渭南市 2023 年高三教学质量检测（Ⅱ）
数学试题（理科）参考答案
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C C A C A C B A D B D
二、填空题（共 20 分）
8
13.
3
14. x 1或3x 4y 5 0或7x 24y 25 0，三条中任写一条即可。
15. 288
16. ①④⑤ （不全得 2分，有错为零分）
三、解答题（共 70 分）
17.（12分）解：（Ⅰ）联结 BC，在△ABC中，由余弦定理可得，
BC AC 2 AB2 2AC AB cos BAC 16 12 2 4 2 3 3 2，
2
所以 B C = 1 2 1 ，即 B C的长度为 (km)； ...................................................6分
2
（Ⅱ）记 AD=a，CD=b，则在△ACD中，由余弦定理可得：
a2 b2 2ab cos 16，即 a2 b2 ab 16， .............................................................8分
3
2
从而 (a b)2 16 3ab 16 3 a b ≤ ，
2
所以 1 (a b)2≤16，则 a b≤8，当且仅当 a b 4时，等号成立；.......................10分
4
新建健康步道 A D C的最长路程为 8(km)，
故 新 建 的 健 康 步 道 A-D-C 的 路 程 最 多 可 比 原 有 健 康 步 道 A-B-C 的 路 程 增 加
8 2 3 (km)． ..........................................................................................................12分
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1
18.（12分）解：（Ⅰ）由已知 X B 6, 2
，
所以 P X≤2 P X 0 P X 1 P X 2
1 6 5 2 4
C0 C1 1 1 C 2 1 1 1 6 15 116 2 6 2 2 6
；……………5分
2 2 64 64 64 32
X B n, 1 （Ⅱ）由已知 ，所以 E X 0.5n,D X 0.25n，……………7分
2
X
若0.4≤ ≤0.6，则0.4n≤X≤0.6n，即 0.1n≤X 0.5n≤0.1n，
n
即 X 0.5n≤0.1n .…………………………………………………………………….9分
由切比雪夫不等式 P X 0.5n≤0.1n ≥1 0.25n ，
(0.1n)2
98% 0.4 0.6 0.25n要使得至少有 的把握使发射信号“1”的频率在 与 之间，则1
(0.1n)2
≥0.98 ，
解得 n≥1250，所以估计信号发射次数n的最小值为 1250；
11
综上，P X≤2 ，估计信号发射次数n的最小值为 1250.…………………12分
32
19.（12分）（Ⅰ）证明：如图，取 A1C1的中点 D，连接 B1D，CD，
∵C1C＝A1A＝A1C，
∴CD⊥A1C1，………………………………………2分
∵底面△ABC是边长为 2的正三角形，
∴AB＝BC＝2，A1B1＝B1C1＝2，
∴B1D⊥A1C1，……………………………………………………………………………4分
又 B1D∩CD＝D，
∴A1C1⊥平面 B1CD，且 B1C 平面 B1CD，
∴A1C1⊥B1C.………………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）解：法一 如图，过点 D作 DE⊥A1C于点 E，连接 B1E.
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∵侧面 AA1C1C⊥底面 ABC，
∴侧面 AA1C1C⊥平面 A1B1C1，又 B1D⊥A1C1，侧面 AA1C1C∩平面 A1B1C1＝A1C1，
∴B1D⊥侧面 AA1C1C，又 A1C 平面 AA1C1C，
∴B1D⊥A1C，又 DE⊥A1C且 B1D∩DE＝D，
∴A1C⊥平面 B1DE，∴B1E⊥A1C，
∴∠B1ED为所求二面角的平面角，………………………………………………….9分
∵A1B1＝B1C1＝A1C1＝2，∴B1D＝ 3，
ED 1
2
又 ＝ CC 31＝ ，∴tan∠B ED B＝ 1D1 ＝ ＝ 6，
2 2 ED 2
2
42
∴二面角 B1－A1C－C1的正弦值为 ……………………………………………..12分
7
法二 如图，取 AC的中点 O，以 O为坐标原点，射线 OB，OC，OA1分别为 x，y，z轴的
正方向建立空间直角坐标系，
则 O(0，0，0)，B( 3，0，0)，A1(0，0，1)，B1( 3，－1，1)，C1(0，－2，1)，
C(0，－1，0)……………….............................................................................................7分
∴ A1B1 ＝( 3，－1，0)， A1C＝(0，－1，－1)，
设 m＝(x，y，z)为平面 A1B1C的法向量，
m A1B1 3x y 0，
∴
m A1C y z 0，
令 y＝ 3，得 m＝(1， 3，－ 3 )，………………………………………………..8分
又OB＝( 3，0，0)为平面 A1C1C的一个法向量，…………………………………9分
设二面角 B1－A1C－C1的大小为θ，显然θ为锐角，
m OB
cos cos m，OB 7 ，……………………………………………......11分
m OB 7
sin θ 42则 ＝ ，∴二面角 B1－A1C－C 421的正弦值为 .…………………………..12分
7 7
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20.（12分）解：（Ⅰ）直线 BF方程为 y x 1，与椭圆联立可解得 C（ 4 1，），
3 3
2 2
四边形 ABOC的面积 S AOB S AOC . .............................................................4分3
y1y2 1
（Ⅱ）设 ，由 kOM kON ， x x 2y y 0x x 2 有 1 2 1 21 2
又 M，N在椭圆上，有 .....................................................6分
设点 P(x，y)，由题意可得
x x1 2x2
即 ..................................................................................................................8分
y y1 2y2
x2 2y2 x 2x 2 2 y 2y 21 2 1 2 ,
x 21 2y 21 4 x 22 2y 22 4 x1x2 2y 1 y2 10 .........................................................10分
x2 y2
所以点 P的轨迹在椭圆 1上，
10 5
所以存在两个定点 ，使得 PG PH 为定值 2 10 ..................12分
21.（12 x分）（Ⅰ）解：令 y e x 1， y ex 1，由 y 0，解得x 0
当 x 0时，y 0；当 x 0时，y 0；
所以 y e x x 1在 ，0 递减， 0，+ 递增，
即 y≥e0 0 1 0，即 f (x)≥x 1………………………………………………….3分
ln x x
由（Ⅰ）知 e ≥ln x x 1（当且仅当 取等号），
eln x x ln x 1 ln x x 1 ln x 1
≥ 1，所以－m≤1，即m≥-1……………7分
x x
1 1 1 1 1
（Ⅲ）由（Ⅰ）知 ex≥x 1，令 x 1 k N ,可得ek ≥ 1 1 k k k
k k 1
1
所以 ≤e1 k 1 ………………………………………………………………10分
k e
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1 k 1因为数列
1 1 e
是首项为，公比为 的等比数列
e
n
1 1 n k
所以 1 e 1 e ≤ …………………………………………..........12分
k 1 k 1 1 1 1 e 1
e e
x 1 ,
22．（10 分）解：（Ⅰ）曲线 C的参数方程为 cos （ 为参数， k
），
2
y
3sin
,
cos
2 2 2
所以 x2 1 y sin ，所以 2 y
cos2
, x 1.
3 cos2 3
2
即曲线 C的普通方程为 x2 y 1 ....................................................................................3分
3
π π π
直线 l的极坐标方程为 cos 1，则 cos cos sin sin 1 ，
3 3 3
转换为直角坐标方程为 x 3y 2 0． ......................................................................5分
3
x 2 t ,
（Ⅱ）直线 l过点 P(2,0)，直线 l的参数方程为 2 （t为参数）令点 A，B对应的
y
1
t ,
2
参数分别为 t1， t2 ，
x 2
3
t
2 y2 9
由 代入 x2 1，得 2t 2 6 3t 9 0 ，则 t1 t2 3 3， t1 3 1
t2 ，
2
y t 2
即 t1、t2为负，
1 1 1 1 | t | | t | | t t | (t 2
故 2 1 1 2 1
t2 ) 4t1t2 2 ．.................10分
| PA | | PB | | t1 | | t2 | | t1t2 | | t1t2 | t1t2 3
23．（10分）解：（Ⅰ）当 a 1时， f x x 1 2 x 1，
当 x≤ 1， f x 3x 1， f (x)min f 1 4；
当 1 x 1， f x x 3， f x 2,4 ；
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当 x≥1， f x 3x 1， f (x)min f 1 2；
∴当 a 1时， f (x)的最小值为 2． ..............................................................................5分
（Ⅱ）a 0，b 0，当1≤x≤2时，
x a 2 x 1 x2 b 1可化为 a b x2 3x 3，
令 h x x2 3x 3， x 1,2 ，h x h 1 hmax 2 1，∴ a b 1 .....................7分
当且仅当 a b时取得等号；
2
又当 a b 1 (a b) 1时， a b 2，
2 2
a 1
2 2
1
故 b
2 . ...............................................................................................10分
2 2
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数学试题（理科)
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间120分钟
2.
答卷前务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡和答题纸上。
3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内，
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的
1.
已知集合A={x=V2-x},B=xlg,x<},则AnB=
A.(-0,2)
B.(0,2)
C.（-∞，2]
D.(0,2]
2.
已知平面向量a,6满足a=4,同l=2,a-(a-)=20,则向量a与6的夹角为
A.
π-6
B.
c.2
D.
3
3.已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn,若a1=1,a3=5，Sn=64,则n=
A.6
B.7
C.8
D.9
4.在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到x,x2,…,xm
共n个数据.我们规定所测量物理量的“最佳近似值”α应该满足与所有测量数据的差的平
方和最小.由此规定，从这些数据得出的“最佳近似值”a应是
A.
n
5.棣莫弗公式(cos8+isin8)”=cosne+isinn0(i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗
数学试题（理科）第J.页共6枣
(1667-1754)发现的.若复数z满足z·
cos。+isin
=1+,根据棣莫弗公式可知，复
8
数：对应的点在复平面内的
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
6.将抛物线y2=x绕其顶点顺时针旋转90°之后，正好与抛物线y=2x2重合，则m=
A.-
C.-2
D.2
7.函数f(x)=[ln(π-x)+lnx]cosx的大致图像为
B
D
8.2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以
123 同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构
建新发展格局，实现了“十四五”良好开局.2021年，全国居民人均可支配收入和消费支
出均较上一年有所增长，结合如下统计图表，下列说法中正确的是
元
%
40000
20
回金闪居民人均可支配收入
35128
o一比上年际增长
32189
32000
30733
其他用品及服务
28228
25974
s
医疗保促
569元，2.4%
2115元，8.8%
食品烟酒
24000
教有文化娱乐
7178元，29.89%
10
2599元.，10.8%
16000
58
父通通信
3156元，13.1%
农看
8000
21
1419元，5.9%
生活用品及服务
1423元.5.9%
0
居住
2017
2018
2019
2020
2021
5641元，23.4%
图1：2017-2021年全风居民人均可支配收入及其增长速度
图2：2021年全国居民人均语受支出及其构成
A.2017一2021年全国居民人均可支配收入逐年递减
数学试题（理科）第2页共6面
