2022-2023学年江苏省南京市玄武区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。请把答案涂在在答题卡相应位置上）
1．计算（x3y）2的结果是（ ）
A．x5y B．x5y2 C．x6y2 D．x3y2
2．下列各式从左到右不属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x＝x（x﹣1） B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
3．∠1与∠2是同旁内角，∠1＝40°，下列说法正确的是（ ）
A．∠2＝40° B．∠2＝140°
C．∠2＝40°或∠2＝140° D．∠2的大小不确定
4．将下列长度的木棒首尾依次相接，不能构成三角形的是（ ）
A．5，6，10 B．3，4，5 C．11，6，5 D．5，5，5
5．在多项式4x2+1中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（ ）
A．4x B．2x C．﹣4x D．4x4
6．下列说法：
①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；
②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线；
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
④同旁内角相等，两直线平行．
正确的个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，直线AB∥CD，E，M分别为直线AB、CD上的点，N为两平行线间的点，连接NE、NM，过点N作NG平分∠ENM交直线CD于点G，过点N作NF⊥NG，交直线CD于点F，若∠BEN＝160°，则∠MNG+∠NFG的度数为（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
8．如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③180°﹣α﹣β，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．新型冠状病毒科，病毒粒子呈球形，直径为0.00000012m，用科学记数法表示 ．
10．因式分解：4m2﹣16＝ ．
11．计算（x+a）（2x﹣1）的结果中不含关于字母x的一次项，则a＝ ．
12．如图，将周长为20个单位的△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 ．
13．已知a﹣b＝1，则a2﹣b2﹣2b的值为 ．
14．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b＝ ．
15．下列4种说法中正确的是 ．（请填写正确的说法序号）．
①一个三角形中至少有两个角为锐角；
②三角形的中线、高线、角平分线都是线段；
③同旁内角互补；
④若三条线段的长a、b、c满足a+b＞c，则以a、b、c为边一定能组成三角形．
16．如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE．当BC＝1时，△BEG的面积记为S1；当BC＝2时，△BEG的面积记为S2；……；以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为Sn，则S2021﹣S2020的值为 ．
17．如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，则∠CFE＝ 度．
18．如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC上的一点，且BE＝3EC，CD与AE相交于点F，若△ADF的面积为6，则△ABC的面积为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共64分。）
19．计算：
①；
②（﹣2x2）3﹣（x3）2+x8÷x2；
③（a+2）2﹣（a+1）（a﹣3）；
④（x+y+2z）（x+y﹣2z）．
20．因式分解：
（1）3x2﹣12x+12；
（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
21．化简求值：（3a+b）2﹣（3a﹣b）（3a+b）﹣5b（a﹣b），其中a＝1，b＝﹣．
22．网格中每个小正方形的边长都是一个单位长度，将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C'，图中标出了点B的对应点B′根据下列条件，仅利用无刻度的直尺画图：
（1）补全△A′B′C′；
（2）画出BC边上的中线AD和AC边上的高线BE；
（3）求△ABD的面积．
23．如图，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2，证明：∠E＝∠F．
完成下面推理过程．
证明：∵∠BAP+∠APD＝180° （已知），
∴AB∥CD ．
∴∠ ＝∠ （两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠BAP﹣∠1＝∠APC﹣∠2（ ），
即∠EAP＝∠FPA．
∴ ∥ （内错角相等，两直线平行）．
∴∠E＝∠F（ ）．
24．完成下面的解答过程：
如图，AD∥EF，∠1+∠2＝180°，DG平分∠ADC，求证：∠1＝∠B．
25．如图，某体育训练基地，有一块长（3a﹣5b）米，宽（a﹣b）米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a米，宽（a﹣2b）米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简）
（1）求长方形游泳池面积；
（2）求休息区面积；
（3）比较休息区与游泳池面积的大小关系．
26．知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
直接应用：（1）若xy＝7，x+y＝5，直接写出x2+y2的值 ；
类比应用：（2）填空：①若x（3﹣x）＝4，则x2+（x﹣3）2＝ ；
②若（x﹣2019）（x﹣2023）＝2，则（x﹣2019）2+（x﹣2023）2＝ ；
知识迁移：（3）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝16，S△AOC+S△BOD＝60，求一块三角板的面积．
27．【感知】如图①，AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点P为AB，CD之间一点，求证：∠EPF＝∠AEP+∠PFC．
小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程．
证明：如图①，过点P作PQ∥AB．
∵AB∥CD，PQ∥AB（已知），
∴CD∥ （平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠1＝∠AEP，∠2＝∠PFC （ ），
∴∠1+∠2＝∠AEP+∠PFC（等式性质），
∴∠EPF＝∠AEP+∠PFC．
【应用】小明同学进行了更进一步的思考：利用【感知】中的结论进行证明；
如图②，直线a∥b，点A，C在直线a上，点B，D在直线b上，直线CE，BE分别平分∠ACD，∠ABD，且交于点E．猜想并证明∠CEB与∠AFD的数量关系．
【拓展】（1）如图③，AB∥CD，直线MN与AB、CD分别交于点M，N，点P在CD上，点G在MN上，∠MGP＝60°，若动点E在线段MN上移动（不与M，G，N重合），连接PE，∠AMN和∠EPC的平分线交于点H，补全图形，请直接写出∠MHP与∠EPG的数量关系．
（2）在（1）的条件下，若直线MN的位置如图④所示，请直接写出∠MHP与∠EPG的数量关系．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。请把答案涂在在答题卡相应位置上）
1．计算（x3y）2的结果是（ ）
A．x5y B．x5y2 C．x6y2 D．x3y2
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
解：（x3y）2＝x6y2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了积的乘方运算，掌握运算法则是关键．
2．下列各式从左到右不属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x＝x（x﹣1） B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
【分析】利用因式分解的定义判断即可．
解：A、符合因式分解的定义，属于因式分解，故此选项不符合题意；
B、右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项符合题意；
C、符合因式分解的定义，属于因式分解，故此选项不符合题意；
D、符合因式分解的定义，属于因式分解，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
3．∠1与∠2是同旁内角，∠1＝40°，下列说法正确的是（ ）
A．∠2＝40° B．∠2＝140°
C．∠2＝40°或∠2＝140° D．∠2的大小不确定
【分析】两直线平行时同旁内角互补，不平行时无法确定同旁内角的大小关系．
解：同旁内角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系，只有两直线平行时，同旁内角才互补．
∴∠2的大小不确定．
故选：D．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同旁内角互补的前提条件是两直线平行是关键．
4．将下列长度的木棒首尾依次相接，不能构成三角形的是（ ）
A．5，6，10 B．3，4，5 C．11，6，5 D．5，5，5
【分析】根据构成三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边逐项验证即可得到答案．
解：A、由于5+6＝11＞10，10﹣5＝5＜6，确定该选项所给长度的木棒首尾依次相接，能构成三角形，不符合题意；
B、由于3+4＝7＞5，5﹣3＝2＜4，确定该选项所给长度的木棒首尾依次相接，能构成三角形，不符合题意；
C、由于5+6＝11，确定该选项所给长度的木棒首尾依次相接，不能构成三角形，符合题意；
D、由于三条相等边组成了等边三角形，确定该选项所给长度的木棒首尾依次相接，能构成三角形，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查构成三角形三边条件，熟练掌握构成三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解决问题的关键．
5．在多项式4x2+1中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（ ）
A．4x B．2x C．﹣4x D．4x4
【分析】根据完全平方式的特点逐个判断即可．
解：A．4x2+1+4x＝（2x+1）2，即是整式2x+1的完全平方，故本选项不符合题意；
B．4x2+1+2x不是一个整式的完全平方，故本选项符合题意；
C．4x2+1﹣4x＝（2x﹣1）2，即是整式2x﹣1的完全平方，故本选项不符合题意；
D．4x2+1+4x4＝（2x2+1）2，即是整式2x2+1的完全平方，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两个．
6．下列说法：
①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；
②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线；
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
④同旁内角相等，两直线平行．
正确的个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】分别根据平行线的判定以及平行线定义和平行公理分析得出即可．
解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原命题正确；
②过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故原命题错误；
③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误；
④同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质以及平行公理等知识，正确把握相关定理是解题关键．
7．如图，直线AB∥CD，E，M分别为直线AB、CD上的点，N为两平行线间的点，连接NE、NM，过点N作NG平分∠ENM交直线CD于点G，过点N作NF⊥NG，交直线CD于点F，若∠BEN＝160°，则∠MNG+∠NFG的度数为（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
【分析】过N点作NH∥AB，则AB∥NH∥CD，如图，由平行线的性质得∠BEN+∠ENG+∠GNM+∠MNF+∠NFG＝360°，进而由NG平分∠ENM和∠BEN＝160°得∠GNM+∠GNM+∠MNF+∠NFG＝200°，再由NF⊥NG可变形推得∠GNM+∠NFG＝110°．
解：过N点作NH∥AB，则AB∥NH∥CD，如图所示：
∴∠BEN+∠ENH＝∠HNF+∠NFG＝180°，
∴∠BEN+∠ENH+∠HNF+∠NFG＝360°，
∴∠BEN+∠ENG+∠GNM+∠MNF+∠NFG＝360°，
∵∠BEN＝160°，
∴∠ENG+∠GNM+∠MNF+∠NFG＝200°，
∵NG平分∠ENM，
∴∠ENG＝∠GNM，
∴∠GNM+∠GNM+∠MNF+∠NFG＝200°，
∵NF⊥NG，
∴∠GNM+∠MNF＝∠GNF＝90°，
∴∠GNM+90°+∠NFG＝200°，
∴∠MNG+∠NFG＝110°，故A正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质、平行公理的推论、垂线的性质，熟练掌握上述知识、灵活应用整体的思想是解题的关键．
8．如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③180°﹣α﹣β，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，
∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C＝β﹣α．
（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，
∴∠AE2C＝α+β．
当AE2平分∠BAC，CE2平分∠ACD时，
∠BAE2+∠DCE2＝（∠BAC+∠ACD）＝180°＝90°，即α+β＝90°，
又∵∠AE2C＝∠BAE2+∠DCE2，
∴∠AE2C＝180°﹣（α+β）＝180°﹣α﹣β；
（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，
∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C＝α﹣β．
（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，
∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．
（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．
综上所述，∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，180°﹣α﹣β，360°﹣α﹣β．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
二、填空（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．新型冠状病毒科，病毒粒子呈球形，直径为0.00000012m，用科学记数法表示 1.2×10﹣7 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.00 000 012＝1.2×10﹣7，
故答案为：1.2×10﹣7．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．因式分解：4m2﹣16＝ 4（m+2）（m﹣2） ．
【分析】此题应先提公因式4，再利用平方差公式继续分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
解：4m2﹣16，
＝4（m2﹣4），
＝4（m+2）（m﹣2）．
故答案为：4（m+2）（m﹣2）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11．计算（x+a）（2x﹣1）的结果中不含关于字母x的一次项，则a＝ ．
【分析】首先利用多项式的乘法法则计算：（x+a）（2x﹣1），结果中不含关于字母x的一次项，即一次项系数等于0，即可求得a的值．
解：（x+a）（2x﹣1）
＝2x2+2ax﹣x﹣a
＝x2+（2a﹣1）x﹣a
由题意得2a﹣1＝0则a＝，
故答案为：
【点评】此题考查整式的化简求值，注意先化简，再进一步代入求得数值即可．
12．如图，将周长为20个单位的△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 26． ．
【分析】由将周长为20个单位的△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△DEF，根据平移的性质得到BE＝AD＝3，EF＝BC，DF＝AC，然后利用周长的定义可计算出四边形ABFD的周长．
解：根据题意，将周长为20个单位的等边△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△DEF，
∴AD＝3，BF＝BC+CF＝BC+3，DF＝AC；
又∵AB+BC+AC＝20，
∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝3+AB+BC+3+AC＝26．
故答案为：26．
【点评】本题考查平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF＝AD，DF＝AC是解题的关键．
13．已知a﹣b＝1，则a2﹣b2﹣2b的值为 1 ．
【分析】将代数式适当变化后，利用整体代入的方法解答即可．
解：∵a﹣b＝1，
∴原式＝（a+b）（a﹣b）﹣2b
＝1×（a+b）﹣2b
＝a+b﹣2b
＝a﹣b
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了平方差公式，将代数式适当变化后，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
14．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b＝ 15 ．
【分析】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出ab的值．
解：分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的，
他分解结果为（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，
∴a＝6，
同理：乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）＝x2+10x+9，
∴b＝9，
因此a+b＝15．
故答案为：15．
【点评】此题考查因式分解与多项式相乘是互逆运算，利用对应项系数相等是求解的关键．
15．下列4种说法中正确的是 ①② ．（请填写正确的说法序号）．
①一个三角形中至少有两个角为锐角；
②三角形的中线、高线、角平分线都是线段；
③同旁内角互补；
④若三条线段的长a、b、c满足a+b＞c，则以a、b、c为边一定能组成三角形．
【分析】根据三角形内角和定理、三角形的中线、高线、角平分线、平行线的性质解答即可．
解：①一个三角形中至少有两个角为锐角，本选项说法正确，符合题意；
②三角形的中线、高线、角平分线都是线段，本选项说法正确，符合题意；
③两直线平行同旁内角互补，所以本选项说法错误，不符合题意；
④若三条线段的长a、b、c，其中c＞a且c＞b，满足a+b＞c，则以a、b、c为边一定能组成三角形，所以本选项说法错误，不符合题意．
故答案为：①②．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形的中线、高线、角平分线、平行线的性质，掌握这些知识点是解题 的关键．
16．如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE．当BC＝1时，△BEG的面积记为S1；当BC＝2时，△BEG的面积记为S2；……；以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为Sn，则S2021﹣S2020的值为 ．
【分析】作辅助线，构建同底等高三角形，根据等腰直角三角形面积公式可得结论．
解：连接EC，
∵正方形ACDE和正方形CBFG，
∴∠ACE＝∠ABG＝45°，
∴EC∥BG，
∴△BCG和△BEG是同底（BG）等高的三角形，
即S△BCG＝S△BEG，
∴当BC＝n时，Sn＝n2，
∴S2021﹣S2020＝×20212﹣×20202＝×（2021+2020）×（2021﹣2020）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的面积，图形类的变化规律问题，将阴影部分图形的面积转化为另一图形的面积是关键．
17．如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，则∠CFE＝ 155 度．
【分析】利用角的和差关系及对折后对应角的特点，先用含∠DEF的代数式表示出∠A′EF，再用含∠A″EF、∠DEF表示出∠A′ED，最后根据∠A′EF＝∠AEF得关于∠DEF的方程，先求出∠DEF，再求出∠CFE．
解：由四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE，
∴∠A′EF＝∠AEF．
∵∠A′EF＝∠A′ED+∠DEF，∠AEF＝180°﹣∠DEF．
∴∠A′ED+∠DEF＝180°﹣∠DEF．
由四边形A′B′ME沿AD折叠得四边形A″B″ME，
∴∠A′ED＝∠A″ED．
∵∠A″ED＝∠A″EF+∠DEF＝105°+∠DEF，
∴∠A′ED＝105°+∠DEF．
∴105°+∠DEF+∠DEF＝180°﹣∠DEF．
∴∠DEF＝25°．
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝25°．
∴∠CFE＝180°﹣∠EFB
＝180°﹣25°
＝155°．
故答案为：155．
【点评】本题考查了图形的折叠及平行线的性质，掌握“折叠后重合的两个图形全等”、“两直线平行，内错角相等”及角的和差关系是解决本题的关键．
18．如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC上的一点，且BE＝3EC，CD与AE相交于点F，若△ADF的面积为6，则△ABC的面积为 20 ．
【分析】连接BF，根据中点求出S△BDF＝S△ADF＝6，根据BE＝3CE，得到S△BEF＝3S△CEF，设S△CEF＝x，求出S△CAF＝4x，得到AF：EF＝4：1，可得S△BAF：S△BEF＝4：1，从而求出x值，根据S△ABC＝2S△ACD可得结果．
解：如图，连接BF．
∵D是AB中点，S△ADF＝6，
∴S△BDF＝S△ADF＝6，
又∵BE＝3CE，
∴S△BEF＝3S△CEF，
设S△CEF＝x，则S△BEF＝3x，
∵S△ACD＝S△BCD，
∴S△CAF+6＝6+x+3x，
∴S△CAF＝4x，
∴AF：EF＝4：1，
∴S△BAF：S△BEF＝4：1，
∴S△BEF＝3＝3x，
∴x＝1，
∴S△ABC＝2S△ACD＝2×（6+4）＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查的是三角形的面积，根据题意得出S△BAF：S△BEF＝4：1是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共64分。）
19．计算：
①；
②（﹣2x2）3﹣（x3）2+x8÷x2；
③（a+2）2﹣（a+1）（a﹣3）；
④（x+y+2z）（x+y﹣2z）．
【分析】（1）本题通过有实数的幂的运算法则来进行解题；
（2）本题通过积的乘方和幂的乘方，整式的混合运算来进行解题；
（3）本题通过整式的混合运算来进行解题；
（4）本题通过整式的混合运算来进行解题．
解：①
＝﹣4+4×1﹣4
＝﹣4，
②（﹣2x2）3﹣（x3）2+x8÷x2
＝﹣8x6﹣x6+x6
＝﹣8x6，
③（a+2）2﹣（a+1）（a﹣3）
＝a2+4a+4﹣（a2﹣2a﹣3）
＝6a+7，
④（x+y+2z）（x+y﹣2z）
＝（x+y）2﹣（2z）2
＝x2+2xy+y2﹣4z2．
【点评】本题考查有理数的运算法则和整式的运算法则．
20．因式分解：
（1）3x2﹣12x+12；
（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【分析】（1）直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式分解因式得出答案．
解：（1）3x2﹣12x+12
＝3（x2﹣4x+4）
＝3（x﹣2）2；
（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
＝a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
21．化简求值：（3a+b）2﹣（3a﹣b）（3a+b）﹣5b（a﹣b），其中a＝1，b＝﹣．
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
解：（3a+b）2﹣（3a﹣b）（3a+b）﹣5b（a﹣b）
＝9a2+6ab+b2﹣9a2+b2﹣5ab+5b2
＝ab+7b2，
当a＝1＝，b＝﹣时，原式＝×（﹣）+7×（﹣）2＝．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算能力和化简能力，难度适中．
22．网格中每个小正方形的边长都是一个单位长度，将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C'，图中标出了点B的对应点B′根据下列条件，仅利用无刻度的直尺画图：
（1）补全△A′B′C′；
（2）画出BC边上的中线AD和AC边上的高线BE；
（3）求△ABD的面积．
【分析】（1）根据平移的性质作图；
（2）根据中线的意义作图；
（3）根据网格线的特点作图．
解：（1）如图：△A′B′C′即为所求；
（2）AD，BE即为所求；
（3）△ABD的面积为：×4×4＝8．
【点评】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点和三角形的面积公式是解题的关键．
23．如图，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2，证明：∠E＝∠F．
完成下面推理过程．
证明：∵∠BAP+∠APD＝180° （已知），
∴AB∥CD 同旁内角互补，两直线平行 ．
∴∠ BAP ＝∠ APC （两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠BAP﹣∠1＝∠APC﹣∠2（ 等式的性质 ），
即∠EAP＝∠FPA．
∴ AE ∥ PF （内错角相等，两直线平行）．
∴∠E＝∠F（ 两直线平行，内错角相等 ）．
【分析】根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠BAP＝∠APC，求出∠EAP＝∠FPA，根据平行线的判定得出AE∥PF即可．
【解答】证明：∵∠BAP+∠APD＝180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠BAP＝∠APC（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1＝∠2，（已知）
∴∠BAP﹣∠1＝∠APC﹣∠2（等式的性质），
即∠EAP＝∠FPA，
∴AE∥PF（内错角相等，两直线平行），
∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等），
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；BAP，APC；等式的性质；AE，PF；两直线平行，内错角相等．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键．
24．完成下面的解答过程：
如图，AD∥EF，∠1+∠2＝180°，DG平分∠ADC，求证：∠1＝∠B．
【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可得∠3＝∠4，由此可判定AB∥DG，再由平行线的性质求解即可．
【解答】证明：∵AD∥EF，
∴∠2+∠3＝180°，
又∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝∠3，
∵DG平分∠ADC，
∴∠1＝∠4，
∴∠3＝∠4．
∴AB∥DG，
∴∠1＝∠B．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟记平行线的性质和判定是解题的关键．
25．如图，某体育训练基地，有一块长（3a﹣5b）米，宽（a﹣b）米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a米，宽（a﹣2b）米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简）
（1）求长方形游泳池面积；
（2）求休息区面积；
（3）比较休息区与游泳池面积的大小关系．
【分析】（1）利用长方形的面积公式和单项式乘多项式的法则解答即可；
（2）利用空地的面积减去长方形游泳池的面积即可；
（3）利用休息区与游泳池面积的差的大小进行解答即可．
解：（1）长方形游泳池面积为：
a（a﹣2b）
＝（a2﹣2ab）平方米；
（2）∵长方形空地的面积为：
（3a﹣5b）（a﹣b）
＝3a2﹣3ab﹣5ab+5b2
＝（3a2﹣8ab+5b2）平方米，
∴休息区面积＝（3a2﹣8ab+5b2）﹣（a2﹣2ab）
＝3a2﹣8ab+5b2﹣a2+2ab
＝（2a2﹣6ab+5b2）平方米；
（3）∵（2a2﹣6ab+5b2）﹣（a2﹣2ab）＝a2﹣4ab+5b2＝a2﹣4ab+4b2+b2＝（a﹣2b）2+b2＞0，
∴休息区的面积大于游泳池面积．
【点评】本题主要考查了长方形的面积，多项式乘多项式，单项式乘多项式，配方法，完全平方式，熟练掌握长方形的面积公式和配方法是解题的关键．
26．知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
直接应用：（1）若xy＝7，x+y＝5，直接写出x2+y2的值 11 ；
类比应用：（2）填空：①若x（3﹣x）＝4，则x2+（x﹣3）2＝ 1 ；
②若（x﹣2019）（x﹣2023）＝2，则（x﹣2019）2+（x﹣2023）2＝ 20 ；
知识迁移：（3）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝16，S△AOC+S△BOD＝60，求一块三角板的面积．
【分析】（1）（2）直接利用（a+b）2﹣2ab＝a2+b2计算得结论；
（3）利用直角三角形的面积公式，先把问题转化为a2+b2，再利用完全平方公式的变形得结论．
解：（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
＝52﹣2×7
＝25﹣14
＝11；
故答案为：11．
（2）①则x2+（x﹣3）2＝x2+（3﹣x）2
＝[x+（3﹣x）]2﹣2x（3﹣x）
＝32﹣2×4
＝9﹣8
＝1；
故答案为：1．
②∵（x﹣2019）（x﹣2023）＝2，
∴（x﹣2019）（2023﹣x）＝﹣2．
∴（x﹣2019）2+（x﹣2023）2＝（x﹣2019）2+（2023﹣x）2
＝[x﹣2019+（2023﹣x）]2﹣2（x﹣2019）（2023﹣x）
＝42﹣2×（﹣2）
＝16+4
＝20；
故答案为：20；
（3）由题意，设OA＝OC＝a，OB＝OD＝b，
则z+b＝AD＝16．
∵S△AOC+S△BOD＝60，
∴a2+b2＝6．
∴（a+b）2﹣2ab＝6，即162﹣2ab＝6．
∴ab＝125．
答：一块三角板的面积为125．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式及变形是解决本题的关键．
27．【感知】如图①，AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点P为AB，CD之间一点，求证：∠EPF＝∠AEP+∠PFC．
小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程．
证明：如图①，过点P作PQ∥AB．
∵AB∥CD，PQ∥AB（已知），
∴CD∥ PQ （平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠1＝∠AEP，∠2＝∠PFC （ 两直线平行，内错角相等 ），
∴∠1+∠2＝∠AEP+∠PFC（等式性质），
∴∠EPF＝∠AEP+∠PFC．
【应用】小明同学进行了更进一步的思考：利用【感知】中的结论进行证明；
如图②，直线a∥b，点A，C在直线a上，点B，D在直线b上，直线CE，BE分别平分∠ACD，∠ABD，且交于点E．猜想并证明∠CEB与∠AFD的数量关系．
【拓展】（1）如图③，AB∥CD，直线MN与AB、CD分别交于点M，N，点P在CD上，点G在MN上，∠MGP＝60°，若动点E在线段MN上移动（不与M，G，N重合），连接PE，∠AMN和∠EPC的平分线交于点H，补全图形，请直接写出∠MHP与∠EPG的数量关系．
（2）在（1）的条件下，若直线MN的位置如图④所示，请直接写出∠MHP与∠EPG的数量关系．
【分析】【感知】利用平行线的判定和性质证明即可；
【应用】结论：∠AFD＝2∠CEB．利用上面结论以及角平分线的定义证明即可．
【拓展】（1）如图③中，结论：∠EPG＝2∠MHP﹣60°．利用上面结论以及角平分线的定义证明即可；
（2）如图④中，结论：∠EPG＝300°﹣2∠MHP．利用上面结论以及角平分线的定义证明即可．
解：【感知】如图①，过点P作PQ∥AB．
∵AB∥CD，PQ∥AB（已知），
∴CD∥PQ（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠1＝∠AEP，∠2＝∠PFC （两直线平行，内错角相等），
∴∠1+∠2＝∠AEP+∠PFC（等式性质），
∴∠EPF＝∠AEP+∠PFC．
故答案为：PQ，两直线平行，内错角相等；
【应用】结论：∠AFD＝2∠CEB．
理由：∵∠CEB＝∠ACE+∠DBE，∠AFD＝∠CFB＝∠ACF+∠DBF，
∵EC平分∠ACD，EB平分∠ABD，
∴∠ACD＝2∠ACE，∠DBF＝2∠DBE，
∴∠AFD＝2∠CEB；
【拓展】（1）如图③中，结论：∠EPG＝2∠MHP﹣60°．
理由：设∠AMH＝∠HMN＝x，∠EPH＝∠NPH＝y，则∠MHP＝x+y，∠MGP＝2x+∠GPN，
∴∠GPN＝60°﹣2x，
∴∠EPG＝∠MPN﹣∠GPN＝2y﹣（60°﹣2x）＝2（x+y）﹣60°，
∴∠EPG＝2∠MHP﹣60°；
（2）如图④中，结论：∠EPG＝300°﹣2∠MHP．
理由：设∠AMH＝∠HMN＝x，∠EPH＝∠NPH＝y，则∠MHP＝x+y，∠MGP＝180°﹣2x+∠GPN，
∴∠GPN＝2x﹣120°，
∴∠EPG＝∠EPN﹣∠GPN＝180°﹣2y﹣（2x﹣120°）＝300°﹣2（x+y），
∴∠EPG＝300°﹣2∠MHP；
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
