浙教版九年级数学下册第二章直线与圆的位置关系单元达标测试卷
一、单选题
1．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC＝40°，则∠ABO的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
2．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B＝20°，则∠AOB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
3．已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d的取值范围是（ ）
A．d＝3 B．d＞3 C．0≤d＜3 D．d＜3
4．圆的直径为13cm，如果圆心与直线的距离是d，则．（ ）
A．当d=8cm，直线与圆相交． B．当d=4.5cm时，直线与圆相离．
C．当d=6.5cm时，直线与圆相切． D．当d=13cm时，直线与圆相切．
5．内心和外心重合的三角形是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
6．如图，P为⊙外一点，PA、PB分别切⊙于A、B两点，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的AB切⊙P于点C，且ABOP．若阴影部分的面积为9π，则弦AB的长（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
8．如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，x轴上一点A从点（﹣3，0）出发沿x轴向右平移，当以A为圆心，半径为1的圆与函数y=x的图象相切时，点A的坐标变为（ ）
（﹣2，0） B．（﹣，0）或（，0）
C．（﹣，0） D．（﹣2，0）或（2，0）
10．将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB= ，则四边形AB1ED的内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知⊙O的直径为8cm，如果直线AB上的一点与圆心的距离为4cm，则直线AB与⊙O的位置关系是 ．
12．如图， 为 的直径， 为 外一点，过点 作 的切线，切点为 ，连接 交 于点 ， . 点 在 右侧的半圆周上运动（不与 重合），则 的度数是 .
13．⊙O的半径是10cm，点O到直线l的距离为6cm，直线l和⊙O的位置关系是
14．如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点，弦平分，交于点，连接，下列四个结论中：平分；；；若，，则的长为其中正确的结论有： 写出所有正确结论的序号
三、解答题
15．如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O外一点，PA⊥PB，弦BC//OP，求证：PC是⊙O的切线.
16．已知直线MN过⊙O上点A，B、C是⊙O上两点，∠ACB＝∠NAB．求证：直线MN是⊙O的切线．
17．已知：如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长．
18．如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，若∠PAB=40°，求∠P的度数.
四、综合题
19．如图， 为 的直径，C为半圆上一动点，过点B作 的切线l的垂线 ，垂足为D， 与 交于点E，连接 交 于点F.
（1）求证： ；
（2）若 ，连接 .
①当 时，四边形 为菱形；
②当 时，四边形 为正方形.
20．如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG＝∠AGD．
（1）求证明：AD是⊙D的切线；
（2）若∠A＝60°，⊙O的半径为4，求ED的长．
21．如图，AD是⊙O的直径，BA＝BC，BD交AC于点E，点F在DB的延长线上，且∠BAF＝∠C.
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BC＝2 ，BE＝4，求⊙O半径r.
22．如图1，⊙O的直径为BC，点A在⊙O上，∠BAC的平分线AD与BC交于点E，与⊙O交于点D，，．
（1）求．
（2）求证：．
（3）如图2，点F是AB延长线上一点，且．求证：DF是⊙O的切线，并求线段DF的长．
23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点F，交AB的延长线于点E．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当BD=3，DF= 时，求直径AB．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵AB为圆O的切线，
∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°，
∵∠ADC＝40°，
∴∠AOB＝2∠ADC＝80°，
∴∠ABO＝90° 80°＝10°.
故答案为：A.
【分析】由圆的切线垂直于过切点的半径可得∠OAB＝90°，再根据圆周角定理“圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半”可得∠AOB＝2∠ADC，然后由直角三角形两锐角互余可求解.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的切线，A为切点，
∴∠A＝90°，
∵∠B＝20°，
∴∠AOB＝90°﹣20°＝70°.
故答案为：D.
【分析】根据切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径可得∠A＝90°，根据直角三角形两锐角互余即可计算∠AOB.
3．【答案】C
【解析】【解答】∵⊙O的半径为3，直线l与⊙O相交，
∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜3，
故答案为：C.
【分析】根据直线l和⊙O相交 d＜r，即可判断.
4．【答案】C
【解析】【解答】∵圆的直径为13cm，∴圆的半径为6.5cm
A. 当d=8cm时，因为6.5cm＜8cm，所以直线与圆相离，故A错误；
B. 当d=4.5cm时，因为6.5cm＞4.5cm，所以直线与圆相交，故B错误；
C. 当d=6.5cm时，因为6.5cm＝6.5cm，所以直线与圆相切，故C正确；
D. 当d=13cm时，因为6.5cm＜13cm，所以直线与圆相离，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据圆与直线的位置关系与半径和圆心与直线的距离d的大小关系逐一判断即可.
5．【答案】D
【解析】【解答】解 ：A、直角三角形的外心在斜边的中点处，内心在三角形内部，故A不符合题意；
B、钝角三角形的外心在三角形的外部，内心在三角形内部，故B不符合题意；
C、等腰三角形，可以为等腰直角，等腰锐角，还可能是等腰钝角，故C不符合题意；
D、等边三角形的外心，内心在三角形内部重合与一点，故D不符合题意；
故答案为：D。
【分析】所有三角形的内心都在三角形的内部，但外心确不一定，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心再三角形的外部，锐角三角形的外心在三角形的内部，等腰三角形，可以为等腰直角，等腰锐角，还可能是等腰钝角，综上所述即可得出答案。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：因为PA和PB与⊙相切，根据切线长定理，所以PA＝PB＝3.
故答案为：B.
【分析】根据切线长定理可得PA=PB，据此解答.
7．【答案】C
【解析】【解答】连接OA，PC，OP，作OM垂直于AB于点M，
∵⊙O的AB切⊙P于点C，且ABOP，
∴PC⊥AB，
∴PC=OM，AM=BM，
∵阴影部分的面积为9π，
∴πOA2-πPC2=9π，
∴πOA2-πOM2=9π，
∵OA2=OM2+AM2
∴π（OM2+AM2)-πOM2=9π，
∴AM=3，
∴AB=6．
故答案为：6．
选C
【分析】本题主要考查了垂径定理、切线性质、勾股定理，解题的关键在于作好辅助线，构建直角三角形，求出AM的长度．
8．【答案】A
【解析】【解答】解：PA与⊙O相切于点A，AD是⊙O的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
9．【答案】D
【解析】【解答】解：①当圆A在x轴的负半轴和直线y=x相切时，
由题意得，直线与x轴的交点为30°，
点A到直线的距离为1，则OA=2，
点A的坐标为（﹣2，0）；
②当圆A在x轴的正半轴和直线y=x相切时，
由①得，点A的坐标为（2，0）；
故选：D．
【分析】当以A为圆心，半径为1的圆与函数y=x的图象相切时，圆心A到直线的距离为圆的半径，有因为直线y=x和坐标轴的夹角为30°，利用勾股定理求出AO的长，进而求出点A的坐标．
10．【答案】B
【解析】【解答】解：作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，过O作OF⊥AB1，
则∠OAF=30°，∠AB1O=45°，
故B1F=OF= OA，
设B1F=x，则AF= ﹣x，
故（ ﹣x）2+x2=（2x）2，
解得x= 或x= （舍去），
∴四边形AB1ED的内切圆半径为： ．
故选：B．
【分析】作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，则O即为该圆的圆心，过O作OF⊥AB1，AB= ，再根据直角三角形的性质便可求出OF的长，即该四边形内切圆的圆心．
11．【答案】相切或相交
【解析】【解答】设直线AB上与圆心距离为4cm的点为C，
当OC⊥AB时，OC=⊙O的半径，
所以直线AB与⊙O相切，
当OC与AB不垂直时，圆心O到直线AB的距离小于OC，
所以圆心O到直线AB的距离小于⊙O的半径，
所以直线AB与⊙O相交，
综上所述直线AB与⊙O的位置关系为相切或相交，
故答案为：相切或相交．
【分析】根据点到圆心的距离与半径的大小关系可得直线与圆的位置。
12．【答案】38°
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵AB为⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠ADB=90°，AB⊥BC，
∴∠C+∠BAC=∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠C，
∵∠AED=∠ABD，
∴∠AED=∠C=38°.
故答案为：38°.
【分析】首先连接BD，由AB为⊙O的直径，BC是⊙O的切线，根据圆周角定理与切线的性质，可得∠ADB=90°，AB⊥BC，又由同角的余角相等，易证得∠AED=∠ABD=∠C．
13．【答案】相离
【解析】【解答】解：∵⊙O的直径为10cm，
∴r=5cm，
∵d=6cm，
∴d＞r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离；
故答案为：相离．
【分析】由⊙O的直径为10cm，得出圆的半径是5cm，圆心O到直线l的距离为6cm，即d=6cm，得出d＞r，即可得出直线l与⊙O的位置关系是相离．
14．【答案】①②③
【解析】【解答】解：∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD.
∵AD⊥PD，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠DAC.
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴AC平分∠DAB，故①正确.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠PCB+∠ACD=90°.
∵∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠PCB.
∵∠DAC=∠CAO，
∴∠CAO=∠PCB.
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC=∠PCF，
∴PC=PF，故②正确.
∵∠CPB=∠APC，∠PCB=∠PAC，
∴△CPB∽△APC，
∴PC2=PB·PA，
∴PF2=PB·PA，故③正确.
连接AE，
∵CE平分∠ACB，
∴AE=BE.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴△AEB为等腰直角三角形.
∵BE=，
∴AB=14.
∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴.
∵tan∠ABC=，
∴.
设PC=4k，PB=3k，则PO=3k+7，OC=7.
∵PC2+OC2=OP2，
∴(4k)2+72=(3k+7)2，
解得k=6，
∴PC=4k=24，故④错误.
故答案为：①②③.
【分析】根据切线的性质可得OC⊥PD，则OC∥AD，由平行线的性质可得∠ACO=∠DAC，根据等腰三角形的性质可得∠ACO=∠CAO，则∠DAC=∠CAO，据此判断①；由圆周角定理可得∠ACB=90°，根据同角的余角相等可得∠DAC=∠PCB，由角平分线的概念可得∠DAC=∠CAO，∠ACF=∠BCF，则∠CAO=∠PCB，据此判断②；由两角对应相等的两个三角形相似可得△CPB∽△APC，根据相似三角形的性质可判断③；连接AE，易得△AEB为等腰直角三角形，则AB=14，由两角对应相等的两个三角形相似可得△PAC∽△PCB，利用相似三角形的性质以及三角函数的概念可得，设PC=4k，PB=3k，则PO=3k+7，OC=7，然后利用勾股定理即可判断④.
15．【答案】解；如图，连接OC；
∵BC∥OP，
∴∠B=∠POA，∠BCO=∠COP，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∴∠COP=∠AOP；
∵OC=OA，OP=OP，
∴△PCO≌△PAO，
∴∠OCP=∠OAP=90°，
∴PC是⊙O的切线．
【解析】【分析】连接OC，要证明PC是⊙O的切线只要证明∠OCP=90°即可；可利用已知条件可以证明△PCO≌△PAO，即可得到∠OCP=∠OAP=90°．
16．【答案】解：如图，连接OA，延长AO交圆O于D，连接BD，
∴∠D＝∠ACB，∠ABD＝90°，
∴∠D+∠DAB＝90°，
∵∠ACB＝∠NAB，
∴∠DAB+∠BAN＝90°，
∴∠DAN＝90°，
∴直线MN是⊙O的切线．
【解析】【分析】连接OA，延长AO交圆O于D，连接BD，由圆周角定理可得∠D=∠ACB，∠ABD=90°，可推出∠DAB+∠BAN＝90°，得到∠DAN=90°，即可得证.
17．【答案】解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，
∴PA=PB=12，
∵过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，
∴EB=EQ，FQ=FA，
∴△PEF的周长是：PE+EF+PF=PE+EQ+FQ+PF，
=PE+EB+PF+FA=PB+PA=12+12=24，
答：△PEF的周长是24．
【解析】【分析】根据切线长定理得出PA=PB，EB=EQ，FQ=FA，代入PE+EF+PF=PE+EQ+FQ+PF即可求出答案．
18．【答案】解：连接OB，∵PA和PB为切线
∴∠PAO=∠PBO=90°
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
∴∠PAO－∠OAB=∠PBO－∠OBA
∴∠PBA=∠PAB=40°
∴∠P=180°－（∠PAB+∠PBA）=100°.
【解析】【分析】连接OB，根据切线的性质得出∠OBP=∠OAP=90°，根据圆的性质，OA=OB，得出∠OAB=∠OBA，即可证明∠PAB=∠PBA=40°，最后求得∠P为100°
19．【答案】（1）证明：如图，
∵ ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
∵ 是切线，
∴ ，
∴四边形 矩形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴
（2）2；
【解析】【解答】解：（2）①当 时，四边形 是菱形.
连接OE，AB=4
∴OA=OC=2
∴OA=OC=AC
∴△OAC是等边三角形
∴∠CAO=∠AOC=60°
∵∠AFO=90°
∴∠EAB=30°
∵∠AEB=90°
∴∠B=60°
又∵OE=OB
∴△OEB为等边三角形
∴∠EOB=60°
∴∠COE=180°-60°-60°=60°
又∵OC=OE
∴△COE是等边三角形
∴CE=CO=OB=EB
∴四边形OCEB是菱形
故答案为：2；
② 时，四边形 是正方形.
∵CF=FE，∠CEF=∠FCE=45°，OC⊥AE
∴
∴∠CAE=∠CEA=45°
∴∠ACE=90°
∴AE是圆O的直径
∴△AOC是等腰直角三角形
∴
故 时，四边形 是正方形.
故答案为： .
【分析】(1)利用切线的性质，结合圆周角定理等，根据三个角是直角的四边形是矩形，证明四边形CFED是矩形，然后根据矩形的性质，利用边边边定理证明△CDE≌△EFC即可；
(2)①当AC=2时，四边形OCEB是菱形，连接OE，只要证明△EOB,△COE都是等边三角形即可得出结论；
②当四边形DEFC是正方形时，可以证明AE是 的直径，然后根据等腰直角三角形的性质求解即可.
20．【答案】（1）证明：连接OD．
∵E为BC的中点，
∴OE⊥BC，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∴∠AGD +∠OED＝∠EGF+∠OED＝90°，
∵∠AGD＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ODE＝90°，即OD⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：作OH⊥ED于H，
∴DE＝2DH，
∵∠ADG＝∠AGD，
∴AG＝AD，
∵∠A＝60°，
∴∠ADG＝60°，
∴∠ODE＝30°，
∵OD＝4，
∴DH＝ OD＝2 ，
∴DE＝2DH＝4 ．
【解析】【分析】（1）要证AD是⊙O的切线，只要连接OD，再证∠ADO＝90°即可；（2）作OH⊥ED于H，根据垂径定理得到DE＝2DH，根据等边三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．
21．【答案】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠BAD+∠D=90°，
∵∠BAF=∠C，∠C=∠D，
∴∠BAF=∠D，
∴∠BAD+∠BAF=90°，
即∠FAD=90°，
∴AF⊥AD，
∴AF是⊙O的切线
（2）解：∵AB=BC，
∴ ，
∴∠BAC=∠C，
∵∠C=∠D，
∴∠BAC=∠D，即∠BAE=∠D，
又∵∠ABE=∠DBA，
∴△ABE∽△DBA；
∴ ，
∴AB2=BD BE，
∵AB=BC=2 ，BE=4，
∴BD= ，
∴AD ，
∴⊙O半径r=
【解析】【分析】（1）由圆周角定理得出∠ABD=90°，∠C=∠D，证出∠BAD+∠BAF=90°，得出AF⊥AD，即可得出结论；（2）由圆周角定理得出∠BAC=∠C，∠C=∠D，得出∠BAC=∠D，再由公共角∠ABE=∠DBA，即可得出△ABE∽△DBA，求出AB长，由勾股定理可求出AD长，则⊙O半径可求出.
22．【答案】（1）解：∵BC是直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵AD平方∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC=45°，
∴BD=DC，且∠DBC=∠DAC=∠DAB=∠DCB=45°
∵BD=，
∴在等腰Rt△BDC中，BC=BD=4，DC=BD=，
∵在Rt△BAC中，AB=2，BC=4，
∴利用勾股定理可得AC=，
∴tan∠ADB=tan∠ACB=，
即：tan∠ADB=；
（2）证明：过D点作DH⊥AB，交AB的延长线于H，如图，
在（1）中已求得：tan∠ADB=，
∴∠ADB=30°=∠ACB，
∴在Rt△ABC中，∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-90°-30°=60°，
∵∠DAB=45°，
∴在Rt△AHD中，∠HAD=∠ADH=45°，即HA=HD，
设HD=a，则HA=a，HB=HA-AB=a-2，
在Rt△HBD中，利用勾股定理，
得：，即：，
解得a=，（负值舍去），
即HD=，
∴在等腰Rt△AHD中，AD=HD=，
∴AD=2HD=，
∵AB=2，AC=AC=，
∴AB+AC=AD，
（3）解：连接OD，如图，
即在等腰Rt△BDC中，点O为BC中点，即有∠ODB=∠OBD=45°，
根据（1）和（2）中的结论可知，∠AEB=180°-∠ABC-∠BAD=180°-60°-45°=75°，
∴∠DEC=∠AEB=75°，
∵∠FBD=∠ADB+∠BAD，
∴∠FBD=30°+45°=75°=∠DEC，
∵BD=CD，，
∴，
即，
∴结合∠FBD=∠DEC，可得，
∴∠BDF=∠ECD=45°，
∵∠ODB=45°，
∴∠ODF=∠BDF+∠ODB=45°+45°=90°，即OD⊥DF，
∵OD是圆的半径，
∴DF是⊙O的切线，
∵∠BAD=∠BDF=45°，∠F=∠F，
∴，
∴，
∵BD=，AD=，
∴FA=，，
∵FB=FA-AB=-2，
∴有，
解得：，
即．
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AC的长，再利用圆周角和正切的定义可得tan∠ADB=tan∠ACB=，从而得解； （2）过D点作DH⊥AB，交AB的延长线于H，设HD=a，则HA=a，HB=HA-AB=a-2，利用勾股定理可得，即，求出a的值，再利用等腰直角三角形的性质可得AD=HD=，最后利用线段的和差可得AB+AC=AD；
（3）连接OD，先证明可得，再结合BD和AD的值，求出FA=，FB=FA-AB=-2，再将其代入可得，求出，即可得到。
23．【答案】（1）证明：连结OD．
∵EF⊥AC，
∴∠DFA=90°，
∵AB=AC，
∴∠1=∠C，
∵OB=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠C，
∴OD∥AC，
∴∠EDO=∠DFA=90°，即OD⊥EF．
∴EF是⊙O的切线
（2）解：连结AD，
∵AB是直径
∴AD⊥BC，
又AB=AC，
∴CD=BD=3，
在Rt△CFD中，DF= ，
∴CF= = ，
在Rt△CFD中，DF⊥AC，
∴△CFD∽△DFA，
∴ = ，即AF= = ，
∴AC=CF+AF= + =5，
∴AB=AC=5．
【解析】【分析】（1）连结OD．根据垂直的定义得到∠DFA=90°，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠C，∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠C，根据平行线的性质得到∠EDO=∠DFA=90°，即OD⊥EF．于是得到结论；（2）连结AD，根据勾股定理得到CF= = ，根据相似三角形的性质得到AF= = ，于是得到结论．
