2024年辽宁省初中学业水平模拟考试（四）数学试卷
一．选择题（共10小题，共30分）
1. 我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果向北走5步记作步，那么向南走7步记作（ ）
A. 步 B. 步 C. 步 D. 步
2. 下列几何体中，主视图和左视图不同的是（ ）
A. B. C. D.
3. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算中，正确的是（ ）
A B.
C. D.
5. 已知关于的方程有两个相等实数根，则的值为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
6. 解方程时，去分母后正确的是（ ）
A. B.
C. 3 D. 3
7. 函数的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A. 当时， B. 当时，
C. D. 若点和点在直线上，则
8. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（ ）
A B. C. D.
9. 如图，在中，，，，绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连接，则的长度是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图3，在中，按如下步骤作图：①以A为圆心，长为半径画弧交于F；②连接，分别以点B，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线交于点E，若，则的长为（ ）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
二．填空题（共5小题，共15分）
11. 计算：________．
12. 已知扇形的面积为，半径为6，此扇形的圆心角为________．
13. 某校开展“课后延时服务”后，组建了四个艺术社团：书法、合唱、剪纸、舞蹈，学校规定每人只能选择参加一个社团，小宇和小智准备随机选择一个社团报名，则小宇和小智两人刚好选择同一个社团的概率为__________．
14. 如图，矩形OABC的面积为54，它的对角线OB与双曲线（k≠0）相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为________．
15. 如图，在中，．点D在上且．连接，线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是 __．
三．解答题（共8小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
17. 某商场1月份的销售额为125万元，2月份的销售额下降了，商场从3月份起改变经营策略，以多种方式吸引消费者，使销售额稳步增长，4月份的销售额达到了121万元．
（1）求3、4月份销售额的平均增长率．
（2）商场计划第一季度(月)总销售额达到370万元，按照目前的月平均增长率，商场能否实现销售计划，请计算说明．
18. 骐骥中学举办国庆歌咏比赛，共有十位评委老师现场打分．赛后，对嘉嘉、淇淇和欧欧三位参赛同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
①嘉嘉和淇淇两位同学10个得分的折线图
②欧欧10个得分数据（单位：分）：
10，10，9，9，9，7，4，9，10，8．
③三位同学10个得分的平均数
同学 嘉嘉 淇淇 欧欧
平均数（分） m
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求表中的m是多少？
（2）嘉嘉同学10个得分的中位数是_________分，欧欧同学10个得分的众数是_________分；
（3）对于参赛同学，若某位同学10个得分数据的方差越小，则认为评委对该同学参赛的评价越一致．通过观察折线图或做相关计算，可以推断：在嘉嘉和淇淇两位同学中，评委老师们对_________的评价更为一致；
（4）如果把每位同学的10个得分先去掉一个最高分和一个最低分，再取剩余8个得分的平均分，最后得分越高，就认为该同学表现越优秀，据此推断：在嘉嘉、淇淇和欧欧三位同学中，表现最优秀的是_________．
19. 为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，甲、乙两个体育专卖店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价的8.5折出售．
乙：一次性购买商品总额不超过300元的按原价付；超过300元的部分打7折．
在两家商店购买实付款，（单位：元）与商品原价（单位：元）之间的关系如图所示．
（1）分别求出实付款，与商品原价之间的函数关系式；
（2）已知两图象交于点A，求点A的坐标，并说明其实际意义；
（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
20. 如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山处的位置向乙山处拉电线．已知甲山上点到河边的距离米，点到的垂直高度为120米；乙山的坡比为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为25°（参考值：，，）
（1）求乙山处到河边垂直距离；
（2）求河的宽度．（结果保留整数）
21. 如图，是的直径，C是上一点，的平分线交于点D，过点D作的切线交CB的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求线段的长．
22. 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系．轴是抛物线的对称轴，最高点到地面距离为4米．
（1）求出抛物线的解析式．
（2）在距离地面米高处，隧道的宽度是多少？
（3）如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
23. 【问题初探】
（1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：如图1，在和中，，且为锐角，若，求证：．
①如图2，小锋同学从，这个条件出发，想到根据“”构造全等，给出如下解题思路：在上截取，连接，将与的数量关系转化为它们所在的三角形的关系．
②如图3，小慕同学从，这个条件出发，想到作双垂直，可构造出“”全等条件，给出如下解题思路：过点A作，垂足为点M，过点D作，垂足为点N，先证明垂线段相等，将垂线段作为中间过渡量证明与所在的三角形全等，从而证明．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）赵老师发现上面两名同学都运用了转化思想，将证明两条线段的数量关系转化为证明两条线段所在三角形的关系．为了帮助同学们更好地感悟和运用转化思想，赵老师将上面的例题和解题思路进行变换，提出了下面的问题，请你解答：
如图4，在中，点E，D分别在边，上，连接，，延长至点F，使，连接，延长交于点H，若，求证：．
【学以致用】
（3）如图5，在（2）的条件下，若，，，求的长．2024年辽宁省初中学业水平模拟考试（四）数学试卷
一．选择题（共10小题，共30分）
1. 我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果向北走5步记作步，那么向南走7步记作（ ）
A. 步 B. 步 C. 步 D. 步
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【详解】解：向北走5步记作步，
向南走7步记作步．
故选：A．
2. 下列几何体中，主视图和左视图不同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别分析四种几何体的主视图和左视图，找出主视图和左视图不同的几何体．
【详解】解：A、主视图与左视图都是两个并列的正方形，不合题意；
B、主视图是长方形，左视图是圆，符合题意；
C、主视图与左视图都是三角形，不合题意；
D、主视图和左视图都是圆，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，要求同学们掌握主视图是从物体的正面看到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
4. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了单项式乘单项式，积的乘方，完全平方公式；根据这些知识逐项分析即可．
【详解】解：A、，故选项错误；
B、不是同类项，不能合并，故选项错误；
C、计算正确，故选项正确；
D、，故选项错误；
故选：C．
5. 已知关于的方程有两个相等实数根，则的值为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据方程有两个相等的实数根得出，求出的值即可．
【详解】解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故选C．
【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．
6. 解方程时，去分母后正确的是（ ）
A. B.
C. 3 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据去分母和去括号法则，化简后进行判断即可．
【详解】解：方程去分母，得：，
即：；
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程去分母，去括号．熟练掌握去分母和去括号法则，是解题的关键．
7. 函数图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A. 当时， B. 当时，
C. D. 若点和点在直线上，则
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数的性质结合图象即可得出结论．
【详解】解：观察一次函数图象发现，图象过点，即当时，，
∴当时，，故选项A符合题意；
当时，，故选项B不符合题意；
观察一次函数图象发现，图象与y的交点在y轴的正半轴，
∴，故选项C不符合题意；
观察一次函数图象发现，图象过第一、二、三象限，
∴函数值y随x的增大而增大，
若点和点在直线上，则，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象和性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
8. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，列方程求解即可．
【详解】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，
根据“总共饮19瓶酒”可得：
根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得：
综上：，
故选：A
【点睛】此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组．
9. 如图，在中，，，，绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连接，则的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先计算出，，再根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，从而得到的长．
【详解】∵，，，
∴，，
∵绕点A逆时针旋转得到，使点落在上，
∴，，
∴为等边三角形，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握旋转的性质是解决此类题的关键．
10. 如图3，在中，按如下步骤作图：①以A为圆心，长为半径画弧交于F；②连接，分别以点B，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线交于点E，若，则的长为（ ）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】如图，设AE交BF于点O，证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可解决问题．
【详解】解：如图，设AE交BF于点O．
由作图可知：AB＝AF，∠BAE＝∠EAF，
∴OB＝OF，AE⊥BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝AF，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴OA＝OE，OB＝OF＝3，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
∴OA＝，
∴AE＝2OA＝8．
故选：A．
【点睛】本题考查作图 复杂作图，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二．填空题（共5小题，共15分）
11. 计算：________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法法则进行运算，然后将二次根式化简，即可得出答案．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是关键．
12. 已知扇形的面积为，半径为6，此扇形的圆心角为________．
【答案】160
【解析】
【分析】根据题目中的数据和扇形面积计算公式，可以求得此扇形的圆心角的度数．
【详解】解：设此扇形的圆心角为，
由题意可得，，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用扇形面积计算公式解答．
13. 某校开展“课后延时服务”后，组建了四个艺术社团：书法、合唱、剪纸、舞蹈，学校规定每人只能选择参加一个社团，小宇和小智准备随机选择一个社团报名，则小宇和小智两人刚好选择同一个社团的概率为__________．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】把书法、合唱、剪纸、舞蹈四个艺术社团用A,B,C,D表示，画出树状图，得到所有情况数量及需要的情况数量，根据直接求解即可得到答案，
【详解】解：把书法、合唱、剪纸、舞蹈四个艺术社团用A,B,C,D表示，画树状图如下：
由树状图知，一共有种等可能结果，其中小宇和小智两人刚好选择同一个社团的有4种结果，
∴小宇和小智两人刚好选择同一个社团的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查树状图法求解概率，解题的关键是正确画出树状图．
14. 如图，矩形OABC的面积为54，它的对角线OB与双曲线（k≠0）相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为________．
【答案】-24
【解析】
【分析】根据矩形的性质可得，再利用相似三角形的判定和性质可得出，进而求出，再由反比例函数系数k的几何意义求出k的值即可．
【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥OC于点E，
∵四边形OABC是矩形，
，，
，
，
，
∵，
，
∴，
∴，
又∵反比例函数图像在第二象限，
∴，
∴，
故答案为：-24．
【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质以及矩形的性质等知识，解题的关键是理解反比例函数系数k的几何意义，掌握相似三角形的判定和性质．
15. 如图，在中，．点D在上且．连接，线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是 __．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质；证明，则可得，，则可求得面积．
【详解】解：∵，
∴，
由旋转知：，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，共75分）
16 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）10 （2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则并正确运算是解题的关键；
（1）分别计算绝对值、幂的运算，最后相加即可；
（2）先计算括号里的加法，再计算除法，最后化简即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 某商场1月份的销售额为125万元，2月份的销售额下降了，商场从3月份起改变经营策略，以多种方式吸引消费者，使销售额稳步增长，4月份的销售额达到了121万元．
（1）求3、4月份销售额的平均增长率．
（2）商场计划第一季度(月)总销售额达到370万元，按照目前的月平均增长率，商场能否实现销售计划，请计算说明．
【答案】（1）3、4月份销售额的平均增长率为；
（2）商场不能实现销售计划．
【解析】
【分析】（1）设3、4月份销售额的平均增长率为x，利用4月份的销售额月份的销售额+平均增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）按照（1）中的月平均增长率，计算第一季度(月)总销售额即可得出答案．
【小问1详解】
解：设3、4月份销售额的平均增长率为x，
依题意得：，
解得：，(不合题意，舍去)．
答：3、4月份销售额的平均增长率为；
【小问2详解】
解：按照（1）中的月平均增长率，第一季度(月)总销售额为(万元)，
∵，
∴商场不能实现销售计划．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18. 骐骥中学举办国庆歌咏比赛，共有十位评委老师现场打分．赛后，对嘉嘉、淇淇和欧欧三位参赛同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
①嘉嘉和淇淇两位同学10个得分的折线图
②欧欧10个得分的数据（单位：分）：
10，10，9，9，9，7，4，9，10，8．
③三位同学10个得分的平均数
同学 嘉嘉 淇淇 欧欧
平均数（分） m
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求表中的m是多少？
（2）嘉嘉同学10个得分的中位数是_________分，欧欧同学10个得分的众数是_________分；
（3）对于参赛同学，若某位同学10个得分数据的方差越小，则认为评委对该同学参赛的评价越一致．通过观察折线图或做相关计算，可以推断：在嘉嘉和淇淇两位同学中，评委老师们对_________的评价更为一致；
（4）如果把每位同学的10个得分先去掉一个最高分和一个最低分，再取剩余8个得分的平均分，最后得分越高，就认为该同学表现越优秀，据此推断：在嘉嘉、淇淇和欧欧三位同学中，表现最优秀的是_________．
【答案】（1）
（2）9；9 （3）淇淇
（4）欧欧
【解析】
【分析】本题主要考查了求平均数，求中位数，求众数，利用方差判断稳定性等等，熟知平均数，中位数，众数的定义，方差与稳定性之间的关系是解题的关键．
（1）根据平均数等于10个得分之和除以10进行求解即可；
（2）根据中位数是一组数据中处在最中间的那个数或处在最中间的两个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数据进行求解即可；
（3）由折线图可得嘉嘉得分的波动比淇淇得分的波动大，即嘉嘉得分的方差比淇淇的大，据此可得答案；
（4）同（1）计算出三人的平均分即可得到答案．
【小问1详解】
解：由折线图可知，淇淇同学的十个得分依次为：9，8，9，8，9，9，7，9，8，9
∴．
【小问2详解】
解：由折线图可知，嘉嘉的十个得分从小到大排列为6，7，7，8，9，9，9，10，10，10，
∴嘉嘉十个得分中处在最中间的两个得分分别为9分，9分，
∴嘉嘉同学10个得分的中位数是分，
欧欧10个得分分别为4，7，8，9，9，9，9，10，10，10，
∴欧欧同学10个得分的众数是9分，
故答案为：9；9；
【小问3详解】
解：由折线统计图可知，嘉嘉得分的波动比淇淇得分的波动大，即嘉嘉得分的方差比淇淇的大，
∴评委老师们对淇淇的评价更为一致，
故答案为：淇淇；
【小问4详解】
解：嘉嘉的平均分为分，
淇淇的平均分为分，
欧欧的平均分为分，
∵，
∴表现最优秀的是欧欧，
故答案为：欧欧．
19. 为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，甲、乙两个体育专卖店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价的8.5折出售．
乙：一次性购买商品总额不超过300元的按原价付；超过300元的部分打7折．
在两家商店购买的实付款，（单位：元）与商品原价（单位：元）之间的关系如图所示．
（1）分别求出实付款，与商品原价之间的函数关系式；
（2）已知两图象交于点A，求点A坐标，并说明其实际意义；
（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
【答案】（1），
（2），见解析
（3）当时，去甲体育专卖店购买体育用品更合算；当时，去两家体育专卖店购买体育用品一样合算；当时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算
【解析】
【分析】（1）根据题意，可以分别列出甲、乙两家商店y与x的函数关系式；
（2）根据（1）的结论列方程组解答即可；
（3）结合图象解答即可．
【小问1详解】
由题意知，到甲商店：；
到乙商店：当时，；
当时，．
【小问2详解】
令，
解得．
将代入，
得，
∴点A的坐标为．
点A的实际意义是当一次性购买商品原价总额为600元时，到甲、乙两家体育专卖店的实际付款都是510元．
【小问3详解】
由图象可得，当时，去甲体育专卖店购买体育用品更合算；
当时，去两家体育专卖店购买体育用品一样合算；
当时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
20. 如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山处的位置向乙山处拉电线．已知甲山上点到河边的距离米，点到的垂直高度为120米；乙山的坡比为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为25°（参考值：，，）
（1）求乙山处到河边的垂直距离；
（2）求河的宽度．（结果保留整数）
【答案】（1）360米
（2）195米
【解析】
【分析】（1）过B作于点F，由坡度的概念和勾股定理即可得出结论；
（2）过A作于点E，过A作于点H，则四边形为矩形，得米，，由锐角三角函数定义求出的长，再由勾股定理求出的长，即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图，过B作于点F，
∵乙山的坡比为，
∴，
设米，则米，
∴（米），
又米，
∴，
∴，
∴米，
答：乙山B处到河边的垂直距离为360米；
【小问2详解】
解：过A作于点E，过A作于点H，则四边形为矩形，
，
∴米，，
∴（米），
∵从B处看A处的俯角为，
∴，
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，由勾股定理得：（米），
由（1）可知，米，
∴（米），
答：河的宽度约为195米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21. 如图，是的直径，C是上一点，的平分线交于点D，过点D作的切线交CB的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由切线的性质得，再由圆周角定理可求得，从而得结论成立．
（2）过点作于点，可证明四边形是正方形，与都与互余，得，在中，由，求出，再由得结果．
【小问1详解】
证明： 连接，如图1．
∵是的切线，切点是D，
∴．
∴．
∵是直径，
∴．
∵的平分线交于点D，
∴．
∴．
∴．
∴．
【小问2详解】
解：作于H，如图2．
∴．
∵，，
∴．
∴ 四边形是矩形．
∵，
∴ 四边形是正方形．
∴．
∵ 在中，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，圆周角定理及推论，锐角三角函数之间的转化，关键是连接过切点的半径，得垂直于半径的直线，过点作垂线构造直角三角形．
22. 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系．轴是抛物线的对称轴，最高点到地面距离为4米．
（1）求出抛物线的解析式．
（2）在距离地面米高处，隧道的宽度是多少？
（3）如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
【答案】（1）
（2）米
（3）能通过，见解析
【解析】
【分析】(1)根据题意可以设出抛物线的顶点式，然后根据题目中的信息可以求得抛物线的解析式；
(2)把代入解析式，即可求得；
(3)根据题意可以求得当x=1.2时的y的值然后与3.6比较，即可解答本题．
【小问1详解】
解：最高点到地面距离为4米，
米，点E为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为y轴，
设抛物线的解析式为，
四边形ABCD是矩形，
，
又，
四边形BCOF是矩形，
米，
(米)，
点E的纵坐标为1，
，
，
又米，
点C的坐标为(2,0)，
把点C的坐标代入解析式，得，
解得，
故抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：把代入解析式，
得，
解得，，
故在距离地面米高处，隧道的宽度是(米)；
【小问3详解】
解：这辆货运卡车能通过该隧道；
当x=1.2时，，
，
这辆货运卡车能通过该隧道．
【点睛】本题考查二次函数的应用，利用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是明确题，找出所求问题需要的条件．
23. 【问题初探】
（1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：如图1，在和中，，且为锐角，若，求证：．
①如图2，小锋同学从，这个条件出发，想到根据“”构造全等，给出如下解题思路：在上截取，连接，将与的数量关系转化为它们所在的三角形的关系．
②如图3，小慕同学从，这个条件出发，想到作双垂直，可构造出“”全等条件，给出如下解题思路：过点A作，垂足为点M，过点D作，垂足为点N，先证明垂线段相等，将垂线段作为中间过渡量证明与所在的三角形全等，从而证明．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）赵老师发现上面两名同学都运用了转化思想，将证明两条线段的数量关系转化为证明两条线段所在三角形的关系．为了帮助同学们更好地感悟和运用转化思想，赵老师将上面的例题和解题思路进行变换，提出了下面的问题，请你解答：
如图4，在中，点E，D分别在边，上，连接，，延长至点F，使，连接，延长交于点H，若，求证：．
【学以致用】
（3）如图5，在（2）的条件下，若，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）对于小锋同学的解题思路，证明得到，再证明得到即可；对于小慕同学的解题思路，先证，得，再证可得；
（2）在上截取，连接，利用三角形的外角性质得到，证明得到，，利用等角对等边可证得即可；
（3）先利用三角形的内角和定理证明得到 ．再证明，根据等腰三角形的三线合一求得．利用锐角三角函数关系和勾股定理分别求得
，，设，则，，，
由求得x，则．证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：选小锋同学的解题思路，
证明：在上截取，连接．
∵，，
∴．
∴，．
∵，，
∴，∴．
选小慕同学的解题思路．
证明：过点A作，垂足为点M，过点D作，垂足为点N，
则，又，，
∴，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∴；
（2）证明：如图，在上截取，连接．
∵，，，
∴
又∵，，
∴
∴，
∵，
∴
∴，即．
（3）解：在中，，
在中，，
又∵，
∴．
由（2）知，，
∴，∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，∴．
∵，∴，
∴，，
设，由得，
∴，．
∵，∴，
解得，∴．
∵，
∴，，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，结合图形，得到角之间的关系是解答的关键．
