2022-2023学年甘肃省金昌市永昌六中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.下列二次根式，化简后能与合并的是( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4.下列各组数据中，能构成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
5.已知直角三角形的两边长分别为和，则第三边长为( )
A. B. C. D. 或
6.下列命题是真命题的是( )
A. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形
7.如图，菱形的对角线，相交于点，点是的中点，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在四边形中，，点、、、分别是、、、的中点，则四边形是( )
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形
9.如图，四边形是菱形，，，于点则( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12.若是一个整数，则可取的最小正整数是______．
13.如图，数轴上点的横坐标是，于点，以原点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是______．
14.如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个正方形的面积分别为和，则正方形的面积是______．
15.如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离底端如果梯子的顶端下滑，那么梯足将滑动 ______．
16.小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图所示的正方形，并测得对角线，则图中对角线的长为______．
17.如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标是______．
18.如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：
；
．
．
．
20.本小题分
小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了，当他把绳子的下端拉开后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．
21.本小题分
如图，在四边形中，，，，．
求的度数．
求四边形的面积．
22.本小题分
如图，在 中，点、在上，且求证：四边形是平行四边形．
23.本小题分
如图，中，是的平分线，作交于点，交于点．
求证：四边形是菱形；
当满足条件______时，四边形是正方形．
24.本小题分
如图，已知，四边形中，、、、，分别是边，，，的中点求证：四边形是平行四边形．
当 ______时，中点四边形是菱形．
当 ______时，中点四边形是矩形．
25.本小题分
已知：如图，平行四边形中，、分别为和的中点．
求证：四边形是平行四边形；
当、满足怎样的数量关系时，四边形是矩形，请说明理由．
26.本小题分
如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒过点作于点，连接，．
求证：；
四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由；
当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，不是最简二次根式，
选项A不符合题意；
，不是最简二次根式，
选项B不符合题意；
是最简二次根式，
选项C符合题意；
，不是最简二次根式，
选项D不符合题意．
故选：．
根据最简二次根式的特征和判断方法，逐项判断即可．
此题主要考查了分母有理化的方法，以及最简二次根式的特征和判断，解答此题的关键是要明确：被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
2.【答案】
【解析】解：、不能与合并，选项不符合题意；
B、不能与合并，选项不符合题意；
C、不能与合并，选项不符合题意；
D、能与合并，选项符合题意；
故选：．
分别化简二次根式进而判断得出能否与合并．
此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：，不能再进行计算，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意，
故选：．
根据二次根式混合运算的计算法则来进行解答即可．
本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据计算法则来进行解答．
4.【答案】
【解析】【分析】
知道三条边的长度，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形是直角三角形；如果不相等，则三角形不是直角三角形．
【解答】
解：：，不能构成直角三角形，故本选项错误；
：，不能构成直角三角形，故本选项错误；
：，不能构成直角三角形，故本选项错误；
：，能构成直角三角形，故本选项正确．
故选：．
【点评】
本题考查勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：是直角边时，第三边，
是斜边时，第三边，
所以，第三边长为或．
故选：．
分是直角边和斜边两种情况讨论求解．
本题考查了勾股定理，是基础题，难点在于要分情况讨论．
6.【答案】
【解析】解：选项有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以此项错误，不符合题意；
选项有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以此项错误，不符合题意；
选项对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以此项错误，不符合题意；
选项对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以此项正确，符合题意．
故选：．
根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的的判定定理判断即可．
本题主要考查平行四边形，矩形，菱形以及正方形的判定定理，熟练掌握平行四边形，矩形，菱形以及正方形的判定定理是解决本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，，，
，，，，
在中，由勾股定理得：，
点为的中点，
为的中位线，
．
故选：．
由菱形的性质得，，，，再由勾股定理得，然后证为的中位线，即可得出结论．
此题主要考查了菱形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：在四边形中，、、、分别是、、、的中点，
，，
，
同理：，
四边形是平行四边形，
、、、分别是、、、的中点，
，，
，
，
平行四边形是菱形；
故选：．
由题意得，，推出，同理得出，即可得出四边形是平行四边形，由中位线的性质得出，，证得，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、三角形中位线的性质等知识，熟练掌握三角形中位线的性质是解决问题的关键．
9.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，，
在中，，
则，
，
，
，
．
故选：．
先根据菱形的性质得，，，再利用勾股定理计算出，然后根据菱形的面积公式得到，再解关于的方程．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．
10.【答案】
【解析】解：易证≌，
，
设，则，
在中，，
解得：，
，
．
故选：．
因为为边上的高，要求的面积，求得即可，易证≌，得，设，则在中，根据勾股定理求，于是得到，即可得到结果．
本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设，直角三角形中运用勾股定理求是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
【解答】
解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：，
因为为整数，而为整数，
所以可取的最小正整数为．
故答案为：．
由于，则当为的完全平方数倍时，为整数，于是可判断可取的最小正整数为．
此题主要考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：数轴上点的横坐标是，于点，
，
以原点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，
，
点表示的数是，
故答案为：．
根据题意，先用勾股定理求出，而，即可得出答案．
本题考查的是实数与数轴，熟练掌握圆的半径和勾股定理的知识点是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：依题意得：正方形的面积．
故答案为：．
利用勾股定理可得出正方形的面积等于另外两个正方形的面积差大的减小的，即可求出结论．
本题考查了勾股定理以及正方形的性质，牢记“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由题意可知，，，，，
，
，
，
，
故答案为：．
由勾股定理得，则，再由勾股定理求出，即可得出的长．
此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出、的长是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：在正方形中，，
，
，，
，
，
在菱形中，，
，
是等边三角形，
，
故答案为：．
根据正方形的性质得，，由勾股定理得，则，再证明是等边三角形，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，根据勾股定理求得是解题的关键．
17.【答案】
【解析】【解答】
解：菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，
，
，，
由勾股定理得，，
点的坐标是：．
故答案为：．
【分析】
利用菱形的性质以及勾股定理得出的长，进而求出点坐标．
此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出的长是解题关键．
18.【答案】
【解析】解：，且，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
当时，的值最小，
此时，的面积，
，
的最小值为；
故答案为：．
由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19.【答案】解：
；
；
；
．
【解析】先计算二次根式的除法，再算加减，即可解答；
先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答；
利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答；
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：设旗杆的高为，则绳子的长为，
在中，，
，
解得，
，
旗杆的高．
【解析】根据题意设旗杆的高为，则绳子的长为，再利用勾股定理即可求得的长，即旗杆的高．
此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力．
21.【答案】解：连结，
，，
，，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
．
在中，，
在中，．
．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接，并证明是直角三角形．
由于，，利用勾股定理可求，并可求，而，，易得，可证是直角三角形，于是有，从而易求；
连接，则可以计算的面积，根据，可以计算的面积，四边形的面积为和面积之和．
22.【答案】证明：连接交于，
四边形是平行四边形，
，
，
．
即．
四边形为平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【解析】本题中，在连接交于，则可知，，又，所以，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
此题主要考查了平行四边形的判定，要求对平行四边形的所有判定都要掌握．
23.【答案】
【解析】证明：，，
四边形是平行四边形，，
是的角平分线，
，
，
，
平行四边形为菱形；
在中，当时，四边形是正方形，
，
四边形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形．
故答案为：．
先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；
根据有一个角是直角的菱形是正方形可得时，四边形是正方形．
本题主要考查了菱形的判定和性质和正方形的判定，关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形．
24.【答案】
【解析】证明：连接、交于点，如图所示：
四边形中，、、、分别为、、、的中点，
是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
，，，，，，
，，
四边形是平行四边形；
解：若四边形的对角线和满足时，四边形是菱形；
理由如下：
当时，
由得：，，四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
故答案为：；
解：若四边形的对角线和满足时，四边形是矩形．
理由如下：
由得：四边形是平行四边形，，，
当时，，
四边形是矩形．
故答案为：．
由三角形中位线定理即可得出结论；
根据矩形的判定与性质进行判断即可；
根据菱形的判定和性质进行判断即可．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识；熟记各定理是解题的关键．
25.【答案】证明四边形是平行四边形，
，，
，分别为和的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
解：时，四边形是矩形，
理由：，且是的中点，
，
即，
四边形是矩形．
【解析】由题意可得，，又由，分别是和的中点可得，即可得出结论；
根据矩形的判定解答即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，关键是熟练运用这些性质解决问题．
26.【答案】证明：直角中，．
，，
又在直角中，，
，
．
解：，，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，
即，
解得：，
即当时， 是菱形．
当时，是直角三角形；或当时，是直角三角形．
理由如下：
当时，．
，
，
，
，
，
，
时，．
当时，，
四边形是平行四边形，
，
，
是直角三角形，，
，
，
，
，，
，
解得．
综上所述，当时是直角三角形；或当时，是直角三角形．
【解析】本题考查了直角三角形的性质，菱形的判定与性质，正确利用表示、的长是关键，属于较难题．
利用表示出以及的长，然后在直角中，利用直角三角形的性质求得的长，即可证明；
易证四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，据此即可列方程求得的值；
分两种情况讨论即可求解．
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