C的渐近线上存在点M，使得∠AMB＝90°，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．在古代，正四棱台也叫“方亭”，竖着切去“方亭”两个边角块，把它们合在一起是“刍甍”，图1是上底为a，下底为b的一个“方亭”，图2是由图1中的“方亭”得到的“刍甍”，已知“方亭”的体积为，“刍甍”的体积为，若（约等于0.618，被称为黄金分割比例，且恰好是方程的一个实根，台体的体积公式为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知一次函数满足，且点在的图象上，其中，，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．关于函数，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递增
C．函数没有最小值 D．函数的最小值为
11．焦点为的抛物线与圆交于两点，其中点横坐标为，方程的曲线记为是圆与轴的交点，是坐标原点，则下列正确的是（ ）
A．给定，对于任意，圆弧所对的圆心角
B．对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角
C．对于任意，该曲线有且仅有一个内接正
D．当时，存在面积大于2022的内接正
12．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．对于任意实数a，
B．对于任意实数a，函数图象为轴对称图形
C．存在实数a，使得在单调递减
D．存在实数a，使得关于x的不等式的解集为
三、填空题
13．设，则______．
14．函数在处的切线过点，则实数m＝______．
15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，，成等差数列，则的面积的最大值为__________．
16．已知函数，，其中a为常数，且函数y＝f(x)和y＝g(x)的图像在其与两坐标轴的交点处的切线相互平行．若关于x的不等式对任意不等于1的正实数都成立，则实数m的取值集合是____________．
四、解答题
17．已知正项数列，，且
（1）求证：是等差数列，并求的通项公式；
（2）数列满足，若，仍是中的项，求在区间中的所有可能值之和；
（3）若将上述递推关系改为：，且数列中任意项，试求满足要求的实数的取值范围
18．已知.
（1）求的单调增区间；
（2）在中，A为锐角且，边上的中线，，求 .
19．如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，F、G分别是、的中点．
(1)在线段上是否存在一点E，使得对线段上任意一点Q，有平面．若存在，请确定点E的位置，若不存在，请说明理由；
(2)若，求点F到平面的距离．
20．某体育彩票站点为了预估2020年彩民购买彩票的情况，对2019年的购买情况进行随机调查并统计，得到如下数据：
购买金额/千元
人数 10 15 20 25 20 10
（1）估计彩民平均购买金额(每组数据取区间的中点值)；
（2）根据以上数据完成下面的列联表；
不少于6千元 少于6千元 合计
男 30
女 12
合计
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有90%的把握认为彩民的购买金额是否少于6千元与彩民的性别有关？
附：，其中.
2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
() 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005
21．已知椭圆C的中心在坐标原点，其短半轴长为1，一个焦点坐标为，点在椭圆上，点在直线上，且．
（1）证明：直线与圆相切；
（2）设与椭圆的另一个交点为，当的面积最小时，求的长．
22．设n是正整数，r为正有理数．
(1)求函数的最小值；
(2)证明：；
(3)设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如．令求的值．
（参考数据：．
参考答案：
参考答案：
1．D
2．D
3．D
4．D
5．C
6．C
7．B
8．D
9．BCD
10．BC
11．BC
12．BCD
13．
14．12
15．
16．{1}
17．（1）证明见解析；（2）1006008；（3）
【详解】（1）对两边取倒数，得，故是等差数列，
又，故
（2）
设是中的第项，则，
所以
（3）对两边取倒数，得，
，而，所以
18．（1） ；（2）
【分析】（1）整理三角函数的解析式为，结合三角函数的性质可得函数的单调递增区间；
（2）由（1）结合正弦定理可求得，然后利用同角三角函数基本关系和两角和差的正弦公式计算即可.
【详解】（1）由题意可知，
则，
解得
所以函数的单调递增区间为.
（2）以为邻边作平行四边形，如图，
因为，则，
又A为锐角，所以，故，
由（1）知，得，
解得，所以，
在△ABE中，.
由正弦定理可得：，
解得：，且.
因此.
19．(1)存在，点E为线段中点
(2)
【分析】（1）当点E为线段中点时，对线段上任意一点Q，有平面，根据线面平行证明面面平行，再根据面面平行可得线面平行；
（2）根据等体积法可求出结果.
【详解】（1）当点E为线段中点时，对线段上任意一点Q，有平面，证明如下：
连接．
∵E、G分别是边、的中点．
∴，又∵平面平面
∴面，
同理：面，
∵
∴面面
∵面
∴平面．
（2）由已知：，
∵，
∴在直角中，，
又∵平面
∴
在矩形中，
∴
∵、平面且
∴平面，
在直角中：，
同理可得：，
∴为等边三角形，，
∵G为线段的中点
∴，
∵平面平面，
∴平面，
∴到平面的距离等于到平面的距离等于，
所以，
设到平面的距离为，
因为，所以,
所以.
即点F到平面的距离为．
20．（1）4.65千元；（2）列联表答案见解析；（3）没有90%的把握认为彩民的购买金额是否少于6千元与彩民的性别有关.
【分析】（1）计算每一组数据的组中值乘以该组的频率，然后将其相加即可求解出平均购买金额；
（2）根据不少于千元的总人数以及少于千元的总人数填写表格；
（3）根据列联表的数据计算出的值，然后将其与比较大小并进行判断.
【详解】（1）彩民平均购买金额为(千元).
答：彩民平均购买金额约为4.65千元.
（2）由所给数据可得列联表如下：
不少于6千元 少于6千元 合计
男 18 30 48
女 12 40 52
合计 30 70 100
（3）根据列联表中的数据可得，
因此根据临界值表可知，没有90%的把握认为彩民的购买金额是否少于6千元与彩民的性别有关.
【点睛】思路点睛：根据频率分布表、频率分布直方图求解平均数的步骤：
（1）先确定每一组数据的组中值和频率；
（2）将每一组数据的组中值乘以频率并将所得结果相加，即可得到平均数.
21．（1）见解析； （2）.
【解析】（1）分斜率为0，斜率不存在，斜率不为0三种情况讨论，设的方程为，可求解得到，，可得到的距离为1，即得证；
（2）表示的面积为，利用均值不等式，即得解.
【详解】（1）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且，所以．
所以椭圆的方程为．
由点在直线上，且知的斜率必定存在，
当的斜率为0时，，，
于是，到的距离为1，直线与圆相切．
当的斜率不为0时，设的方程为，与联立得，
所以，，从而．
而，故的方程为，而在上，故，
从而，于是．
此时，到的距离为1，直线与圆相切．
综上，直线与圆相切．
（2）由（1）知，的面积为
，
上式中，当且仅当等号成立，所以面积的最小值为1．
此时，点在椭圆的长轴端点，为．
不妨设为长轴左端点，则直线的方程为，
代入椭圆的方程解得，
即，，所以．
【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了直线和圆的位置关系判断，面积的最值问题，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于较难题.
22．(1)最小值为f(0)=0；
(2)证明见解析；
(3)211.
【分析】(1)对函数求导，利用导数讨论单调性即可得的最小值.
(2)由(1)可得不等式，再对x赋值计算、推理作答.
(3)利用(2)的结论，借助数列裂项相消法的思想求出S的范围，再结合定义计算作答.
【详解】（1）依题意，，而r为正有理数，
由，解得x=0，当时，，当时，,
于是得在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在x=0处取得最小值为.
（2）由(1)知，当时，，即，，当且仅当x=0时取“=”，
则当且，有，又n是正整数，
令，有，即，则，
当时，令，同理可得：，而也满足此不等式，
综上得：，
所以不等式成立.
（3）由(2)知，n是正整数，r为正有理数，，
令，n分别取值81，82，83，…，125，有：
，，
，…，，
将以上各式两边分别相加并整理得：，
而，，由的定义，得，
所以的值是211.
【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.
