2023-2024学年内蒙古呼和浩特八年级（上）期中数学试卷
一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）如图是2022年北京冬奥运会吉祥物冰墩墩的图形，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
3．（3分）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，则∠CAF的度数为（ ）
A．30° B．25° C．35° D．65°
4．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．等腰三角形两底角的平分线相等
B．一组角和腰对应相等的两等腰三角形全等
C．两边及一边上的中线分别相等的两三角形全等
D．三角形的三边的长度分别为2，3，x，则x的取值范围为1＜x＜5
5．（3分）如图，在△ABC中，D，E是BC上两点，AD平分∠BAC，AF垂直于BC的延长线于F（ ）
A．AF是△ABE的高
B．若AE，AD，AF重合，则△ABC为等腰三角形
C．∠EAD＝∠CAF
D．S△AEB＝S△ACE
6．（3分）如图，在△ABD和△ACD中，AP，CD的垂直平分线，若∠PAQ＝30°，则△ABC的周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（3分）下列三角形一定为直角三角形的是（ ）
①三角形的三边之比为1：2：3；
②△ABC的三个内角的关系为；
③三角形的三个内角之比为4：5：9；
④三角形的一个外角与它不相邻的两个内角和为180°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD恰好平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是（ ）
A．2 B．3 C． D．
9．（3分）如图，在△ABC中，ED∥BC，若FG＝3，ED＝7（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．已知∠ADC＝120°，小婵同学得到如下结论：①△ABC是等边三角形；②BD＝2AD四边形ABCD＝AC BD；④点M、N分别在线段AB、BC上，且∠MDN＝60°，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将其沿CD折叠，使点A落在CB边上的A′处 ．
12．（3分）若A（a，b+2）与B（﹣b﹣1，2a+1）关于x轴对称，求（a+b）2023＝ ．
13．（3分）正五边形的ABCDE的对角线AC、BD相交于点P，则∠APB的度数是 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，BD与CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，则∠BDC＝ ，连接AD，则∠BAD＝ ．
15．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，S△ADG＝12，S△AED＝9，则△DEF的面积为 ．
16．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动．点P出发后，连接CP，使∠DCP＝90°，连接PD，则t的值为 ．
一、解答题（共52分）
17．（6分）如图，四边形ABCD中，点E为AD的中点，且EF＝CE，若CD＝4
（1）求证：△AEF≌△DEC．
（2）求AB的长．
18．（6分）如图，是A，B，C三个岛的平面图，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向上．求∠ABC和∠ACB的度数．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，3），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）如图1，求△ABC的面积 ．
（2）如图2，在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标．
（3）如图3，在y轴上找出点P，使PA+PB最小．（不写作法，保留作图痕迹）
20．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，连接AD，E为是AD上一点且BE＝CE．
（1）求证：AD垂直平分BC．
（2）已知∠ABC＝75°，AB＝3，求△ABC的面积．
21．（8分）求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
22．（8分）如图，四边形ABCD中，∠C＝∠B＝90°，连接AE，DE
（1）如图（1），若DE＝AE，证明：BC＝AB+CD．
（2）如图（2），DE平分∠ADC，证明：AD＝CD+AB．
23．（9分）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°
（1）如图，若M与C重合，CD平分∠ACB，垂足E在CD的延长线上，试探究BE与CD的数量关系
（2）若M在线段BC上且不与B，C重合，D在线段AB上，且，垂足E在MD的延长线上，则BE与DM的数量关系是什么？画图并说明理由．
2023-2024学年内蒙古呼和浩特实验中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）如图是2022年北京冬奥运会吉祥物冰墩墩的图形，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A，B，C三个选项中的图形都找不到一条直线能够使直线两旁的部分重合；
C选项中的图形能够找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合．
故选：C．
2．（3分）如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'．
故选：B．
3．（3分）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，则∠CAF的度数为（ ）
A．30° B．25° C．35° D．65°
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵∠BCE＝55°，
∴∠ACD＝∠BCE＝55°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣55°＝35°，
故选：C．
4．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．等腰三角形两底角的平分线相等
B．一组角和腰对应相等的两等腰三角形全等
C．两边及一边上的中线分别相等的两三角形全等
D．三角形的三边的长度分别为2，3，x，则x的取值范围为1＜x＜5
【解答】解：A．等腰三角形两底角的平分线相等，不符合题意；
B．一组角和腰对应相等的两等腰三角形不一定全等，符合题意；
C．两边及一边上的中线分别相等的两三角形全等，不符合题意；
D．三角形的三边的长度分别为2，3，x，此选项正确．
故选：B．
5．（3分）如图，在△ABC中，D，E是BC上两点，AD平分∠BAC，AF垂直于BC的延长线于F（ ）
A．AF是△ABE的高
B．若AE，AD，AF重合，则△ABC为等腰三角形
C．∠EAD＝∠CAF
D．S△AEB＝S△ACE
【解答】解：A、∵AF⊥BC，
∴AF是△ABE的BC边上的高，本选项说法正确；
B、若AE，AF重合，本选项说法正确；
C、∠EAD与∠CAF的大小不能确定，符合题意；
D、∵BE＝CE，
∴S△ABE＝S△ACE，本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABD和△ACD中，AP，CD的垂直平分线，若∠PAQ＝30°，则△ABC的周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：∵AP，AQ分别为BD，
∴AB＝AD＝AC＝2，
∴∠BAP＝∠DAP＝∠BAD∠CAD，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝8（∠DAP+∠DAQ）＝2∠PAQ＝2×30°＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，
∴△ABC的周长为＝AB+BC+AC＝6．
故选：C．
7．（3分）下列三角形一定为直角三角形的是（ ）
①三角形的三边之比为1：2：3；
②△ABC的三个内角的关系为；
③三角形的三个内角之比为4：5：9；
④三角形的一个外角与它不相邻的两个内角和为180°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵1+2＝3，3＝3，
∴三条长度之比为8：2：3的线段不能组成三角形，①不符合题意；
②∵∠A＝∠B＝，
∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝×180°＝90°，
∴该三角形是直角三角形，②符合题意；
③∵三角形的三个内角之比为8：5：9，
∴最大内角的度数为×180°＝90°，
∴该三角形是直角三角形，③符合题意；
④∵三角形的一个外角与它不相邻的两个内角和为180°，
∴该外角的度数为180°÷2＝90°，
∴与该外角相邻的内角的度数为180°﹣90°＝90°，
∴该三角形是直角三角形，④符合题意．
∴符合题意的有②③④．
故选：C．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD恰好平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DE⊥AB，AD＝DB，
∴∠DAB＝∠B，
∵AC⊥CD，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝1，∠CAD＝∠DAB＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠CA＝∠DAB＝∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝8，
∴BC＝BD+DC＝2+1＝5，
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，ED∥BC，若FG＝3，ED＝7（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【解答】解：∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABG＝∠GBC，∠ACF＝∠BCF，
∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠BCF，
∴∠ABG＝∠EGB，∠DFC＝∠ACF，
∴EB＝EG，DF＝DC，
∵FG＝3，ED＝7，
∴EB+CD＝EG+DF＝EF+FG+FG+DG＝ED+FG＝10．
故选：B．
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．已知∠ADC＝120°，小婵同学得到如下结论：①△ABC是等边三角形；②BD＝2AD四边形ABCD＝AC BD；④点M、N分别在线段AB、BC上，且∠MDN＝60°，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵四边形ABCD是“筝形”四边形，
∴AB＝BC，AD＝CD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，故①正确；
∴∠BAC＝∠BCA＝60°，
∵AD＝CD，∠ADC＝120°，
∴∠DAC＝∠DCA＝30°，
∴∠DAB＝90°，
∵AD＝CD，AB＝BC，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADB＝∠BDC＝60°，
∴BD＝2AD，故②正确；
∵∠DOC＝∠DAC+∠ADB＝60°+30°＝90°，
∴AC⊥BD，
∵S四边形ABCD＝S△ACD+S△ACB，
∴S四边形ABCD＝×AC×OD+×AC×BD；
延长BC到E，使CE＝AM，如图所示：
∵∠DAB＝∠DCB＝90°，
∴∠DAB＝∠DCE＝90°，
又∵AM＝CE，AD＝CD，
∴△ADM≌△CDE（SAS），
∴∠ADM＝∠CDE，DM＝DE，
∵∠ADC＝120°，
∵∠MDN＝60°，
∴∠ADM+∠CDN＝∠ADC﹣∠MDN＝60°，
∴∠CDE+∠CDN＝∠EDN＝60°，
∴∠EDN＝∠MDN，
又∵DN＝DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝EN，
∵EN＝CE+CN＝AM+CN，
∴AM+CN＝MN，故④正确；
故选：C．
二.填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将其沿CD折叠，使点A落在CB边上的A′处 20° ．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝55°，
∴∠B＝35°．
由翻折的性质可知：∠DA′C＝∠A＝55°．
∵∠B+∠A′DB＝∠DA′C，
∴∠A′DB＝∠DA′C﹣∠B＝55°﹣35°＝20°．
故答案为：20°．
12．（3分）若A（a，b+2）与B（﹣b﹣1，2a+1）关于x轴对称，求（a+b）2023＝ ﹣1 ．
【解答】解：∵A、B关于x轴对称，
∴，
解得：a＝﹣2，b＝6，
∴（a+b）2023＝（﹣2+1）2023＝﹣8，
故答案为：﹣1．
13．（3分）正五边形的ABCDE的对角线AC、BD相交于点P，则∠APB的度数是 72° ．
【解答】解：如图所示：
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠CBD＝∠BDC＝＝36°，
∴∠APB＝∠DBC+∠ACB＝72°，
故答案为：72°．
14．（3分）如图，在△ABC中，BD与CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，则∠BDC＝ 115° ，连接AD，则∠BAD＝ 25° ．
【解答】解：∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∵BD与CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠DBC＝∠ABC∠ACB，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣65°＝115°，
连接AD，则AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝25°．
故答案为：115°，25°．
15．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，S△ADG＝12，S△AED＝9，则△DEF的面积为 1.5 ．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF＝DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴S△EDF＝S△GDH，设面积为S，
同理Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴S△ADF＝S△ADH，
即9+S＝12﹣S，
解得S＝1.6．
故答案为：1.5．
16．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动．点P出发后，连接CP，使∠DCP＝90°，连接PD，则t的值为 2或6 ．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，
∵∠PCD＝90°，CP＝CD，
∴∠ACP+∠PCB＝90°，∠PCB+∠BCD＝90°，
∴∠ACP＝∠BCD，
在△ACP与△CBD中，
，
∴△ACP≌△CBD（SAS），
∴AP＝BD，
当BD＝2BP时，当0＜t≤4时，＝，
解得：t＝3，
当BD＝2BP时，当t＞3时，＝，
解得：t＝6，
综上所述，t的值为4或6，
故答案为：2或5．
一、解答题（共52分）
17．（6分）如图，四边形ABCD中，点E为AD的中点，且EF＝CE，若CD＝4
（1）求证：△AEF≌△DEC．
（2）求AB的长．
【解答】（1）证明：∵E为AD的中点，
∴DE＝AE，
在△AEF与△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（SAS）；
（2）解：∵△AEF≌△DEC，
∴CD＝AF＝4，
∵BF＝7，
∴AB＝BF﹣AF＝2﹣4＝3．
18．（6分）如图，是A，B，C三个岛的平面图，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向上．求∠ABC和∠ACB的度数．
【解答】解：由题意可知，∠DAC＝50°，∠EBC＝40°，
∵DA∥BE，
∴∠DAB+∠EBA＝180°，
∴∠EBA＝180°﹣80°＝100°，
∴∠ABC＝∠EBA﹣∠EBC＝100°﹣40°＝60°；
过点C作CF∥DA，
∵DA∥BE，
∴CF∥EB，
∴∠ACF＝∠DAC，∠BCF＝∠EBC，
∴∠ACB＝∠DAC+∠EBC＝50°+40°＝90°．
答：∠ABC＝60°；∠ACB＝90°．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，3），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）如图1，求△ABC的面积 6 ．
（2）如图2，在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标．
（3）如图3，在y轴上找出点P，使PA+PB最小．（不写作法，保留作图痕迹）
【解答】解：（1）△ABC的面积为＝6．
故答案为：2．
（2）如图2，△A1B3C1即为所求．
A1（﹣6，3），B1（﹣2，1），C1（7，﹣1）．
（3）如图3，取点B关于y轴的对称点B3，连接AB1，交y轴于点P，连接PB，
此时PA+PB最小，
则点P即为所求．
20．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，连接AD，E为是AD上一点且BE＝CE．
（1）求证：AD垂直平分BC．
（2）已知∠ABC＝75°，AB＝3，求△ABC的面积．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AD垂直平分BC；
（2）解：△ABC中，
∵AB＝AC＝3，∠ABC＝75°，
∴∠ACB＝∠ABC＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝30°，
过点B作BF⊥AC于F，
∴BF＝AB＝，
∴△ABC的面积＝AC BF＝＝．
21．（8分）求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【解答】
已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
求证：BC＝AB．
证明：
证法一：如答图所示，延长BC到D，连接AD，∠BAD＝60°．
∴△ABD为等边三角形，
∴AB＝BD，
∴BC＝CD＝ABAB．
证法二：如答图所示，取AB的中点D，
连接DC，有CD＝，
∴∠DCA＝∠A＝30°，∠BDC＝∠DCA+∠A＝60°．
∴△DBC为等边三角形，
∴BC＝DB＝ABAB．
证法三：如答图所示，在AB上取一点D，
∵∠B＝60°，
∴△BDC为等边三角形，
∴∠DCB＝60°，∠ACD＝90°﹣∠DCB＝90°﹣60°＝30°＝∠A．
∴DC＝DA，即有BC＝BD＝DA＝，
∴BC＝AB．
证法四：如图所示，作△ABC的外接圆⊙D，AB为⊙O的直径，
连DC有DB＝DC，∠BDC＝2∠A＝6×30°＝60°，
∴△DBC为等边三角形，
∴BC＝DB＝DA＝ABAB．
22．（8分）如图，四边形ABCD中，∠C＝∠B＝90°，连接AE，DE
（1）如图（1），若DE＝AE，证明：BC＝AB+CD．
（2）如图（2），DE平分∠ADC，证明：AD＝CD+AB．
【解答】证明：（1）∵DE⊥AE，
∴∠DEA＝90°＝∠C＝∠B，
∴∠CDE+∠DEC＝90°＝∠DEC+∠AEB，
∴∠AEB＝∠CDE，
在△DCE和△EBA中，
，
∴△DCE≌△EBA（AAS），
∴CE＝AB，BE＝CD，
∴BC＝BE+CE＝AB+CD；
（2）如图（2），延长DE交AB的延长线于H，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
在△ADE和△AHE中，
，
∴△ADE≌△AHE（ASA），
∴DE＝EH，AD＝AH，
在△DCE和△HBE中，
，
∴△DCE≌△HBE（AAS），
∴DC＝BH，
∴AD＝AH＝AB+BH＝AB+CD．
23．（9分）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°
（1）如图，若M与C重合，CD平分∠ACB，垂足E在CD的延长线上，试探究BE与CD的数量关系
（2）若M在线段BC上且不与B，C重合，D在线段AB上，且，垂足E在MD的延长线上，则BE与DM的数量关系是什么？画图并说明理由．
【解答】解：（1）2BE＝CD，
理由：延长CA交BE延长线于N点，
∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠4，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAN＝90°，∠1+∠5＝90°，
∴∠BAN＝∠BAC＝90°，
∵BE⊥CD，
∴∠3+∠3＝90°，
∵∠4＝∠4，
∴∠1＝∠3，
∵AB＝AC，
∴△BAN≌△CAD（ASA），
∴CD＝CN，
∵∠3＝∠2，CE⊥CN，
∴BE＝EN＝CN，
∴CN＝2BE，
∴CD＝2BE；
（2）8BE＝DM，
理由：过M作MN∥AC交BE延长线于N点，交AB于Q点，
∴∠ACB＝∠BMN，∠BAC＝∠BQM＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠B＝BMQ，
∴BQ＝QM，
∵，
∴＝，，
∴∠BMD＝∠NMQ，
同理可得：∠NBQ＝∠NMD，
∵∠BQN＝∠MQD＝90°，
∴△BQN≌△MQD（ASA），
∴DM＝BN，
∵∠BMD＝∠NMQ，ME⊥BN，
∴BE＝NE＝BN，
∴BN＝5BE，
∴DM＝2EB．
