专题09 力电综合问题
1.本专题主要培养学生应用动量定理、动量守恒定律、动能定理、机械能守恒定律和能量守恒定律分析与解决电学综合问题。
2.动量定理和动量守恒定律在电学中的理解及应用；应用动量和能量观点解决电场和磁场问题；电磁感应中的动量和能量问题。
3.本专题针对综合性计算题的考查，一般过程复杂，要综合利用电学知识、动量和能量观点分析问题，综合性较强，难度较大。
题型一、带电粒子在重力场和电场中的圆周运动
1.等效重力场
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运动问题就会变得复杂一些。此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为“等效重力场”。
2.
题型二、电场中的力电综合问题
1.动力学的观点
（1）由于匀强电场中带电粒子所受静电力和重力都是恒力，可用正交分解法。
（2）综合运用牛顿运动定律和运动学公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要考虑的问题。
2.能量的观点
（1）运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有力做的功，判断是对分过程还是对全过程使用动能定理。
（2）运用能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现。
①若带电粒子只在静电力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变。
②若带电粒子只在重力和静电力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变。
3.动量的观点
（1）运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各个矢量必须选同一个正方向。
（2）运用动量守恒定律，除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式，还要注意题目表述是否为某方向上动量守恒。
1．（2024 南充模拟）如图，足够长的光滑绝缘水平台面左端固定一被压缩的绝缘轻质弹簧，一个质量m＝0.05kg的可视为质点的带电小球与弹簧接触但不栓接，小球带电荷量q＝+1×10﹣4C。某一瞬间释放弹簧弹出小球，小球从水平台面右端A点飞出，恰好能以v＝5m/s的速率没有碰撞地落到粗糙倾斜轨道的最高点B，并沿轨道滑下。已知倾斜轨道与水平方向夹角为α＝37°、倾斜轨道长为L＝2.75m，带电小球与倾斜轨道间的动摩擦因数μ＝0.5。倾斜轨道通过光滑水平轨道CD与半径R＝0.5m的光滑过山车模型的竖直圆轨道相连，小球在C点没有机械能损失，运动过程小球的电荷量保持不变。竖直圆轨道处在范围足够大的竖直向下的匀强电场中，圆轨道上的一点P位于圆轨道最低点D的右侧，距水平轨道高为h0＝0.06m（cos37°＝0.8，sin37°＝0.6，取g＝10m/s2）。求：
（1）AB间的竖直距离h及被释放前弹簧的弹性势能Ep；
（2）要使小球不脱离轨道（水平轨道足够长），电场强度E所满足的条件；
（3）如果E＝2×104N/C，小球进入轨道后，能够通过P点的次数。
【答案】（1）AB间的竖直距离h大小为0.45m，被释放前弹簧的弹性势能Ep大小为0.4J；
（2）要使小球不脱离轨道，电场强度E所满足的条件为E≥1.3×104N/C或E≤2.2×103N/C；
（3）如果E＝2×104N/C，小球进入轨道后，能够通过P点的次数为4次。
【解答】解：（1）小球从A到B做平抛运动，小球在B点处的速度分解如图所示，
B点处竖直分速度为：
vy＝vsin37°
代入数据得：vy＝3m/s
在A点处速度为：
vx＝vcos37°
代入数据得：vx＝4m/s
由自由落体运动公式得：
代入数据得：h＝0.45m
弹簧的弹性势能为：
代入数据得：Ep＝0.4J
（2）若小球恰能到达圆轨道最高点时速度v1，由牛顿第二定律得：
小球从B恰好运动到圆轨道最高点时，由动能定理得：
联立解得：
若小球从B恰好运动到圆轨道圆心等高处时，由动能定理得：
解得：
可知电场强度E所满足的条件为：
E≥1.3×104N/C
或
E≤2.2×103N/C
（3）若E＝2×104N/C，E≥1.3×104N/C，小球无法运动到圆轨道的圆心等高处，小球从B点到达圆轨道上最大高度h1处的过程中，由动能定理得：
解得：h1＝0.36m
小球从第一次所能到达的圆轨道上最大高度h1处滑下后，冲上斜面到达斜面最大高度处的过程中
（qE2+mg）h1＝（mgsin37°+μmgcos37°）x
小球从斜面最大高度处滑下，第二次到达圆轨道上最大高度h2处的过程中
（qE2+mg）h2＝（mgsin37°﹣μmgcos37°）x
联立解得：
则有
当n＝3时，可知
故小球能够通过P点4次。
答：（1）AB间的竖直距离h大小为0.45m，被释放前弹簧的弹性势能Ep大小为0.4J；
（2）要使小球不脱离轨道，电场强度E所满足的条件为E≥1.3×104N/C或E≤2.2×103N/C；
（3）如果E＝2×104N/C，小球进入轨道后，能够通过P点的次数为4次。
2．（2024 黑龙江模拟）如图所示，两相同极板M、N的长度为L＝0.6m，相距d＝0.5m，OO′为极板右边界，OO′的右侧存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E＝10N/C。光滑绝缘圆弧轨道ABC竖直放置，A与OO’在同一竖直线上，圆弧AB的圆心角θ＝53°，BC是竖直直径。小球以v0＝3m/s的水平速度从左侧飞入极板M、N，飞离极板后恰好从A点沿切线方向进入圆弧轨道。已知小球质量m＝1.0kg，电荷量q＝0.5C，重力加速度g＝10m/s2，cos53°＝0.6，不计空气阻力。求：
（1）小球在A点的速度vA；
（2）M、N极板间的电势差U；
（3）欲使小球沿圆弧轨道能到达最高点C，半径R的取值范围。
【答案】（1）小球在A点的速度vA为5m/s。
（2）M、N极板间的电势差U为10V；
（3）欲使小球沿圆弧轨道能到达最高点C，半径R的取值范围为0＜Rm。
【解答】解：（1）小球在M、N极板间做类平抛运动，将A点的速度分解，如图所示。
则vAm/s＝5m/s
（2）在A点，有vy＝v0tan53°＝3m/s＝4m/s
带电粒子在M、N极板间运动时间为ts＝0.2 s
由vy＝at，得a＝20m/s2
由牛顿第二定律得：mg+Eq＝ma
结合U＝Ed，解得：U＝10V
（3）若小球恰能到达最高点C时，由重力和电场力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得
mg+qE＝m
小球从A点运动到C点的过程，由动能定理得
﹣（mg+qE）R（1+cos53°）
解得：Rm
故半径R的取值范围为：0＜Rm
答：（1）小球在A点的速度vA为5m/s。
（2）M、N极板间的电势差U为10V；
（3）欲使小球沿圆弧轨道能到达最高点C，半径R的取值范围为0＜Rm。
3．（2024 昌乐县校级模拟）如图所示，空间中在一矩形区域Ⅰ内有场强大小E1＝1×102N/C、方向水平向右的匀强电场；一条长L＝0.8m且不可伸长的轻绳一端固定在区域Ⅰ的左上角O点，另一端系一质量m1＝0.5kg、带电荷量q＝﹣0.1C的绝缘带电小球a；在紧靠区域Ⅰ的右下角C点竖直放置一足够长、半径R＝1m的光滑绝缘圆筒，圆筒上端截面水平，CD是圆筒上表面的一条直径且与区域Ⅰ的下边界共线，直径MN与直径CD垂直，圆筒内左半边MNCHJK区域Ⅱ中存在大小E2＝20N/C、方向垂直纸面向里的匀强电场。把小球a拉至A点（轻绳绷直且水平）静止释放，当小球a运动到O点正下方B点时，轻绳恰好断裂。小球a进入电场继续运动，刚好从区域Ⅰ的右下角C点竖直向下离开电场E1，然后贴着圆筒内侧进入区域Ⅱ。已知重力加速度大小取g＝10m/s2，绳断前、断后瞬间，小球a的速度保持不变，忽略一切阻力。求：
（1）轻绳的最大张力Tm；
（2）小球a运动到C点时速度的大小vC和小球a从B到C过程电势能的变化量ΔEp；
（3）若小球a刚进入圆筒时，另一绝缘小球b从D点以相同速度竖直向下贴着圆筒内侧进入圆筒，小球b的质量m2＝0.5kg，经过一段时间，小球a、b发生弹性碰撞，且碰撞中小球a的电荷量保持不变，则从小球b进入圆筒到与小球a发生第5次碰撞后，小球b增加的机械能ΔEb是多大。
【答案】（1）轻绳的最大张力15N；
（2）小球a运动到C点时速度的大小2m/s，小球a从B到C过程电势能增加了4J；
（3）从小球b进入圆筒到与小球a发生第5次碰撞后，小球b增加的机械能10J。
【解答】解：（1）小球a从A运动到B点，根据动能定理
解得v＝4m/s
在B点，根据牛顿第二定律得
解得Tm＝15N
（2）小球a在区域Ⅰ中，根据牛顿第二定律：水平方向qE1＝ma
解得a＝20m/s2
小球a减速至0时，解得t＝0.2s
，解得x＝0.4m
小球a运动到C点时的速度大小为vC＝gt，解得vC＝2m/s
小球a从B运动到C点，小球a电势能的变化量为ΔEP＝﹣W＝﹣qE1 x，解得ΔEP＝4J
即小球电势能增加了4J。
（3）因两球在竖直方向下落一样快，故它们碰撞时是水平正碰。根据水平方向碰撞时动量守恒和能量守恒。由于两球质量相等，所以它们正碰时交换水平方向速度。小球a从进入圆筒到第5次碰撞前，小球a增加的机械能为ΔEa＝qE2R+2 qE22R，解得ΔEa＝10J
则第5次碰撞后，小球b增加的机械能为ΔEb＝ΔEa＝10J
答：（1）轻绳的最大张力15N；
（2）小球a运动到C点时速度的大小2m/s，小球a从B到C过程电势能增加了4J；
（3）从小球b进入圆筒到与小球a发生第5次碰撞后，小球b增加的机械能10J。
4．（2024 重庆模拟）如图所示，ABC为光滑的固定在竖直面内的半圆形轨道，轨道半径为R＝0.4m，A、B为半圆轨道水平直径的两个端点，O为圆心．在水平线MN以下和竖直线OQ以左的空间内存在竖直向下的匀强电场，电场强度E＝1.0×106N/C．现有一个质量m＝2.0×10﹣2kg，电荷量q＝2.0×10﹣7C的带正电小球（可看作质点），从A点正上方由静止释放，经时间t＝0.3s到达A点并沿切线进入半圆轨道，g＝10m/s2，不计空气阻力及一切能量损失，求：
（1）小球经过C点时对轨道的压力大小；
（2）小球经过B点后能上升的最大高度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意可知，小球进入电场前做自由落体运动，设下落的高度为h，到达C的速度为vC，由题意可得：（1）
小球进入电场后做圆周运动，从A点运动到C点过程由动能定理可得：（2）
可得：vC＝5m/s（3）
设到达C时轨道对小球的支持力为N，由受力分析可得：（4）
由牛顿第三定律可得小球对轨道的压力大小为N'＝N＝1.65N（5）
（2）设小球经过B点后上升的最大高度为h'，小球从C点经过B点上升到最高点的过程中，由机械能守恒定律可得：（6）
代入数据可得：h'＝0.85m（7）
答：（1）小球经过C点时对轨道的压力大小为1.65N；
（2）小球经过B点后能上升的最大高度0.85m．
5．（2024 广东模拟）人类为了开发外太空，需要模拟各种等效重力场下的逃生方式。如图所示，水平面xOy和竖直面yOz内分别固定着两个半径均为R的半圆形光滑绝缘轨道OMN和OPQ，整个空间存在着方向沿y轴正方向的匀强电场，质量均为m的逃生球A、B套在轨道上，其中绝缘的A球不带电，B球的电荷量为+q。已知匀强电场的电场强度大小为E（g为重力加速度），B球从OMN轨道进入OPQ轨道时无能量损失，初始时B球静止在OMN轨道的中点处，A球以大小为v0＝3的初速度从N点滑上轨道，A、B两球之间的碰撞为弹性碰撞，且碰撞过程中B球的电荷量不变，A、B两球均可视为质点，求：
（1）B球到达O点的速度大小；
（2）B球在OPQ轨道上的最小动能；
（3）B球从Q点脱离轨道后，经过y轴时的坐标。
【答案】（1）B球到达O点的速度大小为；
（2）B球在OPQ轨道上的最小动能为；
（3）B球从Q点脱离轨道后，经过y轴时的坐标为。
【解答】解：（1）A球从N到M过程做匀速圆周运动，到M与B球发生弹性碰撞，设A球与B球碰后速度分别为v1、v2，取x轴负方向为正方向，根据动量守恒定律有
mv0＝mv1+mv2
根据能量守恒定律有
联立解得
v1＝0，
B球从M到O过程，根据动能定理有
解得
；
（2）B球滑上OPQ轨道，将重力场和电场等效为等效重力场，如图所示
设等效重力与竖直方向的夹角为θ，根据几何关系有
解得
，θ＝45°
即等效重力大小为，方向与竖直方向的夹角为45°，过OPQ的圆心作F的平行线交OPQ于C点，故C点为等效最高点，B球在等效最高点速度最小，动能最小，根据动能定理有
解得
；
（3）设B球在Q点的速度为v，B球才O到Q过程根据动能定理有
解得
B球从Q点脱离轨道后，沿着z轴负方向做自由落体运动，根据运动学公式有
沿着y轴方向做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有
根据运动学公式有
联立解得
故B球从Q点脱离轨道后，经过y轴时的坐标为。
答：（1）B球到达O点的速度大小为；
（2）B球在OPQ轨道上的最小动能为；
（3）B球从Q点脱离轨道后，经过y轴时的坐标为。专题09 力电综合问题
1.本专题主要培养学生应用动量定理、动量守恒定律、动能定理、机械能守恒定律和能量守恒定律分析与解决电学综合问题。
2.动量定理和动量守恒定律在电学中的理解及应用；应用动量和能量观点解决电场和磁场问题；电磁感应中的动量和能量问题。
3.本专题针对综合性计算题的考查，一般过程复杂，要综合利用电学知识、动量和能量观点分析问题，综合性较强，难度较大。
题型一、带电粒子在重力场和电场中的圆周运动
1.等效重力场
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运动问题就会变得复杂一些。此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为“等效重力场”。
2.
题型二、电场中的力电综合问题
1.动力学的观点
（1）由于匀强电场中带电粒子所受静电力和重力都是恒力，可用正交分解法。
（2）综合运用牛顿运动定律和运动学公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要考虑的问题。
2.能量的观点
（1）运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有力做的功，判断是对分过程还是对全过程使用动能定理。
（2）运用能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现。
①若带电粒子只在静电力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变。
②若带电粒子只在重力和静电力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变。
3.动量的观点
（1）运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各个矢量必须选同一个正方向。
（2）运用动量守恒定律，除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式，还要注意题目表述是否为某方向上动量守恒。
1．（2024 南充模拟）如图，足够长的光滑绝缘水平台面左端固定一被压缩的绝缘轻质弹簧，一个质量m＝0.05kg的可视为质点的带电小球与弹簧接触但不栓接，小球带电荷量q＝+1×10﹣4C。某一瞬间释放弹簧弹出小球，小球从水平台面右端A点飞出，恰好能以v＝5m/s的速率没有碰撞地落到粗糙倾斜轨道的最高点B，并沿轨道滑下。已知倾斜轨道与水平方向夹角为α＝37°、倾斜轨道长为L＝2.75m，带电小球与倾斜轨道间的动摩擦因数μ＝0.5。倾斜轨道通过光滑水平轨道CD与半径R＝0.5m的光滑过山车模型的竖直圆轨道相连，小球在C点没有机械能损失，运动过程小球的电荷量保持不变。竖直圆轨道处在范围足够大的竖直向下的匀强电场中，圆轨道上的一点P位于圆轨道最低点D的右侧，距水平轨道高为h0＝0.06m（cos37°＝0.8，sin37°＝0.6，取g＝10m/s2）。求：
（1）AB间的竖直距离h及被释放前弹簧的弹性势能Ep；
（2）要使小球不脱离轨道（水平轨道足够长），电场强度E所满足的条件；
（3）如果E＝2×104N/C，小球进入轨道后，能够通过P点的次数。
2．（2024 黑龙江模拟）如图所示，两相同极板M、N的长度为L＝0.6m，相距d＝0.5m，OO′为极板右边界，OO′的右侧存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E＝10N/C。光滑绝缘圆弧轨道ABC竖直放置，A与OO’在同一竖直线上，圆弧AB的圆心角θ＝53°，BC是竖直直径。小球以v0＝3m/s的水平速度从左侧飞入极板M、N，飞离极板后恰好从A点沿切线方向进入圆弧轨道。已知小球质量m＝1.0kg，电荷量q＝0.5C，重力加速度g＝10m/s2，cos53°＝0.6，不计空气阻力。求：
（1）小球在A点的速度vA；
（2）M、N极板间的电势差U；
（3）欲使小球沿圆弧轨道能到达最高点C，半径R的取值范围。
3．（2024 昌乐县校级模拟）如图所示，空间中在一矩形区域Ⅰ内有场强大小E1＝1×102N/C、方向水平向右的匀强电场；一条长L＝0.8m且不可伸长的轻绳一端固定在区域Ⅰ的左上角O点，另一端系一质量m1＝0.5kg、带电荷量q＝﹣0.1C的绝缘带电小球a；在紧靠区域Ⅰ的右下角C点竖直放置一足够长、半径R＝1m的光滑绝缘圆筒，圆筒上端截面水平，CD是圆筒上表面的一条直径且与区域Ⅰ的下边界共线，直径MN与直径CD垂直，圆筒内左半边MNCHJK区域Ⅱ中存在大小E2＝20N/C、方向垂直纸面向里的匀强电场。把小球a拉至A点（轻绳绷直且水平）静止释放，当小球a运动到O点正下方B点时，轻绳恰好断裂。小球a进入电场继续运动，刚好从区域Ⅰ的右下角C点竖直向下离开电场E1，然后贴着圆筒内侧进入区域Ⅱ。已知重力加速度大小取g＝10m/s2，绳断前、断后瞬间，小球a的速度保持不变，忽略一切阻力。求：
（1）轻绳的最大张力Tm；
（2）小球a运动到C点时速度的大小vC和小球a从B到C过程电势能的变化量ΔEp；
（3）若小球a刚进入圆筒时，另一绝缘小球b从D点以相同速度竖直向下贴着圆筒内侧进入圆筒，小球b的质量m2＝0.5kg，经过一段时间，小球a、b发生弹性碰撞，且碰撞中小球a的电荷量保持不变，则从小球b进入圆筒到与小球a发生第5次碰撞后，小球b增加的机械能ΔEb是多大。
4．（2024 重庆模拟）如图所示，ABC为光滑的固定在竖直面内的半圆形轨道，轨道半径为R＝0.4m，A、B为半圆轨道水平直径的两个端点，O为圆心．在水平线MN以下和竖直线OQ以左的空间内存在竖直向下的匀强电场，电场强度E＝1.0×106N/C．现有一个质量m＝2.0×10﹣2kg，电荷量q＝2.0×10﹣7C的带正电小球（可看作质点），从A点正上方由静止释放，经时间t＝0.3s到达A点并沿切线进入半圆轨道，g＝10m/s2，不计空气阻力及一切能量损失，求：
（1）小球经过C点时对轨道的压力大小；
（2）小球经过B点后能上升的最大高度．
5．（2024 广东模拟）人类为了开发外太空，需要模拟各种等效重力场下的逃生方式。如图所示，水平面xOy和竖直面yOz内分别固定着两个半径均为R的半圆形光滑绝缘轨道OMN和OPQ，整个空间存在着方向沿y轴正方向的匀强电场，质量均为m的逃生球A、B套在轨道上，其中绝缘的A球不带电，B球的电荷量为+q。已知匀强电场的电场强度大小为E（g为重力加速度），B球从OMN轨道进入OPQ轨道时无能量损失，初始时B球静止在OMN轨道的中点处，A球以大小为v0＝3的初速度从N点滑上轨道，A、B两球之间的碰撞为弹性碰撞，且碰撞过程中B球的电荷量不变，A、B两球均可视为质点，求：
（1）B球到达O点的速度大小；
（2）B球在OPQ轨道上的最小动能；
（3）B球从Q点脱离轨道后，经过y轴时的坐标。
