宜春市2023年高三年级模拟考试数学（文）试卷
注意事项：
1.$.卷前 考生务必将自己的姓名 、 准考证号填写在试卷和$且是一F上．
2.回答这择是豆前逃出每小翅答案后 ， 用28铅笔把各题卡上对应题目的答案析、号涂黑．如需
改动，用橡皮擦干净后，再这涂 1也答案标号。回答非选择题时 ， 4夺答案写在 越卡土．写在本
试卷土元效．
3.考试结求后 4号本试卷和答是革卡一， 并交田。
一、选揉题：2标题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有－项是
符合题目要求的．
1设全集 V=R ， 集合 A={xlx<-1 或 x 法 2}, B = {-2,-l,O,l,2｝ ， 则（fuA）门 B=
A. {0,1} B. {-1,0} C. {0,1,2} D. {-1,0,1}
2. 己知复数z 满足z(l +i) =-2 ，则 z=
A. -l+i B. -1-i C. l+i o. 1-i
- - - - - - － － π － － －
3. 非零向量a, b, c 满足a l_(b-c), a与b的央角为一， lbl=2 ，则c在a上的投影为
3
A. 1 B. fi C. → o.-l'i
[x-y 注0,
4.己知实敛 x,y满足约束条件 x+y-3 至 0，则 z = 3-2ny的最大值是
IY 注1,
1
A. 3 B. - C . ...：."二
1 o. 一
3 9 27
5. 从棱长为 2 的正方体内随机取一点，则取到的点到中心的距离不小于 l 的概率为
π
A.- nu － c.1 －旦 D.1－主
6 4 6 4
6.若a = 0.04 , b = In 1.04 , c = log；但 则
A. c
只有l为公约数，则称m II 互质，对于正整数，1，ψ （吟 :le小干成等于”的正路数中与n互质的
数的个敛，函数φ （n） 以其背名研究将败校命名，称为欧校的烛，例如：φ （3) = 2 ，ψ （7) = 6.
2 2
8. 函数f(x) =s in(rox
π ． π
＋ 一）的国象（0
移3个单位长度后与函数y=g(x） 图象茧合，下列说法川的桂
商三数学文科第l页共4页
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A. 闲挝 ο）｜引忽关l飞 ．） 11. 叫仰）｜协呆子点〈÷川自t
C 闲执 R川咛） 1）飞ii叫 I), 闸侬 g(x
9.'(ER1.t.ARC'11, CA=l,Clla2. 以住：u」i Ill] y甘Ji1!4'fitil Jlc t I／－）耐 10步lj－才、儿f’可你，9!1］该几何体
的内l刀球的体以为
A. 生 队豆豆 n 肌 肉 4π1, l. - IJ -
J J 81 81
10.如l到. F,. 乓肌州C1 二： ＿.i_ = l l(n > O,b > 0)( t,11Eti1.!11. 飞 ， 点 A.
(12 b2
一－ 2 －一. I一－ 一－一－
B分别在两条沟ifil找上，j LtJIJJJl OA =-OF, +-OB, OA BF., .r:
3 L 3 L
= 0 ， ”lj
双IIIJ线 C 的离心率为
A.2fi s.Jto c. 2 o.fi
川 1
11. 已知数列｛aJ满足α 生1＋ ＋生＋ －＋ ＝2 ，若擞歹 ↓」土3- ↓的前n项和S”’对任意‘2 3 n n l (n +1 ）αn J
＂
II EN 不等式 Sn ＜ λ恒成立，则实数λ的取值班围是
A.λ 5 ＞］ B. λ；E ] c.λ注 2 D.λ〉 一
8 8
111
12.己知函数 f(x) －= ln(x+l） 一一， g(x)=x+ln 一X （m>O），且 ！（引）＝ g(x2 ) = 0，则
x+l m
X2（引＋l )的最大值为e"'-1
2
A.1 B. e c. - D.-
e e
二、填主题：本题共4小题，每小题5分，共20分－
M叫fi （口叫命，则叫，0）的距离川点的坐标可以是一一（写
出 一个满足条件的点就可以〉
14.己知点A(-1,-1)B, (l,-1）若， 圆 （x-a)2 +(y-2a+4)2 =1上存在点M满足MA·MB=3 ，则实
数a的取值的范围是
15.己知某线路公交车从6:30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲
每天到起点站的时间是在6:30-7:00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时问是在6:45-7:15
任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是
16.如图，多面体 ABCDEF 中，面ABCD 为正方形， DE 1. 平面ABCD , CF II DE ，且
AB=DE=2, CF=1. G 为棱 BC 的中点，H为棱 DE 上的动点，有下列结论：
①当H为 DE 的中点时， GH II 平面ABE:
＠存在点H，使得 GH 1.AC:
F
③直线 GH 与 BE 所成角的余弦值的最小刷子：
＠三梭锥A-BCF 的外接球的我而积为如 ．
其中正确的结论序号为 ．（填写所有正确结论的序号〉
A
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三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答．第 22 、 23 题为选做题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17. (1 2 分）
在 MBC 中 ，角 A,B,C 所对的边分别为a, b, c，且 a +b=2ccosB.
( l）求证： C=2B:
a+3b
(2）求一一一－的最小值．
bcosB
18. ( 12 分〉
如回 l，在草角梯形 ABCD 中， ABII CD, LDAB=90。 ， CD=2AB=2AD=4 ，点 E.
F 分别是边 BC, CD 的中点，现将 牟CEF 沿 EF 边折起，使点 C 到达点 P 的位置（如图2
所示〉，且 BP=2. P
( I ）求证：平面 APE i平面 ABD:
(2）求点 B i!J平面 ADP 的距离．
AL({ B
回t 回2
19. ( 12 分）
为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价
的基本规则是：① “ 盲抬 ”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个入不知晓其他入的报价，
也不知道参与当期竞拍的总人数：②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞抱人
的出价从高到低分配名额． 某人拟参加 2023 年 5 月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，
根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（见表〉：
月份 J 2022.12 I 20川 I 2023.2 I 2023.3 J 2但3.4
月份编号t I 1 I 2 I 3 I 4 I s
竞拍人数 y （万人）｜ 1.1 I 2.1 I 2.s I 2.s I 3.4
( I) 由收集数据的散点图发现可用线性回归模型拟合竞拍入数 y （万人〉与月份编号t之
间的相关关系 ． 请用最小二乘法求 y关于t的线性回归方程： y=bt+a ，并预测2023 年 5 月
份参与竞拍的人数．
(2）某市场调研机构对 200 位拟参加 2023 年 5 月份车牌竟拍人员的报价进行抽样调查，得
到如下一份频数表：
E报价区间〈万元〉｜ [t, 2) I 口， 3) I (3,4) I (4,5) I [5,6) I 币， 7)
频数 I 20 I 60 I 60 I 30 I 20 I IO
2
(j）求这 200 位竞拍人员报价 X 的平均数王和样本方差 s ＜同一区间的报价可用改价格区
间的中点值代替〉：
( ji) 假设所有参与竞价人员的报价 X 可视为服从正态分布 N（ ，σ 巧，旦”与 2σ 可分别由
(i) 中所求的样本平均数主及方差 2s 佑值． 若 2023 年 5 月份实际发放车牌数是 5000 ，请你
合理预测（需说明理由〉竞拍的最低成交价 ．
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主（x， － 王）（y， － 歹）
附： b 阳I＝ n ' Ju::::: 1.3 ，若 Y-N(O,l），则 P(Y < 1.11) = 0.8660,
王的－均
2
P(Y < 1.12) = 0.8686.
20. (12 分〉
己知函数 J(x) = x 『 lnx-2.
( I） 求丽数的＠：小值：
(2 ）若方程 J(x) ＝。有两个不同的实数很矶’ X2 且X1
21. ( 12 分〉
x2 y2
在平面直角坐标系 .xoy 中，己知椭圆 C 一 一.： a2 ＋ ＝ l(a>b>O）的离心率为一，左、 右焦点b2
分别是町， F; ，以F；为圆心，6为半径的圆与以 F;为圆心，2为半径的困相交， 且交点在
椭圆 C 上 ．
( I ）求椭圆 C的方程：
(2）设过椭圆 C 的右焦点 Fi的直线＇· ＇乌的斜率分别为kl ’k2 ，且k,k2 =-2 ， 直线 1. 交
椭圆C子 M,N 两点，直线／2交椭困C于 G,H 两点，线段MN, GH的中点分别为 R, S,
直线 RS 与椭圆C交子 P,Q 两点， A,B 是椭圆C的左、右顶点，记 MQA与 MQB的面积
分别为 s， ’ s2 ，证明：去为定值
（二）选考题：共 10 分。 i青考生在第 22 、 23 题中任选－题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分．
22. ［选修 4-4 ：坐标系与参数方程］ ( JO 分〉
I ’ ＋ 1 x=-(2 ）
I 2
－，2'
在平面直角坐标系 xoy 中，幽线C的参数方程｛ (t为参数〉，以坐标原点为
y ’= 2 －主
极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程mρcose +2ρsin0-1=0.
(I）求曲线C的普通方程：
(2）若直线l与曲线C有两个不同公共点，求 m的取值范囤．
23. ［选修 4-5 ：不等式选讲］ (1 0 分〉
己知函数 f(x) =j2x+4j+jx-4j.
(I）求不等式j2x+4j+jx-4j 三 10的解娘：
( 2 ） 若 J(x） 的最小值为m，正实数α， b , c 满足 a+b+c=m ，求证：
－一一－l ＋ 1 ＋ E 9 －－－－ －－－－ 之－－－－
a+b b+c c+a 2m
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宜春市2023届高三年级模拟考试数学（文〉答案
－、选择题。
题 号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
一 一
答 案 － l 3 B A B c A D c c D c A
士 一 4
－ －
－ 、 填 ｛主 题
u、月 14. ［叫
15 一－ 16.①＠
12
三、解答题。
17. （！）证明：在 AABC 中， α ＋ b = 2ccosB,
由正弦定理得sin A + sin B = 2 sin C cos B
又 A ＝ π － （B+C),
因为 sin(B+ C) +sin B = 2sin C · cosB
所以sin C · cos B -sin B · cos C = sin B
所以sin(C-B) = sin B叉sinB> 0
所以 O
(2）由（ I) C = 2B 得 B+C=3BE (0，π），
所以Be （叫 ω毡， 1),
因为 α ＋ b = 2c cos B , C = 2B
旦旦生＝ 2cco所以
bcosB bcosB
2sin C ·cos B + 2sin B 2sin 28 ·c os B + 2sin B
sin B · cos B sin B · cos B
＝的osB＋ :e::4.J2
cosB
当且仅当4cosB= flP cosB :Ji =
COSli 2
π
且Be nυ－业」2且 仅 B＝
π
－
山FJZ 时 等 号 成 立
／ft『tt1＼ 3＼llt『／ 4
所以当 B＝ 一时 ， 一一一一
。＋ 3b 的最小值为4..J 卢 2- . . .......….........………·124 分bcosB
18. (I）证明：由题意 ， 连接 BD, BF ，因为CD=2AB = 2AD = 4 AB II CD ,
LDAB=90° . F是边 CD 的中点，所以 BF=CF= 2，则
BC=2..fi.- e
又E是边 BC 的中点， 贝1J EF 1-BC ，在折起中 PE 1-EF. V
又 BE2 +PE2 = (..fi.)2 + (../2.)2 = 4=BP2 ，所以 PE 1-BE, 七
又 BEnEF=E. BE c平面 ABD, EF c平面 ABD,
故 PE 1-平面 ABD ，又PE c平面 APE ，所以平丽 APE i平面 ABD. εJ分
(2 ）由（ I ）中取 AD 的中点。，连接 OE. DE, PO,
由（ l）可知， PE i平面 ABD ，所以 PE 1- DE . PE 1- AE . PE 上 OE.
p
而 OE=i 阳 DC)=3 OD=±AD= I
所以 DE＝ 而王 ＝币，
向现 AE=M, …8分 B
所以 PD=Mτ百二 2-/3, PA=Mτ万2 =2-/3· PO＝ 百二 JJi
所以 .6.PAD是等腰三角形，
所以汇 。 ＝ ± AD PO＝ 扫而 ＝ Fii,阳
又Y… ＝ V叫，即is仙o
土 2 2 ..J2所以 卢h ＝ 主幽主主 2＝ 一川 ＝ 旦兰，
s PAD .Ji 1 11
, /
即点B E当lj->f面 2ADP 的距离为－工二
')')二 …12分
11
19. (I) t=...!_ (1+2+3+ 4+5)=3, y=...!_ (l.7+2.l+2.5+2.8+3.4)=2.5,
5
It/
= } + 4 + 9 +} 6÷25 = 55, Eit,y, = l.7+ 4.2+7. 5+11.2+17 = 41.6,
41.6-5 ×3ב2.5 .b ＝ ＝ 0.41，δ＝2.5-0.4lx3 = l.27,
55-5x3"
y关于t的线性回归方程y=0.4lt+l.27 ……·········6分
2023年5月份对应 t=6，所以y = 0.41× 6+ 1.27 = 3.73
所以预测2023年5月份参与党怕的人数为3.73万人 ···············？分．
(2）由赵意可得：
x=l.5x0.1+2.5 × 0.3+3.5 × 0.3+4.5 x0.15 +5 .5 0.1 +6 .5 0.05 = 3. 5 ………9分× ×
2
s = (1.5 -3.5)2 x0 .1 + (2.5 -3.5)2 x 0.3 + (3.5-3.5)2 ×0.3 + ( 4.5-3.5)2 ×0.15 ··· 12分
+(5.5-3.5)2 × 0.1+ (6.5-3.5)2 x 0.05 = 1.7
20.解：“）由题意可知：函数 f(x)=x-lnx-2的定义域为：（0,+oo).
则 f' ( x) = I - 4- f' ( x) = 0协＝l.
当xE(O,l), ’f （x) <0，函数f(x） 单调递减；
当xε（l,+oo), ’J （x) > 0 ， 函数f(x） 单调递地
所以 x= l 为极小值点 ， 且 .f (x).,,iu = J (1) = -1
所以函数 f(x）的最小值为－1. …4分
(2）根据题意可知： f ( X1 ) = f ( X2 ） ， 根据（I）设。＜X < l , X > 1 ,1 2
构造函数 F(x) = f ( x )-f( 2-x), x ……………E (0,1). 5分
2
’
F ’ ’ -x）－_ 一一一2(x
-1)
（x)=f （x)+ f （2 ＜0 ，所以F(x)tE(0,1）上单调递减
x(x-2)
则有 F(x)
因为f(x,)=f （川 ， 所以 f( X2 )-f ( 2 -X ) > 01 ，也即／（x2} > /(2-x,}
因为2-x, > 1 ' X > I ， 由（］）刑of(x） 在（l,+oo）上单调递增， ….......…··10分2
所以 X > 2-X ，也fin X +X …········…·12分2 1 > 2由己知 X > l，所以x +2 > 3 1 2 2 1 x2
20.21. (I）解：依 惹得
则 b2 =a 2 -C2 =12 所以椭圆C的方程为三＋丘＝1 4分
16 12
(2 ）直线／1 , y=k,(x-2)
）
{f k 川x2 2一－ ＋ιv一 设 J\1(x, ,y1 ), N(x2 ,y2 )主 ＝ 116 12
则(3+4 k 2 )x2 -I 6k.2 x + 16k.2 - 48 ＝。1
/:}. > 0,
+x －－16k.2 x'. 句 ＝ －－ι寸，3+4ki'
16k.2-48
x'. x 『 ＝ －－－－－＇－－－－－－：：：一3 ，+4kt
8k.2 －币k 8k! －瓦 ,
则中点 （一R ____lτ， 一一」 ）同理可算 S （一＿＿＿＿：： ＿ ， 一一」k ，） …........寸 ................ 3+4k「3+4k了/ 3+4k{ 3+4k; 7分
①当直线斜率存在时 ， 设直线 PQ:y=mx+n点 R,S 在直线 PQ 上
I (8m +4 n)k,2 ·_ + 6k', +3 n = 0, 则《
l (8rn + 4月）k{ +6 k +3 n = 0,
2
易知 k,,k 为方程（8m+4 n )k 2 + 6k +3 n = 0的两个根，
2
16
则 k', k , ＝ 一一一一 ＝ －2 得 n=--m8m +4n II
16 16
所以直线 PQ:y=mx--m 则直线’恒过点 E（一，0)11 11
②当直线的斜旦在不存在时 ， 由对称性可知；lk, =-k 由k,k =-22 1
8k2 虫 2k 16
不妨设 k. = -.fi..罗k＂。＝ .fi. 所以一」－，，－ ＝一」 ＝－E 3+4k/ 3+4k，{ 11
16. 16
直线 PQ:x ＝ 一过（一，O）根据①②可知 ，
11 11
16
直线 PQ 恒过点 一E（ II ，0)
···IO分
因为A咿的丽积s, =ilAEl·I川21
b.PQB 的面积叶IBEl·I川21
A E
以 － － …12
B E 分
22. (I）因为 1 x ＝ 一（2’. ＋ 1 ，）主 l
2 －2’
｛：： 2＞；卢＋2, c 则4x2 - y2 = 4(x 主 I)
y2= 22’ ＋士 -21 2,
则曲线的普通方程为4 …x y2 - = 4(x 5分主 I)
(2) mpcosθ ＋ 2ρsinθ－ 1 =0 则 mx+2y-1=0 由
lmx+2y-l = 0,
得↑ y2 ‘ （x 注 I）得（16-m
2 )x2+2mx-17 = 0
2
.. －一－－’
l 4
16-m2 手。，
ti= 4m2 +68(16-1112 ) > 0,
有两个不等正lt －三巳＞ 0.
16-m"
17 _
- --------:- > u16- m"
贝J1 4
I :::;; 2,’ 10
(23）解：“）｛ 贝Ji x::,--l-2x-4-x+ 4 :2: 10, 3
1-2 < x < 4.
或｛
’ 贝]1 ::,x<4
I 22x+ 4-x+4 :2: 10,
或 fx 三4, 贝d x 主 4
I 2x+ 4+x-4 :2: 10,
EF俨汀吁以 6巾不 等 武 解集为 …5分
ω
∞－川U
3 俨问M「
＋∞
／FIll－－＼ 「ttttttttJ
(2) f(x) =l2x+4l+lx-41 = Ix+ 2l+lx-4l+lx+21
运 lx+2-(x-4)l+O = 6当 x=-2时 f(x) onin = 6
f
所以α＋ b＋ －c＝mzo
l l 1
因 为 「－一－＋一－－－＋
一
飞 ·· ×· 句／伽α＋LU＋C
a＋ b 。＋c 川
2
运Cl+l+l) =9
1 l l 9 9
所以 一一一 ＋ 一一 ＋
一一 三 一一一一一一 ＝一一成立 … 10分
α ＋ b b+c c+a 2（α ＋ b+c) 2m
