专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马模型
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决将军饮马问题主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧：
【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。
例1．（2023·湖南湘西·统考三模）如图所示，正方形的边长为2，点为边的中点，点在对角线上移动，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作点E关于的对称点为，连接交于点P，可得，，根据勾股定理求出，可得周长，即可求解．
【详解】解：作点E关于的对称点为，连接交于点P，如图所示，
∵E关于的对称点为，∴，，∵正方形的边长为2，点为边的中点，
∴，，∴， ∴，
∵周长，又∵，
∴周长，∴周长最小值为，故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握轴对称的性质．
例2．（2022下·广东广州·八年级校考期中）如图，正方形中，，连接，的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交于点G，H，点P是线段上的动点，于点Q，连接，以下结论：①；②；③；④的最小值是，其中正确的结论有（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的性质，能够合理选择正方形的性质找到全等三角形是解题的关键.
①利用正方形的性质证明得到进而可证；②利用正方形的性质证明，得到，证明，进而可证；③求得的长度，然后求出，进而可证；④证明垂直平分，过点作，利用垂线段最短可知的长度为最小值，利用等面积法可求.
【详解】∵正方形，∴， ，∴，
在和中,，∴，
∴，，∴，∴，故①正确；
∵平分，∴，在和中，，
∴，∴，
∵正方形，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，故②正确；
∵，∴
，，
，即，结论③错误；
，，，∴垂直平分，，
当时，有最小值，过点作，
则的长度为的最小值，
，即的最小值为，故④正确．
正确的为: ①②④，个数为3故选：C
例3．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值．
【详解】如图：连接BE，∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称，
，
∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小
∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．，
∵菱形ABCD，，点，∴，，
∴∴△CDB是等边三角形∴
∵点是的中点，∴,且BE⊥CD， ∴故选：A．
【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长．
例4．（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．过点作于点，延长到点，使，根据菱形的性质和勾股定理可得，以点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系，可得，，，，，然后证明，可得，连接，，，由，可得，，三点共线时，取最小值，所以的最小值的最小值，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，过点作于点，延长到点，使，
四边形是菱形，，，
菱形的面积为20，边长为5，，
在中，根据勾股定理得：，
以点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系，
，，，，，，，，
在和中，，，，
连接，，，，，，三点共线时，取最小值，
的最小值的最小值．
但是当，，三点共线时，点不在边上，．故选：D．
例5．（2023上·江苏南通·九年级海南中学校考阶段练习）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】作点关于的对称点，交于点，连接交于点，则的最小值为的长度；然后求出和的长度，再利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：作点关于的对称点，交于点，连接交于点，则的最小值为的长度，
∵是矩形的对角线，∴，，
在直角中，，，∴，∴，
由对称的性质，得，，∴，∴
∵，，∴是等边三角形，∴，
∴是直角三角形，∴，
∴的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点使得有最小值．
例6．（2023上·山东·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，点E在上且．点G为的中点，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先证明，求出的最小值即可，作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，为的长，勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，连接．
∵点G为的中点，F为的中点，∴是的中位线，
，，∴当的最小时，最小
作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，为的长，
四边形是矩形，，，，
，，，，
的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，三角形中位线定理，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最短问题．
例7．（2023上·福建龙岩·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，，，，点E是边上且．F是边上的一个动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值 ．
【答案】
【分析】取得中点N，连接，，，作交的延长线于点H，先求出，，，再说明是等边三角形，根据“”证明≌，可求，即可得出点G的运动轨迹是射线，然后证明≌，可确定的最小值，根据勾股定理求出答案即可．
【详解】解：如图，取得中点N，连接，，，作交的延长线于点H．
由题意，得，，．
∵点N是的中点，∴，∴．∵，∴是等边三角形，
∴，，，∴．
∵，，∴，∴，
∴，∴点G的运动轨迹是射线．
∵，，，∴，
∴，∴．
在中，，，，
∴，，∴．
根据勾股定理，得，
∴，∴的最小值是．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形与旋转的综合问题，全等三角形的性质和判定，三角形三边关系，勾股定理等，确定点G的运动轨迹是解题的关键．
模型2. 求多条线段和（周长）最小值
【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：
（3）两个点都在内侧：
（4）台球两次碰壁模型
1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作E关于BC的对称点，点A关于的对称点，连接，四边形的周长最小，根据，即可解．
【详解】解：如图1所示，作E关于BC的对称点，点A关于的对称点，连接，四边形的周长最小，
∵，，∴，．
∵，D是的中点，∴是的中位线，
∴，，∵，∴，
∴，即，，，
，故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定和性质，中位线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，找出四边形的周长最小时，P、Q的位置．
例2．（2023.无锡市初三数学期中试卷）方法感悟：如图①，在矩形中，，是否在边上分别存在点G、H，使得四边形的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决：
【答案】（1）存在得四边形的周长最小，最小值为；（2）当所裁得的四边形部件为四边形时，裁得了符合条件的最大部件，这个部件的面积为，
【分析】作E关于的对称点，作F关于BC的对称点，连接，交于G，交于H，连接，得到此时四边形的周长最小，根据轴对称的性质得到，于是得到，求出即可得到结论；
【详解】解：（1）存在，理由：作E关于的对称点，作F关于的对称点，连接，交于G，交于H，连接，∴，则此时四边形的周长最小，
由题意得：，∴，
∴，
∴四边形的周长的最小值2，
∴在边上分别存在点G、H，使得四边形的周长最小，最小值为；
例3．（2023春·湖北黄石·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，、分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是________；
【答案】 /
【分析】延长作点D的关于点A的对称点，延长作点M的关于点C对称点，作，且，即为最小值；
【详解】解：如下图所示，延长作点D的关于点A的对称点，延长作点M的关于点C对称点，作，且，
可得，∴，∴的最小值为，
∵，且，四边形为矩形，∴四边形为矩形，
∵为的中点∴，，
∴；
【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题、矩形的性质，根据题意找到使所求线段的和最小时点的位置是解题的关键．
例4．（2024上·江苏镇江·八年级校考阶段练习）如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
【答案】C
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题．
【详解】解：如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴为等边三角形
∵，∴的最大值为14，故选：C．
模型3.求两条线段差最大值
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：
延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此时最大，
因此点P为所求的点。
（2）点A、B在直线m异侧：
过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’
【最值原理】三角形两边之差小于第三边。
例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为________．
【答案】
【分析】作的对称点，连接并延长交于点，根据三角形三边关系可得到，最后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可解答．
【详解】解：作的对称点，连接并延长交于点，∴，∴，
当在同一条直线上时，有最大值，
∵在菱形中，，∴，，
∴是等边三角形，∴，，，
∵，∴，∵，∴，
∵点为的中点，∴为的中点，∴，
∴，∴是等边三角形，∴，故答案为；
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，菱形的性质，中点的定义，三角形的三边关系，掌握等边三角形的性质及菱形的性质是解题的关键．
例3．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________．
【答案】
【分析】①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度，证明四边形是矩形可得，，，再利用勾股定理进行计算即可；
②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小，
的最小值为的长度，延长交于点G，根据对称的性质可得，再根据，点O是的中点，可得，从而求得，再利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度，
∵四边形是矩形，∴，，∴，
∵点O是的中点，∴，
又∵，∴，∴，，
∵，∴，过点P作于点P，
∵，∴四边形是矩形，
∴，，∴，
∴，∴；
②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小，
的最小值为的长度，延长交于点G，
∵，点O是的中点，∴，
∴，，∴，，
∴，∴的最小值为：，故答案为：；．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称 最短路径，熟练掌握相关知识是解题的关键．
例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，四边形中，，，，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为，则的最大值为______ ．
【答案】5
【分析】过点P作于H．过点P作直线，作点C关于直线l的对称点，连接交直线l于，此时的值最大，即的值最大，最大值为线段的长．
【详解】解：如图，过点作于．，，，
过点作直线，作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最大，即的值最大，最大值为线段的长，过点作于．
，四边形是矩形，，，
，，，
的最大值为．故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，涉及到的知识点三角形的面积，直角梯形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题．
课后专项训练
1．（2023春·河南安阳·八年级统考期中）如图，在菱形中，，，点P是菱形内部一点，且满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【分析】在上取一点E，使得，作，作点C关于的对称点H，交于G，连接交于P，连接，此时，的值最小．在和中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，在上取一点E，使得，作，作点C关于的对称点H，交于G，连接交于P，连接，此时，的值最小．
的最小值，∵四边形是菱形，，
∴，，∴，则，
∵，∴，∴，
在中，，，∴，故选：D．
【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，三角形的面积，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
2．（2023春·福建厦门·八年级校联考期中）如图，在 ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．4
【答案】C
【分析】取BC的中点G，连接AG．首先证明∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接GF，证FG⊥BC，则FG的长即为PB+PQ的最小值．
【详解】解：取BC的中点G，连接AG．在 ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，
∴AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，∴△ABG是等边三角形，
∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，∴∠GAC＝∠GCA＝30°，∴∠BAC＝90°，
作点B关于AC的对称点F，连接GF， 交AC于点P，由对称可知，B、A、F在一条直线上，AG＝AF，
∵∠BAG＝∠F+∠AGF＝60°，∴∠F＝∠AGF＝30°，∴∠FGB＝90°，
当点Q与点G重合时，PB+PQ=PF+PG=FG，FG的长即为PB+PQ的最小值，
∵∠F＝∠AGF＝30°，AG＝GC＝2，∴BF＝4，，
∴BP+PQ的最小值为2．故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，等边三角形的性质，根据垂线段最短作出辅助线，确定点P，Q的位置是解答此题的关键．
3．（2022·四川资阳·中考真题）如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点，再连接，运用两点之间线段最短得到为所求最小值，再运用勾股定理求线段的长度即可．
【详解】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点，连接，其与BC的交点即为点E，再作交AB于点F，∵A与关于BC对称，∴，，当且仅当，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时，
∵正方形，点O为对角线的交点，∴，
∵对称，∴，∴，
在中，，故选：D．
【点睛】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键。
4．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值，证明△ABC是等边三角形，AF是高线，利用三角函数即可求解．
【详解】解：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值．
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∵∴F是BC的中点，∴AF⊥BC．
则AF＝AB sin60°＝2．即的最小值是．故选：C
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形以及三角函数，确定AF的长就是的最小值是关键．
5．（2022·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10 B．10 C．5 D．5
【答案】A
【分析】由矩形的性质与线段的等量关系证明，，则，，如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，则四边形是矩形，，，则，，在中，由勾股定理得求出的值，进而可求最小的周长．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，，∴，，
在和中∵，∴，
∴，同理，∴，
如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，
∴四边形是矩形，∴，，
∵，，∴，，
在中，由勾股定理得，
∴四边形的周长，故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，轴对称等知识．解题的关键在于找出四边形周长最小时点、的位置关系．
6．（2023上·湖北武汉·九年级校考期中）如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（ ）
A． B． C．14 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，勾股定理等，先取的中点G，连接，，由，，得是等边三角形，，再根据得出≌，可得，进而得出，然后根据证明≌，可知，要求最小，就是求最小，即，再作，根据勾股定理求出答案．
【详解】取的中点G，连接，．由已知得，，
∴是等边三角形，∴．
∵，∴．
∵，，∴≌，∴，∴．
∵，，，∴≌，∴．
要求最小，就是求最小，即．
作，交延长线于点H，∵，∴．
在中，，，∴，，∴．
在中，．所以的最小值是．故选：D．
【点睛】本题涉及了旋转的性质、全等三角形的判断和性质、、等边三角形的判断和性质、菱形的性质、线段和的最值等知识点，构造全等三角形转化线段关系，构造“将军饮马”模型是解题的关键．
7．（2023上·辽宁朝阳·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点N，M；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在矩形内交于点G；③作射线，若，F为边的中点，E为射线上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】B
【分析】在上截取，连接，可证（），可得，当、、三点共线时，最小，即最小，由即可求解．
【详解】解：如图，在上截取，连接，
由作法可得平分，，
在和中，（），
，，
当、、三点共线时，最小，即最小，
四边形是矩形，，是的中点，，
，的最小值；故选：B．
【点睛】本题考查了线段和最小值的典型问题，矩形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，找出取得最小值的条件是解题的关键．
8．（2023上·安徽宿州·九年级校联考期中）已知菱形的两条对角线长分别为和，、分别是边，的中点，是对角线上一点，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查轴对称最短路线问题，菱形的性质；作关于的对称点，连接，交于，连接，此时的值最小，连接，求出、，根据勾股定理求出长，证出，即可得出答案．
【详解】解：作关于的对称点，连接，交于，连接，此时的值最小，连接，
四边形是菱形，，，即在上，
，，为中点，为中点，
为中点，四边形是菱形，，，
四边形是平行四边形，，四边形是菱形，
，，在中，由勾股定理得：，
即，，故选：C．
9．（2023·安徽·统考二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10 B．10 C．5 D．5
【答案】A
【分析】由矩形的性质与线段的等量关系证明，，则，，如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，则四边形是矩形，，，则，，在中，由勾股定理得求出的值，进而可求最小的周长．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，
∵，，∴，，
在和中∵，∴，
∴，同理，∴，
如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，
∴四边形是矩形，∴，，
∵，，∴，，
在中，由勾股定理得，
∴四边形的周长，故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，轴对称等知识．解题的关键在于找出四边形周长最小时点、的位置关系．
10．（2022·山东泰安·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且EF＝4，点M是EF的中点，点Q是AB的中点，连接PQ、PM，则PQ+PM的最小值为（ ）
A．10 B． C．8 D．
【答案】C
【分析】延长QA得到点N，使QA=NA，连接MN，可得，进而求得，当M、P、N再同一直线上时，最小，即最小，根据题意，点M的轨迹是以点B为圆心，以为半径的圆弧上，圆外一点N到圆上一点M距离的最小值，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和勾股定理进行求解即可．
【详解】延长QA得到点N，使QA=NA，连接MN，
，，
当M、P、N再同一直线上时，最小，即最小，
根据题意，点M的轨迹是以点C为圆心，以为半径的圆弧上，圆外一点N到圆上一点M距离的最小值，点M是EF的中点，EF＝4，，
在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点Q是AB的中点，
，，，
，即PQ+PM的最小值为8，故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
11．（2024上·江苏泰州·八年级统考期中）如图，已知点在线段上，点是直线上方的一动点，且，连接，过点作，以点为圆心，为半径作弧交手点，连接．若，则的最大值是 ．
【答案】12
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，将沿折叠得到，将沿折叠得到，连接，根据折叠可求出，利用勾股定理可求出，由，知当D、F、H、C四点共线时，最大，即可求解．
【详解】解：如图，将沿折叠得到，将沿折叠得到，连接，
∴，，，，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∵，∴当D、F、H、C四点共线时，最大，最大值为，
即的最大值是12．故答案为：12．
12．（2023上·湖北·九年级校考周测）如图，已知菱形的周长为8，面积为为的中点，若为对角线上一动点，记的最大值为，记的最小值为，则 ．
【答案】/
【分析】过点C作，交与点，再根据菱形的面积求出，根据勾股定理求出，可得点E和点重合，即可得出的最小值为，然后根据点C和点A关于对称，可知，进而当点P与点B重合时，得出的最大值为，即可得出答案．
【详解】解：过点C作，交与点，
∵菱形的周长为8，面积为，∴，∴，∴．
在中，．
∵点E是的中点，∴，∴点E和点重合．
根据三角形的三边关系可知，∴．
∵点C和点A关于对称，∴，即．
当点P与点B重合时，得出的最大值为，
∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据轴对称求线段和最小，三角形三边关系等，确定点的位置是解题的关键．
13．（2022·辽宁大连·统考一模）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在对角线AC和边AD上，连接DE，EF，若AC=4，BD=2，则DE，EF之和的最小值为______．
【答案】/
【分析】如图所示：在AB上取点F′，使AF′=AF，过点D作DH⊥AB，垂足为H．因为EF+DE=EF′+DE，推出当D、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+DE的值最小．
【详解】解：∵菱形ABCD中，AC=4，BD=2，∴AO=OC=2，BO=OD=1，∴AD=AB=，
如图所示：在AB上取点F′，使AF′=AF，过点D作DH⊥AB，垂足为H．
∵S△ABD= AO BD= AB DH，∴DH=，∵EF+DE=EF′+DE，
∴当D、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+DE的值最小，最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是菱形的性质，轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称解决最短问题．
14．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，己知长方体，是棱上任意一点，是侧面对角线上一点，则的最小值是________．
【答案】
【分析】将正方形展开，取及两个面，过点作于点Q，交于点P，此时取最小值，由正方形的性质可得出，再利用特殊角的三角函数值即可求出的长度，此题得解．
【详解】解：将正方形展开，取及两个面，过点作于点Q，交于点P，此时取最小值．
∵为正方形，∴．
在中，，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称中的最短路线问题、正方形的性质以及特殊角的三角函数值，找出点P、Q的位置是解题的关键．
15．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为________．
【答案】6
【分析】作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值为的长度；然后求出和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值为的长度；
∵AC是矩形的对角线，∴AB=CD=4，∠ABC=90°，
在直角△ABC中，，，∴，∴，
由对称的性质，得，，∴，∴
∵，，∴△BEF是等边三角形，
∴，∴是直角三角形，
∴，∴的最小值为6；故答案为：6．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P使得有最小值．
16.如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60 ，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN＝2，点M在BC上且BM＝BC,P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为 .
【解答】2
【解析】如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN',MN'，
根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM－PN＝PM－PN'≤MN'，
当P,M,N'三点共线时，取“＝”,
∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60 ，∴AC＝6，
∵O为AC中点，∴AO＝OC＝3，
∵AN＝2，∴ON＝1，∴ON'＝1，CN'＝2，∴AN'＝4，
，∴CM＝AB－BM＝6－4＝2，
，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝60 ，
∵∠N'CM＝60 ，∴△N'CM为等边三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM－PN的最大值为2.
17．（2023·山东日照·校考二模）如图，在边长为1的正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），以为直角边在直线上方作等腰直角三角形，，连接，则在点E的运动过程中，周长的最小值是______．
【答案】
【分析】首先说明点在射线上运动，作点关于的对称点，则点、、在一条直线上，此时的最小值即为的长，即可得出答案．
【详解】解：证明：四边形是正方形，，
，，，，
在上取点，使，连接，
，，，
，，，，
，，
作点关于的对称点，则点、、在一条直线上，此时的最小值即为的长，
在中，由勾股定理得，
以、、为顶点的三角形周长的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称-最短路线问题等知识，确定点的运动路径是解题的关键．
18．（2022·河北邯郸·九年级校考期中）已知正方形，，点E是射线BC上一动点（不与点B重合），连接，线段绕点E顺时针旋转，得到线段，垂直于线段的延长线于点H，连接．(1)求证：．(2)求的度数．(3)连接，直接写出的最小值．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】（1）先由旋转可知，进一步证明，再根据可证明；（2）先根据得到，再证明，最后求出的度数即可；（3）作点D关于的对称点M，连接交于点P，连接、，先证明点M在线段的延长线上，求出，再由勾股定理求出的长，最后根据求出答案．
【详解】（1）证明： 线段绕点E顺时针旋转，得到线段，，，
四边形是正方形，， ，，
又，，在与中，，；
（2）解：，，
，，，即，，
，；
（3）解：如图，作点D关于的对称点M，连接交于点P，连接、，
由（2）可知，
，，，
点D关于的对称点M，，，
点M在线段的延长线上，即，
，，
（当且仅当点F与点P重合时等号成立），
，的最小值为．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
19．（2023下·海南·九年级校联考期中）如图1，已知四边形为正方形，连接．
(1)求证：；(2)如图2，若正方形的边长为4，是边上的一个动点．
①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接，若，求线段长；③求的最小值．
【答案】(1)见解析(2)①结论：，理由见解析；②；③
【分析】（1）由“”可证，可得结论．
（2）①延长，交于点H，由“”可证，可得，由四边形内角和定理可求，可得结论．②过点G作，交延长线于点H，由“”可证，可得，，由勾股定理可求解．③说明点G的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，作点D关于直线的对称点T，连接，．在中，可得．根据求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
，．
在和中，；
（2）解：①结论：．
理由：如图，延长交于点，
∵四边形为正方形，，，
．即．
在和中，，，；
，．
，，；
②如图，过点作，交延长线于点，
，．，．
又，，，，
，；
③如图，作点关于直线的对称点，连接．
由②可知，，∴点的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，
∵在中，，，，．
，．
，，的最小值为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考压轴题．
20．（2023·山东青岛·九年级校联考期中）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个顶点．
问题：在直线l上确定一点P，使的值最小．
方法：作点关于直线的对称点，连接交于点，则的值最小（不必证明）
模型应用：(1)如图2，已知平面直角坐标系中两定点和，P为x轴上一动点，则当的值最小时，点P的横坐标是___________，此时___________．
(2)如图3，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点，连接，由正方形对称性可知，与关于直线对称，则的最小值是___________．
(3)如图4，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，则的最小值为___________．
(4)如图5，在菱形中，，，点是边边的中点，点，分别是，上的两个动点，则的最小值是___________．
【答案】(1)；(2)(3)(4)
【分析】（1）取点关于轴对称的点，连接，交轴于点，作轴于，则此时的值最小，根据点的坐标，得出，，，进而得出，，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，进而得出点的横坐标，再根据平行线间的距离相等，得出，再根据勾股定理，计算即可得出答案；
（2）根据对称性和线段最短，得出的最小值是的长，再根据中点的定义，得出，再根据勾股定理，计算出，进而即可得出的最小值；
（3）设与交于点，连接，，根据对称性，得出，再根据线段最短，得出当点运动至点时，的最小值，此时最小值为的长，再根据正方形的面积，结合算术平方根的定义，得出，再根据等边三角形的性质，得出，进而得出的最小值；
（4）作垂足为与交于点，根据菱形的性质，得出，，再根据等边三角形的判定定理，得出是等边三角形，再根据三线合一的性质，得出，再根据线段最短，得出点关于的对称点在上，此时的最小，最小值为的长，再根据三线合一的性质，得出，再根据含角的直角三角形的性质，得出，再根据勾股定理，计算得出，进而即可得出答案．
【详解】（1）如图，取点关于轴对称的点，连接，交轴于点，作轴于，
则此时的值最小，∵和，
∴，，，∴，，
∵，，∴，
∴，∴点的横坐标为，
∵轴，∴，∴，∴，
∴当的值最小时，点的横坐标是，此时；故答案为：；；
（2）解：∵点与关于直线对称，∴的最小值是的长，
∵正方形的边长为，为的中点，∴，
在中，，∴的最小值是；故答案为：；
（3）解：如图，设与交于点，连接，，
∵点与关于直线对称，∴，
∴当点运动至点时，的最小值，此时最小值为的长，
∵正方形的面积为，∴，又∵是等边三角形，∴，
∴的最小值为；故答案为：；
（4）解：如图，作垂足为与交于点，
∵四边形是菱形，∴，
∵，∴，∴是等边三角形，∵是中线，∴，
∴点关于的对称点在上，此时的最小，最小值为的长，
在中，∵，，，
∴，∴，∴的最小值是．故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形、轴对称—最短路径问题、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握轴对称—最短路径的确定方法、并灵活运用勾股定理是解本题的关键．专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马模型
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决将军饮马问题主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧：
【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。
例1．（2023·湖南湘西·统考三模）如图所示，正方形的边长为2，点为边的中点，点在对角线上移动，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022下·广东广州·八年级校考期中）如图，正方形中，，连接，的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交于点G，H，点P是线段上的动点，于点Q，连接，以下结论：①；②；③；④的最小值是，其中正确的结论有（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
例3．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．5 C． D．
例4．（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（ ）
A． B． C．10 D．
例5．（2023上·江苏南通·九年级海南中学校考阶段练习）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为 ．
例6．（2023上·山东·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，点E在上且．点G为的中点，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为 ．
例7．（2023上·福建龙岩·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，，，，点E是边上且．F是边上的一个动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值 ．
模型2. 求多条线段和（周长）最小值
【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：
（3）两个点都在内侧：
（4）台球两次碰壁模型
1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023.无锡市初三数学期中试卷）方法感悟：如图①，在矩形中，，是否在边上分别存在点G、H，使得四边形的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决：
例3．（2023春·湖北黄石·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，、分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是________；
例4．（2024上·江苏镇江·八年级校考阶段练习）如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
模型3.求两条线段差最大值
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：
延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此时最大，
因此点P为所求的点。
（2）点A、B在直线m异侧：
过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’
【最值原理】三角形两边之差小于第三边。
例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为________．
例3．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________．
例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，四边形中，，，，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为，则的最大值为______ ．
课后专项训练
1．（2023春·河南安阳·八年级统考期中）如图，在菱形中，，，点P是菱形内部一点，且满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．
2．（2023春·福建厦门·八年级校联考期中）如图，在 ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．4
3．（2022·四川资阳·中考真题）如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是( )
A． B． C． D．
4．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
5．（2022·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10 B．10 C．5 D．5
6．（2023上·湖北武汉·九年级校考期中）如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（ ）
A． B． C．14 D．
7．（2023上·辽宁朝阳·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点N，M；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在矩形内交于点G；③作射线，若，F为边的中点，E为射线上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
8．（2023上·安徽宿州·九年级校联考期中）已知菱形的两条对角线长分别为和，、分别是边，的中点，是对角线上一点，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2023·安徽·统考二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10 B．10 C．5 D．5
10．（2022·山东泰安·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且EF＝4，点M是EF的中点，点Q是AB的中点，连接PQ、PM，则PQ+PM的最小值为（ ）
A．10 B． C．8 D．
11．（2024上·江苏泰州·八年级统考期中）如图，已知点在线段上，点是直线上方的一动点，且，连接，过点作，以点为圆心，为半径作弧交手点，连接．若，则的最大值是 ．
12．（2023上·湖北·九年级校考周测）如图，已知菱形的周长为8，面积为为的中点，若为对角线上一动点，记的最大值为，记的最小值为，则 ．
13．（2022·辽宁大连·统考一模）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在对角线AC和边AD上，连接DE，EF，若AC=4，BD=2，则DE，EF之和的最小值为______．
14．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，己知长方体，是棱上任意一点，是侧面对角线上一点，则的最小值是________．
15．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为________．
16.如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60 ，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN＝2，点M在BC上且BM＝BC,P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为 .
17．（2023·山东日照·校考二模）如图，在边长为1的正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），以为直角边在直线上方作等腰直角三角形，，连接，则在点E的运动过程中，周长的最小值是______．
18．（2022·河北邯郸·九年级校考期中）已知正方形，，点E是射线BC上一动点（不与点B重合），连接，线段绕点E顺时针旋转，得到线段，垂直于线段的延长线于点H，连接．(1)求证：．(2)求的度数．(3)连接，直接写出的最小值．
19．（2023下·海南·九年级校联考期中）如图1，已知四边形为正方形，连接．
(1)求证：；(2)如图2，若正方形的边长为4，是边上的一个动点．
①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接，若，求线段长；③求的最小值．
20．（2023·山东青岛·九年级校联考期中）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个顶点．
问题：在直线l上确定一点P，使的值最小．
方法：作点关于直线的对称点，连接交于点，则的值最小（不必证明）
模型应用：(1)如图2，已知平面直角坐标系中两定点和，P为x轴上一动点，则当的值最小时，点P的横坐标是___________，此时___________．
(2)如图3，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点，连接，由正方形对称性可知，与关于直线对称，则的最小值是___________．
(3)如图4，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，则的最小值为___________．
(4)如图5，在菱形中，，，点是边边的中点，点，分别是，上的两个动点，则的最小值是___________．
