专题09 平面直角坐标系与函数基础
考向一 点的坐标
解题技巧/易错易混/特别提醒 1.有序数对的作用：利用有序数对可以在平面内准确表示一个位置．有序数对一般用来表示位置，如用“排”“列”表示教师内座位的位置，用经纬度表示地球上的地点等． 2.确定点在坐标平面内的位置，关键是根据不同象限中点的坐标特征去判断，根据题中的已知条件，判断横坐标、纵坐标是大于0，等于0，还是小于0，就可以确定点在坐标平面内的位置．
1．（2023 丽水）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，m2+1）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【思路点拨】依据m2+1＞0，即可得出点P（﹣1，m2+1）在第二象限．
【规范解答】解：∵m2+1＞0，
∴点P（﹣1，m2+1）在第二象限．
故选：B．
【真题剖析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征和平方的非负性，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
2．（2023 大庆）已知a+b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，﹣b）
【思路点拨】因为ab＞0，所以a、b同号，又a+b＞0，所以a＞0，b＞0，观察图形判断出小手盖住的点在第四象限，然后解答即可．
【规范解答】解：∵a+b＞0，ab＞0，
∴a＞0，b＞0，
A、（a，b）在第一象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
B、（﹣a，b）在第二象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
C、（﹣a，﹣b）在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
D、（a，﹣b）在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项符合题意．
故选：D．
【真题剖析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四
象限（+，﹣）．
3．（2023 衢州）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，2），则点C的坐标为 （1，3） ．
【思路点拨】根据A、B两点的坐标确定平面直角坐标系的位置，即可得C点的坐标．
【规范解答】解：如图：由A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，2），坐标可确定原点位置和坐标系：由图可得C（1，3），故答案为：（1，3）．
【真题剖析】本题考查平面直角坐标系与点的位置，属于基础题．
考向二 规律型：点的坐标
4．（2023 日照）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1+2+3+4+ +100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到1+2+3+4+ +100＝．人们借助于这样的方法，得到1+2+3+4+ +n＝（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点Ai（xi，yi），其中i＝1，2，3， ，n， ，且xi，yi是整数．记an＝xn+yn，如A1（0，0），即a1＝0，A2（1，0），即a2＝1，A3（1，﹣1），即a3＝0， ，以此类推．则下列结论正确的是（ ）
A．a2023＝40 B．a2024＝43
C．＝2n﹣6 D．＝2n﹣4
【思路点拨】利用图形寻找规律A（2n﹣1）2（n﹣1，n﹣1），再利用规律解题即可．
【规范解答】解：第1圈有1个点，即A1（0，0），这时a1＝0；
第2圈有8个点，即A2到A9（1，1），这时a9＝1+1＝2；
第3圈有16个点，即A10到A25（2，2），这时a25＝2+2＝4；
……，
依次类推，第n圈，A（2n﹣1）2（n﹣1，n﹣1）；
由规律可知：A2023是在第23圈上，且A2025（22，22），则A2023（20，22），即a2023＝20+22＝42，故A选项不正确；
A2024是在第23圈上，且A2024（21，22），即a2024＝21+22＝43，故选项B正确；
第n圈，A（2n﹣1）2（n﹣1，n﹣1），所以a（2n﹣1）2＝2n﹣2，故C，D选项不正确；
故选：B．
【真题剖析】本题考查了图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．
5．（2023 泰安）已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A2，A3，A5，…都在x轴正半轴上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，则点A2023的坐标是 （2023，） ．
【思路点拨】根据正三角形的性质以及三角形的排列规律可得点A1横坐标为1，点A2横坐标为2，点A3横坐标为3，点A4横坐标为4，…因此点A2023横坐标为2023，再根据这些正三角形的排列规律得出点A2023在第一象限，求出点A2023的纵坐标为，得出答案．
【规范解答】解：如图，过点A1，A4，A7，A10，A13，……A2023分别作x轴的垂线，
∵△A1A2O是边长为2正三角形，
∴OB＝BA2＝1，A1B＝＝，
∴点A1横坐标为1，
由题意可得，点A2横坐标为2，点A3横坐标为3，点A4横坐标为4，…
因此点A2023横坐标为2023，
∵2023÷3＝674……1，而674是偶数，
∴点A2023在第一象限，
∴点A2023的纵坐标为，
即点A2023（2023，），
故答案为：（2023，）．
【真题剖析】本题考查正三角形的性质以及点的坐标的规律性，掌握正三角形的性质和点的坐标的变化规律是解决问题的关键．
考向三 坐标与图形性质
解题技巧/易错易混/特别提醒 1．象限角平分线上的点的坐标特征： （1）第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数； （2）平行于x轴（或垂直于y轴）的直线上的点的纵坐标相等，平行于y轴（或垂直于x轴）的直线上的点的横坐标相等． 2．点P（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，到坐标原点的距离为． 3.一般地，点P与点P1关于x轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数；点P与点P2关于y轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，点P与点P3关于原点对称，则横、纵坐标分别互为相反数，简单记为“关于谁谁不变，关于原点都改变”．
6．（2023 鄂州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝3，点C为平面内一动点，BC＝，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（ ）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
【思路点拨】由题意可得点C在以点B为圆心为半径的OB上，在x轴的负半轴上取点D（﹣，0），连接BD，分别过C和M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E，先证△OAM∽△DAC，得＝＝，从而当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，然后分别证△BDO∽△CDF，△AEM∽△AFC，利用相似三角形的性质即可求解．
【规范解答】解：∵点C为平面内一动点，BD＝，
∴点C在以点B为圆心，为半径的OB上，
在x轴的负半轴上取点D（﹣，0），
连接BD，分别过C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E，
∵OA＝OB＝，
∴AD＝OD+OA＝，
∴＝，
∵CM：MA＝1：2，
∴＝＝，
∵∠OAM＝∠DAC，
∴△OAM∽△DAC，
∴＝＝，
∴当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，
∵OA＝OB＝，OD＝，
∴BD＝＝，
∴CD＝BC+BD＝9，
∵＝，
∴OM＝6，
∵y轴⊥x轴，CF⊥OA，
∴∠DOB＝∠DFC＝90°，
∵∠BDO＝∠CDF，
∴△BDO∽△CDF，
∴＝，即＝，
解得CF＝，
同理可得，△AEM∽△AFC，
∴＝＝，即＝，
解得ME＝，
∴OE＝＝，
∴当线段OM取最大值时，点M的坐标是（，），
故选D．
【真题剖析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
7．（2023 台湾）如图，坐标平面上直线L的方程式为x＝﹣5，直线M的方程式为y＝﹣3，P点的坐标为（a，b）．根据图中P点位置判断，下列关系何者正确（ ）
A．a＜﹣5，b＞﹣3 B．a＜﹣5，b＜﹣3 C．a＞﹣5，b＞﹣3 D．a＞﹣5，b＜﹣3
【思路点拨】利用直角坐标系中点的坐标的特点，图形的性质解答．
【规范解答】解：∵坐标平面上直线L的方程式为x＝﹣5，直线M的方程式为y＝﹣3，
∴直线L与直线M交点的坐标为（﹣5，﹣3），
∵P点的坐标为（a，b），
∴根据图中P点位置得a＜﹣5，b＞﹣3．
故选：A．
【真题剖析】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是熟练掌握直角坐标系中点的坐标的特点．
考向四 函数关系式
8．（2022 益阳）已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如表，则这个函数的表达式可以是（ ）
x … ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣2 0 2 4 …
A．y＝2x B．y＝x﹣1 C．y＝ D．y＝x2
【思路点拨】观察表中x，y的对应值可以看出，y的值恰好是x值的2倍．从而求出y与x的函数表达式．
【规范解答】解：根据表中数据可以看出：y的值是x值的2倍．
∴y＝2x．
故选：A．
【真题剖析】本题考查了列正比例函数表达式，解题的关键是根据所给的数据找出自变量与因变量之间的关系．
9．（2022 大连）汽车油箱中有汽油30L．如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．当0≤x≤300时，y与x的函数解析式是（ ）
A．y＝0.1x B．y＝﹣0.1x+30
C．y＝ D．y＝﹣0.1x2+30x
【思路点拨】直接利用油箱中的油量y＝总油量﹣耗油量，进而得出函数关系式，即可得出答案．
【规范解答】解：由题意可得：y＝30﹣0.1x，（0≤x≤300）．
故选：B．
【真题剖析】此题主要考查了根据实际问题列一次函数关系式，正确得出函数关系式是解题关键．
10．（2020 台湾）如图为有春蛋糕店的价目表，阿凯原本拿了4个蛋糕去结账，结账时发现该点正在举办优惠活动，优惠方式为每买5个蛋糕，其中1个价格最低的蛋糕免费，因此阿凯后来多买了1个黑樱桃蛋糕．若阿凯原本的结账金额为x元，后来的结账金额为y元，则x与y的关系式不可能为下列何者？（ ）
A．y＝x B．y＝x+5 C．y＝x+10 D．y＝x+15
【思路点拨】根据题意，需要对第一次买的蛋糕进行讨论，和后来添加的黑樱桃蛋糕的价格进行对比，再进行解答．
【规范解答】解：阿凯原本拿了4个蛋糕去结账，后来多买了一个50元的黑樱桃蛋糕，优惠方式为：价格最低的蛋糕免费．
①若原本四个蛋糕中最便宜的蛋糕价格等于50元或高于50元，最后买的黑樱桃蛋糕是最便宜的，免费，
∴此时原本结账金额等于后来结账的金额，即y＝x；
②如果原本四个蛋糕中最便宜的蛋糕价格低于50元，则这个最便宜的蛋糕就变成免费，改以黑樱桃蛋糕计费，价格发生变化．
如果原本四个蛋糕中最便宜的是40元（伯爵茶蛋糕），买了黑樱桃蛋糕后，伯爵茶蛋糕变成免费，需要付黑樱桃蛋糕，多付10元，
此时，y＝x+10；
③如果原本四个蛋糕中最便宜的是45元，买了黑樱桃蛋糕后，多付5元，
此时，y＝x+5．
故选：D．
【真题剖析】本题主要考查一次函数的应用，分类讨论思想，理解题意，进行正确的分类讨论是解决本题的关键．
考向五 函数自变量的取值范围
11．（2023 牡丹江）函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤1 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞1
【思路点拨】根据二次根式（a≥0）可得x+1≥0，然后进行计算即可解答．
【规范解答】解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
故选：B．
【真题剖析】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式（a≥0）是解题的关键．
12．（2023 西藏）函数中自变量x的取值范围是 x≠5 ．
【思路点拨】根据分式有意义的条件即可求得答案．
【规范解答】解：由题意可得：x﹣5≠0，
即x≠5，
故答案为：x≠5．
【真题剖析】本题考查求自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
13．（2023 广安）函数y＝的自变量x的取值范围是 x≥﹣2且x≠1 ．
【思路点拨】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解
【规范解答】解：根据题意得：，
解得：x≥﹣2且x≠1．
故答案为：x≥﹣2且x≠1．
【真题剖析】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
考向六 函数的图象
14．（2023 自贡）如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（ ）
A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟
B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米
C．报亭到小亮家的距离是400米
D．小亮打羽毛球的时间是37分钟
【思路点拨】根据图象逐个分析即可．
【规范解答】解：A、由图象得：小亮从家到羽毛球馆用了7分钟，故A选项不符合题意；
B、由图象可知：小亮从羽毛球馆到报亭的平均速度为：（1.0﹣0.4）÷（45﹣37）＝0.075（千米/分）＝75（米/分），故B选项不符合题意；
C、由图象知报亭到小亮家的距离是0.4千米，即400米，故C选项不符合题意；
D、由图象知小亮打羽毛球的时间是37﹣7＝30（分钟），故D选项符合题意；
故选：D．
【真题剖析】本题考查了函数图象，观察图象，从图象中获取信息是解题的关键．
15．（2023 绍兴）已知点M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】由点N（﹣2，a），P（2，a）关于y轴对称，可排除选项A、C，再根据M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），可知在y轴的左侧，y随x的增大而增大，从而排除选项D．
【规范解答】解：由N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项A、C不符合题意；
由M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），可知在y轴的左侧，y随x的增大而增大，故选项B符合题意；
故选：B．
【真题剖析】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
16．（2023 盐城）如图，关于x的函数y的图象与x轴有且仅有三个交点，分别是（﹣3，0），（﹣1，0），（3，0），对此，小华认为：①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1；②当x＞﹣3时，y有最小值；③点P（m，﹣m﹣1）在函数y的图象上，符合要求的点P只有1个；④将函数y的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【思路点拨】①②通过观察函数图象判断即可；
③写出点P所在的函数，并画出其图象，根据它们交点的个数判断即可；
④通过观察函数图象判断即可．
【规范解答】解：①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1或x＞3，
∴①不正确．
②由图象可知，当x＞﹣3时，y有最小值，
∴②正确．
③令x＝m，y＝﹣m﹣1，
∴y＝﹣x﹣1，
∴点P（m，﹣m﹣1）在直线y＝﹣x﹣1上．
y＝﹣x﹣1的函数图象为：
由图象可以看出，它们有三个交点，
∴符合要求的点P有3个，
∴③不正确．
④将函数y的图象向右平移1个单位长度时，原图象上坐标为（﹣1，0）的点过原点；
将函数y的图象向右平移3个单位长度时，原图象上坐标为（﹣3，0）的点过原点；
∴④正确．
综上，只有②④正确．
故选：C．
【真题剖析】本题考查函数的图象，根据函数图象分析其上坐标的特点是本题的关键．
考向七 动点问题的函数图象
解题技巧/易错易混/特别提醒 1．动点问题多数情况下会与分类讨论的数学思想及方程、函数思想结合起来进行． 2．把动点产生的线段长用时间变量t表示出来以后，动点问题就“静态化”处理了．
17．（2023 齐齐哈尔）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线AB，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM，MN，ND．设点M
运动的路程为x（0≤x≤4），△DMN的面积为S，下列图象中能反映S与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】根据点N的运动情况，写出每种情况y和x之间的函数关系式，即可确定图象．
【规范解答】解：0≤x≤4时，M在AB上，N在BC上，依题意可知：
设AM＝BN＝x，
∴CN＝4﹣x，
S＝S正方形ABCD﹣S△AMD﹣S△BMN﹣S△DNC
＝4×4﹣×4x﹣×（4﹣x）x﹣×4×（4﹣x）
＝（x﹣2）2+6；
∴该二次函数图象开口向上，
当x＝2时，二次函数的最小值为6；
当x＝0或4时，二次函数的最大值为8；
故选：A．
【真题剖析】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、三角形的面积等知识点解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
18．（2023 遂宁）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为线段AB上的动点．以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M．作PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ）
A．（5，5） B．（6，） C．（，） D．（，5）
【思路点拨】根据矩形的性质和直角三角形的性质，可以得到CP⊥AB时，CP取得最小值，此时MN取得最小值，然后即可求得点E的坐标．
【规范解答】解：连接CP，
∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴AC2+BC2＝82+62＝102＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴∠PMC＝∠PNC＝90°，
∴∠PMC＝∠PNC＝∠ACB＝90°，
∴四边形CMPN是矩形，
∴MN＝CP，
当CP⊥AB时，CP取得最小值，此时CP＝＝＝，AP＝＝＝，
∴函数图象最低点E的坐标为（，），
故选：C．
【真题剖析】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（2023 河北）如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且AM＝CN．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M→A→D→C→N和N→C→B→A→M．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y．则y与x关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为AM+CN+2R，之后同时到达点A，C两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿A→D→C和C→B→A移动时，此时两个机器人之间的距离是2R，当机器人分别沿C→N和A→M移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，据此得出结论即可．
【规范解答】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，设圆的半径为R，
∴两个机器人最初的距离是AM+CN+2R，
∵两个机器人速度相同，
∴同时到达点A，C，
∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A、C；
当两个机器人分别沿A→D→C和C→B→A移动时，此时两个机器人之间的距离是2R，保持不变，
当机器人分别沿C→N和A→M移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除B；
故选：D．
【真题剖析】本题考查动点函数图象，找到运动时的特殊点用排除法是关键．
考向八 函数的表示方法
20．（2020 威海）下表中y与x的数据满足我们初中学过的某种函数关系．其函数表达式为 y＝﹣x2+2x+3 ．
x … ﹣1 0 1 3 …
y … 0 3 4 0 …
【思路点拨】根据表中y与x的数据设函数关系式为：y＝ax2+bx+c，将表中（1，4）、（﹣1，0）、（0，3）代入函数关系式，即可得结论．
【规范解答】解：根据表中y与x的数据设函数关系式为：y＝ax2+bx+c，
将表中（1，4）、（﹣1，0）、（0，3）代入函数关系式，得
，
解得，
∴函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．
当x＝3时，代入y＝﹣x2+2x+3＝0，
∴（3，0）也适合所求得的函数关系式．
故答案为：y＝﹣x2+2x+3．
【真题剖析】本题考查了函数的表示方法，解决本题的关键是掌握函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
21．（2022 阿坝州）在某火车站托运物品时，不超过1kg的物品需付款2元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元．则托运x kg（x为大于1的整数）物品的费用为 0.5x+1.5 元．
【思路点拨】根据题意：不超过1kg的物品需付款2元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，当x＞1时，费用为：2元+超出部分的费用，即2+0.5（x﹣1）元．
【规范解答】解：设费用为y元，
当x≤1时，y＝2，
当x＞1时，y＝2+0.5（x﹣1）＝0.5x+1.5，
故答案为：0.5x+1.5．
【真题剖析】本题考查了分段函数的应用，解决问题时一定注意当物品超出1千克时，用2元加上超出部分的费用．
22．（2021 永州）已知函数y＝，若y＝2，则x＝ 2 ．
【思路点拨】根据题意，进行分类解答，即可求值．
【规范解答】解：∵y＝2．
∴当x2＝2时，x＝．
∵0≤x＜1．
∴x＝（舍去）．
当2x﹣2＝2时，x＝2．
故答案为：2．
【真题剖析】本题考查根据函数值，求自变量的值．关键在于求出自变量的值一定要符合取值范围．
1．（2023 台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）
【思路点拨】直接利用“車”位于点（﹣2，2），得出原点的位置，进而得出答案．
【规范解答】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：（3，1）．
故选：A．
【真题剖析】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
2．（2023 黄石）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1
【思路点拨】由题意可得x≥0且x﹣1≠0，解得x的取值范围即可．
【规范解答】解：由题意可得x≥0且x﹣1≠0，
解得：x≥0且x≠1，
故选：C．
【真题剖析】本题考查函数自变量的取值范围，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3．（2022 枣庄）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在实数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“和谐函数”．则下列函数y1和y2不是“和谐函数”的是（ ）
A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 B．y1＝和y2＝x+1
C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1
【思路点拨】根据题意，令y1+y2＝1，若方程有解，则称函数y1和y2是“和谐函数”，若无解，则称函数y1和y2不是“和谐函数”
【规范解答】解：A、令y1+y2＝1，
则x2+2x﹣x+1＝1，
整理得：x2+x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，故A不符合题意；
B、令y1+y2＝1，
则+x+1＝1，
整理得：x2+1＝0，
此方程无解，
∴函数y1和y2不是“和谐函数”，故B符合题意；
C、令y1+y2＝1，
则﹣﹣x﹣1＝1，
整理得：x2+2x+1＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，故C不符合题意；
D、令y1+y2＝1，
则x2+2x﹣x﹣1＝1，
整理得：x2+x﹣2＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣2，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，故D不符合题意；
故选：B．
【真题剖析】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，根据题意令y1+y2＝1，然后进行计算是解题的关键．
4．（2023 温州）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．
【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（ ）
A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米
【思路点拨】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解．
【规范解答】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为75+10﹣40＝45（分钟），
小温游玩行走的时间为205﹣100＝105（分钟），
设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米
由图象可得：，
解得：x+y+z＝2700，
∴游玩行走的速度为：（2700﹣2100）÷10＝60 （米/分），
由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为：3x+3y＝105×60＝6300，
∴x+y＝2100，
∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为：2x+2y+z＝x+y+z+x+y＝2700+2100＝4800（米）．
故选：B．
【真题剖析】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系．
5．（2023 滨州）由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH＞7时溶液呈碱性，当pH＜7时溶液呈酸性，若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】根据化学知识和函数图象的知识，分析几个选项即可．
【规范解答】解：根据题意：将给定的NaOH溶液加水稀释，那么开始pH＞7，随着慢慢加水，溶液碱性越来越弱，pH值逐渐减小．故选：B．
【真题剖析】本题属于数学与化学知识相结合的题型，难度不大，认真分析图形即可．
6．（2023 南通）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A﹣C﹣B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为（ ）
A．54 B．52 C．50 D．48
【思路点拨】根据勾股定理求出AB＝25，再分别求出0≤x≤15和15＜x≤35时的PD，AD的长，再用三角形的面积公式写出y与x的函数解析式即可．
【规范解答】解∵∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，
∴AB＝＝＝25，
①当0≤x≤15时，点P在AC边上，如图所示，
此时AD＝x，
∵ED⊥AB，
∴∠DEA＝90°＝∠C，
∵∠CAB＝∠EAD，
∴△CAB∽△EAD，
∴＝＝，
∴AE＝＝，
DE＝＝，
BE＝25﹣，
∴y＝BE DE＝×（25﹣）×＝10x﹣，
当x＝10时，y＝76，
∴a＝76，
②当15＜x≤35时，点P在BC边上，如图所示，
此时BP＝35﹣x，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°＝∠C，
∵∠DBE＝∠ABC，
∴△DBE∽△ABC，
∴，
∴BE＝＝＝28﹣，
DE＝＝＝21﹣，
∴y＝DE BE＝×（28﹣）×（21﹣）＝（14﹣）（21﹣），
当x＝25时，y＝24，
∴b＝24，
∴a﹣b＝76﹣24＝52，
故选：B．
【真题剖析】本题考查直角三角形，三角形相似，平面直角坐标系中函数表示面积的综合问
题，解题的关键是对函数图象是熟练掌握．
7．（2023 锦州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，在△DEF中，DE＝DF＝5，EF＝8，BC与EF在同一条直线上，点C与点E重合．△ABC以每秒1个单位长度的速度沿线段EF所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，△ABC停止运动．设运动时间为t秒，△ABC与△DEF重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】分0≤t＜4，4＜t≤8，8≤t≤12三种情况，分别求出函数解析即可判断，
【规范解答】解：过点D作DH⊥CB于H，
∵DE＝DF＝5，EF＝8，
∴EH＝FH＝EF＝4，
∴DH＝＝3，
当0≤t＜4时，
如图，重叠部分为△EPQ，此时EQ＝t，PQ∥DH，
∴△EPQ∽△EDH，
∴，即，
∴PQ＝t，
∴S＝＝2，
当4≤t＜8时，
如图，重叠部分为四边形PQC′B′，此时BB′＝CC′＝t，PB′∥DE．
∴B′F＝BC+CF﹣BB′＝12﹣t，FC′＝8﹣t，
∵PB′∥DE，
∴△PB′F∽△DCF，
∴，
又S△DCF＝，
∴，
∴S△PB′F＝，
∵DH⊥BC．∠A′B′C′＝90°，
∴A′C′∥DH，
∴△C′QF∽△HFD．
∴，即，
∴，
∴S＝S△PB′F﹣S△C′QF＝＝，
当8≤t≤12时
如图，重叠部分为△PF′B′，此时BB′＝CC′＝t，PB′∥DE．
∴B′F＝BC+CF﹣BB′＝12﹣t，
∵PB′∥DE．
∴△PB′F∽△DCF，
∴，即，
∴S＝S△PB′F＝，
综上，
∴符合题意的函数图象是选项A．
故选：A．
【真题剖析】此题结合图象平移时面积的变化规律，考查二次函数相关知识，根据平移点的特点列出函数表达式是关键，有一定难度．
8．（2023 辽宁）如图，∠MAN＝60°，在射线AM，AN上分别截取AC＝AB＝6，连接BC，∠MAN的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作EF⊥AM交AM于点F，作EG∥AM交射线AD于点G，过点G作GH⊥AM于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】分三种情况分别求出S与x的函数关系式，根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可．
【规范解答】解：∵∠MAN＝60°，AC＝AB＝6，
∴△ABC是边长为6的正三角形，
∵AD平分∠MAN，
∴∠MAD＝∠NAD＝30°，AD⊥BC，CD＝DB＝3，
①当矩形EFHG全部在△ABC之中，即由图1到图2，此时0＜x≤3，
∵EG∥AC，
∴∠NAD＝∠AGE＝30°，
∴AE＝EG＝x，
在Rt△AEF中，AE＝x，∠EAF＝60°，
∴EF＝AE＝x，
∴S＝x2；
②图3时，AE+AF＝AC，即x+x＝6，解得x＝4，由图2到图3，此时3＜x≤4，
如图4，由题意可知△EQB是正三角形，
∴EQ＝EB＝BQ＝6﹣x，
∴GQ＝x﹣（6﹣x）＝2x﹣6，
∴S＝S矩形EFHG﹣S△PQG
＝x2﹣×（2x﹣6）2
＝﹣x2+12x﹣18，
③图6时，x＝6，由图3到图6，此时4＜x≤6，
如图5，由题意可知△EKB是正三角形，
∴EK＝EB＝BK＝6﹣x，FC＝AC﹣AF＝6﹣x，EF＝x，
∴S＝S梯形EFCK
＝（6﹣x+6﹣x）×x
＝﹣x2+3x，
综上所述，S与x的函数关系式为S＝，
因此三段函数的都是二次函数关系，其中第1段是开口向上，第2段、第3段是开口向下的抛物线，
故选：A．
【真题剖析】本题考查动点问题的函数图象，求出各种情况下S与x的函数关系式是正确解答的前提，理解各种函数所对应的图象的形状是解决问题的关键．
9．（2023 绥化）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】连接BD，过B作BE⊥AD于E，根据已知条件得到△ABD是等边三角形，根据相似三角形的判定定理得到△AMN∽△ABN，根据相似三角形的性质得到∠ANM＝∠AEB＝90°，当0≤x＜2时，点M在AB上，当2≤x≤4时，点M在BC上，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【规范解答】解：连接BD，过B作BE⊥AD于E，当0≤x＜2时，点M在AB上，
在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，
∴AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AE＝ED＝AD＝2，BE＝AE＝2，
∵AM＝2x，AN＝x，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ABE，
∴∠ANM＝∠AEB＝90°，
∴＝x，
∴y＝x×x＝x2，
当2≤x≤4时，点M在BC上，
y＝，
综上所述，当 0≤x＜2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当2≤x≤4时，函数图象是直线的一部分，
故选：A．
【真题剖析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．
10．（2023 东营）如图，一束光线从点A（﹣2，5）出发，经过y轴上的点B（0，1）反射后经过点C（m，n），则2m﹣n的值是 ﹣1 ．
【思路点拨】点A（﹣2，5）关于y轴的对称点为A′（2，5），根据反射的性质得，反射光线所在直线过点B（0，1）和A′（2，5），求出A'B的解析式为：y＝2x+1，再根据反射后经过点C（m，n），2m+1＝n，即可求出答案．
【规范解答】解：∵点A（﹣2，5）关于y轴的对称点为A′（2，5），
∴反射光线所在直线过点B（0，1）和A′（2，5），
设A'B的解析式为：y＝kx+1，过点A′（2，5），
∴5＝2k+1，
∴k＝2，
∴A'B的解析式为：y＝2x+1，
∵反射后经过点C（m，n），
∴2m+1＝n，
∴2m﹣n＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【真题剖析】本题考查一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法，求出A'B的解析式．
11．（2023 东营）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣与x轴交于点A1，以OA1为边作正方形A1B1C1O，点C1在y轴上，延长C1B1交直线l于点A2，以C1A2为边作正方形A2B2C2C1，点C2在y轴上，以同样的方式依次作正方形A3B3C3C2， ，正方形A2023B2023C2023C2022，则点B2023的横坐标是 （1+）2022 ．
【思路点拨】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点A1、B1的坐标，同理可得出A2、A3、A4、A5……的坐标，进而得到B2、B3、B4、B5……的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论．
【规范解答】解：当y＝0时，有x﹣1＝0，
解得：x＝1，
∴点A1的坐标为（1，0）．
∵四边形A1B1C1O为正方形，
∴OA1＝A1B1＝OC1＝1，
∴点B1（1，1），
B1的横坐标为1；
∴y＝1时，1＝x﹣，
解得：x＝，
∴点A2的坐标为（，1），
A2B2C2C1是正方形，
∴A2B2＝C2C1＝A2C1＝，
∴点B2（，2+），
即B2的横坐标为；
当y＝2+时，2+＝x﹣，
解得：x＝（），
∴点A3（（），2+），
∵A3B3C3C2是正方形，
∴A3B3＝C3C2＝A3C2＝（），
∴点B3的横坐标为（）＝（1+）2，
……，
以此类推，则点B2023的横坐标是（1+）2022．
故答案为：（1+）2022．
【真题剖析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及点的坐标的规律，数形结合是解答本题的关键．
12．（2023 齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA＝OB＝4，连接AB，过点O作OA1⊥AB于点A1，过点A1作A1B1⊥x轴于点B1；过点B1作B1A2⊥AB于点A2，过点A2作A2B2⊥x轴于点B2；过点B2作B2A3⊥AB于点A3，过点A3作A3B3⊥x轴于点B3；…；按照如此规律操作下去，则点A2023的坐标为 （4﹣，） ．
【思路点拨】根据题意，结合图形依次求出 A1，A2，A3 的坐标，再根据其规律写出 A2023 的坐标即可．
【规范解答】解：在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA＝OB＝4，
∴△OAB 是等腰直角三角形，∠OBA＝45°，
∵OA1⊥AB，
∴△OA1B 是等腰直角三角形，
同理可得：△OA1B1，△A1B1B均为等腰直角三角形，
∴A1（2，2），
根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，依次可得：A2（3，1），A3（4﹣，），A4（4﹣，），
由此可推出：点A2023的坐标为（4﹣，），
故答案为：（4﹣，）．
【真题剖析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是依次求出A1，A2，A3 的坐标，找出其坐标的规律．
13．（2023 贵州）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是（﹣2，7），则龙洞堡机场的坐标是 （9，﹣4） ．
【思路点拨】确定平面直角坐标系，即可确定龙洞堡机场的坐标．
【规范解答】解：由题中条件确定点O即为平面直角坐标系原点，
龙洞堡机场的坐标为（9，﹣4）；
故答案为：（9，﹣4）．
【真题剖析】本题考查根据已知条件确定平面直角坐标系，解题的关键是明确平面直角坐标系x轴、y轴的正方向以及确定点的坐标．
14．（2023 连云港）画一条水平数轴，以原点O为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点O按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为30°、60°、90°、120°、…、330°的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点A、B、C的坐标分别表示为A（6，60°）、B（5，180°）、C（4，330°），则点D的坐标可以表示为 （3，150°） ．
【思路点拨】在该坐标系中，某点的坐标用两个参数来描述：一个是该点与原点的距离，另
一个是原点与该点所在的射线与x轴正半轴之间的夹角．
【规范解答】解：∵点D与圆心的距离为3，射线OD与x轴正方向之间的夹角为150°，
∴点D的坐标为（3，150°）．
故答案为：（3，150°）．
【真题剖析】该题较简单，主要考查在不同坐标系中点的表示方法．
15．（2023 黑龙江）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥﹣3 ．
【思路点拨】因为二次根式的被开方数要为非负数，即x+3≥0，解此不等式即可．
【规范解答】解：根据题意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3．
故答案为：x≥﹣3．
【真题剖析】当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
16．（2023 哈尔滨）在函数中，自变量x的取值范围是 x≠8 ．
【思路点拨】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【规范解答】解：由题意得：x﹣8≠0，
解得：x≠8，
故答案为：x≠8．
【真题剖析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
17．（2023 临沂）小明利用学习函数获得的经验研究函数y＝x2+的性质，得到如下结论：
①当x＜﹣1时，x越小，函数值越小；
②当﹣1＜x＜0时，x越大，函数值越小；
③当0＜x＜1时，x越小，函数值越大；
④当x＞1时，x越大，函数值越大．
其中正确的是 ②③④ （只填写序号）．
【思路点拨】由题意，利用图象法作答，可以得解．
【规范解答】解：如图所示，
∴当x＜﹣1时，x越小，函数值越大，故①错误．
当﹣1＜x＜0时，x越大，函数值越小，故②正确．
当0＜x＜1时，x越小，函数值越大，故③正确．
当x＞1时，x越大，函数值越大，故④正确．
故答案为：②③④．
【真题剖析】本题考查了探究函数的增减性问题，解题时需要灵活运用方法是关键．
18．（2022 上海）已知f（x）＝3x，则f（1）＝ 3 ．
【思路点拨】把x＝1代入函数关系式即可求得．
【规范解答】解：因为f（x）＝3x，
所以f（1）＝3×1＝3，
故答案为：3．
【真题剖析】本题考查了函数的关系式，解题的关键是对函数关系式进行正确的理解．
19．（2023 永州）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表的一组数据：
时间t （单位：分钟） 1 2 3 4 5 …
总水量y （单位：毫升） 7 12 17 22 27 …
（1）探究：根据上表中的数据，请判断和y＝kt+b（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系？并求出y关于t的表达式；
（2）应用：
①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升？
②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天．
【思路点拨】（1）根据上表中的数据，可知y与t成一次函数关系，根据点的坐标利用待定系数法即可求出该函数关系式；
（2）①当t＝20时，求出y的值即可；
②当t＝24×60＝1440分钟时，求出y的值，即可求出答案．
【规范解答】解：（1）根据上表中的数据，y＝kt+b（k，b为常数）能正确反映总水量y与时间t的函数关系，
∵当t＝1时，y＝7，当t＝2时，y＝12，
∴，
∴，
∴y＝5t+2；
（2）①当t＝20时，y＝100+2＝102，
即估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升；
②当t＝24×60＝1440分钟时，y＝5×1440+2＝7202（毫升），
当t＝0时，y＝2，
∴＝144（天），
答：估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天．
【真题剖析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
20．（2021 浙江）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米~80米为“中途期”，80米~100米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y（m/s）与路程x（m）之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．
（1）y是关于x的函数吗？为什么？
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？
（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．
【思路点拨】（1）根据函数的定义，可直接判断；
（2）由图象可知，“加速期”结束时，即跑30米时，小斌的速度为10.4m/s．
（3）答案不唯一．建议合理即可．
【规范解答】解：（1）y是x的函数，在这个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应．
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s．
（3）答案不唯一．例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩．
【真题剖析】本题主要考查函数图象的应用，结合题干中“百米赛跑数学模型”读出图中的数据是解题关键．
21．（2021 大连）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，AF＝EF，设BE＝x，AF＝y，当0＜x＜2时，y关于x的函数解析式为 y＝+（0＜x＜2） ．
【思路点拨】由勾股定理表示AE，通过作垂线构造直角三角形，由等腰三角形的性质得出AM＝ME，分别用含有x、y的代数式表示AM，AE，再根据相似三角形对应边成比例即可得出y与x之间的函数关系式．
【规范解答】解：过点F作FM⊥AE，垂足为M，
∵AF＝EF，
∴AM＝ME，
在Rt△ABE中，
AE＝＝，
∴AM＝，
∵∠B＝∠AMF＝90°，∠FAM＝∠AEB，
∴△ABE∽△FMA，
∴＝，
即＝，
∴xy＝，
即y＝＝+（0＜x＜2），
故答案为：y＝+（0＜x＜2）．
【真题剖析】本题考查函数关系式，掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
22．（2023 大连）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，直线AB与直线y＝x相交于点C，点P是线段OA上一个动点（不与点A重合），过点P作x轴的垂线与直线AB相交于点D．设点P的横坐标为t．△DPA与△COA重叠部分的面积为S．S关于t的函数图象如图2所示（其中0≤t＜m与m≤t＜4时，函数的解析式不同）．
（1）点A的坐标是 （4，0） ，△COA的面积是 ．
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【思路点拨】（1）从图2知，OA＝4，即点A（4，0），当点D和点B重合时，S＝S△AOC＝，即可求解；
（2）当≤t＜4时，，则S＝AP×PD＝AP×PA tan∠BOA＝（4﹣t）2×＝（t﹣4）2；当0≤t＜时，，
则S＝S△OCA﹣S△OPH＝﹣PH OP＝﹣t2，即可求解．
【规范解答】解：（1）如图1，设PD交OC于点C，
从图2知，OA＝4，即点A（4，0），
当点D和点B重合时，S＝S△AOC＝；
故答案为：（4，0），；
（2）S＝S△AOC＝＝AO yC＝2yC，
则yC＝，
则点C（，），则m＝，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，
则点B（0，2）；
由直线AC的表达式知，tan∠BOA＝；
当≤t＜4时，
则S＝AP×PD＝AP×PA tan∠BOA＝（4﹣t）2×＝（t﹣4）2；
当0≤t＜时，
如图1，则S＝S△OCA﹣S△OPH＝﹣PH OP＝﹣t2，
则S＝．
【真题剖析】此题主要考查了动点问题的函数图象，分类求解和解直角三角形是解题的关键．
23．（2022 广东）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）满足函数关系y＝kx+15．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
x 0 2 5
y 15 19 25
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量．
【思路点拨】（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx+15中，即可算出k的值，即可得出答案；
（2）把y＝20代入y＝2x+15中，计算即可得出答案．
【规范解答】解：（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx+15中，
得19＝2k+15，
解得：k＝2，
所以y与x的函数关系式为y＝2x+15（x≥0）；
（2）把y＝20代入y＝2x+15中，
得20＝2x+15，
解得：x＝2.5．
所挂物体的质量为2.5kg．
【真题剖析】本题主要考查了函数关系式及函数值，熟练掌握函数关系式及函数值的计算方法进行求解是解决本题的关键
专题09 平面直角坐标系与函数基础
考向一 点的坐标
解题技巧/易错易混/特别提醒 1.有序数对的作用：利用有序数对可以在平面内准确表示一个位置．有序数对一般用来表示位置，如用“排”“列”表示教师内座位的位置，用经纬度表示地球上的地点等． 2.确定点在坐标平面内的位置，关键是根据不同象限中点的坐标特征去判断，根据题中的已知条件，判断横坐标、纵坐标是大于0，等于0，还是小于0，就可以确定点在坐标平面内的位置．
1．（2023 丽水）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，m2+1）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023 大庆）已知a+b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，﹣b）
3．（2023 衢州）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，2），则点C的坐标为 ．
考向二 规律型：点的坐标
4．（2023 日照）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1+2+3+4+ +100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到1+2+3+4+ +100＝．人们借助于这样的方法，得到1+2+3+4+ +n＝（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点Ai（xi，yi），其中i＝1，2，3， ，n， ，且xi，yi是整数．记an＝xn+yn，如A1（0，0），即a1＝0，A2（1，0），即a2＝1，A3（1，﹣1），即a3＝0， ，以此类推．则下列结论正确的是（ ）
A．a2023＝40 B．a2024＝43
C．＝2n﹣6 D．＝2n﹣4
5．（2023 泰安）已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A2，A3，A5，…都在x轴正半轴上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，则点A2023的坐标是 ．
考向三 坐标与图形性质
解题技巧/易错易混/特别提醒 1．象限角平分线上的点的坐标特征： （1）第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数； （2）平行于x轴（或垂直于y轴）的直线上的点的纵坐标相等，平行于y轴（或垂直于x轴）的直线上的点的横坐标相等． 2．点P（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，到坐标原点的距离为． 3.一般地，点P与点P1关于x轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数；点P与点P2关于y轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，点P与点P3关于原点对称，则横、纵坐标分别互为相反数，简单记为“关于谁谁不变，关于原点都改变”．
6．（2023 鄂州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝3，点C为平面内一动点，BC＝，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（ ）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
7．（2023 台湾）如图，坐标平面上直线L的方程式为x＝﹣5，直线M的方程式为y＝﹣3，P点的坐标为（a，b）．根据图中P点位置判断，下列关系何者正确（ ）
A．a＜﹣5，b＞﹣3 B．a＜﹣5，b＜﹣3 C．a＞﹣5，b＞﹣3 D．a＞﹣5，b＜﹣3
考向四 函数关系式
8．（2022 益阳）已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如表，则这个函数的表达式可以是（ ）
x … ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣2 0 2 4 …
9．（2022 大连）汽车油箱中有汽油30L．如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．当0≤x≤300时，y与x的函数解析式是（ ）
A．y＝0.1x B．y＝﹣0.1x+30
C．y＝ D．y＝﹣0.1x2+30x
10．（2020 台湾）如图为有春蛋糕店的价目表，阿凯原本拿了4个蛋糕去结账，结账时发现该点正在举办优惠活动，优惠方式为每买5个蛋糕，其中1个价格最低的蛋糕免费，因此阿凯后来多买了1个黑樱桃蛋糕．若阿凯原本的结账金额为x元，后来的结账金额为y元，则x与y的关系式不可能为下列何者？（ ）
A．y＝x B．y＝x+5 C．y＝x+10 D．y＝x+15
考向五 函数自变量的取值范围
11．（2023 牡丹江）函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤1 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞1
12．（2023 西藏）函数中自变量x的取值范围是 ．
13．（2023 广安）函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
考向六 函数的图象
14．（2023 自贡）如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（ ）
A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟
B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米
C．报亭到小亮家的距离是400米
D．小亮打羽毛球的时间是37分钟
15．（2023 绍兴）已知点M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2023 盐城）如图，关于x的函数y的图象与x轴有且仅有三个交点，分别是（﹣3，0），（﹣1，0），（3，0），对此，小华认为：①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1；②当x＞﹣3时，y有最小值；③点P（m，﹣m﹣1）在函数y的图象上，符合要求的点P只有1个；④将函数y的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考向七 动点问题的函数图象
解题技巧/易错易混/特别提醒 1．动点问题多数情况下会与分类讨论的数学思想及方程、函数思想结合起来进行． 2．把动点产生的线段长用时间变量t表示出来以后，动点问题就“静态化”处理了．
17．（2023 齐齐哈尔）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线AB，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM，MN，ND．设点M
运动的路程为x（0≤x≤4），△DMN的面积为S，下列图象中能反映S与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2023 遂宁）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为线段AB上的动点．以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M．作PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ）
A．（5，5） B．（6，） C．（，） D．（，5）
19．（2023 河北）如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且AM＝CN．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M→A→D→C→N和N→C→B→A→M．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y．则y与x关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
考向八 函数的表示方法
20．（2020 威海）下表中y与x的数据满足我们初中学过的某种函数关系．其函数表达式为 ．
x … ﹣1 0 1 3 …
y … 0 3 4 0 …
21．（2022 阿坝州）在某火车站托运物品时，不超过1kg的物品需付款2元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元．则托运x kg（x为大于1的整数）物品的费用为 0.5x+1.5 元．
22．（2021 永州）已知函数y＝，若y＝2，则x＝ ．
1．（2023 台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）
2．（2023 黄石）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1
3．（2022 枣庄）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在实数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“和谐函数”．则下列函数y1和y2不是“和谐函数”的是（ ）
A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 B．y1＝和y2＝x+1
C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1
4．（2023 温州）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．
【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（ ）
A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米
5．（2023 滨州）由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH＞7时溶液呈碱性，当pH＜7时溶液呈酸性，若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023 南通）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A﹣C﹣B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为（ ）
A．54 B．52 C．50 D．48
7．（2023 锦州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，在△DEF中，DE＝DF＝5，EF＝8，BC与EF在同一条直线上，点C与点E重合．△ABC以每秒1个单位长度的速度沿线段EF所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，△ABC停止运动．设运动时间为t秒，△ABC与△DEF重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023 辽宁）如图，∠MAN＝60°，在射线AM，AN上分别截取AC＝AB＝6，连接BC，∠MAN的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作EF⊥AM交AM于点F，作EG∥AM交射线AD于点G，过点G作GH⊥AM于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023 绥化）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023 东营）如图，一束光线从点A（﹣2，5）出发，经过y轴上的点B（0，1）反射后经过点C（m，n），则2m﹣n的值是 ．
11．（2023 东营）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣与x轴交于点A1，以OA1为边作正方形A1B1C1O，点C1在y轴上，延长C1B1交直线l于点A2，以C1A2为边作正方形A2B2C2C1，点C2在y轴上，以同样的方式依次作正方形A3B3C3C2， ，正方形A2023B2023C2023C2022，则点B2023的横坐标是 ．
12．（2023 齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA＝OB＝4，连接AB，过点O作OA1⊥AB于点A1，过点A1作A1B1⊥x轴于点B1；过点B1作B1A2⊥AB于点A2，过点A2作A2B2⊥x轴于点B2；过点B2作B2A3⊥AB于点A3，过点A3作A3B3⊥x轴于点B3；…；按照如此规律操作下去，则点A2023的坐标为 ．
13．（2023 贵州）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是（﹣2，7），则龙洞堡机场的坐标是 ．
时针方向依次画出与正半轴的角度分别为30°、60°、90°、120°、…、330°的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点A、B、C的坐标分别表示为A（6，60°）、B（5，180°）、C（4，330°），则点D的坐标可以表示为 ．
15．（2023 黑龙江）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
16．（2023 哈尔滨）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
17．（2023 临沂）小明利用学习函数获得的经验研究函数y＝x2+的性质，得到如下结论：
①当x＜﹣1时，x越小，函数值越小；
②当﹣1＜x＜0时，x越大，函数值越小；
③当0＜x＜1时，x越小，函数值越大；
④当x＞1时，x越大，函数值越大．
其中正确的是 （只填写序号）．
18．（2022 上海）已知f（x）＝3x，则f（1）＝ ．
19．（2023 永州）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表的一组数据：
时间t （单位：分钟） 1 2 3 4 5 …
总水量y （单位：毫升） 7 12 17 22 27 …
（1）探究：根据上表中的数据，请判断和y＝kt+b（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系？并求出y关于t的表达式；
（2）应用：
①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升？
②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天．
20．（2021 浙江）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米~80米为“中途期”，80米~100米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y（m/s）与路程x（m）之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．
（1）y是关于x的函数吗？为什么？
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？
（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．
21．（2021 大连）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，AF＝EF，设BE＝x，AF＝y，当0＜x＜2时，y关于x的函数解析式为 ．
22．（2023 大连）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，直线AB与直线y＝x相交于点C，点P是线段OA上一个动点（不与点A重合），过点P作x轴的垂线与直线AB相交于点D．设点P的横坐标为t．△DPA与△COA重叠部分的面积为S．S关于t的函数图象如图2所示（其中0≤t＜m与m≤t＜4时，函数的解析式不同）．
（1）点A的坐标是 ，△COA的面积是 ．
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
