第24章单元测试卷
一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分)
1．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠BAC的值是( )
A．1 B. C. D．2
INCLUDEPICTURE"2022SXJ24-1.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\2022SXJ24-1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE"2022SXJ24-2.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\2022SXJ24-2.tif" \* MERGEFORMATINET
(第1题) (第2题)
2．如图，AB为停车场入口处的栏杆，长臂OA＝3 m．将短臂端点B下降，当∠A′OA＝α时，长臂端点A升高( )
A. m B．3sin α m
C. m D．3cos α m
3．已知锐角α，且sin α＝cos 37°，则α等于( )
A．37° B．63° C．53° D．45°
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若三角形各边同时扩大为原来的3倍，则tan A的值( )
A．扩大为原来的3倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．不确定
5．小明与父母周末在公园放风筝．小明放了一个线长为150 m的风筝，他的风筝线 (近似地看作直线)与水平地面的夹角为60°.若小明的身高为1.2 m，则他的风筝的高度是( )
A．76.2 m B．(1.2＋50 )m
C．(1.2＋75 )m D．(1.2＋75 )m
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列式子正确的是( )
A．sin A＋sin B<1 B．sin A＋sin B>1
C．sin A＋sin B＝1 D．sin A＋sin B≤1
7．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44 cm，则高AD约为(参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51)( )
A．90 cm B．11.22 cm
C．19.58 cm D．22.44 cm
INCLUDEPICTURE"23J24-1.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\23J24-1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE"2022SXJ24-5a.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\2022SXJ24-5a.tif" \* MERGEFORMATINET
(第7题) (第8题)
8．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
9．在计算tan 15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，延长CB到点D，使BD＝AB，连结AD，得∠D＝15°，所以易得tan 15°＝＝＝＝2－.类比这种方法，计算tan 22.5°的值为( )
A.＋1 B.－1 C. D.
INCLUDEPICTURE"2022SXJ24-6.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\2022SXJ24-6.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE"2022SXJ24-7.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\2022SXJ24-7.tif" \* MERGEFORMATINET
(第9题) (第10题)
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cos B＝，D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为( )
A. B. C. D．2
二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
11．计算：2cos 45°＝________．
12．某水库大坝，其坡面AB的坡度i＝1∶，则坡角的度数为________．
13．在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝1，则sin B＝________．
14．如图，点C在线段AB上，且AC＝3BC，分别以AC、BC为边，在线段AB的同侧作正方形ACDE和正方形BCFG，连结EC、EG，则sin∠CEG＝________．
INCLUDEPICTURE"23J24-2.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\23J24-2.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE"2022SXJ24-9.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\2022SXJ24-9.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE"2022SXJ24-8.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\2022SXJ24-8.tif" \* MERGEFORMATINET
(第14题) (第15题) (第16题)
15．将一个装有水的圆柱形杯子斜放在水平桌面上，当倾斜角α＝37°时，其主视图如图所示．若该水杯的杯口宽度BC＝6 cm，则水面宽度EF约为________cm.(参考数据：sin 37°≈，cos 37°≈，tan 37°≈)
16．如图，在 ABCD中，AD＝5，AB＝12，sin A＝.过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连结CE，则sin∠BCE＝_______________.
三、解答题(本题共7小题，共70分)
17．(8分)计算：sin2 45°－＋2sin2 60°·tan 60°.
18．(8分)已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tan A)2＋＝0，试判断△ABC的形状．
19．(10分)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交边AC于点D，AE⊥BC于点E.已知∠ABC＝60°，∠C＝45°.
(1)求证：AB＝BD；
(2)若AE＝3，求△ABC的面积．
INCLUDEPICTURE"2022SXJ24-10.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\2022SXJ24-10.tif" \* MERGEFORMATINET
(第19题)
20．(10分)如图是某房屋的示意图．在地面上点C处测得屋檐E的仰角为30°，沿CB方向走7 m到达点D处，测得屋檐E的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF∥CB，屋顶到横梁的距离AG＝3.5 m，求房屋的高AB.(结果精确到1 m，参考数据：≈1.4，≈1.7)
INCLUDEPICTURE"23J24-3.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\23J24-3.tif" \* MERGEFORMATINET
(第20题)
21．(10分)如图，已知矩形ABCD.
(1)尺规作图：在BC上方作△FBC，使得FB＝FC，且点F与点A关于过点B的直线对称；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，若AB＝3，BC＝5，求sin∠ABF的值．
INCLUDEPICTURE"2022SXJ24-15.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\2022SXJ24-15.tif" \* MERGEFORMATINET
(第21题)
22．(12分)(1)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，根据三角函数的定义可得sin2A＋cos2A＝________.
(2)如图，在锐角三角形ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c.
INCLUDEPICTURE"3T10.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\3T10.tif" \* MERGEFORMATINET
(第22题)
①求证：b2＝a2＋c2－2accos B；
②若a＝3，b＝，c＝2，求∠B的度数．
23．(12分)如图，在等边三角形ABC中，D为AB边上一点(点D不与点A、B重合)，连结CD，将CD平移到BE(其中点B和点C对应)，连结AE.将△BCD绕着点B按逆时针方向旋转至△BAF，延长AF交BE于点G，连结DF.
(1)求证：△BDF是等边三角形；
(2)求证：D、F、E三点共线；
(3)当BG＝2EG时，求tan∠AEB的值．
INCLUDEPICTURE"H-1.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\H-1.tif" \* MERGEFORMATINET
(第23题)
答案
一、1.C 2.B 3.C 4.B 5.D 6.B 7.B 8.C 9.B
10．D
二、11. 12.30° 13. 14. 15.10 16.
三、17.解：原式＝()2－＋2×()2×＝＋.
18．解：∵(1－tan A)2＋＝0，
∴tan A＝1，sin B＝，∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°－45°－60°＝75°，
∴△ABC是锐角三角形．
19．(1)证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∴∠ADB＝∠DBC＋∠C＝75°.
又∵∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝75°，
∴∠BAC＝∠ADB，∴AB＝BD.
(2)解：由题意，得BE＝＝，EC＝＝3，
∴BC＝3＋，
∴S△ABC＝BC·AE＝.
20．解：过点E作EH⊥CB于点H，
∵∠CED＝∠EDB－∠C＝30°，∠C＝30°，
∴∠C＝∠CED，∴DE＝DC＝7 m，
在Rt△EDH中，sin∠EDH＝＝，
∴EH＝ m，
∴AB＝AG＋BG＝AG＋EH＝3.5＋ ≈9(m)．
答：房屋的高AB为9 m.
21．解：(1)如图所示，△FBC就是所求作的三角形.
INCLUDEPICTURE"2022SXJD4.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\2022SXJD4.tif" \* MERGEFORMATINET
(第21题)
(2)由(1)得FB＝FC＝AB＝3.
如图，过点F作FG⊥BC于点G，
∴BG＝BC＝，∠FGB＝90°.
∵在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴∠ABF＋∠FBG＝90°.
又∵∠BFG＋∠FBG＝90°.
∴∠ABF＝∠BFG.
在Rt△FBG中，sin∠BFG＝＝，
∴sin∠ABF＝sin∠BFG＝.
22．(1)1 点拨：∵在△ABC中，∠C＝90°，
AB＝c，BC＝a，AC＝b，
∴sin A＝，cos A＝，且a2＋b2＝c2，
∴sin2A＋cos2A＝＋＝＝＝1.
(2)①证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x，则CD＝a－x.
在Rt△ABD中，由勾股定理可得AD2＝AB2－BD2，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD2＝AC2－CD2，
∴AB2－BD2＝AC2－CD2，
即c2－x2＝b2－(a－x)2，
∴b2＝a2＋c2－2ax.
在Rt△ABD中，cos B＝，∴x＝ccos B，
∴b2＝a2＋c2－2accos B.
INCLUDEPICTURE"3TDA3.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\3TDA3.tif" \* MERGEFORMATINET
(第22题)
②解：把a＝3，b＝，c＝2代入①中结论，
可得()2＝32＋22－2×3×2cos B，
∴cos B＝，∴∠B＝60°.
23．(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°.
∵△BCD绕着点B按逆时针方向旋转至△BAF，
∴∠FBD＝∠ABC＝60°，BF＝BD，
∴△BDF是等边三角形．
(2)证明：连结DE，如图．
∵△BDF是等边三角形，
∴∠BDF＝60°.
∵CD平移到BE(其中点B和点C对应)，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴∠BDE＝∠ABC＝60°，
∴∠BDE＝∠BDF，
∴点F在DE上，即D、F、E三点共线．
(3)解：延长AG、CB交于点H, 如图．
∵EF∥BC，
∴△GEF∽△GBH，
∴＝.
∵BG＝2EG，∴BH＝2EF.
∵ED＝BC＝AB, DF＝BD，∴EF＝AD.
设AB＝a，BD＝b,
∴EF＝AD＝a－b,
∴BH＝2a－2b.
∵DF∥BH，∴△ADF∽△ABH，
∴＝，即＝，
解得a＝2b或a＝b
∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，
∴CD＝＝b，
∴BE＝CD＝b.
∵BE∥CD，
∴∠ABE＝∠CDB＝90°.
在Rt△ABE中，tan∠AEB＝＝＝.
INCLUDEPICTURE"H-5.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\H-5.tif" \* MERGEFORMATINET
(第23题)
