专题06 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（七大类型）
【题型1：二次函数的y=ax2+bx+c顶点、对称轴与最值问题】
【题型2: 二次函数y=ax2+bx+c图像变换问题】
【题型3： 二次函数y=ax2+bx+c的性质】
【题型4:二次函数y=ax2+bx+c的y值大小比较】
【题型5:二次函数y=ax2+bx+c的最值问题探究】
【题型6: 二次函数y=ax2+bx+c的图像问题】
【题型7: 二次函数y=ax2+bx+c中a，b，c系数间的关系】
【题型1：二次函数的y=ax2+bx+c顶点、对称轴问题】
1．抛物线的顶点是（ ）
A． B． C． D．
2．将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y=（x+1）2+4 B．y=（x﹣1）2+4
C．y=（x+1）2+2 D．y=（x﹣1）2+2
3．抛物线的开口方向和顶点坐标分别是( )
A．上， B．上， C．下， D．下，
4．二次数图象的对称轴是( )
A． B． C． D．
5．已知点在抛物线上，则点A关于抛物线对称轴对称的点为（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数的图象上有两点和，则此拋物线的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
7．抛物线的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
8．二次函数图象上部分点的坐标对应值如表所示，则该函数图象的对称轴是直线 ．
… 0 1 …
… …
【题型2: 二次函数y=ax2+bx+c图像变换问题】
9．将二次函数的图象向上平移个单位长度，向右平移个单位长度得到的图象对应的函数解析式是（ ）
A． B． C． D．
10．将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的解析式是( )
A． B． C． D．
11．将抛物线沿x轴向右平移3个单位，然后再向上平移5个单位后所得抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
12．若二次函数图像向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度所得函数图像，则h、k的值分别为（ ）
A．3， B．4， C．3，2 D．，
13．要得到图象，只需把抛物线图象如何变换得到（ ）
A．向左平移2个单位、向上平移2个单位 B．向左平移2个单位、向下平移2个单位
C．向右平移2个单位、向上平移2个单位 D．向右平移2个单位、向下平移2个单位
14．将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
15．将二次函数的图象向左平移m个单位后过点，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
16．某抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位后得到的表达式为，则原抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【题型3： 二次函数y=ax2+bx+c的性质】
17．已知抛物线（）的顶点坐标为，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
18．关于抛物线说法正确的是（ ）
A．顶点坐标为 B．当时，y随x的增大而减小
C．当时，y有最大值 D．抛物线的对称轴为直线
19．对于的图像，下列叙述正确的是（ ）
A．开口方向向下 B．顶点坐标为
C．当时y随x增大而增大 D．对称轴为
【题型4:二次函数y=ax2+bx+c的y值大小比较】
20．已知，，是二次函数图象上的点，则（ ）
A． B． C． D．
21．，与为二次函数图象上的三点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
22．已知抛物线，若点都在该抛物线上，的大小关系（ ）
A． B． C． D．
23．抛物线，点，，，则、、的大小关系是（ ）
A．c>a>b B．b>a>c C．a>b>c D．无法比较大小
【题型5:二次函数y=ax2+bx+c的最值问题探究】
24．抛物线的最低点的坐标是（）
A． B． C． D．
25．函数，当时，y的最大值为m，最小值为n，则（ ）
A．3 B． C． D．1
26．二次函数的最大值是（ ）
A．7 B． C．17 D．
27．二次函数有最小值，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
28．已知抛物线，当时，y的最小值为，则当时，y的最大值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
29．求二次函数的最小值（ ）
A．0 B． C． D．
30．已知二次函数的图象（）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值，无最大值 B．有最小值，有最大值
C．有最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值
31．已知关于的二次函数，在的取值范围内，若，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有最大值 B．函数有最大值5
C．函数没有最小值 D．函数没有最大值
32．二次函数在范围内的最大值为（ ）
A．25 B．30 C．36 D．40
33．当，则函数最大值 ，最小值 ．
34．已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 ．
【题型6: 二次函数y=ax2+bx+c的图像问题】
35．在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
36．若，则一次函数与二次函数在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
37．已知二次函数的图象如图所示，则在同一直角坐标系中与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
38．二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
39．函数和函数 (k是常数，且) 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
40．已知一次函数（为常数）的图象如图所示，则函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【题型7: 二次函数y=ax2+bx+c中a，b，c系数间的关系】
41．如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤．其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
42．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图像顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a<0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x>1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
43．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③；④对于任意实数m，都有，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
44．二次函数的图象如图所示，下列结论：
①；②；③；④为任意实数，则．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】将一般式化为顶点式，写出顶点坐标即可．
【详解】解：；
∴顶点坐标为；
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是把一般式转化为顶点式．
2．D
【详解】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可得：y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2．
故选：D．
3．B
【分析】首先将抛物线转化成顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵抛物线
∵，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．C
【分析】将解析式化为顶点式，即可求解．
【详解】解：∵
∴对称轴为直线，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．C
【分析】根据纵坐标相等的点关于对称轴对称，可得答案．
【详解】解：抛物线y＝x2－4x－10的对称轴为，
把代入y＝x2－4x－10，得，
∴，
∴点A关于直线x＝2的对称点为，
故选：C.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用纵坐标相等的点关于对称轴对称是解题关键.
6．A
【分析】根据抛物线上两点的纵坐标相同可得，点和关于抛物线的对称轴对称，再利用这两点的横坐标之和的一半求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图象上有两点和，且两点的纵坐标相等，
∴点和关于抛物线的对称轴对称，
∴对称轴为，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解对称点的特征．
7．B
【分析】利用交点式，得出与轴交点坐标，利用对称性求得对称轴即可．
【详解】解：抛物线与轴的交点坐标，，
对称轴为直线．
故选：B．
【点睛】此题考查二次函数的性质，利用交点式求得交点坐标是解决问题的关键．
8．
【分析】根据表格中纵坐标相等的数据和二次函数的性质，可以得到该函数图象的对称轴．
【详解】解：由表格中的数据可得，和关于对称轴对称，
该函数的对称轴为直线，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，解题关键是理解二次函数图象上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称．
9．A
【分析】先将二次函数的一般式化为顶点式，然后利用二次函数图象平移的规律：左加右减，上加下减，进而得出答案．
【详解】解：∵二次函数，
又∵二次函数的图象向上平移个单位长度，向右平移个单位，
∴平移后的图象对应的解析式为：．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移．解题的关键是掌握图象平移的规律：左加右减，上加下减．
10．C
【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，再根据平移规律“左加右减，上加下减”写出新抛物线解析式．
【详解】解：∵
∴将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的解析式是，即．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
11．C
【分析】先将二次函数化为顶点式，再由解析式在平移中的变化规律：左加右减，上加下减；再据此即可求解．
【详解】解：由题意得
，
平移后得：
，
顶点为．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，平移规律，掌握顶点式的化法及规律是解题的关键．
12．A
【分析】用配方法可将抛物线一般式转化为顶点式再根据平移规律即可得出结论；
【详解】解：
∵图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，
∴
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式以及函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
13．B
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，再根据图象平移规则“左加右减，上加下减”求解即可．
【详解】解：∵，，
∴将抛物线向左平移2个单位、向下平移2个单位，即，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握函数图象平移的规则是解答的关键．
14．D
【分析】先将抛物线表达式化为顶点式，再根据二次函数平移规律，即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴该抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位得到的函数表达式为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，解题的关键是掌握二次函数平移规律“左加右减，上加下减”．
15．B
【分析】根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，再代入坐标求解即可．
【详解】解：将二次函数的图象向左平移m个单位后的函数解析式为，
∵平移后的图象经过点，，，
∴，解得或（舍去），
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象平移，解一元二次方程，熟练掌握图象平移规则是解答的关键．
16．B
【分析】原抛物线由新抛物线先向下平移4个单位，再向左平移1个单位，根据新抛物线的解析式，根据平移的性质即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：原抛物线由新抛物线先向下平移4个单位，再向左平移1个单位，
∵新抛物线的表达式为，
∴原抛物线的表达式为：，
化简后为：，
故选：B．
【点睛】此题考查了抛物线的平移，正确掌握抛物线平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
17．C
【分析】由顶点坐标为，可得，，解得，，，根据一元二次方程根的判别式，判断作答即可．
【详解】解：∵抛物线（）的顶点坐标为，
∴，，
解得，，，
∵，
∴，
∴，
∴方程没有实数根，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，一元二次方程根的判别．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
18．D
【分析】根据抛物线，可判断出顶点坐标和对称轴以及y 的最大值，再根据抛物线的图像可知其增减性
【详解】解：，
顶点坐标为，故A错误；
对称轴为直线，故D正确；
抛物线，开口向下，对称轴为，
当时，y随x的增大而增大，故B错误；
顶点坐标为，
当时，y有最大值为0，故C错误；
故选：D
【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质，熟练掌握对称轴及顶点坐标的求法是解题的关键．
19．C
【分析】根据抛物线的性质判断解答即可．
【详解】解：A．开口方向向上，不符合题意；
B．顶点坐标为，不符合题意；
C．当时y随x增大而增大，符合题意；
D．对称轴为，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
20．A
【分析】把原函数解析式化成项点式，然后根据三点与对称轴的位置关系，开口方向判断的大小．
【详解】∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∵三点中，点离对称轴较近，点在对称轴上，点离对称轴较远，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了抛物线线上点坐标的特征，找准对称轴以及利用抛物线的增减性是解题的关键．
21．B
【分析】把原函数化简成顶点式，利用函数图像的对称轴及其性质，根据各点横坐标离对称轴的距离来判断对应函数值的大小．
【详解】解：二次函数函数的对称轴为，
点关于的对称点为，
∵当时，函数值y随着自变量x的增大而增大，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握对称轴的意义以及点关于线对称的点，以及函数在对称轴一侧的增减性是解题的关键．
22．D
【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵点都在该抛物线上，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性．
23．A
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后比较三个点都直线的远近得到、、的大小关系．
【详解】解：二次函数的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
、，，
点离直线最远，离直线最近，
而抛物线开口向上，
；
故选：A．
【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
24．C
【分析】将题目中抛物线的解析式化为顶点式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标．
【详解】解：将化为顶点式为：
∴该抛物线的顶点坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会根据顶点式，直接写出顶点坐标．
25．B
【分析】依据题意，将抛物线化成顶点式，再由抛物线的增减性可以判断得解．
【详解】解：由题意，，
∴对称轴为直线．
∵抛物线开口向下，，，
又当时，
∴当时，y取最小值为；当时，y最大值为4．
，．
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数的最值，解题时要熟练掌握并理解是关键．
26．A
【分析】先用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，再根据函数的性质求函数最值．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为，
∴抛物线开口向下，
∴二次函数的最大值为7．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，求出顶点坐标是解题的关键．
27．A
【分析】把二次函数变成顶点式，根据二次函数的图象性质，得出结论．
【详解】
二次函数有最小值,
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，把二次函数的一般式变成顶点式，求二次函数的最值，熟练掌握二次函数图象的相关性质是解本题的关键．
28．A
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得a的值，然后即可得到当时，y的最大值．
【详解】解：∵抛物线，
∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线，当时，取得最大值为，
∵当时，y的最小值为，
∴时，，得，
∴，
∵，
∴时，取得最大值，此时，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，求出a的值，利用二次函数的性质解答．
29．C
【分析】将二次函数化为顶点式，由此即可得到答案．
【详解】解：，
，抛物线开口向上，
当时，的值最小为，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，将二次函数解析式化为顶点式是解此题的关键．
30．C
【分析】根据图象及的取值范围，求出最大值和最小值即可．
【详解】解：根据图象及的取值范围，
当时，取最小值为，
当，取最大值为2.5，
该函数有最小值，有最大值2.5，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象，二次函数的最值，关键是要能根据图象确定函数的最大值和最小值，函数所对的最低点的值为最小值，最高点的值为最大值．
31．B
【分析】
先求得抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
∵，开口向下，在的取值范围内，又，
∴当时，函数有最大值，最大值为，
当时，函数有最小值，最小值为，
观察四个选项，选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的最值问题．理解二次函数的最值是解题的关键．
32．C
【分析】将函数化为顶点式，确定函数的最小值，再分别计算时，当时的函数值，得到函数值的范围即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，当时抛物线有最小值0，
∵时，；当时，，
∴在时，，即最大值为36，
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，已知自变量的值求函数值，正确理解函数的开口方向确定最值是解题的关键．
33． 8
【分析】将抛物线解析式化为顶点式，根据二次函数的性质结合解析式即可得到答案．
【详解】解：，
，抛物线开口向上，
，
当时，的值最小为，
当时，，
当时，，
，
当，则函数最大值为8，最小时为，
故答案为：8，．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质，将解析式化为顶点式是解此题的关键．
34．
【分析】先将该函数的表达式化为顶点式，得出当时，y有最小值2，再把代入，求出x的值，即可求出m的取值范围．
【详解】解：∵，，
∴当时，y有最小值2，
把代入得：，
解得：，
∵当时，有最大值3，最小值2，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和增减性，以及求二次函数的最值的方法．
35．B
【分析】利用抛物线的开口方向与对称轴的位置、一次函数的增减性判断系数a是否存在矛盾即可．
【详解】A、从图示来看的图象开口向上，则，但此时一次函数因y随x的增大而减小，则，两者相矛盾，故A不符合题意；
B、从图示来看的图象开口向上，则，此时一次函数因y随x的增大而增大，则，两者相吻合，故B符合题意；
C、从图示来看的图象开口向下，则，但此时一次函数因y随x的增大而增大，则，两者相矛盾，故C不符合题意；
D、从图示来看，抛物线的对称轴在y轴的右侧，则，得出，这与抛物线的开口向下（）自相矛盾，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象及性质，解题的关键是分析函数图像与函数解析式系数之间的关系．
36．C
【分析】本题考查一次函数图象与二次函数图象的判定，根据两函数图象与轴的交点是同一点，判定D错误；由，分两种情况：根据抛物线开口向上，对称，对称轴在轴右侧，一次函数图象过第一、三象限，可判定A错误， C正确；若抛物线的开口向下，对称轴，对称轴在轴左侧，可判定B错误．
【详解】解：一次函数与二次函数的图象与轴的交点是同一点，故选项D错误；
，
若，则抛物线开口向上，对称轴，对称轴在轴右侧，一次函数图象过第一、三象限，因此，选项A错误，选项C正确；
若抛物线的开口向下，对称轴，对称轴在轴左侧，因此，选项B错误；
故选：C．
37．A
【分析】由已知二次函数的图象与轴的交点的横坐标为m，n，就可以确定二次函数与的交点的横坐标为m，n．
【详解】由题图可知，当时, ,
整理得,
即函数与的图象的交点的横坐标和函数的图象与轴的交点的横坐标相同,
故选.
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，二次函数及一次函数的图象和性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
38．A
【分析】利用二次函数和一次函数图象的性质“二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．”逐项判断即可．
【详解】A．图象中二次函数，一次函数，故A符合题意．
B．图象中二次函数，一次函数，故B不符合题意．
C．图象中二次函数，一次函数，故C不符合题意．
D．图象中二次函数，一次函数，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．熟练掌握二次函数和一次函数的图象的性质是解答本题的关键．
39．A
【分析】分和两种情况，分别根据一次函数和二次函数的图象与系数的关系进行判断即可．
【详解】解：当时，一次函数的图象过一、二、三象限，抛物线开口向下，B选项不符合；
当时，一次函数的图象过二、三、四象限，抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，A选项符合，C、D选项不符合；
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合判断，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
40．D
【分析】根据一次函数的图象，确定的取值范围，进而进行判断即可．
【详解】解：∵的图象过一、二、四象限，
∴，
∵，，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的开口向上，顶点位于第一象限，
故满足题意，只有选项D．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数和一次函数图象的综合判断，解题的关键是掌握一次函数和二次函数的性质．
41．C
【分析】由题意可知二次函数的图象与轴的另一个交点坐标是，即可得出与的等量关系，据此即可进行判断．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，
∴二次函数的图象与轴的另一个交点坐标是
∴，
解得：
①二次函数图象开口向下，∴，∴，，∴，故①正确；
②，故②正确；
③由图象可知：当时，；即，故③错误；
④由图象可知：当时，，故④正确；
⑤，∴，故⑤正确；
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．得出的关系，掌握数形结合的数学思想是解题关键．
42．C
【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可．
【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则a＜0，故①正确；
②∵抛物线的顶点为P（1，m）
∴，b=-2a
∵a＜0
∴b＞0
∵抛物线与y轴的交点在正半轴
∴c＞0
∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线经过点A（2，1）
∴1＝a·22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正确；
④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下
∴x>1时，y随x的增大而减小，即④正确；
⑤∵a＜0
∴at2+bt-（a+b）
= at2-2at-a+2a
= at2-2at+a
=a（t2-2t+1）
= a（t-1）2≤0
∴at2+bt≤a+b，则⑤正确
综上，正确的共有4个．
故答案为C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
43．C
【分析】根据二次函数的图象与性质进行判断即可．
【详解】解：由图可得，抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴，，
∵对称轴为，即，
∴，故①错误；
由图象可得，已知抛物线x轴的一个交点，对称轴为，
∴另一个交点，故②正确；
∵，
∴，
∴，
根据图象，令，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵若，
即，
∵，
∴对于任意实数m，恒成立，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
44．B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定抛物线对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左侧，当与异号时，对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴的交点．
【详解】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
，，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，故①错误，不符合题意；
，
，故②正确，符合题意；
由图象可得，3关于直线对称的点为，
当时，，故③错误，不符合题意；
由图象可得，当时，最大，
对任意实数，有，即，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有②④，共2个，
故选：B．
答案第1页，共2页
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