人教B版（2019）必修第一册《2.2.1 不等式及其性质》同步练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知集合，或，若，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
2.（5分）已知函数的值域为则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
3.（5分）已知甲的年龄大于乙的年龄，则“丙的年龄大于乙的年龄”是“乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两倍”的
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.（5分）“”是“函数的图象与轴只有一个公共点”的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.（5分）已知，那么，，的大小关系是
A. B. C. D.
6.（5分）若，则下列结论不正确的是
A. B.
C. D.
7.（5分）若，则
A. B. C. D.
8.（5分）函数的图象大致为
A. B.
C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）下列各结论中正确的是
A. “”是“”的充要条件
B. “”的最小值为
C. 命题“，”的否定是“，”
D. “”是“”的充分不必要条件
10.（5分）下列函数中，最小值是的是
A. B.
C. D.
11.（5分）已知，且，则下列结论正确的是
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
12.（5分）（多选题）下列说法中，当为全集时，正确的是（ )
A. 若，则 B. 若，则或
C. 若，则 D. 若，则
13.（5分）已知，，，，，则下列说法正确的是
A. B.
C. D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）使有意义的x的取值范围是__________
15.（5分）某班有名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为，，，同时参加数学和物理小组的有人，同时参加物理和化学小组的有人，则只参加物理小组的有__________人，同时参加数学和化学小组的有__________人．
16.（5分）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，若为的导函数，则______ .
17.（5分）定义在上的奇函数，当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为_________.
18.（5分）黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录如图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第个图至第个图中的规律编织图案，则第个图中有 ______ 个菱形.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知全集，集合，集合
求；
若，求实数的取值范围．
20.（12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点在坐标原点，以轴非负半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆分别交于，两点，轴的非负半轴与单位圆交于点，已知，点的横坐标是
求的值；
求的值．
21.（12分）立德中学高一年级共有名学生报名参加学校团委与学生会组织的社团组织．据统计，参加艺术社团组织的学生有人，参加体育社团组织的学生有人并非每个学生必须参加某个社团求在高一年级的报名学生中，同时参加这个社团的最多有多少人？最少有多少人？
22.（12分）已知，，求：
的值；
的值.
23.（12分）设函数
当时，求的取值范围；
若，且，求的值．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】解：，或，，
，
故选：
由，结合数轴可直接得到答案．
此题主要考查了集合的关系应用，利用数轴表示子集关系，是基础题．
2.【答案】D;
【解析】解：令，
则为其值域的一个子集，
当时，，令，解得，
故当时，，
当时，，该函数为开口向下的二次函数，则必定存在最大值，故不符合题意，
当时，，该函数为开口向上的二次函数，
令，则，化简整理可得，解得或，符合题意，
故或，
综上所述，
故选：
根据复合函数的性质，可得内函数的值域，再分类讨论，即可求解．
此题主要考查函数的值域，属于中档题．
3.【答案】B;
【解析】解：设甲、乙、丙的年龄分别为，，，根据已知条件得若丙的年龄大于乙的年龄，则，则，因为，所以未必成立；
若乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两倍，则，则，即，所以丙的年龄大于乙的年龄．
故“丙的年龄大于乙的年龄”是“乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两倍”的必要不充分条件．
故选：
根据充要条件定义结合不等式的性质判断即可．
此题主要考查了不等式的性质，充分条件和必要条件的定义，是中档题．
4.【答案】B;
【解析】
此题主要考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.
先求得函数的图象与轴只有一个公共点时的取值，再由充分条件与必要条件的定义判断即可.
解：当时，函数的图象与轴只有一个公共点；
当时，若函数的图象与轴只有一个公共点，
则，解得
综上所述：当或时，函数的图象与轴只有一个公共点，
故“”是“函数的图象与轴只有一个公共点”的充分不必要条件.
故选
5.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了指数函数，对数函数和幂函数在比较大小中的应用，属于基础题.
解决此题的关键是熟练掌握基本初等函数的性质，将和作比较，，和作比较，并能根据题中条件进行灵活应用.
解：因为，
故
故选
6.【答案】C;
【解析】解：对于，，
，，
，即，故正确，
对于，，
，
，
，故正确，
对于，，
，当且仅当，即时，等号成立，
，
，故错误，
对于，，
，故正确．
故选：
对于，结合作差法，即可求解，对于，结合基本不等式的公式，即可求解，对于，结合，的取值范围，去掉绝对值，即可求解．
此题主要考查不等式的性质，掌握作差法和基本不等式公式是解本题的关键，属于基础题．
7.【答案】D;
【解析】
本题以三角函数为背景，主要考查了三角恒等变换，考查了运算求解能力．
由已知结合二倍角公式可求或，然后分类讨论，结合同角三角函数的基本关系即可求解．
解：因为 ，
所以，
所以或，
当时，
，
当即时，
，
，
.
故选：
8.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了函数的奇偶性、指数函数及其性质、函数图象和单调性，考查推理能力和计算能力，属于基础题.
根据已知及函数的奇偶性，指数函数及其性质，函数图象的计算，可知函数的图象.
解：的定义域为，因为，
所以函数为奇函数，
故排除，
又因为，函数在上单调递减．
故选
9.【答案】AD;
【解析】解：显然，故成立；
因为，当且仅当，即时取等号，显然不成立，故错误；
“，”的否定是“，”，故错误；
由得，或，故“”是“”的充分不必要条件，故正确．
故选：
根据不等式的性质、基本不等式的应用条件、命题否定的方法逐项判断即可．
此题主要考查命题真假的判断以及充分性、必要性的判断方法等知识方法，属于基础题．
10.【答案】AC;
【解析】解：对于：，当且仅当，即时取等号，故A正确；
对于：，当且仅当，即时取等号，显然不成立，故B错误；
对于：，当且仅当时取等号，故C正确；
对于：当时，无最小值，故D错误．
故选：．
根据应用基本不等式的基本条件，分别判断即可求出．
该题考查了基本不等式的应用，关键掌握应用基本不等式的基本条件，一正二定三相等，属于基础题．
11.【答案】ABC;
【解析】解：，，，
，
故，
故选项正确；
，
即，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最大值为，
故选项正确；
，
，
故
，
由二次函数的性质知，
当时取得最小值，
故选项正确；
，，，
，
即，
即，
故，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最大值为，
故选项错误；
故选：
由不等式的性质可得，从而判断选项；
由不等式可得，从而化简判断选项；
由化简，从而化简，利用二次函数的性质求最小值即可判断选项；
由基本不等式得，从而化简判断选项即可．
此题主要考查了不等式的性质，基本不等式及其变形，二次函数的性质的应用，属于中档题．
12.【答案】ACD;
【解析】略
13.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查同角三角函数关系，两角和差的三角函数公式，属于基础题.
根据及角的范围，可知，然后利用同角三角函数关系得到即可判断选项.
解：因为，，
所以，
又，
所以，
平方相加可得，
又，所以，所以，
故选
14.【答案】;
【解析】略
15.【答案】;;
【解析】
此题主要考查运用集合间的关系确定元素个数问题以及图的运用，属于基础题．
把集合间的关系利用方程表示出来，再解方程即可．
解：由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学小组，
因为参加数学和物理小组的有人，同时参加物理和化学小组的有人，
所以只参加物理的有人．
设同时参加数学和化学小组的人数有人，
则只参加数学的有，
只参加化学的有
又总人数为人，即，
所以，解得
即同时参加数学和化学小组的人数有人，
16.【答案】;
【解析】解：因为函数是定义在上的奇函数，且当时，
所以时，，
则，
所以，
则，
则
故答案为：
结合奇偶性先求出时的函数解析式，对其求导，再把代入即可求解．
此题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了复合函数的求导公式的应用，属于基础题．
17.【答案】;
【解析】
此题主要考查了函数奇偶性的运用，不等式恒成立问题，考查了分析和转化能力，属于中档题.
由已知表达式及奇函数的性质求出函数在上的解析式，易判断其单调性，再把不等式进行等价变形，转化为两个自变量的值间的不等关系，进而可转化为函数的最值问题解决．
解：当时 ，，
函数是上的奇函数，
当时，则，，即，
，
则函数的图象如图：
则函数在上单调递减，
，
对任意的，不等式 恒成立，
等价于对任意的，不等式恒成立，
即， 即恒成立，
，
恒成立，即， 解得，
则实数的最大值为
故答案为
18.【答案】;
【解析】解：设第个图中有个菱形，
则，，，，
归纳得，
则，即第个图中有个菱形．
故答案为：
设第个图中有个菱形，根据题干，可写出数列的前四项，进而归纳出数列的通项，由此得解．
此题主要考查归纳推理，属于基础题．
19.【答案】解：（1）由＜1，可得-1＜0，即＜0，解得-4＜x＜1，
所以集合={x|-4＜x＜1}．
（2）集合B={x|x≥a}，若A B，
则a≤-4，
即实数a的取值范围是（-∞，-4]．;
【解析】
解分式不等式即可求解集合；
由，即可求解的取值范围．
此题主要考查集合的包含关系的应用，考查分式不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】;
【解析】
根据已知条件，利用三角形面积公式及同角公式求出，的正余弦，再利用差角的余弦计算作答．
利用中信息求出，再讨论的范围求解作答．
此题主要考查了两角和与差的三角函数的求值以及三角函数的定义的应用，属于中档题．
21.【答案】解：由题意：当艺术社团组织的103名学生都参加体育社团组织时，同时参加这2个社团的学生最多，且有103人；
当每个学生都参加某个社团时，同时参加这2个社团的学生最少，且有103+120-200=23人，
所以同时参加这2个社团的最多有103名学生，最少有23名学生．;
【解析】
由题可知当艺术社团组织的学生都参加体育社团组织时，同时参加这个社团的人数最多，当每个学生都参加某个社团时，同时参加这个社团的学生最少．
此题主要考查集合的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
22.【答案】;
【解析】
利用两角和差公式，根据同角三角函数关系式可求的值；
根据二倍角公式求出，，，进而可求．
此题主要考查了两角和差公式，同角三角函数关系式以及二倍角公式的运用和计算能力．
23.【答案】;
【解析】
利用诱导公式和两角和或差的三角函数公式对函数解析式化简整理，即可求解；
根据已知求得的值，讨论角的范围得，利用二倍角公式求解即可．
此题主要考查同角三角函数关系式和诱导公式、两角和或差的三角函数公式、二倍角公式的应用，三角函数图象与性质，属于中档题．
