专题12 用数学方法解决物理问题
1.本专题主要是应用数学知识和方法解决物理问题，考查分析、归纳和推理能力，对数学能力的要求较高。
2.本专题选择题和计算题都可涉及；选择题一般考查某一数学方法的应用，难度中等；计算题主要考查应用数学知识分析、解决物理问题的能力，题目难度较大。
技巧点拨
应用数学方法处理物理问题的能力具体要求为：
(1)能根据具体的物理问题列出物理量之间的关系，能把有关的物理条件用数学方程表示出来。
(2)在解决物理问题时，往往需要经过数学推导和求解；求得结果后，有时还要用图象或函数关系把它表示出来；必要时还应对数学运算的结果做出物理上的解释。
(3)能够运用几何图形、函数图象解决物理问题，能够对物理规律、状态和过程在理解的基础上用合适的图象表示出来，会用图象来处理物理问题。
高中物理解题常见的数学思想方法包括估算法、几何法、函数法、比值法、图解法、极值法、微元法、归纳法、特殊值法、极限分析法、分类讨论法等，经常要用到的数学知识包括平面几何、函数图象、解三角形、不等式、数列、微积分初步等。
1．（2024·宁夏银川·一模）某实验研究小组为探究物体冲上粗糙斜面能达到的最大位移x与斜面倾角θ的关系，使某一物体每次以不变的初速率v0沿足够长的斜面向上运动，如图甲所示，调节斜面与水平面的夹角θ，实验测得x与θ的关系如图乙所示，取g=10m/s2。则由图可知（ ）
A．物体的初速率v0=5m/s
B．物体与斜面间的动摩擦因数 =0.75
C．图乙中xmin=0.36m
D．取初始位置所在水平面为重力势能参考平面，当θ=37°，物体上滑过程中动能与重力势能相等时，物体上滑的位移为0.1875m
【答案】BC
【详解】A．由图乙可知，当时，物体做竖直上抛运动，摩擦力是零，由竖直上抛运动的速度位移关系公式可得
解得
A错误；
B．当时，物体沿水平面做匀减速直线运动，由动能定理可得
解得
B正确；
C．物体沿斜面向上运动时，由动能定理可得
代入数据整理可得
C正确；
D．设动能与重力势能相等时，物体上滑的位移为，则有
代入数据整理解得
D错误。
故选BC。
2．（2024高三下·山东德州·开学考试）如图所示，足够长的金属导轨和固定放置，其中与、与相互平行，左右两侧导轨间距分别为和，所在平面与水平面夹角均为，导轨两侧空间均有垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小均为。质量分别为2m、m的均匀金属棒和，垂直放置在导轨上。运动过程中，两金属棒与导轨保持光滑接触，始终垂直于导轨，电阻均为，导轨电阻不计，重力加速度大小为g。则（ ）
A．若导体棒固定，则导体棒稳定时的速度大小为
B．若将导体棒和同时释放，则二者同时达到最大速度
C．若同时释放两导体棒，当下降高度为时达到最大速度，则此过程中导体棒产生的焦耳热为
D．若同时释放两导体棒，当下降高度为时，该过程中通过导体棒的电量为
【答案】ABD
【详解】A．若导体棒固定，则导体棒稳定时做匀速直线运动，导体棒产生的感应电动势为
导体棒受安培力为
由平衡条件可得
解得
A正确；
B．若将导体棒和同时释放，导体棒和所受安培力分别为
可知
由牛顿第二定律可得导体棒的加速度为
导体棒的加速度为
可知两金属棒的加速度大小相等，且同时释放，运动时间相同，则在同一时刻两金属棒的速度大小相等，则有
由电磁感应定律，可知回路中的感应电动势大小为
回路中的感应电流
导体棒和在做匀速直线运动时速度最大，对导体棒，由平衡条件可得
解得
B正确；
C．若同时释放两导体棒，当下降高度为时达到最大速度，在此过程中由能量守恒定律可得
解得闭合回路产生的焦耳热
导体棒产生的焦耳热为
C错误；
D．若同时释放两导体棒，当下降高度为时，该过程中通过导体棒的电量为
D正确。
故选ABD。
3．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在阴影部分区域内有磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的有界匀强磁场（边界上有磁场），其边界Ⅰ是半径为R的圆的一部分，边界Ⅱ是以圆的弦AC为直径的半圆。弦长AC等于。在磁场右侧存在宽度为R的线状粒子源MN，，MD为圆的切线。粒子源以平行于弦AC方向发射速度大小的带负电粒子，粒子的比荷为、不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，以下说法正确的是（ ）
A．从N点对着圆心发射的粒子，在磁场中运动的轨道半径为，从边界Ⅰ离开磁场
B．从N点对着圆心发射的粒子在磁场中的运动时间为
C．粒子源MN发射的全部粒子都会经过圆心
D．若将粒子速度大小改为，磁场反向，则粒子经有界磁场偏转后全部经过D点
【答案】BCD
【详解】A．从N点对着圆心发射的粒子，其轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心力，可得
代入数据解得粒子在磁场中运动的轨道半径为
由图可知，粒子从边界Ⅱ离开磁场，A错误；
B．由A选项解析可知，两圆弧在E点垂直，粒子由E点离开磁场做匀速直线运动经O2点，由几何关系可得
解得
粒子在磁场中运动周期为
从N点对着圆心发射的粒子在磁场中的运动时间为
B正确；
C．粒子从D点射入磁场，由P点离开磁场，其轨迹如图所示，由以上解析可知粒子的轨道半径为
又边界Ⅱ的半径也为，可知在P点两圆弧垂直，则粒子由P点离开磁场做匀速直线运动经O2，由几何关系则有
可得
则有粒子源MN发射的全部粒子都会经过圆心，C正确；
D．若将粒子速度大小改为，磁场反向，可知粒子的轨道半径为R，则粒子从N点对着圆心发射的粒子在磁场中的运动的轨迹如图所示，可知从M点对着D点发射的粒子，必经D点，则粒子经有界磁场偏转后全部经过D点，D正确。
故选BCD。
4．（2024·吉林白山·二模）2023年11月，首台国产质子治疗装置在上海正式走向临床治疗（如图甲），该装置的原理是质子加速后汇聚到圆柱形管道中轴线形成质子束，然后经高能运输线运送至各治疗室。现有质子加速后，沿圆柱形管道中轴线以匀速运动，如图乙，现由于某些客观原因，管道需要“拐弯”到另一对接圆柱形管道，对接管道与原管道夹角，现在“拐弯”处矩形ABCD区域内加上电场或磁场，使得管道中质子从该区域出射时刚好沿对接管道的中轴线运动（从ED的中点并与水平方向成射出）。已知：，质子电荷量，质子质量，质子重力不计，下面有两种设计方案：
（1）方案一：在矩形ABCD区域，区域内设计一沿AC方向的匀强电场，使质子最终从ED的中点并与水平方向成射出，求电场强度的大小，以及AB与CD间需施加多大电压才能形成该电场；
（2）方案二：在矩形ABCD区域内设计一垂直ABCD所在平面的匀强磁场，使质子最终从ED的中点并与水平方向成射出，求所需的磁场强度B的大小和方向；
（3）你认为上述两种方案中哪种方案更符合实际情况，便于实施，简要说明理由。
【答案】（1），；（2），方向垂直于纸面向外；（3）方案二，理由见解析
【详解】（1）方案一：设计一沿AC方向的匀强电场，则质子在该区域内做类平抛运动，如图
有
，，
得
（2）方案二：加入垂直ABCD平面向外的磁场，质子在磁场中做匀速圆周运动，设轨道半径为r，如图
由洛仑兹力提供向心力得
如图已知两点速度方向，分别做垂线，交点即为圆心
由几何关系得
得
方向垂直于纸面向外
（3）方案一施加电压明显过高，从安全和技术角度已经无法实现，且电场会改变粒子的能量，因此无法使用；方案二所需磁感应强度，从安全和技术上看完全可以实现，同时也不会改变粒子的动能。因此，方案二更符合实际情况，便于实现。
5．（2024·山东菏泽·一模）如图装置是波荡器的简化模型，S是离子源，可水平向右发射初速度为的电子，且离子源S可沿竖直分界线M上下自由移动，M、N之间宽为L，此区间内可加一竖直向上的匀强电场，电场强度可调；N分界线的右侧有n个互不重叠的圆形磁场区域，沿水平直线等间距分布，AF为其中心线，圆形磁场半径均为R，磁感应强度大小可调且所有圆形磁场内的磁感应强度始终保持相等，相邻磁场方向相反且均垂直纸面。若离子源S正对波荡器的中心线，MN间电场强度调为零，则电子从A点沿中心线向右射入波荡器，调节磁感应强度大小为（未知），电子恰好能从点正上方离开第一个磁场，电子的质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应及磁场边界效应，不计电子的重力。
（1）求磁感应强度大小；
（2）若离子源S沿分界线M向上移动到某位置，M、N间加上电场后，则电子以从A点射入波荡器，离子源S需沿M边界上移多高；已知的距离，调节磁场区域的圆心间距D和磁感应强度B的大小，可使电子每次穿过中心线时速度方向与中心线的夹角均为30°，电子做扭摆运动，最终通过中心线上的F点，求D的大小和磁感应强度B的大小；
（3）在（2）问的情况下，求电子从A点开始做扭摆运动的周期。
【答案】（1）；（2），， ；（3）
【详解】（1）由题意可知，初速度为的电子从A点沿中心线向右射入波荡器，在第一个磁场中做匀速圆周运动，电子恰好能从点正上方离开第一个磁场，由几何知识可知，电子的轨道半径为R，由洛伦兹力提供向心力可得
解得
（2）设离子源S需沿M边界上移h高度，可知电子在MN间做类平抛运动，由平抛运动的推论可得
解得
此时电子在A点的速度为
从C点射入第一个磁场，则电子的运动轨迹如图所示，由题意和几何知识可得
电子做匀速圆周运动的圆心恰好在磁场圆上，且在磁场圆的正上方或正下方，由几何知识可得
由牛顿第二定律可得
联立解得
（3）由几何知识可知
则电子每次从水平线到磁场区域的时间为
由几何知识可得电子在磁场中做圆周运动的圆心角为
则电子每次在磁场中做圆周运动的时间为
则有电子从A点开始做扭摆运动的周期为
6．（2024·云南曲靖·一模）如图所示，真空中位置存在一带电粒子发射器，能够瞬间在平面内发射出大量初速度大小为的同种正电荷，以不同的入射角（为与轴正方向的夹角，且）射入半径为的圆形边界匀强磁场（图中未标出）。圆形磁场刚好与轴相切于点，所有电荷均在该磁场的作用下发生偏转，并全部沿轴正方向射出。图中第三象限虚线下方一定区域存在着方向沿轴正方向的匀强电场，虚线刚好经过点（为实线圆最右端的点）且顶点与点相切，同时观察到进入该电场区域的所有电荷均从点射入第一象限。第一象限内存在范围足够大的方向垂直于平面向里磁感应强度大小为的匀强磁场，点上方沿轴正方向放置足够长的荧光屏，电荷打在荧光屏上能够被荧光屏吸收。已知电荷的质量为，电荷量大小为，的距离为，不考虑电荷所受重力及电荷之间的相互作用力。求：
（1）圆形磁场磁感应强度的大小及方向；
（2）匀强电场上边界虚线的函数表达式；
（3）从点沿垂直轴向下射入磁场的粒子打在荧光屏上的坐标。
【答案】（1）；方向垂直于纸面向里；（2）；（3）
【详解】（1）根据几何关系可知电荷在实线圆内运动的半径也为，如图所示，有
解得
由左手定则可知，磁感应强度B1方向垂直于纸面向里。
（2）带电粒子在电场中做类平抛运动且汇聚在点，如图所示，设电荷进电场时位置的坐标为，故有
解得
点是虚线上一点，代入可解得
（3）设电荷从点射入第一象限的速度为，与轴的夹角为，如图所示，则
在第一象限内运动半径为
粒子被吸收的的位置为，由几何关系得
该点纵坐标为
该点横坐标为
即粒子打在荧光屏上的坐标为。专题12 用数学方法解决物理问题
1.本专题主要是应用数学知识和方法解决物理问题，考查分析、归纳和推理能力，对数学能力的要求较高。
2.本专题选择题和计算题都可涉及；选择题一般考查某一数学方法的应用，难度中等；计算题主要考查应用数学知识分析、解决物理问题的能力，题目难度较大。
技巧点拨
应用数学方法处理物理问题的能力具体要求为：
(1)能根据具体的物理问题列出物理量之间的关系，能把有关的物理条件用数学方程表示出来。
(2)在解决物理问题时，往往需要经过数学推导和求解；求得结果后，有时还要用图象或函数关系把它表示出来；必要时还应对数学运算的结果做出物理上的解释。
(3)能够运用几何图形、函数图象解决物理问题，能够对物理规律、状态和过程在理解的基础上用合适的图象表示出来，会用图象来处理物理问题。
高中物理解题常见的数学思想方法包括估算法、几何法、函数法、比值法、图解法、极值法、微元法、归纳法、特殊值法、极限分析法、分类讨论法等，经常要用到的数学知识包括平面几何、函数图象、解三角形、不等式、数列、微积分初步等。
1．（2024·宁夏银川·一模）某实验研究小组为探究物体冲上粗糙斜面能达到的最大位移x与斜面倾角θ的关系，使某一物体每次以不变的初速率v0沿足够长的斜面向上运动，如图甲所示，调节斜面与水平面的夹角θ，实验测得x与θ的关系如图乙所示，取g=10m/s2。则由图可知（ ）
A．物体的初速率v0=5m/s
B．物体与斜面间的动摩擦因数 =0.75
C．图乙中xmin=0.36m
D．取初始位置所在水平面为重力势能参考平面，当θ=37°，物体上滑过程中动能与重力势能相等时，物体上滑的位移为0.1875m
2．（2024高三下·山东德州·开学考试）如图所示，足够长的金属导轨和固定放置，其中与、与相互平行，左右两侧导轨间距分别为和，所在平面与水平面夹角均为，导轨两侧空间均有垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小均为。质量分别为2m、m的均匀金属棒和，垂直放置在导轨上。运动过程中，两金属棒与导轨保持光滑接触，始终垂直于导轨，电阻均为，导轨电阻不计，重力加速度大小为g。则（ ）
A．若导体棒固定，则导体棒稳定时的速度大小为
B．若将导体棒和同时释放，则二者同时达到最大速度
C．若同时释放两导体棒，当下降高度为时达到最大速度，则此过程中导体棒产生的焦耳热为
D．若同时释放两导体棒，当下降高度为时，该过程中通过导体棒的电量为
3．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在阴影部分区域内有磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的有界匀强磁场（边界上有磁场），其边界Ⅰ是半径为R的圆的一部分，边界Ⅱ是以圆的弦AC为直径的半圆。弦长AC等于。在磁场右侧存在宽度为R的线状粒子源MN，，MD为圆的切线。粒子源以平行于弦AC方向发射速度大小的带负电粒子，粒子的比荷为、不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，以下说法正确的是（ ）
A．从N点对着圆心发射的粒子，在磁场中运动的轨道半径为，从边界Ⅰ离开磁场
B．从N点对着圆心发射的粒子在磁场中的运动时间为
C．粒子源MN发射的全部粒子都会经过圆心
D．若将粒子速度大小改为，磁场反向，则粒子经有界磁场偏转后全部经过D点
4．（2024·吉林白山·二模）2023年11月，首台国产质子治疗装置在上海正式走向临床治疗（如图甲），该装置的原理是质子加速后汇聚到圆柱形管道中轴线形成质子束，然后经高能运输线运送至各治疗室。现有质子加速后，沿圆柱形管道中轴线以匀速运动，如图乙，现由于某些客观原因，管道需要“拐弯”到另一对接圆柱形管道，对接管道与原管道夹角，现在“拐弯”处矩形ABCD区域内加上电场或磁场，使得管道中质子从该区域出射时刚好沿对接管道的中轴线运动（从ED的中点并与水平方向成射出）。已知：，质子电荷量，质子质量，质子重力不计，下面有两种设计方案：
（1）方案一：在矩形ABCD区域，区域内设计一沿AC方向的匀强电场，使质子最终从ED的中点并与水平方向成射出，求电场强度的大小，以及AB与CD间需施加多大电压才能形成该电场；
（2）方案二：在矩形ABCD区域内设计一垂直ABCD所在平面的匀强磁场，使质子最终从ED的中点并与水平方向成射出，求所需的磁场强度B的大小和方向；
（3）你认为上述两种方案中哪种方案更符合实际情况，便于实施，简要说明理由。
5．（2024·山东菏泽·一模）如图装置是波荡器的简化模型，S是离子源，可水平向右发射初速度为的电子，且离子源S可沿竖直分界线M上下自由移动，M、N之间宽为L，此区间内可加一竖直向上的匀强电场，电场强度可调；N分界线的右侧有n个互不重叠的圆形磁场区域，沿水平直线等间距分布，AF为其中心线，圆形磁场半径均为R，磁感应强度大小可调且所有圆形磁场内的磁感应强度始终保持相等，相邻磁场方向相反且均垂直纸面。若离子源S正对波荡器的中心线，MN间电场强度调为零，则电子从A点沿中心线向右射入波荡器，调节磁感应强度大小为（未知），电子恰好能从点正上方离开第一个磁场，电子的质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应及磁场边界效应，不计电子的重力。
（1）求磁感应强度大小；
（2）若离子源S沿分界线M向上移动到某位置，M、N间加上电场后，则电子以从A点射入波荡器，离子源S需沿M边界上移多高；已知的距离，调节磁场区域的圆心间距D和磁感应强度B的大小，可使电子每次穿过中心线时速度方向与中心线的夹角均为30°，电子做扭摆运动，最终通过中心线上的F点，求D的大小和磁感应强度B的大小；
（3）在（2）问的情况下，求电子从A点开始做扭摆运动的周期。
6．（2024·云南曲靖·一模）如图所示，真空中位置存在一带电粒子发射器，能够瞬间在平面内发射出大量初速度大小为的同种正电荷，以不同的入射角（为与轴正方向的夹角，且）射入半径为的圆形边界匀强磁场（图中未标出）。圆形磁场刚好与轴相切于点，所有电荷均在该磁场的作用下发生偏转，并全部沿轴正方向射出。图中第三象限虚线下方一定区域存在着方向沿轴正方向的匀强电场，虚线刚好经过点（为实线圆最右端的点）且顶点与点相切，同时观察到进入该电场区域的所有电荷均从点射入第一象限。第一象限内存在范围足够大的方向垂直于平面向里磁感应强度大小为的匀强磁场，点上方沿轴正方向放置足够长的荧光屏，电荷打在荧光屏上能够被荧光屏吸收。已知电荷的质量为，电荷量大小为，的距离为，不考虑电荷所受重力及电荷之间的相互作用力。求：
（1）圆形磁场磁感应强度的大小及方向；
（2）匀强电场上边界虚线的函数表达式；
（3）从点沿垂直轴向下射入磁场的粒子打在荧光屏上的坐标。
