2022-2023学年上海重点大学附中高二（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在下列各事件中，发生可能性最大的是( )
A. 抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚正面朝上
B. 抛掷一颗质地均匀的骰子，点数大于
C. 有张彩票，其中张有奖，从中随机买张中奖
D. 一个袋子中有个红球个白球，从中摸出个球是红球
2. 已知，，，则事件与的关系是( )
A. 与互斥不对立 B. 与对立
C. 与相互独立 D. 与既互斥又独立
3. 已知的二项展开式中，第项与第项的系数相等，则所有项的系数之和为( )
A. B. C. D.
4. 已知，则( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
5. 在的二项展开式中，系数最大的项为______．
6. 已知球的两个平行截面的面积分别为和，球的半径为，则这两个平行截面之间的距离为______．
7. 有种不同型号的手机供位顾客选购，每人只购一台，则共有______种不同的选法．
8. 现有位教师要带个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案共有______种．
9. 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到如表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数
好评率
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值从这六类电影中随机选取一部电影，则估计这部电影没有获得好评的概率为______．
10. 除以的余数为______．
11. 个男生和个女生排成一排，要求女生不排在两端，则个女生排在一起的概率为______．
12. 某高中已经从高一、高二、高三个年级中各挑选出男女，现从这人中选出一人评选区三好学生，则此人是男生或是高二年级学生的概率是______．
13. 甲乙两队进行一场排球比赛，采用五局三胜制即局内谁先赢局就算胜出并停止比赛，已知每局甲队胜乙队的概率是，且各局比赛的胜负相互独立，则最终甲队获胜的概率为______．
14. 某兴趣小组有名学生，若从名学生中选取人，则选取的人中恰有名女生的概率为，且女生人数超过人，现在将名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，则共有______种不同的站队方法．
15. 已知球的表面积为，点、、在球的表面上，且，，，则球心到平面的距离为______．
16. 用一根长为的铁丝围成正三角形框架，其顶点为、、，将半径为的球放置在这个框架上如图，若是球上任意一点，则四面体体积的最大值是______．
三、解答题（本大题共5小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图所示，已知一个半径为的半圆面剪去了一个三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点为半圆弧的中点，求该几何体的表面积和体积．
18. 本小题分
如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径为，圆柱筒高为．
求这种“浮球”的体积；
要在这样的个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶克，共需胶多少克？
19. 本小题分
已知为正整数的二项展开式中．
若，求所有项的系数之和；
若，求展开式中的有理项的个数：
若，求系数最大的项．
20. 本小题分
如图，在正三棱柱中，底面的面积为，侧面积为，是的中点．
求异面直线与所成的角的大小；
求直线与平面所成的角的大小．
21. 本小题分
如图，四棱锥的底面是矩形，平面，为的中点，且，，．
求点到平面的距离；
求二面角的大小；
已知为的中点，若一只蚂蚁从点出发，沿着四棱锥的表面爬行，求这只蚂蚁爬到点的最短距离结果精确到．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：对于，抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚正面朝上的概率为，
对于，抛掷一颗质地均匀的骰子，点数大于的概率为，
对于，有张彩票，其中张有奖，从中随机买张中奖的概率为，
对于，一个袋子中有个红球个白球，从中摸出个球是红球的概率为，
则可能性最大的是，
故选：．
根据随机事件的概率可依次判断．
本题考查随机事件的概率，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，，，则，
则，
又，
则，则事件与不可能同时发生，
则事件与的关系为互斥但不对立，
故选：．
根据题意可计算，再根据和事件的概率公式以及互斥事件、对立事件的定义可解．
本题考查和事件的概率公式以及互斥事件、对立事件的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意展开式的第项，第项的系数分别为，
则，所以，
则二项式为，令，则展开式的所有项的系数之和为，
故选：．
由由题意求出展开式的第项，第项的系数，然后建立方程求出的值，然后再令即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意可得为二项式的展开式的所有项系数之和，
则令，，
故选：．
由题意可得为二项式的展开式的所有项系数之和，然后令即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，，，，，
则展开式系数的绝对值与二项式系数相等，因为，则第项的二项式系数最大，
即为，
所以系数最大项为，
故答案为：．
求出展开式的通项公式，然后根据通项公式可知展开式系数的绝对值与二项式系数相等，根据二项式系数的性质即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，涉及到二项式系数的性质，属于基础题．
6.【答案】或．
【解析】解：设两个截面圆的半径别为，，球心到截面的距离分别为，，球的半径为．
由，得，
由，得，
如图所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时，
这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差．
即；
如图所示，当球的球心在两个平行平面的之间时，
这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和．
即．
故答案为：或．
根据两个截面圆的面积分别求出对应圆的半径，再分析出两个截面所存在的两种情况，再对每一种情况分别求出两个平行平面的距离即可．
本题考查两个平行平面间的距离的计算，重点考查球中截面圆半径、球半径之间的关系，体现了分类讨论思想，是中档题．
7.【答案】
【解析】解：由已知得，每位顾客都有种选法，
所以共有种方法，
故答案为：．
按分步计数原理计算可得．
本题考查了分步计数原理的应用问题，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由于每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，
所以分以下两类情况：
甲乙一起带队，则需要把其余的四位老师分成三组，共有种分法，再将四组老师分到个班级共有种分法，
即甲乙同队共又种；
甲、乙分别于另外一位老师一起带队，先将其他四位老师分到个班级共有种分法，再将甲、乙分别分到两个不同的班级共有种分法；
即甲、乙不同队共有种；
综上可知，不同的带队方案共有种．
故答案为：．
因甲、乙不能单独带队，故分甲乙一起带队和甲、乙分别于另外一位老师一起带队两种情况进行分类计算即可．
本题考查了排列组合的应用问题，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：总的电影部数为，
获得好评的电影部数为，
这部电影获得好评的概率为，
故这部电影没有获得好评的概率为．
故答案为；．
分别求得总的电影部数和获得好评的电影部数，由古典概率和对立事件的概率公式，可得所求值．
本题考查古典概型和概率计算公式，考查运算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，
则展开式的前项都可以被整除，
所以除以的余数为，
故答案为：．
因为，然后根据二项式定理展开，根据整除的性质以及余数的求解即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，涉及到整除的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：个男生和个女生排成一排，要求女生不排在两端，
可以排男生，则总数为，
个女生排在一起的总数为，
则个女生排在一起的概率为，
故答案为：．
由分步计数原理和古典概型计算公式，可得所求值．
本题考查古典概型和概率计算公式，考查运算能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：设是“选出的一人为男生”，是“选出的一人为高二年级学生”，是“选出的一人是高二年级的男生”，
则，，，
所以．
故答案为：．
设是“选出的一人为男生”，是“选出的一人为高二年级学生”，是“选出的一人是高二年级的男生”，由古典概型公式和，计算可得所求值．
本题考查古典概型和概率计算公式，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：每局甲队胜乙队的概率是，且各局比赛的胜负相互独立，
则最终甲队获胜的概率为．
故答案为：．
根据已知条件，结合相互独立事件的概率公式，即可求解．
本题主要考查相互独立事件的概率公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了排列组合的应用问题，属于基础题．
由已知得名学生中，有女生人，男生人，再利用插空法求解即可．
【解答】
解：设名学生中，有女生人，男生人，
则名学生中选取人，恰有名女生的概率，
整理得：，即，
因式分解可得：，
解得：或舍去或舍去，
所以名学生中，有女生人，男生人，
将名女生排成一排有种方法，再将名男生插到个空中有种方法，
因为男生的左右相对顺序固定，而名男生排成一排有种方法，
所以一共有，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：球心在平面的投影为，则球心到平面的距离为，
球的表面积为，则球的半径满足，解得，即，
则，即为的外心，
，，，由余弦定理得，
由正弦定理得，外接圆半径，
故，故球心到平面的距离为．
故答案为：．
球心到平面的距离即为球心到的外心的距离，由余弦定理求得，再由正弦定理求得外接圆半径，即可最后由勾股定理的所求距离．
本题考查点到面的距离的求法，属基础题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意可得正三角形框架的边长为，
球在正三角形框架内的内切小圆的半径，
又球的半径，
球心到截面小圆的距离，
到底面的距离的最大值为：，
四面体体积的最大值是：
．
故答案为：．
先根据题意可得正三角形框架的边长为，再求出球在正三角形框架内的内切小圆的半径，从而可得球心到截面小圆的距离，从而得到底面的距离的最大值，再根据锥体的体积公式即可求解．
本题考查球的截面问题，四面体的体积的最值的求解，属中档题．
17.【答案】解：由题意可知，该几何体为球内部挖去两个相同的圆锥，如图所示：
圆锥的半径为，高为，母线长为，
所以圆锥的表面积，圆锥的体积，
所以该几何体的表面积，
该几何体的体积．
【解析】由题意可知，该几何体为球内部挖去两个相同的圆锥，求出圆锥的侧面积和体积，进而求出该几何体的表面积和体积．
本题主要考查了求旋转体的表面积和体积，考查了圆锥和球的侧面积和体积公式，属于中档题．
18.【答案】解：由题意得该几何体由两个半球和一个圆柱筒组成，
所以体积为一个球体体积和一个圆柱体积之和，
由球体的体积为：，
圆柱体积为：，
所以浮球的体积为：．
上下半球的表面积：，
圆柱侧面积：，
所以，个浮球的表面积为，
个浮球的表面积为：，
因此每平方厘米需要涂胶克，
共需胶克．
【解析】由球的体积公式和圆柱的体积公式求解即可；
由球的表面积公式和圆柱的侧面积公式求解出一个的表面积，然后乘以得总面积，按照规定再乘以即可解决问题．
本题主要考查几何体的表面积和体积，属于中档题．
19.【答案】解：因为，所以，解得，
所以二项式为，令，则所有项的系数之和为；
因为，即，
整理可得：，解得或舍去，
所以二项式为，
所以展开式的通项公式为，，，，，
令，解得，，，，，，，，，，，
所以展开式的有理项共有项；
当时，设第项的系数最大，
则，且，，，，解得，所以，
则展开式中系数最大项为第项，即为．
【解析】利用二项式系数和公式建立方程即可求出的值，再令即可求解；求出的值，再求出展开式的通项公式，然后令的指数为整数，由此即可求解；设出系数最大项，然后建立不等式组，进而可以求解．
本题考查了二项式定理的应用，涉及到求解系数最大项以及有理项等问题，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：在正三棱柱中，是的中点，连接，作，
则，则建立以为原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示：
底面的面积为，侧面积为，
，且，解得，，
则，，，，
，，
，，
异面直线与所成的角余弦值为，
故异面直线与所成的角的大小为；
由得，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则，，
故直线与平面所成的角的大小为．
【解析】由题意得连接，作，根据题意求出，，则建立以为原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案；
由得，，，，利用向量法，即可得出答案．
本题考查异面直线的夹角和直线与平面的夹角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：连接，
设点到平面的距离为，
因为，又因为平面，所以．
因为，，，底面是矩形，
所以，，，所以，
则，，
所以，即，即得．
如图建系，，，，，
设平面的法向量为，设平面的法向量为，
，，
可得，即，，所以，
设二面角的平面角为，
，
所以．
该蚂蚁可能沿着和到达点，故将和展开在一个平面内，设，，
因为，，，，，
所以，，
所以，，，，
，
在中，
，
该蚂蚁可能沿着和到达点，故将和展开在一个平面内，
，，，，
在中，，
该蚂蚁可能沿着矩形和到达点，故将矩形和展开在一个平面内，
，，，，，，
在中，，
因为，
所以，
因为，，所以，
所以，
所以蚂蚁从点出发，沿着四棱锥的表面爬行，这只蚂蚁爬到点的最短距离为．
【解析】应用等体积法可求点到平面距离；
建立空间直角坐标系，空间向量法求出二面角平面角；
分三种情况进行求侧面展开图求距离最小．
本题考查点到面的距离的求法，考查二面角的求法，考查最短距离问题，属中档题．
第1页，共1页
