2024年福建省厦门外国语学校思明校区中考数学诊断试卷
一.选择题（共32分，共8小题，每小题4分）
1．在这四个数，0，，中，最大的实数是（ ）
A． B．﹣1 C．0 D．
2．右图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．据统计，2024年元旦假期，某市推出多项文旅活动，共接待游客204.58万人次，实现旅游收入14.12亿元．将数据1412000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下面运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．电影《孤注一掷》于2023年8月8日在中国大陆上映，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达13亿元，若把每天的平均增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
6．2023年某省的环境空气质量达标天数位居全国前列．如图是该省10个地区环境空气质量综合指数统计图．综合指数越小，表示环境空气质量越好．据综合指数，从图中可知环境空气质量最差的地区是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，射线DM的端点D在直线AB上，点C是射线DM上不与点D重合的一点，根据尺规作图痕迹，下列结论中不能体现的是（ ）
A．作一条线段等于已知线段 B．作的平分线
C．过点C作AB的平行线 D．过点C作DM的垂线
8．如图，在中，，以AC为底边在外作等腰，过点D作的平分线分别交AB，AC于点E，F．若，，点P是直线DE上的一个动点，则周长的最小值为（ ）
A．15 B．17 C．18 D．20
二.填空题（共32分，共8小题，每小题4分）
9．方程的解为 ．
10．不等式组的解集是 ．
11．在一个不透明的布袋中装有4个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红随机摸一个球，摸到白球的概率为，则布袋中黑球的个数为 ．
12．《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题．如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．设合作买鸡的有x人，鸡价为y文钱，则可列方程组为 ．
13．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来前进了 m．
14．甲、乙、丙三种糖果的售价分别为每千克6元、每千克7元、每千克8元，若将甲种糖果6千克，乙种糖果10千克，丙种糖果4千克混合在一起，则混合后的糖果的售价应定为每千克 元．
15．如图，、、，动点从点出发，沿轴以每秒2个单位长的速度向右移动，且过点的直线也随之平移，设移动时间为秒，若直线与线段有公共点，则的取值范围为 ．
16．对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，，则称这个函数为“闭函数”．例如：，均是“闭函数”．已知二次函数是“闭函数”，且其图象经过点和，则的取值范围是 ．
三.解答题（共9小题，共86分）
17．计算：．
18．如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，．求证：．
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为．
(1)作出旋转后的图形（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)连接，若，请判断直线是否经过点，并说明理由．
21．为了倡导“节约用水，从我做起”，某市政府决定对该市直属机关200户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭月平均用水量在吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表：
月平均用水量（吨） 3 4 5 6 7
频数（户数） 4 20 9 10 7
请根据统计表中提供的信息解答下列问题：
(1)根据样本数据，请估计该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有多少户？
(2)市政府决定从月平均用水量最省的甲，乙，丙，丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲，丙两户的概率．
22．心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，点B的坐标为，点C的坐标为，为反比例函数图象的一部分．
(1)求所在的反比例函数的解析式；
(2)吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排23分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于38，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由．
23．2012年广东陆丰渔政大队指挥中心（A）接到海上呼救：一艘韩国货轮在陆丰碣石湾发生船体漏水，进水速度非常迅猛，情况十分危急，18名船员需要援救．经测量货轮到海岸最近的点的距离，，指挥中心立即制定三种救援方案
（如图1）：
①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心的点D，然后再派冲锋舟前往B．已知冲锋舟在海上航行的速度为，汽车在海岸线上行驶的速度为．，，
(1)通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？
(2)事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是：先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点P处，点P满足（冲锋舟与汽车速度的比），然后再派冲锋舟前往B（如图2）．
①利用现有数据，根据，计算出汽车行加上冲锋舟行的总时间．
②在线段上任取一点；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行加上冲锋舟行的时间比车行加上冲锋舟行的时间要长．
24．如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，．如图2，连结，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，过点作于点．设，．
(1)求的长；
(2)求y关于x的函数表达式；
(3)延长交半圆O于点Q，当时，求的长．
25．如图1和图2，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)如图1，是抛物线上一点，连接，若，求点的坐标；
(3)如图2，直线与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据正数大于0，0大于负数可知只需要比较出和的大小即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴这四个实数中，最大的实数是，
故选：A．
2．B
【详解】解：从上面看，上面一排有两个正方形，下面一排只有一个正方形，故选B．
3．C
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．
【详解】∵，
故选C．
4．B
【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
利用合并同类项法则，同底数幂除法法则，幂的乘方法则，完全平方公式逐项判断即可．
【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由第一天为3亿，根据增长率为得出第二天为亿，第三天为亿，根据三天累计为13亿，即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：设增长率为，
根据题意得：．
故选：D．
6．C
【分析】本题考查折线统计图，根据图中所呈现的数据信息得出结论是解决问题的关键．
根据折线统计图，观察图中的各个数据，根据数据信息逐项判定即可．
【详解】解：结合题意，综合指数越小，表示环境空气质量越好，根据福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图可直观看到的综合指数最大，从而可知环境空气质量最差的地区就是，
故选：C．
7．D
【分析】由作图痕迹可知作了的平分线并截取了，所以选项A，B可以体现，由，得，所以，所以选项C可以体现，故选D．
【详解】解：A．根据尺规作图作线段相等的方法可得，画弧就是在做“作一条线段等于已知线段”，故该选项不符合题意；
B．根据尺规作图作角平分线的方法可得，以为圆心，以恰当长度为半径画弧，再以弧和交点为圆心画弧交于一点，连接交点与形成的射线就是“作的平分线”，故该选项不符合题意；
C．根据尺规作图，在有“角平分线”与“等腰三角形”两个基本图形的基础上，一定会有“平行线”，因此，以为圆心画弧得到的等腰即可得出“过点C作AB的平行线”，故该选项不符合题意；
D．根据尺规作图作垂线的方法可知，要用作“中垂线”的方法才能做出垂线，而图中并没有作中垂线的相关痕迹，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查基本尺规作图，涉及到作线段相等、作角平分线、作平行线、作垂线等相关操作，熟练掌握五类基本尺规作图的操作方法，能通过痕迹识别五类基本尺规作图是解决问题的关键．
8．A
【分析】根据点A与点C关于DE对称，即可得出PC＝PA，当点P与点E重合时，PC＋PB＝PA＋PB＝AB，此时△PBC的周长最小，根据含30度角的直角三角形的性质求出AB即可得到△PBC周长的最小值．
【详解】解：∵△ACD是以AC为底边的等腰三角形，DE平分∠ADC，
∴ED垂直平分AC，
∴点A与点C关于DE对称，
∴PC＝PA，
如图所示，当点P与点E重合时，PC＋PB＝PA＋PB＝AB，
此时△PBC的周长最小，
∵BC＝5，，，
∴AB＝2BC＝10
∴△PBC周长的最小值为：PB＋PC＋BC＝PB＋PA＋BC＝AB＋BC＝10＋5＝15，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
9．
【分析】先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
10．
【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可，正确的求出每一个不等式的解集，是解题的关键．
【详解】解：
∵解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是，
故答案为：．
11．8
【分析】本题主要考查已知概率求数量，以及分式方程的实际应用． 设黑球的个数为x，则根据题意列出关于x的分式方程，解方程即可求解．
【详解】解：设黑球的个数为x，则根据题意可得：
摸到白球的概率为，
解得，
经经验，是原方程的解，
∴黑球个数为8，
故答案为：8．
12．##
【分析】设合伙买鸡者有x人，鸡的价格为y文钱，根据“如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【详解】解：由合伙买鸡的有x人，鸡价为y文钱，
根据题意得：，
故答案为：，
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数的解析式得出其顶点式，再利用二次函数的性质求出的最大值即可得出结论．利用配方法求出二次函数的顶点式是解题的关键．
【详解】解：，
汽车刹车后到停下来前进了，
故答案为：．
14．6.9
【分析】先根据甲种糖果6千克，乙种糖果10千克，丙种糖果4千克求出混合后的糖果甲、乙、丙比，再用各自所占比乘各自的售货单价相加即可．
【详解】解：若将甲种糖果6千克，乙种糖果10千克，丙种糖果4千克混合在一起，
则混合后的糖果甲、乙、丙比为，
∴混合后的糖果的售价每千克应定为（元），
故答案为：6.9．
【点睛】本题考查了加权平均数，读懂题意，熟练运用加权平均数是解题的关键．
15．
【分析】此题考查了一次函数图象与几何变换，两条直线相交和平行问题，属于动线型问题，掌握一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式是解决问题的关键．
分别求出直线经过点、点时的值，即可得到的取值范围．
【详解】解：由题意得：，则，
当直线过点时，，
解得：，
，
解得．
当直线过点时，
，
解得：，
，
解得．
故若与线段有公共点，的取值范围是：，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查求二次函数最值问题，数形结合的思想，解题关键是掌握二次函数图象的性质，通过分类讨论求解．
先由抛物线经过，得出，进而求出抛物线对称轴为直线，分类讨论当与当时两种情况的函数最值，结合函数图像进行分析．
【详解】解：把，代入得，
由①②得，
①②得，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，且，
抛物线经过点和点，
当，即时，时取最小值为，时，取最大值为，
当时，即时，如图，不符合当时，，
∴不合题意．
故答案为：．
17．1
【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
利用特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值的性质计算即可．
【详解】解：原式
．
18．见详解
【分析】根据矩形的性质和全等三角形的判定与性质，可以求得，然后根据，即可得到．
根据矩形的性质和全等三角形的判定与性质，可以求得，然后根据，即可得到．
【详解】证明：四边形是矩形，
，，
，
点为的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
．
19．，
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
先通分括号内的式子，再算除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
20．(1)图见详解
(2)直线经过点E
【分析】本题考查作图旋转变换、等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、等边三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）结合旋转的性质、等边三角形的性质，先分别以点，为圆心，线段的长为半径画弧，两弧相交于点，再以点为圆心，线段的长为半径画弧，以点为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，即可．
（2）由旋转可得，，，则为等边三角形，可得，进而可得，则点，，在一条直线上，即可得直线经过点．
【详解】（1）解：如图，先分别以点，为圆心，线段的长为半径画弧，两弧相交于点，再以点为圆心，线段的长为半径画弧，以点为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，，
则即为所求．
（2）直线经过点．
理由：由旋转可得，，，
为等边三角形，
，
，
，
点，，在一条直线上，
直线经过点．
21．(1)约有132户
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法求概率、用样本估计总体，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
（1）根据用样本估计总体，用200乘以样本中月平均用水量不超过5吨的户数占总户数的百分比，即可得出答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选到甲，丙两户的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：（户．
估计该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有132户．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选到甲，丙两户的结果有：甲丙，丙甲，共2种，
恰好选到甲，丙两户的概率为．
22．(1)
(2)老师安排不合理，理由见详解
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
（1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可；
（2）分别求出注意力指数为38时的两个时间，再将两时间之差与23比较，大于23则能讲完，否则不能．
【详解】（1）解：由题意，设所在反比例函数的解析式为，
点的坐标为，
．
．
（2）解：老师安排不合理．
理由：由题意，设，
，，
，
，
，
令，
，
．
令，
，
，
老师安排不合理．
23．(1)方案③较好
(2)①小时；②见详解
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，及优化方案的选择，难点在最后一问，注意判断出汽车行的时间冲锋舟行的时间是突破口，难度较大．
（1）解直角三角形，可得出、的长度，然后分别求出三种方案需要的时间即可作出比较；
（2）①在中求出、的长度，继而得出的长度，这样即可求出汽车行加上冲锋舟行的总时间；
②分两种情况讨论，当点在上时，当点在上时，过点作于点，表示出、，根据，可得，继而能判断出汽车行的时间冲锋舟行的时间，转换后比较即可得出结论．
【详解】（1）
解：（1）在中，
，，
，，
∵
∴
方案①需要用时：小时分钟，
方案②需要用时：小时分钟，
方案③需要用时：小时分钟
方案③较好；
（2）
解：①，
设，，则，
解得：，
即可得，，
，
故可得所用时间为：小时；
②延长过作于，
点为上任意一点，汽车开到点放冲锋舟下水，用时，
汽车开到放冲锋舟下水，用时，
∵
∴，
∴，
∴
，
∵，
，
；
∴当点在上任意一点时，过作于，同理可证：．
综上可得汽车行加上冲锋舟行的时间比车行加上冲锋舟行的时间要长．
24．(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）连接，根据圆的性质可知，，根据切线的性质可知，，根据勾股定理求出即可；
（2）连接，因为是的直径，所以，所以，因为，所以四边形是平行四边形，从而可以求出的长，然后根据和相似，表示出，同理可以求出的长，然后根据，求出的长度，即可求出关于的函数表达式；
（3）过作于，连接和，可以得出四边形为矩形，然后根据与相似，求出的值，即可求出的值．
【详解】（1）解：连接，如图：
是的切线，
，
，，
；
（2）解：连接，如图，
是的直径，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过作于，连接和，如图：
，，
∴，
四边形为矩形，
，，
∵，
，
，
为直径，
，
，
，
∴，
∵，
，
∴，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，综合运用切线的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质以及锐角三角函数的定义是本题解题的关键．
25．(1)，，
(2)点的坐标为
(3)＝1，为定值
【分析】（1）令，求出点，，再令求出点；
（2）根据已知条件得，可得，再求出直线的关系式，进而得出直线的关系式，然后联立关系式得出答案；
（3）结合已知条件设直线和的关系式，可得点，的坐标，联立关系式求出，进而得出，及，再将关系式联立可得，即可得出，然后根据点的坐标表示出，，进而得出答案．
【详解】（1）解：令，得或3，
、．
令，得，得；
（2）解：连接、，如图，
，
若，
即，
．
设直线为，
由、得：，
解得：，
∴直线为，
∵
设直线为，代入，得，
解得：，
直线为．
由，解得：（不合题意的值已舍去），
点的坐标为；
（3）解：，设直线的关系式为,
∴，解得，
直线的关系式为，
．
同理，设直线的关系式为，
．
由得，，
得或，
，同理可得，
由得，，
，
即，．
，，，
，，
，为定值．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数与一元二次方程，构造辅助线是解题的关键．
