2024年中考数学一轮复习综合练习题：二次函数
一、选择题
1．已知某抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（1，2023），则该抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
2．在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．若 ， ， 为二次函数 的图象上的三点，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（ ）
A．c=3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤3
5．已知二次函数在时，函数有最大值1，则a的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（ ）
A．c＜0 B．b2﹣4ac＜0
C．a﹣b+c＜0 D．图象的对称轴是直线x＝3
7．二次函数 ，对称轴为直线 ，若关于 的一元二次方程 （ 为实数）在 的范围内有解，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
8．竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h=at2+bt，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）
A．第3秒 B．第3.5秒 C．第4.2秒 D．第6.5秒
二、填空题
9．如果函数是二次函数，那么的值为 ．
10．将抛物线y=3（x-1）2+2向左平移3个单位长度，得到的新抛物线的解析式为
11．已知抛物线与轴没有交点，则的取值范围是 ．
12．函数是描述现实世界中变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决实际问题，如飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式形，则飞机着陆后滑行的最大距离是 m．
13．抛物线的部分图象如图所示，则的解集是 ；
三、综合题
14．如图，在平面直角坐标系中，过抛物线 的顶点A作x轴的平行线，交抛物线y＝x2+1于点B，点B在第一象限．
（1）求点A的坐标；
（2）点P为x轴上任意一点，连结AP、BP，求△ABP的面积．
15．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题．
（1）写出方程ax2+bx+c=0的根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集；
（3）若方程ax2+bx+c=k无实数根，写出k的取值范围．
16． 如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线BC上方抛物线上的一动点，当其到直线BC的距离最大时，求点E的坐标；
（3）点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
17．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件） 40 50 60
y（件） 10000 9500 9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（10≤m≤60），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m的取值范围．
18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A(0，﹣4)，点B(4，0)．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）若点P是直线AB下方抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求出点P的坐标和△PAB的最大面积．
（3）当t≤x≤t+3时，此二次函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，直接写出t的值．
参考答案
1．A
2．B
3．B
4．B
5．A
6．D
7．D
8．C
9．
10．y= 3（x+2）2+2
11．
12．600
13．x＜-3或x＞1
14．（1）解：∵点A是抛物线 的顶点
∴ ，
∴点A的坐标为(4，2)
（2）解：∵AB平行于x轴
∴
又B在抛物线y＝x2+1上
∴
∴底为AB=3，高恒为2
15．（1）解：由图象可得：x1=0，x2=2
（2）解：结合图象可得：x＜0或x＞2时，y＜0，
即不等式ax2+bx+c＜0的解集为x＜0或x＞2
（3）解：根据图象可得，k＞2时，方程ax2+bx+c=k没有实数根
16．（1）解：∵直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点，，把点，代入抛物线，
得，解之，得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图，过点E作轴，交直线BC于点G，
设点，则点G的坐标为，
∴，
∴，
∴当时，点E到BC的距离最大．此时点E的坐标为；
（3）解：存在．由抛物线可得对称轴是直线．∴点Q的横坐标为1．
①当BC为边时，点B到点C的水平距离是4，
∴点Q到点P的水平距离也是4．
∴点P的横坐标是5或－3，∴点P的坐标为或；
17．（1）解：设函数关系式为，
，解得，
函数关系式为.
（2）解：设利润为，则，
，
，
，
，
，
，
当时，，
答： 这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为540000元，售价为120元 .
（3）解：，
，
，
当时， 随的增大而增大 ，
当时， 随的增大而减小 ，
，且为正整数，利润仍随售价的增大而增大 ，
，
，
，
.
18．（1）解：将点A（0，﹣4），点B（4，0）代入y＝x2+bx+c，
∴ ，
∴ ，
∴y＝x2﹣3x﹣4；
（2）解：过点P作PQ∥y轴交AB于点Q，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝x﹣4，
设P（t，t2﹣3t﹣4），则Q（t，t﹣4），
∴PQ＝t﹣4﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，
∴ ，
∵0＜t＜4，
∴t＝2时，△PAB的面积最大值为8，
此时P（2，﹣6）；
（3）解：∵y＝x2﹣3x﹣4＝ ，
∴抛物线的对称轴为直线x ，
①当t 时，
当x＝t时，y＝t2﹣3t﹣4=n，
当x＝t+3时， =m，
∴m﹣n＝6t＝3，
解得t < ，应舍去；
②当 ，即 ≤t 时，
当x= 时，y =n，
若 ，即：0
∴m﹣n＝t2+3t﹣4 3，
解得t ，或t ，应舍去；
若 ，即： ≤t≤0时，
x=t时，y＝t2﹣3t﹣4=m，
∴m﹣n＝t2-3t﹣4 3，
解得：t 应舍去，或t ；
③当t+3 ，即t 时，
当x＝t时，y＝t2﹣3t﹣4=m，
当x＝t+3时， =n，
∴m﹣n＝t2﹣3t﹣4﹣（t2+3t﹣4）＝﹣6t＝3，
解得t > ，应舍去；
综上所述：t的值为 或 ．
