湖南省邵阳市洞口县茶场管理区2023-2024学年 九年级上学期第三次月考数学试题
一、单选题(共10题；共30分)
1．（3分）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，若AC=6米，则树高BC为（ ）
A．6sinα米 B．6tanα米 C．米 D．米
2．（3分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AC﹣CB运动，到点B停止，过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示，当点P运动5秒时，PD的长是（ ）
A．2cm B．1.8cm C．1.5cm D．1.2cm
3．（3分）现将一组数据：25，21，23，25，27，29，25，28，30，29，26，24，25，27，26，22，24，25，26，28分成五组，其中第四组26.5～28.5的频数是（ ）
A．0.2 B．3 C．4 D．5
4．（3分）在正方形网格中，的位置如图所示，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）在△ABC中，，则△ABC为（ ）
A．等腰直角三角形 B．有60°角的直角三角形
C．等边三角形 D．顶角为120°的等腰三角形
6．（3分）点P的坐标为，A是x轴正半轴上一点，O为原点，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
7．（3分）甲、乙、丙三位选手各10次射击成绩的平均数和方差统计如表：
选手 甲 乙 丙
平均数 9.3 9.3 9.3
方差 0.026 a 0.032
已知乙是成绩最稳定的选手，且乙的10次射击成绩不都一样，则a的值可能是（ ）
A．0 B．0.020 C．0.030 D．0.035
8．（3分）如果α是锐角，且cosα=，那么sinα的值（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）在△ABC中，若|sinA﹣ |+（ ﹣cosB）2=0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（ ）
A．75° B．90° C．105° D．120°
10．（3分）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（ ）
A．asinx+bsinx B．acosx+bsinx C．asinx+bcosx D．acosx+bcosx
二、填空题(共8题；共24分)
11．（3分）如图，一山坡的坡度为i=1： ，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了 米．
12．（3分）如图， 中，∠C=90°， ，则 ．
13．（3分） 甲、乙两名射击爱好者次射击测试成绩单位：环的统计图如图所示根据图中的信息，两人中发挥相对稳定的是 ．
14．（3分）如图是某班40名同学的体重频数分布直方图，体重超过 的频率是 ；
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，将BC向BA方向翻折过去，使点C落在BA上的点C′，折痕为BE，则EC的长度是 ．
16．（3分）随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为： 甲= 乙 ，S2甲=3.5，S2乙=3.2，则小麦长势比较整齐的试验田是 ．
17．（3分）若菱形的边长为10，内角，则菱形的面积为 .
18．（3分）如图水库堤坝的横断面是梯形，BC长为30m，CD长为20 m，斜坡AB的坡比为1：3，斜坡CD的坡比为1：2，则坝底的宽AD为 m 。
三、计算题(共2题；共14分)
19．（7分）计算： ﹣（4﹣π）0﹣6cos30°+|﹣2|
20．（7分）计算： +| ﹣3|﹣2sin60°﹣（ ）2+20160．
四、解答题(共4题；共40分)
21．（10分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度.（取 ＝1.732，结果精确到1m）
22．（10分）某中学九年级学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度，如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进20米到达点D，又测得点A的仰角为45°，请根据这些数据，求这幢教学楼的高度．（最后结果精确到1米，参考数据 ≈1.732）
23．（10分）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图 ， 两地向 地新建 ， 两条笔直的污水收集管道，现测得 地在 地北偏东 方向上，在 地北偏西 方向上， 的距离为 ，求新建管道的总长度．（结果精确到 ， ， ， ， ）
24．（10分）某中学以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱的书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，给出如下两幅未完成的统计图，请根据图①和图②所提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样查中，一共调查了多少名学生？
（2）把折线统计图①补充完整；
（3）求出扇形统计图②中体育部分所对应的圆心角的度数；
（4）如果这所中学共有学生1800名，那么你估计最喜爱科普类书籍的学生人数．
五、综合题(共1题；共12分)
25．（12分）如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角使其由 改为 ，已知原传送带 长为4米．
（1）（6分）求新传送带 的长度；（结果保留根号）
（2）（6分）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离 点5米的货物 是否需要挪走，并说明理由（结果精确到0.1米参考数据： ， ， ）
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：过点B作BC⊥AC于点C，
在Rt△ABC中，
∵AC=6，∠A=α，
∴BC=ACtanα=6tanα．
故选B．
【分析】过点B作BC⊥AC于点C，在Rt△ABC中根据AC=6，∠A=α，求出BC的高度．
2．【答案】D
【解析】【解答】由图2可得，AC=3，BC=4，当t=5时，如图所示：
，
此时AC+CP=5，故BP=AC+BC﹣AC﹣CP=2，∵sin∠B= ，∴PD=BPsin∠B= cm.故答案为：D.
【分析】有线段的构成得BP=AC+BC﹣AC﹣CP可求得BP的值，然后根据sin∠B==可求解.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵落在第四组26.5～28.5的数据为：27，28，27，28，
∴第四组26.5～28.5的频数是4，
故答案为：C．
【分析】先将各数据划记到对应的小组，再正确数出第四组26.5～28.5的频数即可．
4．【答案】B
【解析】【分析】根据格点的特征可得∠B=45°，再根据特殊角的锐角三角函数值即可得到结果.
由图可得cosB=cos45°=，故选B.
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握特殊角的锐角三角函数值，即可完成.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，，
∴，，
∴∠A=60°，∠B=30°，
∴∠C=90°，即△ABC是有60°角的直角三角形.
故答案为：B.
【分析】根据偶数次幂的非负性及绝对值的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0，可得，，进而根据特殊锐角三角函数值可求出∠A及∠B的度数，从而即可得出答案.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：过点P作PB⊥x轴于点B，如图所示：
∵点P的坐标为（6，2），
∴PB=2，OB=6，
∴，
∴，故B正确．
故答案为：B．
【分析】过点P作PB⊥x轴于点B，根据点P的坐标可得PB=2，OB=6，利用勾股定理求出OP，然后根据三角函数的概念进行计算.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵乙的10次射击成绩不都一样，
∴a≠0，
∵乙是成绩最稳定的选手，
∴乙的方差最小，
∴a的值可能是0.020，
故选：B．
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定进行判断即可．
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵sin2α+cos2α=1，
∴sinα=．
故选C．
【分析】因为cosα= 所以利用sin2α+cos2α=1直接解答即可．
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ |sinA﹣ |+（ ﹣cosB）2=0
∴sinA-=0且
解之：∠A=45°，∠B=30°，
∴∠C=180°-∠B-∠A=180°-30°-45°=105°.
故答案为：C.
【分析】根据几个非负数之和为0，则每一个数都为0，再利用特殊角的三角函数值，分别求出∠A，∠B的度数，然后利用三角形内角和定理即可求解。
10．【答案】B
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥OC于点F，过点A作AE⊥OB于点E,
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=∠AEB=90°，BC=AD=b，
∴∠EBA+∠OBC=90°，∠OBC+∠BCO=90°
∴∠EBA=∠BCO=x，
在Rt△AEB中，
BE=ABcos∠EBA=acosx
在Rt△OBC中，
OB=BCsin∠OCB=bsinx
∴AF=OE=OB+BE=acosx+bsinx.
故答案为：B.
【分析】过点A作AF⊥OC于点F，过点A作AE⊥OB于点E，利用垂直的定义及矩形的性质，可证得BC=AD=b，∠EBA=∠BCO=x，再在Rt△AEB和Rt△OBC中，利用解直角三角形可求出OB，BE的长，然后根据AF=OE=OB+BE，代入计算可求解。
11．【答案】100
【解析】【解答】根据坡比的定义得到tan∠A = ，∠A=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解．
根据题意得tan∠A= = = ，所以∠A=30°，所以BC= AB= ×200=100（m）．
【分析】特殊角的三角函数得出结论，含30度的直角三角形三边，30度角相对的一边是斜边的一半得出结论
12．【答案】17
【解析】【解答】∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴tanA= ，
∵ ，∴AC＝8，
∴AB= =17,
故答案为：17.
【分析】根据∠A的正切定义，求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长即可。
13．【答案】甲
【解析】【解答】根据折线统计图可得，甲成绩的波动小，乙成绩的波动大，
∴甲发挥相对稳定，
故答案为：甲.
【分析】根据折线统计图中两人成绩的波动大小求解即可.
14．【答案】0.175
【解析】【解答】体重超过59.5kg的同学有5+2=7(个),
体重超过 的频率是
故答案为：0.175
【分析】根据题意得出体重超过59.5kg的同学有7个，即可得出结果.
15．【答案】
【解析】【解答】作ED⊥BC于D，由折叠的性质可知∠DBE=∠ABE=45°，
设所求的EC为x，则CD=x，BD=ED=，
∵∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，
∴BC=AC×cosC=5，
∵CD+BD=5，
∴.
【分析】作ED⊥BC于D，可得含30°的Rt△CED及含45°的直角三角形BED，设所求的EC为x，则CD=0.5x，BD=ED=，根据BC=5列式求值即可．
16．【答案】乙
【解析】【解答】甲、乙两块实验田100株麦苗的平均数相等，由方差的意义，观察数据S2甲=3.5，S2乙=3.2可知，乙试验田的方差小，故乙试验田小麦长势比较整齐
故填：乙
【分析】利用方差的定义：方差越小成绩越稳定求解即可。
17．【答案】
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，如图所示：
∵菱形ABCD的边长为10，
∴AB=BC=10，
∵∠ABC=60°，
∴AE=AB·sin60°=10×=，
∴S菱形ABCD=BC·AE=10×=.
故答案为：.
【分析】过点A作AE⊥BC于E，根据菱形的性质可得AB=BC=10，根据三角函数的概念可得AE，然后根据S菱形ABCD=BC·AE进行计算.
18．【答案】130
【解析】【解答】解：作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
∵斜坡CD的坡比为1：2，即 ，
∴DF=2CF，又CD= m，
∴CF=20m，DF=40m，
由题意得，四边形BEFC是矩形，
∴BE=CF=20m，EF=BC=30m，
∵斜坡AB的坡比为1：3，
∴ ，即AE=3BE=60m，
∴AD=AE+EF+DF=130m，
故答案为：130.
【分析】作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，根据坡比的定义得出 ，即DF=2CF，然后根据勾股定理建立方程得出CF,DF的长，很容易判断出四边形BEFC是矩形，根据矩形的性质得出BE=CF=20m，EF=BC=30m，再根据坡比的定义得出 ，即AE=3BE=60m，最后根据AD=AE+EF+DF就可算出答案.
19．【答案】解：原式=3 ﹣1﹣6× +2=1．
【解析】【分析】本题涉及零指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、绝对值四个考点，针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
20．【答案】解：原式=2 +3﹣ ﹣ ﹣3+1=1．
【解析】【分析】根据任何一个不等于零的数的零次幂都等于1；化简二次根式得到即可．
21．【答案】解：设CE＝xm，则由题意可知BE＝xm，AE＝(x＋100)m.
在Rt△AEC中，tan∠CAE＝ ，即tan30°＝
∴ ，3x＝ (x＋100)
解得x＝50＋50 ＝136.6
∴CD＝CE＋ED＝(136.6＋1.5)＝138.1≈138(m)
答：该建筑物的高度约为138m。
【解析】【分析】 由题意可设CE=BE＝xm，由线段的构成AE=AB+BE可将AE用含x的代数式表示出来，在Rt△AEC中，根据tan∠CAE＝可得关于x的方程，解方程可求得x的值，于是由线段的构成CD＝CE＋ED可求解.
22．【答案】解：由已知，可得：∠ACB=30°，∠ADB=45°，
∴在Rt△ABD中，BD=AB．
又在Rt△ABC中，
∵tan30°= = ，
∴ = ，即BC= AB．
∵BC=CD+BD，
∴ AB=CD+AB，
即（ ﹣1）AB=20，
∴AB=10（ +1）≈27米．
答：教学楼的高度为27米
【解析】【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=BC﹣BD=60构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．
23．【答案】如图，过点C作 于点D
由题意得： ，
设 ，则
是等腰直角三角形
在 中， ，即
解得
经检验， 是所列分式方程的解
，
在 中， ，即
解得
则
答：新建管道的总长度约为 ．
【解析】【分析】过点C作 于点D，由题意得： ， ，设 ，则 ，得出 是等腰直角三角形，在 中， ，即 ，解得并检验得出x的值，即可得出答案。
24．【答案】解：（1）90÷30%=300（名），故一共调查了300名学生；（2）艺术的人数：300×20%=60（名），其它的人数：300×10%=30（名）；补全折线图如图：（3）体育部分所对应的圆心角的度数为：×360°=48°；（4）1800×=480（名）．
【解析】【分析】（1）用文学的人数除以所占的百分比计算即可得解；
（2）根据所占的百分比求出艺术和其它的人数，然后补全折线图即可；
（3）用体育所占的百分比乘以360°，计算即可得解；
（4）用总人数乘以科普所占的百分比，计算即可得解．
25．【答案】（1）解：如图，
在Rt△ABM中，
AM＝ABsin45°＝2 ．
在Rt△ACM中，
∵∠ACM＝30°，
∴AC＝2AM＝4 ．
即新传送带AC的长度约为4 米；
（2）解：结论：货物DEFG不用挪走．
在Rt△ABM中，BM＝ABcos45°＝2 ．
在Rt△ACM中，CM＝ ．
∴CB＝CM﹣BM＝2 ﹣2 ≈2.08．
∵DC＝DB﹣CB≈5﹣2.08＝2.92＞2，
∴货物DEFG不需要挪走．
【解析】【分析】（1）先根据AB的长度求出AM的高度，然后利用30°所对的直角边是斜边的一半即可得出AC的长度；（2）先利用AM的高度求出CM的长度，进而求出CB的长度，然后利用DC=DB-CB求出DC，最后用DC的长度与2进行比较即可，若DC的长度大于2则货物不用搬走，反之则需要搬走．
