重庆求精中学校2023-2024学年度下初2021级二调模拟考试
数学试卷
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴公式为
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1. 的相反数为（）
A. 6 B. C. D.
2. 下列各图形不是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
3. 如图，直线，，它的顶点分别在直线上，且，若，则的度数为（）
A. B. C. D.
4. 如图，和是以点O为位似中心位似图形，点A在线段上．若，则与的周长之比为（）
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶9 D. 3∶1
5. 下列图形都是由同样大小的△按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个△，第②个图形中一共有13个△，第③个图形中一共有22个△，……，按此规律排列，则第⑧个图形中△的个数为（ ）
A. 97 B. 95 C. 87 D. 85
6. 估计的值在（ ）
A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间
7. 《2024年春节联欢晚会》以匠心独运的歌舞创编、暖心真挚的节目表演、充满科技感和时代感的视觉呈现，为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，其中“竖屏看春晚”直播播放量亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程()
A. B. C. D.
8. 如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，，则等于（）
A. 6 B. 4 C. D. 3
9. 如图，在正方形中，边、上分别有E，F两点，，平分交于点P．若，则的度数为（）
A. B. C. D.
10. 有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到……以此类推，得出下列说法中，正确的有（）个
①，，，；②；
③；④．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）
11. 计算：______．
12. 有3个外观完全相同的密封且不透明试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠三种溶液，小星从这3个试剂瓶中任意抽取2个，则抽到的2个都是酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）的概率是__________．
13. 如图，在五边形中，点M，N分别在边，上．若，则的度数为______．
14. 反比例函数的图象经过，，且，那么m的取值范围是______．
15. 如图，平行四边形的对角线交于点且以为圆心长为半径画弧交对角线于点以为圆心，长为半径画弧交对角线于点．若则图中阴影部分的面积为_____________（结果保留）
16. 如图，矩形纸片中，E为中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长为________．
17. 若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数有_________________个．
18. 对于一个各个数位上的数字均不相等且均不为零的三位自然数m，若m的十位数字分别小于m的百位数字与个位数字，则称m为“弦月数”，当三位自然数为弦月数时，重新排列m各个数位上的数字可得到一个最大数和一个最小数，规定，例如：，因为，，所以524是“弦月数”，若．求______；若三位自然数是“弦月数”（其中，，，x、y、z均为整数），且n的个位数字小于百位数字，，求满足条件的所有三位自然数n的值是______．
三、解答题（本大题8个小题，19题8分，其余每小题10分，共78分）
19. 计算：
（1）
（2）
20. 如图，在中，点D为边上的中点，连接．
（1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接，求证：．（请补全下面的证明过程）
证明：∵点D为边上的中点，
∴，（ ① ）
在和中，
∴（ ② ）
∴③，
在和中
∴（ ④ ）
∴，
∴（ ⑤ ）．
21. 2023年8月24日中午12点，日本福岛第一核电站启动核污染水排海，预估排放时间将长达30年．某学校为了解该校学生对此事件的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对事件的关注与了解程度就越高．现从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用x表示，单位：分，且得分为整数，共分为5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息：
七年级被抽取的学生测试得分的所有数据为：48，62，79，95，88，70，88，55，74，87，88，93，66，90，74，86，63，68，84，82；
八年级被抽取的学生测试得分中，C组包含的所有数据为：72，77，78，79，75．
七、八年级被抽取学生测试得分统计表
平均数 众数 中位数
七年级 77 a
八年级 77 89
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中：______，______；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在关注与了解日本核污染水排海事件上，哪个年级的学生对事件的关注与了解程度更高？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若该校七年级有学生900人，八年级有学生800人，估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有多少人？
22. 民族要复兴，乡村必振兴!新时代新征程，某县“三农”一定高扬新重庆“敢闯敢干、唯实争先”主旋律，持续奋斗、不尾使命，奋力推动农业农村优先发展．某县去年广柑大获丰收，果农李大爷共售出A、B两种广柑千克，A种广柑售价是3元/千克，B种广柑售价是4元/千克，全部售出后总销售额为元．
（1）去年，果农李大爷售出A、B两种广柑各多少千克
（2）今年广柑又获得丰收，李大爷借助直播平台销售广柑，A种广柑让利销售，其单价比去年下降了，B种广柑的单价比去年上涨了，结果A种广柑的销量是去年销量的2倍，B种广柑的销量比去年销量减少了，总销售额比去年增加了．求a的值．
23. 如图1，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿折线运动，当它运动到点C时停止运动，过点D作交于点Q．若，．
（1）请直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出y关于x的函数图象，并写出y的一条性质；
（3）当时，请求出值为多少
24. 仙女山大草原部分景点的道路分布如图所示，其中是骑行公路．经测量，点C在点B正南方，点D在点B正东方，，米，点A在点B的北偏西23°方向，米，点E在点D正北方且在点A正东方．（参考数据：，，，）
（1）求的距离；（结果精确到个位）
（2）小华和小亮同时从游客中心点C出发，前往点E处的露营基地，小华沿路线步行到达基地，速度为；小亮以的速度沿到达点A后，立即骑行到达点E，骑行速度为，请计算说明小华和小亮谁先到达E点？
25. 已知抛物线顶点坐标为，与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接交于点D，当时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为，点G为x轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点P的坐标；
26. 在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接．
（1）如图1，，点为中点，与交于点，若，求的长度；
（2）如图2，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：；
（3）如图3，与交于点，且平分，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在，运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值．重庆求精中学校2023-2024学年度下初2021级二调模拟考试
数学试卷
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴公式为
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1. 的相反数为（）
A. 6 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
解：的相反数是6，
故选：A．
2. 下列各图形不是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
解：A、选项中的图形是轴对称图形，故A不符合题意；
B、选项中的图形是轴对称图形，故B不符合题意；
C、选项中的图形是轴对称图形，故C不符合题意；
D、选项中的图形不是轴对称图形，故D符合题意；
故选：D．
3. 如图，直线，，它的顶点分别在直线上，且，若，则的度数为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得到，再结合已知即可求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补．
∵直线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
故选：．
4. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上．若，则与的周长之比为（）
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶9 D. 3∶1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质．根据位似变换的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．
解：∵，
∴，
∵和是以点O为位似中心的位似图形，
∴，，
∴，
∴与的周长之比为，
故选：B．
5. 下列图形都是由同样大小的△按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个△，第②个图形中一共有13个△，第③个图形中一共有22个△，……，按此规律排列，则第⑧个图形中△的个数为（ ）
A. 97 B. 95 C. 87 D. 85
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了探究图形变化规律，找出图形变化的个数变化规律是解题的关键．写出各图形中三角形的个数和，然后根据变化规律写出第个图形中的个数，再取进行计算即可得解．
解：第①个图形中三角形有：（个），
第②个图形中三角形有：（个），
第③个图形中三角形有：（个），
，
依此类推，第个图形中三角形有（个），
所以，第⑧个图形中圆和正三角形个数一共是：
（个）．
故选：A．
6. 估计的值在（ ）
A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的相关计算、估计无理数的大小范围，解题的关键利用“平方法”来估计无理数的大小范围．
先把原式化简得，然后再判断该结果在哪两个自然数之间．
解：原式
∵，即，
∴．
故选：C．
7. 《2024年春节联欢晚会》以匠心独运的歌舞创编、暖心真挚的节目表演、充满科技感和时代感的视觉呈现，为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，其中“竖屏看春晚”直播播放量亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，即可求解．
解：设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，根据题意得，，
故选：B．
8. 如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，，则等于（）
A. 6 B. 4 C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是切线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用．连接，证明，结合，，可得，，，，据此可得答案．
解：如图，连接，
∵切于点C，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
9. 如图，在正方形中，边、上分别有E，F两点，，平分交于点P．若，则的度数为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，先根据直角三角形两锐角互余、角平分线的定义求出，再根据平行线的性质推出，最后证明，即可得出．
解：四边形正方形，
，，
，
，即，
，
，
平分，
，
正方形中，，
．
在和中，
，
，
．
即的度数为．
故选C．
10. 有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到……以此类推，得出下列说法中，正确的有（）个
①，，，；②；
③；④．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解．解答的关键是求出前面的几个数，发现其存在的规律．
解：由题意得：，，，，
，，，，故①正确；
，，，，故②正确；
∵，
∴是由经过503次操作所得，
∵，，，，
∴、、、……，三个为一组成一个循环，
∵，
∴，故③错误；
依次计算：，，，，…，
则每3次操作，相应的数会重复出现，
，
，
．故④错误；
综上分析可知，正确的有2个，
故选：C．
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）
11. 计算：______．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算，利用相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
解：原式；
故答案为：0．
12. 有3个外观完全相同的密封且不透明试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠三种溶液，小星从这3个试剂瓶中任意抽取2个，则抽到的2个都是酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
解：画树状图为：
由树状图可知共有6种等可能结果，其中抽到的2个都是酸性溶液的为种，即概率为，
故答案为：．
13. 如图，在五边形中，点M，N分别在边，上．若，则的度数为______．
【答案】##470度
【解析】
【分析】先求出，再用六边形内角和减去的和即可．
本题考查了多边形内角和的计算，掌握多边形内角和公式是解题的关键．
】解：，
六边形的内角和为：，
．
故答案为：．
14. 反比例函数的图象经过，，且，那么m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是反比例函数的图象和性质．由于的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解．
解：由反比例函数可知图象位于一、三象限，在每个象限内，随增大而减小．
反比例函数的图象经过，，且，
点，不在同一象限，则点第一象限，点在第三象限．
，
．
故答案为：．
15. 如图，平行四边形的对角线交于点且以为圆心长为半径画弧交对角线于点以为圆心，长为半径画弧交对角线于点．若则图中阴影部分的面积为_____________（结果保留）
【答案】##
【解析】
【分析】首先根据勾股定理求出，然后利用平行四边形的性质得到，然后得到，最后利用阴影部分的面积为代入求解即可．
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
由平行四边形的对称性可得，阴影的面积和阴影的面积相等，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查扇形面积、平行四边形的性质及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握扇形面积、平行四边形的性质及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．
16. 如图，矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接BF，交交于点O，由折叠可知：，，可得，，再证，得到，在中，利用等面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理即可求出答案．
解：连接，交于点O，如下图：
由折叠可知：
，，
∴，，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质等内容，熟练掌握翻折变换和勾股定理的应用是解题的关键．
17. 若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数有_________________个．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，解分式方程．根据题意先将一元一次不等式组解开，利用求出，在解分式方程得出，，继而得到本题答案．
解：∵整理得：，
∵的不等式组的解集为，
∴，
∵，
等式两边同时乘以得：，
整理得：，
∵关于的分式方程有整数解，
∴，即，
又∵，
∴当时，，
当时，，
当时，，
当时，（舍去），
当时，，
∴符合条件的所有整数有：，
故答案为：4．
18. 对于一个各个数位上的数字均不相等且均不为零的三位自然数m，若m的十位数字分别小于m的百位数字与个位数字，则称m为“弦月数”，当三位自然数为弦月数时，重新排列m各个数位上的数字可得到一个最大数和一个最小数，规定，例如：，因为，，所以524是“弦月数”，若．求______；若三位自然数是“弦月数”（其中，，，x、y、z均为整数），且n的个位数字小于百位数字，，求满足条件的所有三位自然数n的值是______．
【答案】 ①. ②. 、．
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减运算，理解“弦月数”的定义时解题关键．根据“弦月数”的定义，即可求出的值；根据“弦月数”的定义，求出对应、、的关系，再逐一判断即可．
解：若，
，，
是“弦月数”，
最大数，最小数，
；
三位自然数是“弦月数”，且n的个位数字小于百位数字，
，，
，
，
，
，
，，，x、y、z均为整数，且，
当时，，则相应的“弦月数”为、；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
满足条件的所有三位自然数n的值是、．
三、解答题（本大题8个小题，19题8分，其余每小题10分，共78分）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了整式的乘法运算和分式的加减乘除混合运算．熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）按照单项式乘以多项式和平方差公式分别进行计算后，再去括号，合并同类项即可；
（2）先把括号内的通分，再把除法变成乘法，约分，分子分母分解因式约分，即可．
【小问1】
；
【小问2】
．
20. 如图，在中，点D为边上的中点，连接．
（1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接，求证：．（请补全下面的证明过程）
证明：∵点D为边上的中点，
∴，（ ① ）
在和中，
∴（ ② ）
∴③，
在和中
∴（ ④ ）
∴，
∴（ ⑤ ）．
【答案】（1）见解析（2）①线段中点的定义；②；③，④；⑤内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】（1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可；
（2）先证明得到，再证明得到，由此即可证明．
【小问1】
解：如图所示，即为所求；
【小问2】
证明：∵点D为边上的中点，
∴，（线段中点的定义）
在和中，
∴
∴，
在和中
，
∴
∴，
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：①线段中点的定义；②；③，④；⑤内错角相等，两直线平行
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，作与已知角相等的角的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键．
21. 2023年8月24日中午12点，日本福岛第一核电站启动核污染水排海，预估排放时间将长达30年．某学校为了解该校学生对此事件的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对事件的关注与了解程度就越高．现从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用x表示，单位：分，且得分为整数，共分为5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息：
七年级被抽取的学生测试得分的所有数据为：48，62，79，95，88，70，88，55，74，87，88，93，66，90，74，86，63，68，84，82；
八年级被抽取的学生测试得分中，C组包含的所有数据为：72，77，78，79，75．
七、八年级被抽取的学生测试得分统计表
平均数 众数 中位数
七年级 77 a
八年级 77 89
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中：______，______；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在关注与了解日本核污染水排海事件上，哪个年级的学生对事件的关注与了解程度更高？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若该校七年级有学生900人，八年级有学生800人，估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有多少人？
【答案】（1）88；25
（2）七年级更高（答案不唯一）
（3）估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有380人．
【解析】
【分析】本题考查了中位数，众数，扇形统计图，用样本估计总体，掌握题意读懂统计图是解题的关键．
（1）根众数的定义及根据C等级包含的数据有5个，且共20个数据，计算即可；
（2）可从平均数、中位数、众数等角度分析求解；
（3）用样本估计总体解答即可．
【小问1】
解：由题意得，七年级被抽取的学生测试得分中88分，出现的次数最多，
七年级的众数；
八年级被抽取的学生测试得分中C等级包含的数据有5个，
八年级被抽取的学生测试得分中C等级的百分比为：，
，
故答案为：，；
【小问2】
解：七年级学生对事件关注与了解程度更高．理由如下：
七年级测试得分的中位数分大于八年级测试得分的中位数分；
【小问3】
解：（人），
答：两个年级测试得分在C组的人数一共有380人．
22. 民族要复兴，乡村必振兴!新时代新征程，某县“三农”一定高扬新重庆“敢闯敢干、唯实争先”主旋律，持续奋斗、不尾使命，奋力推动农业农村优先发展．某县去年广柑大获丰收，果农李大爷共售出A、B两种广柑千克，A种广柑售价是3元/千克，B种广柑售价是4元/千克，全部售出后总销售额为元．
（1）去年，果农李大爷售出A、B两种广柑各多少千克
（2）今年广柑又获得丰收，李大爷借助直播平台销售广柑，A种广柑让利销售，其单价比去年下降了，B种广柑的单价比去年上涨了，结果A种广柑的销量是去年销量的2倍，B种广柑的销量比去年销量减少了，总销售额比去年增加了．求a的值．
【答案】（1）果农李大爷售出A种广柑千克，则售出B种广柑千克
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程、一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键．
（1）设果农李大爷售出A种广柑千克，则售出B种广柑千克，由题意得：，即可求解；
（2）由题意得：，即可求解；
【小问1】
解：设果农李大爷售出A种广柑千克，则售出B种广柑千克，
由题意得：
解得：
∴
∴果农李大爷售出A种广柑千克，则售出B种广柑千克
【小问2】
解：由题意得：，
整理得：，
解得：（舍去）
∴
23. 如图1，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿折线运动，当它运动到点C时停止运动，过点D作交于点Q．若，．
（1）请直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出y关于x的函数图象，并写出y的一条性质；
（3）当时，请求出的值为多少
【答案】（1）
（2）作图见解析，当，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，反比例函数，勾股定理．
（1）分两种情况讨论：①当点P在线段上，即时，，即；②当点P在上运动，即时，根据的面积即可得到，因此；
（2）根据（1）的解析式即可画出图象，观察函数图象即可写出性质；
（3）首先求得当时，，在中，，由勾股定理得到，进而利用，即可得解．
【小问1】
①当点P在线段上，即时，
∵在矩形中，，又，
∴点Q与点A重合，，
∵在矩形中，，
∴，
即．
②连接，
∵在矩形中，，，
∴．
当点P在上运动，即时，
∵或，
∴，
即，
∴．
综上所述，y关于x的函数关系式为．
【小问2】
列表：
x 0 1 2 3 4 5
y 4 4 4 4 4 4 4 3
描点并连线：
由图象可得，当，y随x的增大而减小；
【小问3】
当时，
解得，
在中，，，，
∴，
∴．
24. 仙女山大草原部分景点的道路分布如图所示，其中是骑行公路．经测量，点C在点B正南方，点D在点B正东方，，米，点A在点B的北偏西23°方向，米，点E在点D正北方且在点A正东方．（参考数据：，，，）
（1）求的距离；（结果精确到个位）
（2）小华和小亮同时从游客中心点C出发，前往点E处的露营基地，小华沿路线步行到达基地，速度为；小亮以的速度沿到达点A后，立即骑行到达点E，骑行速度为，请计算说明小华和小亮谁先到达E点？
【答案】（1）的距离约为550米
（2）小亮先到达E点
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
（1）设的延长线交于点F，可得和都是直角三角形，四边形是矩形，，再利用锐角三角函数求解即可；
（2）在中，求解米，在中，求解米，再进一步求解即可．
【小问1】
解：设的延长线交于点F，
由题意知：和都是直角三角形，四边形是矩形，，
在中，
∵，米，
∴（米），
∴米，
∴在中，
∵，米，
∴（米），
∴（米），
答：的距离约为550米；
【小问2】
在中，
∵，米，
∴（米），
∴在中，
∵，米，
∴（米），
∴米，
∴小华到达E点所花时间为，
小亮到达E点所花时间为，
∵，
∴小亮先到达E点．
25. 已知抛物线的顶点坐标为，与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接交于点D，当时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为，点G为x轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点P的坐标；
【答案】（1）
（2）点
（3）点
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，等腰直角三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，三角形外角的性质等等：
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据抛物线解析式求得的坐标，进而得出，根据得出则点到轴的距离为，即可得出点的坐标；
（3）设直线交轴于点，利用三角形外角的性质得到，则，即，求得直线的表达式为，联立并解得（舍去正值），即可求解．
【小问1】
解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
【小问2】
解：令，得，
解得：，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∴，，
∵，设点到的距离为，
∴，
∴，
过点作轴于点，则是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
【小问3】
解：设直线交轴于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的表达式为，
联立，解得 (舍去正值)，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，旋转性质，等腰直角三角形的性质与判定，角度问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
26. 在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接．
（1）如图1，，点为中点，与交于点，若，求的长度；
（2）如图2，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：；
（3）如图3，与交于点，且平分，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在，运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2）见（3）
【解析】
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得的长，由旋转的性质可得，，即可求解；
（2）由“”可证，可得，，由“”证明，可得，即可证明结论；
（3）在上截取，连接，先证明当三点共线，且时，有最小值，再证明点三点共线，由等腰直角三角形和折叠的性质可求解．
【小问1】
解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴，
∵将绕着点逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴；
【小问2】
证明：如下图，过点作交于点，
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵将绕着点逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3】
解：如下图，在上截取，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线，且时，有最小值，如下图，
∵，，
∴，
由折叠性质可得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点三点共线，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
