人教A版（2019）选择性必修第三册 第六章计数原理 同步练习
一、单选题
1．某同学从3本不同的哲学图书 4本不同的自然科学图书 2本不同的社会科学图书中任选1本阅读，则不同的选法共有（ ）
A．24种 B．12种 C．9种 D．3种
2．下面问题中，是排列问题的是（ ）
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合
3．的展开式中含项的系数为（ ）
A． B． C． D．
4．若的展开式中项的系数是，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5．四个学生，随机分配到三个车间去劳动，不同的分配方法数是（ ）
A．12 B．64 C．81 D．24
6．已知某教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到四层不同的走法种数为（ ）
A．32 B．23
C．43 D．24
7．的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
8．已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．太行山脉有很多优美的旅游景点.现有甲 乙两位游客慕名来到太行山脉，都准备从C D E F，4个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件A为“甲和乙至少一人选择C”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则条件概率（ ）
A． B． C． D．
10．志愿服务是办好2022年北京冬奥会的重要基础与保障.2022年1月25日志愿者全面上岗服务，现有5名志愿者要安排到4个服务站点参加服务，每名志愿者只能安排到一个站点，每个站点至少安排一名志愿者，则不同的安排方案共有（ ）
A．90种 B．120种 C．180种 D．240种
11．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．在关于的二项式的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为，且二项式系数最大的项的值为，则（ ）
A． B．或 C． D．或
二、填空题
13．现从8名学生干部中选出3名同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是________.（用数字作答）
14．若，则____________.
15．在展开式中，含项的系数为________．（结果用数值表示）
16．的展开式中，所有x的奇数次幂项的系数和为，则正实数a的值为______．
三、解答题
17．在二项式的展开式中，
（1）求展开式中含项的系数：
（2）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值.
18．设.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
19．一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单．
（1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
（3）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？
20．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）解方程：.
21．4个男同学，3个女同学站成一排．
(1)3个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？
(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
(3)3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有多少种？
(4)其中甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，则有多少种不同的排法？
(5)若3个女同学身高互不相等，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
利用分类加法计数原理直接求出答案即可.
【详解】
解：由分类加法计数原理知，不同的选法种数为.
故选：C.
2．A
根据排列与排列数的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】
根据排列及排列数的定义，可得：
对于A中，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，符合排列的定义，是排列问题；
对于B中，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关的问题，不是排列问题；
对于C中， 从100人中选2人抽样调查，与顺序无关的问题，不是排列问题；
对于D中， 从1，2，3，4，5中选2个数组成集合，与顺序无关的问题，不是排列问题.
故选：A.
3．B
化简，结合二项式的展开式的通项，结合通项即可求解.
【详解】
由，
则二项式的展开式
当，此时，
此时可得展开式中项的系数为.
故选：B.
4．A
根据二项式的通项及特定项系数求参数值.
【详解】
二项展开式的通项为，
令，解得，
则，，
解得，
故选：A.
5．C
根据分步乘法计数原理，即可求解.
【详解】
先安排一位同学分配到三个车间去劳动，有3种安排方法，
同理，再安排一位同学分配到三个车间去劳动，也有3种安排方法，
依次类推，
因此，根据分步乘法计数原理共有种分配方法.
故选：C
本题主要考查了利用分步乘法计数原理解决实际问题，属于容易题.
6．B
由于每上一层楼有2种走法，所以由分步乘法原理可求得答案
【详解】
根据题意，教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到二层，有2种走法，同理从二层到三层、从三层到四层也各有2种走法，
则从一层到四层共有2×2×2＝23种走法．
故选：B.
7．C
求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.
【详解】
展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：，该项中的系数为，
在中，令，可得：，该项中的系数为
所以的系数为
故选：C
本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.
8．C
根据二项式定理将多项式进行展开，利用整除的性质即可得到结论.
【详解】
，
∵能被11整除，
∴要使能被11整除，则能被11整除，
∵，∴，则，解得，
故选：C.
9．D
由独立乘法公式、互斥事件加法公式求、，再利用条件概率公式求即可.
【详解】
由题设，甲乙选景点C的概率为，选其它景点的概率为，
则，，
所以.
故选：D
10．D
按照题目的意思，先组合，再排列即可.
【详解】
由题意可知，其中有两位志愿者要被安排到同一服务站点，先选出2名志愿者作为一个整体，
然后看作4个不同的元素安排到4个服务站点，即，
故选：D.
11．B
先求出全部的结果总数为，再求出琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的基本事件总数为，再利用古典概型的概率求解.
【详解】
从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为.从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为.
所以所求的概率，
故选：B.
方法点睛：排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.
12．D
根据末尾两项二项式系数和可求得，进而确定第项的二项式系数最大，利用展开式第项构造方程求得后，结合特殊角三角函数值可得结果.
【详解】
由题意知：，解得：，展开式的第项的二项式系数最大，
，即，，又，或.
故选：D．
13．336
根据排列定义及公式即可求解.
【详解】
从8名学生干部中选出3名同学排列的种数为，故共有336种不同的选派方案.
故答案为：336
14．28
由组合数的性质可得答案.
【详解】
由，
得或，
解得，或舍去，.
故答案为：28.
15．
展开式中，通项公式：，依题意，只需考虑时，即只需中项的系数，利用其展开式中通项公式即可得出．
【详解】
展开式中，
通项公式：，
依题意，只需考虑时，即只需中项的系数，
其展开式中通项．
令，解得．
.
故答案为：70．
16．3
设，然后分别令，，可求出，再结合已知条件可求出答案
【详解】
设，
令，得，①
令，得，②
②①，得，
又因为，，
所以，解得．
故答案为：3
17．（1）264（2）或.
（1）写出二项展开式的通项公式，当的指数是时，可得到关于方程，解方程可得的值，从而可得展开式中含项的系数；
（2）根据上一问写出的通项公式，利用第项和第项的二项式系数相等，可得到一个关于的方程，解方程即可得结果.
【详解】
(1)设第项为，
令解得，
故展开式中含项的系数为.
(2)∵第项的二项式系数为，第项的二项式系数为，
∵ ，故或，
解得或.
18．（1）1；（2）；（3）.
（1）令可得所求的值；
（2）再令，结合（1）可得所求的值.
（3）根据通项公式可判断出项的系数的正负，利用（2）中的结果可得所求的值.
【详解】
（1）令，得，
故.
（2）令，得，
故即.
（3）∵，
故当为偶数时，，为奇数时，，
故.
19．（1）；（2）；（3）．
（1）利用捆绑法可求解；
（2）利用特殊元素优先选择，即可求解；
（3）利用正难则反，先算前3个节目中没有相声，即相声在后两个节目的排法，即可求解.
【详解】
（1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法；
（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为；
（3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有．
方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
20．（1）；（2）330；（3）15.
(1)利用组合数的性质化简，再利用组合数、排列数公式计算即得；
(2)利用组合数的性质依次化简计算即得；
(3)利用排列数计算公式变形解方程即可得解.
【详解】
（1）原式；
（2）原式；
（3）原方程可化为，整理得，
即，化简得，解得或(舍去)，
所以原方程的解是.
21．(1)720
(2)1440
(3)144
(4)960
(5)840
小问1：我们可视排好的女同学为一整体有种排法，再与男同学排队即可；
小问2：先将男同学排好，共有种排法，再利用插空法即可；
小问3：根据分步乘法计数原理先排男生再排女生即可；
小问4：先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，再把甲、乙看一整体排好，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中即可；
小问5：从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有种排法．再在余下的3个空位置中排女生按身高排列有一种排法，即可求解．
(1)
3个女同学是特殊元素，她们排在一起，共有种排法．我们可视排好的女同学为一整体，
再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有种排法．由分步乘法计数原理，得共
有（种）不同的排法；
(2)
先将男同学排好，共有种排法，再在这4个男同学之间及两头的5个空当中插入3个女
同学有种方案，故符合条件的不同的排法共有（种）；
(3)
3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有（种）；
(4)
先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有种排法；
由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有种排法；
最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中有种排法．
故总共有（种）不同的排法；
(5)
从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有种排法．再在余下的3个空位置中排女
生，由于女生要按身高排列，故仅有1种排法．故总共有（种）不同的排法．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
