2023-2024学年度第一学期期末九年级数学监测题
温馨提示：
1．本试卷共4页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷与答题卡一并交回．
2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上．
3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．
5．数学考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验．
6．写在试卷上和答题卡指定区域外的答案无效．
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．
1. 某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A. B. C. D.
2. 在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．则图乙模型的主视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 对于抛物线，若y的最小值是5，则（ ）
A. B. C. 5 D.
5. 二次函数y＝3（x＋1）2－2的图像的顶点坐标是（ ）
A. （-1，-2） B. （-1，2） C. （1，-2） D. （1，2）
6. 若∠A锐角，且sinA＝，则（ ）
A. 0°＜∠A＜30° B. 30°＜∠A＜45° C. 45°＜∠A＜60° D. 60°＜∠A＜90°
7. 如图，已知四边形内接于，连结，．则的大小为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图所示，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是( )
A. (2，－3) B. (2，3) C. (3，2) D. (3，－2)
9. 如图，在四边形中，AD//BC，．动点P沿路径从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作，垂足为H．设点P运动的时间为x（单位：s），的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，抛物线对称轴为直线，与x轴分别交于点，，且．下列结论：①；②；③（t为实数）；④当时，y随x的增大而增大；⑤若方程的两个实数根分别为，，且，则．正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共计18分）
11. 已知在中，，则的值是______．
12. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是_________．
13. 已知圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥的侧面积为______．（结果保留）
14. 《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”
根据题意，该直角三角形内切圆的直径为_____步．
15. 如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=____．
16. 如图，已知函数与的图象交于点，点的纵坐标为1，则关于的方程的解为_____________．
三、解答题（本题共9个题，满分72分）
17. 某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为．请求出该几何体的体积和表面积．
18. 如图，是的外接圆，直径长为4，，求的长．
19. 某学校为丰富学生的学习生活，每天最后一节课，开设了书法，绘画，舞蹈，跆拳道四类兴趣班．为了了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求抽取的学生数量，并把条形统计图补充完整；
（2）求扇形统计图中的值；
（3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从四类兴趣班中随机选取一类，请用树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率．
20. 如图，A→B→C→A是海滨公园里的一条环形跑道，B在A的正南方．一天，小明从起点A出发开始跑步，此时他发现公园中心塔C在他的东南方向，他以每分钟80米的速度，沿方向跑了15分钟后到达健身跑道的B处，此时他发现公园中心塔C在他的南偏东75°方向．求的长．（结果保留整数）（A，B，C在同一平面内，参考数据：，）
21. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，点的坐标为，将点向右平移个单位长度，得到点．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
22. 某中学数学兴趣小组的同学在一次活动中利用测角仪测量一座塔的高度．已知塔前有一处斜坡，长为米，坡比为，在斜坡底的点处测得塔上观景点的仰角为．在斜坡顶的点处测得塔上观景点的仰角为，为斜坡的高（如图点，，在同一直线上）．
（1）求斜坡的高；
（2）求塔上观景点距离地面的高度（精确到米）．（参考数据：）
23. 某商场购进一种每件成本为80元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系；
（1）求出y 与x之间函数关系式；
（2）疫情期间，有关部门规定每件商品的利润率不得超过25%，那么将售价定为多少，来保证每天获得的总利润最大，最大总利润是多少？
24. 如图，是的直径，为的切线，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求值．
25. 如图，两条开口向上的抛物线和在同一平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，顶点的坐标为．抛物线交轴于点，顶点的坐标为．
（1）连接，求线段的长；
（2）点在抛物线上，点在抛物线上．试判断和的大小，并说明理由；
（3）若点在抛物线上，，求的取值范围；
（4）若点的横坐标为，且点在抛物线上，则在抛物线上是否存在点，使得点构成的四边形是平行四边形？若存在直接写出的值；若不存在，请说明理由．2023-2024学年度第一学期期末九年级数学监测题
温馨提示：
1．本试卷共4页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷与答题卡一并交回．
2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上．
3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．
5．数学考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验．
6．写在试卷上和答题卡指定区域外的答案无效．
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．
1. 某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据概率公式可直接进行求解．
【详解】解：由题意可知小明恰好选中“烹饪”的概率为；
故选C．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
2. 在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查格点三角形，勾股定理，角的余弦的计算方法，根据格点三角形，过点作延长线于点，运用勾股定理分别求出的长，再根据角的余弦的计算方法即可求解，掌握格点与勾股定理，角的余弦的计算方法是解题的关键．
【详解】解：如图所示，延长，过点作延长线于点，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
故选：．
3. 我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．则图乙模型的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查立体图形的三视图，掌握三视图的特点是解题的关键．
【详解】解：根据题意，乙图形的主视图看到的是左边是长方形，上面是长方形，交叉处是长方形，
∴符合题意的是B选项，
故选：．
4. 对于抛物线，若y的最小值是5，则（ ）
A. B. C. 5 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线的性质，确定，问题随之得解．
【详解】∵，且，
∴，
∵y的最小值是5，
∴，
∴，
故选：A．
5. 二次函数y＝3（x＋1）2－2的图像的顶点坐标是（ ）
A. （-1，-2） B. （-1，2） C. （1，-2） D. （1，2）
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数顶点式，顶点为：（h，k），可知题中函数的顶点为（-1，-2）
【详解】解：由题意得，二次函数y＝3（x＋1）2-2的图像的顶点坐标为（-1，-2）．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是二次函数顶点式的应用，掌握顶点式的意义是本题的关键．
6. 若∠A是锐角，且sinA＝，则（ ）
A. 0°＜∠A＜30° B. 30°＜∠A＜45° C. 45°＜∠A＜60° D. 60°＜∠A＜90°
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），及30°、45°、60°的正弦值可求出.
【详解】解：∵∠A是锐角，且sinA＝＜＝sin30°，
∴0°＜∠A＜30°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），正确理解锐角正弦值的增减性是解题的关键．
7. 如图，已知四边形内接于，连结，．则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查圆与四边形的综合，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的综合，根据内接四边形可求出的度数，可判定，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
8. 如图所示，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是( )
A. (2，－3) B. (2，3) C. (3，2) D. (3，－2)
【答案】C
【解析】
【详解】∵点A坐标为（0，a），
∴点A在该平面直角坐标系的y轴上，
∵点C、D的坐标为（b，m），（c，m），
∴点C、D关于y轴对称，
∵正五边形ABCDE是轴对称图形，
∴该平面直角坐标系经过点A的y轴是正五边形ABCDE的一条对称轴，
∴点B、E也关于y轴对称，
∵点B的坐标为（﹣3，2），
∴点E的坐标为（3，2），
故选C..
【点睛】本题考查了平面直角坐标系的点坐标特征及正五边形的轴对称性质，解题的关键是通过顶点坐标确认正五边形的一条对称轴即为平面直角坐标系的y轴．
9. 如图，在四边形中，AD//BC，．动点P沿路径从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作，垂足为H．设点P运动的时间为x（单位：s），的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出点P在AB上运动、点P在BC上运动、点P在CD上运动时的函数表达式，进而求解．
【详解】解：①当点P在AB上运动时，
∵AB=BC=5，tanA=，
∴AP：PH：AH=5：4：3，
∵AP=x，
∴PH=x，AH=x，
，图象为二次函数；
且当x=5时，y=6；故B，C，D不正确；则A正确；
②当点P在BC上运动时，如下图，过点B作BE⊥AD于点E，
∵tanA=，AB=5，
∴BE=4，AE=3，
∵AB+BP=x，
∴BP=EH=x-5，
∴AH=2+x-5=x-2，
∴，为一次函数；
且当x=10时，y=16；
③当点P在CD上运动时，
此时，AD=AH=3+5=8，
∵AB+BC+CP=x，
∴PH=AB+BC+CD-x=14-x，
∴；
故选：A．
【点睛】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题的关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
10. 如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于点，，且．下列结论：①；②；③（t为实数）；④当时，y随x的增大而增大；⑤若方程的两个实数根分别为，，且，则．正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查二次函数的图象与性质，方程与抛物线的关系等知识，由图象可得：，，结合对称轴可得，由此判断①正确；结合图象无法判断时的函数值的符号，可判断②错误；利用图象顶点坐标为，确定函数y有最大值，当时， ，由此得到，由此判断③错误；根据函数的性质判断④错误；利用方程与抛物线的关系判断⑤正确．
【详解】解：由图象可得：，
当时，，
结合图象有：，
∵对称轴为，
∴，即，
∴，故①正确；
当时，，
结合图象无法判断时的函数值的符号，故②错误；
∵对称轴为，顶点坐标为，
∴当时，函数y有最大值，此时，
∴当时， ，
∴，即，故③错误；
由图象可知：当 时， y随x的增大而增大，故④错误；
方程两个实数根分别为，，且，
即为直线与抛物线的两个交点横坐标分别为，，
如图，
∴，故⑤正确，
即正确有两个，
故选：B．
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共计18分）
11. 已知在中，，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查余弦值的计算，掌握余弦的计算方法是解题的关键．
根据题意作图，再根据，即可求解．
【详解】解：根据题意作图如下，
∴，
故答案为：．
12. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率的计算，正确列举符合条件的等可能性结果是解答本题的关键．根据题意画出树状图，列举符合条件的等可能性结果，再利用概率的计算公式计算即可．
【详解】
如图，先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，共有4种等可能性结果，即正正，正反，反正，反反，其中结果为正反的只有1种，所以抛掷一枚质地均匀的硬币，若第一次是正面朝上，第二次反面朝上的概率为，
故答案为：．
13. 已知圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥的侧面积为______．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．
【详解】解：底面圆的半径为，则底面周长，
侧面面积（）．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积计算问题，注意：圆锥的侧面积底面周长母线长．
14. 《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”
根据题意，该直角三角形内切圆的直径为_____步．
【答案】4
【解析】
【分析】连接，可知四边形为正方形，设半径为，根据切线长定理列方程求解即可．
【详解】解：连接，如下图：
由题意可得：，，，，
∴四边形为矩形，，
又∵，
∴矩形为正方形，
设半径为，则，
∴，，
∴，
解得，
∴圆的直径为4步，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了勾股定理，切线长定理，正方形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
15. 如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=____．
【答案】
【解析】
【详解】解：作EF⊥BC于F，
如图，设DE=CE=a，
∵△CDE为等腰直角三角形，
∴CD=CE=a，∠DCE=45°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD=a，∠BCD=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴CF=EF=CE=a，
在Rt△BEF中，tan∠EBF===，
即∠EBC=．
故答案为．
16. 如图，已知函数与的图象交于点，点的纵坐标为1，则关于的方程的解为_____________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：当反比例函数和二次函数交于点p且点p的纵坐标是1，所以点p的横坐标是-3，通过两个图形的交叉分析可以得出，两个函数只有在第二象限时有交点，故此方程的解是x=-3
考点：数形结合
点评：本题主要考查考生对数形结合的基本知识的考查，需要考生把握好数形结合的基本规律
三、解答题（本题共9个题，满分72分）
17. 某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为．请求出该几何体的体积和表面积．
【答案】体积为：，表面积为：
【解析】
【分析】本题主要考查根据三视图求立体几何图形的体积，表面积，理解三视图中的数量关系，根据体积，表面积的计算公式即可求解，掌握三视图的特点，立体图形体积，表面积的计算方法是解题的关键．
【详解】解：根据主视图可得，圆柱体底面圆的直径为，
∴圆柱体底面圆的半径为，
根据俯视图可得，立体图形的长为，宽为，结合左视图可得，立体图形的高为，
∴立体图形，半圆柱体，
∴图示模型的体积为，
∴体积为：；
图示立体图形的表面积：
主视图中：，，则；
左视图中：；
俯视图中：；
∴图示模型的表面积为：，
∴表面积为：．
18. 如图，是的外接圆，直径长为4，，求的长．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，圆周角定理，正弦，掌握圆周角定理、正弦的定义是解题的关键．连接，根据圆周角定理得到，，根据正弦的定义计算，得到答案．
详解】解：连接，
∵是的直径，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
∵，
∴．
19. 某学校为丰富学生的学习生活，每天最后一节课，开设了书法，绘画，舞蹈，跆拳道四类兴趣班．为了了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求抽取的学生数量，并把条形统计图补充完整；
（2）求扇形统计图中的值；
（3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从四类兴趣班中随机选取一类，请用树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率．
【答案】（1）抽样的学生数量为人，补全条形统计图见详解
（2）
（3）两人恰好选择同一类的概率为
【解析】
【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识及计算，掌握条线图、扇形图相关信息，画树状图或列表求随机事件的概率的知识是解题的关键．
（1）根据类的人数和百分比即可求解；
（2）根据样本百分比的计算方法即可求解；
（3）画树状图或列表把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．
【小问1详解】
解：（人），
∴抽样的学生数量为人，
∴绘画的人数为：（人），
∴补全图形如下，
【小问2详解】
解：，
∴；
【小问3详解】
解：画数状图表示所有可能结果如下，
共有种等可能结果，其中，两人恰好选择同一类的结果有种，
∴两人恰好选择同一类的概率为．
20. 如图，A→B→C→A是海滨公园里的一条环形跑道，B在A的正南方．一天，小明从起点A出发开始跑步，此时他发现公园中心塔C在他的东南方向，他以每分钟80米的速度，沿方向跑了15分钟后到达健身跑道的B处，此时他发现公园中心塔C在他的南偏东75°方向．求的长．（结果保留整数）（A，B，C在同一平面内，参考数据：，）
【答案】米
【解析】
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，延长至点D，过B点作于点E，先求出，即可得，再证明是等腰直角三角形，即可得，问题随之得解．
【详解】延长至点D，过B点作于点E，如图，
根据题意可知：，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
根据运动可知：（米），
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴（米），
∴（米），
即长为米．
21. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，点的坐标为，将点向右平移个单位长度，得到点．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
【答案】的取值范围为：或或
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握点的平移，二次函数图象的平移的特点，二次函数系数的变换与图形位置的关系等知识是解题的关键．
根据题意可得二次函数必过点，根据点的平移求出点的坐标，抛物线与线段恰有一个交点，分类讨论，当抛物线的顶点在线段上时；当抛物线过点时；当抛物线过点时；图形结合分析即可求解．
【详解】解：已知抛物线，
∴开口向上，对称轴为，与轴的交点坐标为，
∵点向右平移个单位长度得点，
∴，
当抛物线的顶点在线段上时，，，
∴，解得，，
∴抛物线解析式为：或，如图所示，
∴，符合题意；
当抛物线的图象经过点时，
，解得，，
∵抛物线与线段恰有一个交点，
∴，解得，；
当抛物线的图象经过点时，
，解得，，
∵抛物线与线段恰有一个交点，
∴；
综上所述，若抛物线与线段恰有一个交点时的取值范围为：或或．
22. 某中学数学兴趣小组的同学在一次活动中利用测角仪测量一座塔的高度．已知塔前有一处斜坡，长为米，坡比为，在斜坡底的点处测得塔上观景点的仰角为．在斜坡顶的点处测得塔上观景点的仰角为，为斜坡的高（如图点，，在同一直线上）．
（1）求斜坡的高；
（2）求塔上观景点距离地面的高度（精确到米）．（参考数据：）
【答案】（1）米
（2）观景点距离地面的高度为米
【解析】
【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，掌握求角的正切值，勾股定理，特殊角的直角三角形的性质是解题的关键．
（1）根据题意，设，则，在直角中根据勾股定理即可求解；
（2）过点作，可得四边形是矩形，，设，则，则，在直角中，根据的正切值即可求出的值，由此即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意，米，坡比为，
∴，
设，则，
在中，，
∴，解得，，负值舍去，
∴斜边的高度米；
【小问2详解】
解：根据（1）可得米，
∴米，
如图所示，过点作于点，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，米，
设，则米，
∵，
∴米，
∴米，
∵，，
∴，
解得，米，
∴米，
∴观景点距离地面的高度为米．
23. 某商场购进一种每件成本为80元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系；
（1）求出y 与x之间的函数关系式；
（2）疫情期间，有关部门规定每件商品的利润率不得超过25%，那么将售价定为多少，来保证每天获得的总利润最大，最大总利润是多少？
【答案】（1）
（2）将售价定为100元，每天获得的总利润最大，最大总利润是1000元
【解析】
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法可求出其解析式，再求出x的取值范围即可；
（2）根据利润（售价单价）销售量，由题意可求出取值范围，再根据二次函数的性质，即可得出答案；
本题考查一次函数与二次函数的实际应用根据题意找到等量关系，列出等式是解题关键．
【小问1详解】
解：设y与x之间的函数关系式为，
由所给函数图象可知：，
解得：．
，
令，则，
解得：．
故y与x的函数关系式为；
小问2详解】
解：∵，
，
，
每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式为；
根据题意可得：
，
解得：，
，
，
∴当时，W有最大值，
且（元）．
答：将售价定为100元，每天获得的总利润最大，最大总利润是1000元．
24. 如图，是的直径，为的切线，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）证明过程见详解
（2）证明过程见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）根据直径所对圆周角等于，可得，根据切线的性质可得，可得，根据同弧所对圆周角相等，等量代换即可求解；
（2）证明即可求解；
（3）根据题意可得是直角三角形，根据勾股定理可求出的值，再证明是直角三角形，可得，根据（2）的结论即可求解．
【小问1详解】
证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴，
∵与所对弧都是，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：由（1）可知，，且是公共角，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵为的切线，
∴，
∴，即是直角三角形，
已知，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
由（2）可知，，
∴，即．
【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握直径所对圆周角等于，同弧或等弧所对圆周角相等，勾股定理，相似三角形的判定和性质，角的正切值的计算方法等知识是解题的关键．
25. 如图，两条开口向上的抛物线和在同一平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，顶点的坐标为．抛物线交轴于点，顶点的坐标为．
（1）连接，求线段的长；
（2）点在抛物线上，点在抛物线上．试判断和的大小，并说明理由；
（3）若点在抛物线上，，求的取值范围；
（4）若点的横坐标为，且点在抛物线上，则在抛物线上是否存在点，使得点构成的四边形是平行四边形？若存在直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3 （2）
（3）或
（4）存在点构成的四边形是平行四边形，t的值为或或3
【解析】
【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点坐标，即可求出顶点横坐标，从而求出结果；
（2）用两点式设出抛物线解析式，把顶点坐标代入可得，再把代入比较即可；
（3）根据，则点P离抛物线对称轴更近，可得，解不等式即可；
（4）存在以点为顶点的四边形是平行四边形，分四边形是平行四边形；四边形是平行四边形，两种情况列出方程即可求出t的值．
【小问1详解】
解：由题意可得：，，
∴；
【小问2详解】
解：由题意得：设抛物线，抛物线，
由（1）得：，
∴，
∴，
∴，
把代入抛物线得：，
把代入抛物线得：，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：，则点P离抛物线对称轴更近，
，
，即，
则，即，
或，
解得：或；
【小问4详解】
解：存在以点为顶点的四边形是平行四边形，
当四边形是平行四边形时，
，点的横坐标为，
点Q的横坐标为，
，
，
，即
解得：；
当四边形是平行四边形，
，点的横坐标为，
点Q的横坐标为，
，
，
，即，
解得：或；
综上，t的值为或或3．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，平行四边形的性质，综合性强，掌握数形结合是解题的关键．
