2023届高考数学小题狂刷卷： 均值不等式及其应用
一、选择题（共15小题）
1. 已知 ，则函数 有
A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值
2. 若 ，，且 ，则下列各式恒成立的是
A. B.
C. D.
3. 若 ，， 均大于 ，且 ，则下列各式中，一定正确的是
A. B. C. D.
4. 设 ， 为正数，且 ，则下列各式中，一定正确的是
A. B. C. D.
5. 如果正数 ，，， 满足 ，那么
A. ，且等号成立时 ，，， 的取值唯一
B. ，且等号成立时 ，，， 的取值唯一
C. ，且等号成立时 ，，， 的取值不唯一
D. ，且等号成立时 ，，， 的取值不唯一
6. 已知 ，，若不等式 恒成立，则 的最大值为
A. B. C. D.
7. 若 ， 为正实数，且 ，则 的最小值为
A. B. C. D.
8. 将一根长为 的铁管 折成一个 的角 ，然后将 ， 两端用木条封上，从而构成三角形 在不同的折法中， 面积 的最大值为
A. B. C. D.
9. 要制作一个容积为 ，高为 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米 元，侧面造价是每平方米 元，则该容器的最低总造价是
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
10. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则 的最小值为
A. B. C. D.
11. 若 ， 且 ，则 ，，， 中值最小的是
A. B. C. D.
12. 已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为
A. B. C. D.
13. 设正数 ， 满足 ，则 的最小值为
A. B. C. D.
14. 由不全相等的正数 （）形成 个数：，，，，，关于这 个数，下列说法正确的是
A. 这 个数都不大于 B. 这 个数都不小于
C. 至多有 个数不小于 D. 至多有 个数不大于
15. 已知向量 ，，若 ，则 的最小值为
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题）
16. 已知 ，，则 ．
17. 设 ，则 的最小值为 ．
18. 若 ，则 的最小值为 ．
19. 某公司一年购买某种货物 吨，每次都购买 吨，运费为 万元 /次，一年的总存储费用为 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 吨．
20. 已知 ，，且 ，则 的最小值为 ．
21. 已知 ，，且 ，则 的最小值为 ．
三、解答题（共5小题）
22. 利用公式 或 ，求证：
（1）．
（2）若 （），则 ．
（3）若 （），则 ．
（4）．
23. 已知 ，，，求证：
（1）；
（2）．
24. 利用逆代法证明下列各题：
（1）若正数 ， 满足 ，则 ．
（2）．
（3）若 ，， 为正常数，且 ，则 ．
25. 求证：
（1）．
（2）．
（3）（，，， 都是大于 的实数）．
26. 利用拆项法证明下列各题：
（1）若 ，，则 ．
（2）．
（3）若 ，，，则 ．
（4）．
答案
1. A
2. C
3. B
4. D
5. A
6. B
7. B
8. B
【解析】设 ，，则 ，
，
当且仅当 ，即 时取等号．
所以 最大值为 ．
9. A
【解析】提示：设长方体长为 ，宽为 ，则由已知可得 ，则总造价为 ，再利用均值不等式．
10. D
【解析】因为由题意得 ，，即 ，
利用此式进行代换，，
令 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，即 的最小值为 ．
11. C
【解析】也可以用特殊值法
12. A
【解析】，
所以 ，
所以
13. B
14. D
15. B
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，，所以 ，
当且仅当 即 时等号成立，
所以 ．
16.
【解析】因为 ，，
所以 ．
17.
18.
【解析】因为 ，
则 ，
当且仅 ， 时取等号．
所以 的最小值为 ．
19.
20.
【解析】因为 ，，且 ，
所以
当且仅当 且 ，
即 ， 时取等号，
故 的最小值为 ．
21.
22. （1） 略．
（2） 略．
（3） 略．
（4） 因为 ．
23. （1）
（2）
24. （1） 左边 ．
（2） 左边 ．
（3） 左边 ．
25. （1） ．
（2） 因为 ，
所以 ，
本题也可利用 ．
（3） 利用 及 ，并相加即得．
26. （1） 利用 ；
（2） 利用 ；
（3） 利用 ；
（4） 利用 ．
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