专题08 特殊平行四边形中的图形变换模型之翻折（折叠）模型
几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【知识储备】
折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。
折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。
【知识储备】
1）矩形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，在矩形纸片中，点在边上，将沿翻折得到，点落在上．若，，则（ ）cm．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由折叠的性质和可得，再证明，然后在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵将沿翻折得到，点F落在上，
∴，，，
∵，∴，
∵四边形是矩形，∴，，
∴，∴，
在中，，∴，
∴，∴，故选B．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程解决问题．
例2．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，是一张长方形纸片，且．沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在上（如图中的点），折痕交于点G，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由矩形的性质可得，，由折叠可知，，于是可得，得到，用平行线的性质可得，以此即可求解．
【详解】解：取的中点E，连接，
∵四边形为矩形，∴，，
根据折叠的性质可得，，
∵，∴，在中，，
∵点E为的中点，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴．故选：B．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质，利用折叠的性质得到得到，进而得到是解题关键．
例3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，矩形中，，，将沿对角线翻折，使点落在处，与轴交于点，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】设，则，由题意可以求证，从而得到，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：由题意可知：，，，
设，则，
又，，，
在中，，即，
解得：，点的坐标为，故答案为：．
【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理以及坐标与图形，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
例4．（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点落B在点F处，连结，则的长为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【分析】连接交于点，根据三角形的面积公式求出，得到，根据直角三角形的判定得到，根据勾股定理求出答案．
【详解】解：连接交于点，
将沿直线翻折，点落在点处，
点、关于对称，，，，点为的中点，，
又，，，则，
，，．故选：B．
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
例5．（2023春·广东韶关·八年级统考期末）把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
【答案】D
【分析】根据长方形的性质得出，，由折叠的性质可得：，设，则，根据勾股定理得出：，解方程即可得出答案．
【详解】解：∵长方形中，，∴，，
由折叠的性质可得：，设，则，
根据勾股定理得出：，解得：，即，故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键．
例6．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形中，，．点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F．将四边形沿着翻折，得到四边形，边交边于点G，连接，则的面积的最小值为（ ）
A．18－3 B． C． D．
【答案】D
【分析】在上截取，连接，证明，所以，即可得最短时，也就最短，而当时，最短，且，再过点作，得，又因为，就可以根据勾股定理计算、的长，从而计算出最小面积．
【详解】解：在上截取，连接，
由折叠得：，又，，
，最短时，也就最短，而当时，最短，
此时，点为矩形的对称中心，，即的最小值是4，
在中，点为矩形的对称中心，
长度是矩形对角线长度的一半，即是5，定值，度数也不变，是定值，
当最小值时，面积最小．过点作，
点为矩形的对称中心， ，
中，，
中，，，
面积的最小值是．故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短等知识，解题关键是找到的最小值．
例7．（2023春·辽宁抚顺·八年级校联考期中）如图，矩形纸片中，，，点E、G分别在上，将、分别沿翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】据矩形的性质得到，，，据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到，设，由勾股定理列方程得到，由折叠的性质得到，，，求得，设，则，据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】解：在矩形纸片中，，，∴，，，
∵将沿翻折，翻折后点C与点F重合，
∴，，，∴，
设，∴，，
∵，∴，解得：，∴，
∵将沿翻折，翻折后点B与点P重合，
∴，，，∴，
设，则，
∵，∴，∴，∴线段GP长为，故选：B．
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题关键．
例8．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．
(1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝ °，＝ ；
(2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长；
(3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ．
【答案】(1)45；2(2)；(3)2或
【分析】（1）根据正方形的性质和翻折的性质，可得出；设，用x表示出的三条边，然后根据勾股定理列出方程，即可得出的长；（2）如图，由折叠性质和平分，得出，即可求出的度数；先证明和是等腰直角三角形，得出，，即可求出的长； （3）根据F为的三等分点，分两种情况：当时，过点E作，交的延长线于点P，连接，证明，得出，进而求出的长；当时，点E作，交的延长线于点P，连接，根据，计算即可求出的长．
【详解】（1）∵，四边形是矩形，
∴四边形是正方形，∴，，
∵将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，
∴，，∵，∴，
∵F为的中点，∴，
∵将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，
∴，，设，则，∴，
∵，∴，∴，∴．故答案为：45；2；
（2）如图2，延长，交于点M，
∵平分，∴，由折叠的性质可知，，，
∴，∴，
∵，，∴和均为等腰直角三角形，
∴，，∴，即，解得．
（3）分两种情况：①当时，如图3，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，，
由折叠的性质可知，，，∴，
∵，∴，，∴，
在和中， ，∴，∴，
设，，，∴，解得，∴．
②当时，如图4，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，，
由折叠的性质可知，，，∴，
∵，∴，，设，，，
∵，∴，解得，∴．
综上可知，的长为2或．
【点睛】本题主要综合考查了矩形的折叠问题，涉及到正方形的性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，属于压轴题，难度较大，熟练掌握并灵活运用相关知识进行分类讨论是解题的关键．
2）菱形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，AD＝6，则BE的长为（ ）
A． B． C．3 D．3.5
【答案】A
【分析】作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG＝EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB＝BD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：作EH⊥BD于H，
由折叠的性质可知，EG＝EA，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝BD＝AD＝6，
设BE＝x，则EG＝AE＝6﹣x，在Rt△EHB中，BH＝x，EH＝x，
在Rt△EHG中，EG2＝EH2+GH2，即（6﹣x）2＝（x）2+（4﹣x）2，
解得，x＝，∴BE＝，故选：A．
【点睛】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，熟记各知识点并综合运用是解题的关键．
例2．（2023·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到，连接，则线段长度的最小值是（ ）
A．－1 B．－1 C．－1 D．2
【答案】B
【分析】根据题意，在N的运动过程中在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、、C三点共线，得出的位置，进而利用锐角三角函数关系求出C的长即可．
【详解】解：如图所示：
由折叠可知M=MA，∵M为AD中点，∴2MA=2MD=AD=2，∴M= MA=1是定值，
∵M+C≥MC，∴当线段长度是最小值时，在MC上，
过点M作MF⊥DC于点F，∵菱形ABCD，∴CDAB ∴∠FDM=∠A=60°，
∴∠FMD=30°，∴FD=MD=，∴FC=FD+CD=，FM=，
∴MC=，∴C=MC-M=-1．故选：B．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，由两点之间线段最短得出点位置是解题关键．
例3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，菱形纸片，，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在边的中点处，折痕与边分别交于点M、N．则的长为 ．
【答案】
【分析】过点作与的延长线交于点E，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出和，设，则，用x表示出，然后在中，利用勾股定理得出方程进行解答．
【详解】解：过点作与的延长线交于点E，
∵四边形是菱形，∴，，
∵是的中点，∴，∵，∴，
∴，∴，设，则，
由折叠的性质知：，在中，，
∴，解得：，，即的长为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算等知识，关键是作辅助线构造直角三角形．
例4．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，根据是的垂直平分线，得到，结合得到是等边三角形，即可得到，根据四边形是菱形得到，根据折叠即可得到答案；
【详解】解：连接，∵是的垂直平分线，∴，
∵，∴是等边三角形，∴，
∵四边形是菱形，∴，∴，
∵菱形纸片沿折叠，点对应点为点，∴，
∴，故选D；
【点睛】本题考查菱形的折叠问题，三角形内角和定理，菱形的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是得到是等边三角形．
例5．（2023·重庆巴南·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，，M，N分别在AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折能与四边形EMNF重合，且线段EF经过顶点D，若，，则△DFC的面积为 ．
【答案】/
【分析】延长EF交BC于点P，在Rt△DEM中，∠E=60°，，即，EM=2DE=2，即可得DC=AD=AB=2+=EF，即有DF=EF-DE=1+，在Rt△DCP中，∠CDP=30°，DC=AD=2+，，则△CDF的面积为：可求．
【详解】延长EF交BC于点P，如图，
根据翻折的性质有：EF=AB，ME=AM，∠E=∠A，在菱形ABCD中，有AD=CD=AB，，
∵∠A=60°，∴∠ADC=120°，∠E=60°，∵EF⊥AD，，
∴∠ADP=∠EDM=∠CPD=90°，∴∠CDP=∠ADC-∠ADP=120°-90°=30°，
∵在Rt△DEM中，∠E=60°，∠EDM=90°，，∴，EM=2DE=2，
∴AM=EM=2，∴AD=AM+DM=2+，∴DC=AD=AB=2+，DF=EF-DE=AB-1=2+-1=1+，
∵在Rt△DCP中，∠CDP=30°，∠CPD=90°，DC=AD=2+，∴，
∴△CDF的面积为：，故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、翻折的性质以及含特殊角的直角三角形的性质等知识，充分利用菱形的性质是解答本题的关键．
例6．（2023·安徽安庆·校考三模）如图，在菱形中，，，点E是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠使落在直线上，点B的对应点为点H，折痕为且交于点F．（1） ；（2）若点E是的中点，则的长为 ．
【答案】
【分析】（1）由翻折可得，，则，根据，可得，即．
（2）根据题意可得点与点重合，且点，，三点在同一条直线上．过点作，交的延长线于点．由，，可得，，则，，由翻折可得，，设，则，，由勾股定理列出方程，解得，进而可得出答案．
【详解】解：（1）由翻折可得，，，
，，即．故答案为：．
（2）四边形为菱形，，，
由翻折可得，，，，
点是的中点，，，即点与点重合．
，点，，三点在同一条直线上．
过点作，交的延长线于点．
，，，，，，
由翻折可得，，设，则，，
由勾股定理可得，解得，．故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
3）正方形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023春·广西河池·八年级统考期末）如图，在正方形中，，是的中点，将沿翻折至，是的中点，连接，则的长度是 ．
【答案】
【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求出的长度．
【详解】解：四边形是正方形，，，
是的中点，，
在中，由勾股定理，得，
是由翻折得到的，是直角三角形，，
是的中点，，故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握相关图形的性质是解题的关键．
例2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（ ）
A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4
【答案】D
【分析】点F作FG⊥BC交于G点，设正方形的边长为x，则ACx，由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，可得DE＝2，EC＝x﹣2，ACx，在Rt△EFC中，由勾股定理可得（x﹣2）2＝4+（x﹣x）2，解得x，即为正方形的边长为22，再求出FC＝2，由∠ACB＝45°，可求FG＝CG，BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理可得BF2＝（2）2+2＝8+4．
【详解】解：过点F作FG⊥BC交于G点，
由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，设正方形的边长为x，
∵EF＝2，∴DE＝2，EC＝x﹣2，ACx，
在Rt△EFC中，EC2＝FE2+FC2，∴（x﹣2）2＝4+（﹣x）2，
解得x＝22，∴FC＝x﹣x＝2，
∵∠ACB＝45°，∴FG＝CG，∴BG2，
在Rt△BFG中，BF2＝BG2+GF2＝（2）2+2＝8+4，故选：D．
【点睛】本题考查正方形性质，翻折的性质，熟练掌握翻折的性质，灵活应用勾股定理是解题的关键．
例3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，是一个正方形纸片，、分别为、的中点，沿过点的折痕将翻折，使点落在上如图的点，折痕交于点，那么( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得在中，，即有，问题随之得解．
【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，
∵、分别为、的中点，∴，∴四边形是矩形，
∴，，根据折叠的性质：，
在中，，∴，∴，
∴．故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，求得在中，，进而有，是解答本题的关键．
例 4．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为 ．
【答案】
【分析】连接，过点作于点，设，则，则，根据已知条件，分别表示出，证明，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，
∵正方形的边长为1，四边形与四边形的面积比为3∶5，
∴，设，则，则
∴即
∴∴，∴，
∵折叠，∴，∴，
∵，∴，又,
∴，∴ 在中，
即解得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
例5．（2023春·江苏徐州·八年级期中）如图，正方形ABCD中，，点E在边CD上，且．将沿AE对折至，延长EF交边BC于点G．连结AG、CF．下列结论：①；②；③是正三角形；④的面积为90，其中正确的是 （填所有正确答案的序号）
【答案】①②④
【分析】①根据折叠的性质可以得到∠B=∠AFG=90°，AB=AF，AG=AG，根据HL定理即可证明两三角形全等；②不妨设BG=FG=x，（x＞0），则CG=30-x，EG=10+x，在Rt△CEG中，利用勾股定理即可列方程求得；③利用②得出的结果，结合折叠的性质求得答案即可；
④根据三角形的面积公式可得：S△FGC=S△EGC，即可求解．
【详解】在正方形ABCD中，，
又沿AE对折至，延长EF交边BC于点G
，即有，
在直角和直角中，，；①正确．
，点E在边CD上，且，，
不妨设，则，
在中， 解得，于是；②正确．
，是等腰三角形，
，，则，不是正三角形．③错误．
，，．④正确．
正确的结论有①②④．故答案为：①②④．
【点睛】本题考查正方形性质，以及图形的折叠的性质，三角形全等的证明，理解折叠的性质是关键．
例6．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，将正方形沿着、翻折，点、的对应点分别是点、，若，则 ．
【答案】
【分析】由正方形的性质及折叠的性质可得，，，利用角之间的和差关系可得，进而求得，再利用即可求得结果．
【详解】解：∵四边形是正方形，∴，
由折叠可知，，，
∵，，
∴，即：，∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查正方形与折叠的性质，利用正方形与折叠的性质得到的度数是解决问题的关键．
例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形中，，点是边上一点（点不与重合），将沿直线翻折，点落在点处．
(1)如图2，当点落在对角线上时，求的长．(2)如图3，连接分别交于点，点，连接并延长交于点，当为中点时，试判断与的位置关系，并说明理由．
(3)如图4，在线段上取一点，且使，连接，则在点从点运动到点的过程中，的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见解析．(3)
【分析】（1）可证得为等腰直角三角形，，结合，可得．（2）连接，交于点，可知，根据三角形的中位线定理，即可求得与的位置关系．（3）在线段上取一点，使，连接，，可证得，则，观察图形可知，当点，，在同一条直线上时，最小，最小值为．
【详解】（1）根据折叠的性质可知，，∴．
∵，∴为等腰直角三角形．∴．
∴．∴．∴．
∴．∴．
（2），理由如下：如图所示，连接，交于点．
根据题意可知为线段的垂直平分线，∴．
∵为中点，∴，即．
（3）如图所示，在线段上取一点，使，连接，．
在和中，∴．∴．∴．
观察图形可知，当点，，在同一条直线上时，最小，最小值为．
∴．
【点睛】本题主要考查图形折叠的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的判定及性质、三角形的中位线定理，能根据题意作出辅助线是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023春·安徽·九年级专题练习）矩形中，，，点是边上一动点，沿翻折，若点的对称点恰好落在矩形的对称轴上，则折痕的长是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】分两种情况，根据折叠的性质和勾股定理进行解答即可．
【详解】解：分两种情况：①如图1所示：当恰好在矩形的对称轴上时，
又∵，，∴，，，，
由折叠的性质得：，，
∵，∴点与点重合，点与点重合，
∴；
②如图2所示：当恰好在矩形的对称轴上时，过作 交于，交于，
∴，，，，，
∵四边形是矩形，∴，由折叠的性质得：，，
在中，，∴，
设，则，在中，，
∴，解得：，即，∴；
综上所述，当点恰好在矩形的对称轴上时，折痕的长是或，故选：C．
【点睛】本题考查翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质等知识；熟练掌握翻折变换和勾股定理是解题的关键．
2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考期中）如图，在矩形纸片中，E为上一点，将沿翻折至，若点F恰好落在上，，，则（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据折叠的性质，得到，勾股定理求出，进而求出，设，则，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵在矩形纸片中，E为上一点，将沿翻折至，
∴，
∴，∴，设，则，
由勾股定理，得：，即：，解得：；∴；故选A．
【点睛】本题考查矩形中的折叠问题．熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，是解题的关键．
3．（2023春·广东中山·八年级校联考期中）如图，矩形中，点、分别为边、上两动点，且，，沿翻折矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】连接，由翻折可得，，，则，要求的值最小，即求的最小值，以此得出当点G与点B重合时，最小，设，则，，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图：连接，
以翻折后，点与点重合，，，，
四边形为矩形，，，，
当的最小时，最小，由图可知，当点与点重合时，最小，
设，则，，在中，，
，解得：，的最小值为．故选：C．
【点睛】本题主要考查了折叠问题、勾股定理，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是能找到点G与点B重合时，最小，这是解答本题的突破口．
4．（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，E是边AD上一动点，将△CDE沿CE 折叠，得到△CFE，则△BCF面积的最大值是（ ）
A．8 B． C．16 D．
【答案】A
【分析】由三角形底边BC是定长，所以当△BCF的高最大时，△BCF的面积最大，即当FC⊥BC时，三角形有最大面积．
【详解】解：在菱形ABCD中，BC=CD=AB=4
又∵将△CDE沿CE 折叠，得到△CFE，∴FC=CD=4
由此，△BCF的底边BC是定长，所以当△BCF的高最大时，△BCF的面积最大，即当FC⊥BC时，三角形有最大面积∴△BCF面积的最大值是故选：A．
【点睛】本题考查菱形的性质和折叠的性质，掌握三角形面积的计算方法和菱形的性质正确推理计算是解题关键．
5．（2023春·成都市九年级期中）如图，菱形ABCD中，∠BAD = 60°，AB = 6，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，若点G恰好为CD边的中点，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】过点D作，垂足为点H，连接BD和BG，利用菱形及等边三角形的性质，求出，，在中，求出DH的长，进而求出BG 的长，设，在中，利用勾股定理，列方程，求出的值即可．
【详解】解：过点D作，垂足为点H，连接BD和BG，如下图所示：
四边形ABCD是菱形，，，，
与是等边三角形，且点G恰好为CD边的中点，平分AB，，
，，，，，在中，，
由勾股定理可知：， ，
由折叠可知：，故有， 设，则，
在中，由勾股定理可知：， 即，解得，
故选：B．
【点睛】本题主要是考查了菱形、等边三角形的性质以及勾股定理列方程求边长，熟练综合利用菱形以及等边三角形的性质，求出对应的边或角，在直角三角形中，找到边之间的关系，设边长，利用勾股定理列方程，这是解决本题的关键．
6．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考一模）如图，正方形的边长为10，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正方形的性质和勾股定理可得的长，再由翻折知，由可知当点三点共线时，最小．
【详解】解：∵正方形的边长为10，∴，
∵点G是边的中点，∴，连接，
∴，∵将沿翻折得到，∴，
∵，∴当点三点共线时，最小，
连接，设，则，
∵，∴
解得，∴．故选：A．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，确定当点三点共线时，最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度．
7．（2023春·广东梅州·八年级校考期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】由翻折得，，垂直平分，可根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，则，则，即可根据勾股定理求出，再由，且得，则，由，求得,即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是边长为的正方形，
∴，，∴，
由翻折得，，垂直平分，
在和中，，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∵，且，∴，解得，
∵，∴，解得，故选：．
【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据面积等式求线段的长度等知识和方法，正确求出和的长度是解题的关键．
8．（2023·河北·模拟预测）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接，．则下列结论：①；②；③；④．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先求出DE=2，CE=4，再由折叠的性质得到∠AFE=∠ADE=∠ABG=90°，AF=AD=AB，EF=DE=2，即可利用HL证明Rt△ABG≌Rt△AFG即可判断①；设BG=GF=x，若BG=CG=x，在Rt△EGC中，EG=x+2，CG=x，CE=4，由勾股定理可得（x+2） =x +4 ，即可判断②；分别求出两个三角形的面积即可判断③；在五边形ABGED中，由∠BGE+∠GED=540°-90°-90°-90°=270°，得到2∠AGB+2∠AED=270°，即可判断④．
【详解】解：∵在正方形中，，，
∴AB=BC=AD=6，∠ADE=∠ABG=90°，∴DE=2，CE=4，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴∠AFE=∠ADE=∠ABG=90°，AF=AD=AB，EF=DE=2，
又∵AG=AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正确；∴BG=GF，∠BGA=∠FGA，
设BG=GF=x，若BG=CG=x，在Rt△EGC中，EG=x+2，CG=x，CE=4，
由勾股定理可得（x+2） =x +4 ，解得x=3，此时BG=CG=3，BG+CG=6，满足条件，故②正确；
∵S△EGC=GC CE=×3×4=6，S△AFE=AF EF=×6×2=6，∴S△EGC=S△AFE，故③正确；
在五边形ABGED中，∠BGE+∠GED=540°-90°-90°-90°=270°，即2∠AGB+2∠AED=270°，
∴∠AGB+∠AED=135°，故④错误；∴正确的有三个，故选C．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形面积，多边形内角和问题等等，熟知正方形的性质是解题的关键．
9．（2023·广东深圳·一模）如图，将正方形翻折，使点、分别与点、重合，折痕为，交于点，交于点，连接、．给出以下结论：①垂直平分；②；③；④的周长等于的2倍．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】由折叠的性质可得垂直平分，故结论①正确；过点作于，由“”证明，可得，，故结论②正确；过点作于，由“”证明，可得，，由“”证明，可得，即可求得，故结论③正确；延长至，使，连接，由“”证明，可得，，由“”证明，可得，由线段的和差关系即可证明结论④正确．
【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，
∵将正方形沿翻折，∴垂直平分，故结论①正确；
∴，如图，过点作于，
∴，∴，∴，
∵，∴四边形是矩形，∴，，
∵，∴，又∵，∴，∴，
∵，∴，故结论②正确；如图，过点作于，
∵将正方形沿翻折，∴，
又∵，，∴，
∴，，∴，又∵，∴，
∴，∵，∴，故结论③正确；
如图，延长至，使，连接，
∵，，，∴，∴，，
∵，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴的周长，故结论④正确．
综上所述，结论正确的有①②③④，共计4个．故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质等知识，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题关键．
10．（2023春·山东日照·八年级统考期末）如图，将矩形沿着、、翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．②③④
【答案】B
【分析】根据折叠的性质和矩形的性质分析判断①；通过点为中点，点为中点，设，，利用勾股定理分析求得与的数量关系，从而判断②；利用勾股定理分析判断和、和的数量关系，从而判断③和④．
【详解】解：由折叠性质可得：，，，
，，，，
，，
，，故①正确；
设，，则，，
，在中，，
，解得：，，故②错误；
在中，设，则，，解得：，
，，在中，，
，，故③④正确；综上，正确的是①③④．故选：B．
【点睛】本题考查矩形与折叠及勾股定理，掌握折叠的性质和勾股定理是解题关键．
11．（2023春·上海长宁·八年级校考期中）如图，在边长为2的正方形中，E为边的中点，点Р在边上．如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处．那么的长为 ．
【答案】/
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可证明，可得，，利用等积法求出，然后计算即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，
∵将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处，
∴是的垂直平分线，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴；答案：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，有一正方形纸片ABCD，先将正方形ABCD对折，设折痕为EF，再沿过点C的折痕将角B翻折，使得点B落在EF的H上，折痕交BE于点G，则∠HCF的度数为 ；若正方形ABCD的边长为2，则EG的长度为 ．
【答案】 60°
【分析】在Rt△HFC中，利用含30度角的直角三角形的性质可得∠FHC=30°，即可求得∠HCF的度数；设EG=x，在Rt△EGH中，利用勾股定理即可求得EG的长度．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=BC，
根据折叠的性质知：CH=BC，CF=DF=CD=BC，∴CF=CH，∴∠FHC=30°，∴∠HCF=60°；
∵正方形纸片ABCD的边长为2，∴将正方形ABCD对折后BE=CF=CD=1，
根据折叠的性质知BC=CH=2，BG=GH，在Rt△CFH中，HF=，∴EH=2-，
在Rt△EGH中，设EG=x，则GH=BG=1-x，∴GH2=EH2+EG2，即(1-x)2=(2-)2+x2，
解得x=2-3．即EG=2-3．故答案为：60°；2-3．
【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质，含30度角的直角三角形的性质．解答此类题目是最常用的方法是设所求线段的长为x，再根据勾股定理列方程求解．
13．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上一点，将沿所在直线翻折得到，连接．当N为边的中点时，的长度为 ；点N在边上运动的过程中，长度的最小值为 ．
【答案】
【分析】①连接、，先证明点三点共线，再说明是等边三角形，再利用三角函数即可解答；②先说明长度的最小值时，点应在上，过点M作，交延长线于点F，再利用勾股定理即可求出．
【详解】①连接、
∵将沿所在直线翻折得到∴
∵M是边的中点，N为边的中点∴是中位线
∴∴∴点三点共线∵四边形为菱形∴
∵∴是等边三角形，
∴∴故答案为
∵是定值∴长度的最小值时，点应在上，过点M作，交延长线于点F．
则有，∴，
∴∴∴
∵∴故答案为；．
【点睛】本题考查了菱形的性质、翻折的性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
14．（2023·浙江金华·九年级校考期中）如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在边上的处，点落在点处，折痕为，点，分别在边，上，若为直角三角形，则的长为 ．
【答案】或/或
【分析】分和两种情况，当时，设，则，再根据菱形的边长相等即可求解；当时，，依据等腰三角形的性质，可得的长，进而可得的长．
【详解】解：菱形中，，，
分两种情况讨论，（1）当时，如图所示：
则，为等腰直角三角形，
设，则，由，可得，
解得，即，；
（2）当时，如图所示：
则，为等腰直角三角形，
，，
，综上可知，的长为或．故答案为：或．
【点睛】本题考查折叠的性质，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，掌握折叠前后对应边相等是解题的关键，注意分情况讨论，避免漏解．
15．（2023秋·河南开封·九年级校考期末）如图，在菱形中，，，M为边的中点，N为边上一动点（不与点B重合），将沿直线折叠，使点B落在点E 处，连接，，当为等腰三角形时，的长为 ．
【答案】4或
【分析】分两种情况①当时，连接，作于，由菱形的性质得出，，，得出，，，求出，，由折叠的性质得，，，证明，得出，证出、、三点共线，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当时，，此时点与重合，与点重合，，是等边三角形，（含这种情况）．
【详解】解：分两种情况：
当时，连接，作于，如图1所示：
四边形是菱形，，，，
，，，
，，，
，，为的中点，，
由折叠的性质得：，，，
在和中，，，
，，、、三点共线，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，解得：，即；
当时，，此时点与重合，与点重合，如图2所示：
，是等边三角形，（含这种情况）；
综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为或4；故答案为：或4．
【点睛】本题考查了折叠变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，注意分类讨论．
16．（2023秋·重庆·九年级校考期中）如图，在矩形中，，，对角线相交于点E，将沿着翻折到，连接，则的长为 ．
【答案】
【分析】连接，交于点，说明为的中位线，再利用勾股定理列方程即可求解．
【详解】解：连接，交于点，如下图：
∵将沿着翻折到，∴垂直平分∴，
∵四边形为矩形∴，，
∴为的中位线∴设，则
由勾股定理可得：解得 故答案为：
【点睛】此题考查了翻折变换，矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
17．（2023·河南周口·校联考二模）如图，矩形的边长为6，将沿对角线翻折得到，与交于点，再以为折痕，将进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为 ．
【答案】或
【分析】可得，，①当点恰好落在上时，可证，从而可证为等腰三角形，可得，设，则，由，即可求解；②当点恰好落在上时，可证四边形是正方形，设，则，可得，即可求解．
【详解】解：将沿对角线翻折得到，，；
将进行翻折，得到，，．
①如图，当点恰好落在上时，
在和中，（），
，为等腰三角形．
，为中点，．
设，则，在中：，
，解得，．
②如图，当点恰好落在上时，
，，四边形是正方形．
设，则．在和中 同理可证：，
，．
，，解得，．
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查了矩形中的折叠问题，矩形的性质，正方形的判定，折叠的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理等，掌握相关的判定方法及性质，能找出折叠的不同情况是解题的关键．
18．（2023春·山东滨州·八年级统考期末）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在对角线交点O处，折痕为，点E在边上，则的长为 ．
【答案】
【分析】首先证明是等边三角形，在中，结合含的直角三角形用勾股定理即可解决问题；
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，
由翻折性质可知：，∴，∴是等边三角形，
∴，∴，∴，
则由勾股定理可得：，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查矩形与翻折变换，等边三角形的判定和性质，含的直角三角形与勾股定理等知识，解题的关键是证明是等边三角形．
19．（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知如图，在矩形中，点E是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点H，延长，相交于点G，若，，则 ．
【答案】//
【分析】连接，根据折叠的性质和矩形的性质可得与是直角三角形，，再根据即可证明．根据全等三角形的性质可得，可设，则，在中，根据勾股定理可求的长，即的长，再在中，根据勾股定理可求的长，从而求出的长．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是矩形，∴，，.
由折叠的性质可得：．∴，．
是的中点，，
，，，，
设，则，，
在中，，即，解得：，即，
，，，，，
设，则，在中，，
即，解得，∴=，故答案为．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及折叠的性质特点，勾股定理的应用等知识，本题的关键在于通过矩形性质、折叠性质、方程思想求出的长．
20．（2023春·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，线段，的长分别是，且满足，点是线段上一点，将沿直线翻折，点落在矩形对角线上的点处．
(1)求线段的长；(2)求点的坐标；(3)所在直线与相交于点，点在轴的正半轴上，以、A、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点坐标．
【答案】(1)3(2)点的坐标为(3)点的坐标为或
【分析】（1）根据非负性解答即可，根据勾股定理，可得的长．（2）过作，利用面积法求出，即可．（3）得出的解析式，进而利用平行四边形的性质解答即可．
【详解】（1）解：设，
线段，的长分别是，且满足，∴ ，
由翻折的性质可得：，，
，可得： ，
在中，由勾股定理可得：，
即，解得：，可得：，
（2）过作，
在中， ，即，解得： ，
在中， ，所以点的坐标为，
（3）设直线的解析式为：，
把， 代入解析式可得，解得： ，
所以的解析式为：，
把代入的解析式，可得：，即，
当以、A、、为顶点的四边形是平行四边形时，，
所以，即存在点，且点的坐标为或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了非负性、用待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、平行四边形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过求一次函数的解析式和平行四边形的性质才能得出结果．
21．（2023春·浙江·八年级专题练习）在边长为6的菱形中，，点E、F是边、上的点，连接．(1)如图1，将沿翻折使B的对应点落在中点上，此时四边形是什么四边形？并说明理由．(2)如图2，若，以为边在右侧作等边；
①连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长度．②直接写出的最小值．
【答案】(1)菱形，理由见解析；(2)①或3；②．
【分析】（1），连接，先证明是等边三角形，可知，再根据翻折的性质得出，，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出答案；
（2）①作，作，先求出，，再根据证明 ，然后根据得出答案；当时，根据得出答案．②先确定点G的位置，根据勾股定理求出答案．
【详解】（1）答：菱形，理由如下：连接，
在菱形中，，∴，∴是等边三角形，∴．
在等边中， 是的中线，∴，
由翻折可得，，，∴，
∴，∴， ，
∴，，∴四边形是平行四边形.
又∵，∴四边形是菱形；
（2）①解：过点E作于点M，过点G作于点N，
在中，，，∴，．
∵，，∴．
∵，，∴，∴，，
当时，，∴；
当时，在中，，，∴，∴，
∴．综上，的长度为或3．
②最小值是．
如图，根据题意可知点G在上，且，当时，最短．
∵，，∴，．
在中，，∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等，构造辅助线是解题的关键．
22．（2023春·江西·九年级专题练习）（1）【知识呈现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．求证：四边形是菱形；
（2）【知识应用】如图②，直线分别交矩形的边、于点、，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，则的长为 ；
（3）【知识拓展】如图③，直线EF分别交平行四边形的边、于点、，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，，则四边形的面积为 ．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）15
【分析】（1）要证四边形是菱形，由已知条件可知，所以只需证明四边形是平行四边形，又知垂直平分，所以只需证明．由“”可证，可得；（2）过点作于，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求、的长，（3）过点作，交的延长线于，过点作于，由等腰直角三角形的性质可求，由勾股定理可求5．并证明四边形是菱形，即可由面积等于求出结果．
【详解】（1）证明：四边形ABCD是矩形，，，
EF垂直平分AC，，．
在与中，，，，
，四边形AFCE是平行四边形，，四边形AFCE是菱形．
（2）如图，连接、 由（教材呈现）可得平行四边形是菱形，
∴，，∵，∴，
∴，∴，∵，∴是直角三角形∴
∵，∴∴，故答案为：．
（3）如图，过点作，交的延长线于，过点作于，
∵四边形是平行四边形，，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵将沿翻折，使点的对称点与点重合，∴，，
∵，∴，∴，
∴，∴四边形是平行四边形，∴是菱形，
∴
∵在中，，∴，∴，
∴菱形的面积是：；故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．专题08 特殊平行四边形中的图形变换模型之翻折（折叠）模型
几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【知识储备】
折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。
折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。
【知识储备】
1）矩形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，在矩形纸片中，点在边上，将沿翻折得到，点落在上．若，，则（ ）cm．
A． B． C． D．
例2．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，是一张长方形纸片，且．沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在上（如图中的点），折痕交于点G，则（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，矩形中，，，将沿对角线翻折，使点落在处，与轴交于点，则点的坐标为 ．
例4．（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点落B在点F处，连结，则的长为（ ）
A．6 B． C． D．
例5．（2023春·广东韶关·八年级统考期末）把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
例6．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形中，，．点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F．将四边形沿着翻折，得到四边形，边交边于点G，连接，则的面积的最小值为（ ）
A．18－3 B． C． D．
例7．（2023春·辽宁抚顺·八年级校联考期中）如图，矩形纸片中，，，点E、G分别在上，将、分别沿翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段长为（ ）
A． B． C． D．
例8．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．
(1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝ °，＝ ；
(2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长；
(3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ．
2）菱形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，AD＝6，则BE的长为（ ）
A． B． C．3 D．3.5
例2．（2023·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到，连接，则线段长度的最小值是（ ）
A．－1 B．－1 C．－1 D．2
例3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，菱形纸片，，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在边的中点处，折痕与边分别交于点M、N．则的长为 ．
例4．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2023·重庆巴南·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，，M，N分别在AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折能与四边形EMNF重合，且线段EF经过顶点D，若，，则△DFC的面积为 ．
例6．（2023·安徽安庆·校考三模）如图，在菱形中，，，点E是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠使落在直线上，点B的对应点为点H，折痕为且交于点F．（1） ；（2）若点E是的中点，则的长为 ．
3）正方形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023春·广西河池·八年级统考期末）如图，在正方形中，，是的中点，将沿翻折至，是的中点，连接，则的长度是 ．
例2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（ ）
A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4
例3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，是一个正方形纸片，、分别为、的中点，沿过点的折痕将翻折，使点落在上如图的点，折痕交于点，那么( )
A． B． C． D．
例 4．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为 ．
例5．（2023春·江苏徐州·八年级期中）如图，正方形ABCD中，，点E在边CD上，且．将沿AE对折至，延长EF交边BC于点G．连结AG、CF．下列结论：①；②；③是正三角形；④的面积为90，其中正确的是 （填所有正确答案的序号）
例6．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，将正方形沿着、翻折，点、的对应点分别是点、，若，则 ．
例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形中，，点是边上一点（点不与重合），将沿直线翻折，点落在点处．
(1)如图2，当点落在对角线上时，求的长．(2)如图3，连接分别交于点，点，连接并延长交于点，当为中点时，试判断与的位置关系，并说明理由．
(3)如图4，在线段上取一点，且使，连接，则在点从点运动到点的过程中，的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由．
课后专项训练
1．（2023春·安徽·九年级专题练习）矩形中，，，点是边上一动点，沿翻折，若点的对称点恰好落在矩形的对称轴上，则折痕的长是（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考期中）如图，在矩形纸片中，E为上一点，将沿翻折至，若点F恰好落在上，，，则（ ）
A． B． C．4 D．5
3．（2023春·广东中山·八年级校联考期中）如图，矩形中，点、分别为边、上两动点，且，，沿翻折矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
4．（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，E是边AD上一动点，将△CDE沿CE 折叠，得到△CFE，则△BCF面积的最大值是（ ）
A．8 B． C．16 D．
5．（2023春·成都市九年级期中）如图，菱形ABCD中，∠BAD = 60°，AB = 6，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，若点G恰好为CD边的中点，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．3
6．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考一模）如图，正方形的边长为10，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·广东梅州·八年级校考期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是（ ）
A． B． C．1 D．
8．（2023·河北·模拟预测）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接，．则下列结论：①；②；③；④．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2023·广东深圳·一模）如图，将正方形翻折，使点、分别与点、重合，折痕为，交于点，交于点，连接、．给出以下结论：①垂直平分；②；③；④的周长等于的2倍．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2023春·山东日照·八年级统考期末）如图，将矩形沿着、、翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．②③④
11．（2023春·上海长宁·八年级校考期中）如图，在边长为2的正方形中，E为边的中点，点Р在边上．如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处．那么的长为 ．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，有一正方形纸片ABCD，先将正方形ABCD对折，设折痕为EF，再沿过点C的折痕将角B翻折，使得点B落在EF的H上，折痕交BE于点G，则∠HCF的度数为 ；若正方形ABCD的边长为2，则EG的长度为 ．
13．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上一点，将沿所在直线翻折得到，连接．当N为边的中点时，的长度为 ；点N在边上运动的过程中，长度的最小值为 ．
14．（2023·浙江金华·九年级校考期中）如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在边上的处，点落在点处，折痕为，点，分别在边，上，若为直角三角形，则的长为 ．
15．（2023秋·河南开封·九年级校考期末）如图，在菱形中，，，M为边的中点，N为边上一动点（不与点B重合），将沿直线折叠，使点B落在点E 处，连接，，当为等腰三角形时，的长为 ．
16．（2023秋·重庆·九年级校考期中）如图，在矩形中，，，对角线相交于点E，将沿着翻折到，连接，则的长为 ．
17．（2023·河南周口·校联考二模）如图，矩形的边长为6，将沿对角线翻折得到，与交于点，再以为折痕，将进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为 ．
18．（2023春·山东滨州·八年级统考期末）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在对角线交点O处，折痕为，点E在边上，则的长为 ．
19．（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知如图，在矩形中，点E是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点H，延长，相交于点G，若，，则 ．
20．（2023春·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，线段，的长分别是，且满足，点是线段上一点，将沿直线翻折，点落在矩形对角线上的点处．
(1)求线段的长；(2)求点的坐标；(3)所在直线与相交于点，点在轴的正半轴上，以、A、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点坐标．
21．（2023春·浙江·八年级专题练习）在边长为6的菱形中，，点E、F是边、上的点，连接．(1)如图1，将沿翻折使B的对应点落在中点上，此时四边形是什么四边形？并说明理由．(2)如图2，若，以为边在右侧作等边；
①连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长度．②直接写出的最小值．
22．（2023春·江西·九年级专题练习）（1）【知识呈现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．求证：四边形是菱形；
（2）【知识应用】如图②，直线分别交矩形的边、于点、，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，则的长为 ；
（3）【知识拓展】如图③，直线EF分别交平行四边形的边、于点、，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，，则四边形的面积为 ．
