专题03 三角函数实际应用（四大类型）
【题型1 解直角三角形的应用】
【题型2 解直角三角形的应用-坡度坡角】
【题型3 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】
【题型4 解直角三角形应用-方向角问题】
【题型1 解直角三角形的应用】
（2023 二道区校级模拟）
1．人字折叠梯完全打开后如图1所示，，是折叠梯的两个着地点，是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，，，，则点离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
（2023 临淄区一模）
2．如图，衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（ ）．（参考数据：，，）
A． B． C． D．
（2023 佛山模拟）
3．如图中，，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
（2022秋 宽甸县期末）
4．如图，太阳光线与地面成角，窗子米，要在窗子外面上方米的点D处安装水平遮阳板，使光线不能直接射入室内，则遮阳板的长度至少是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
（2023 硚口区模拟）
5．如图，小红同学用仪器测量一棵大树的高度，在C处知，在E处测得，，仪器高度，这棵树的高度为 ．
（2023 沭阳县模拟）
6．人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若，的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度为 ．（参考数据：，，）
（2023 全椒县三模）
7．某社团在课余时间用无人机为学校航拍宣传片，如图所示的为无人机某次空中飞行轨迹，为延长线上一点，点，，，在同一平面内，，．若米，求的长．（结果保留整数，参考数据：，，，）
（2023 柯桥区一模）
8．如图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，即，点B、F在线段上，支杆．
(1)若时，B，D相距，试判定与的位置关系；
(2)当时，求的长
（2023 山东四模）
9．消防车是灭火救灾的主要装备．如图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图．当云梯升起时，与底盘的夹角为α，液压杆与底盘的夹角为β．已知液压杆m，当，时，求的长．（结果精确到m，参考数据：，，）
（2023 西工区一模）
10．某校安装了红外线体温检测仪（如图1），该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆上下调节（如图2），探测最大角（）为，探测最小角（）为，已知该设备在支杆上下调节时，探测最大角及最小角始终保持不变．若要求测温区域的宽度为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度．（结果精确到0.01米，参考数据：，，，，，）
【题型2 解直角三角形的应用-坡度坡角】
（2023 柳州一模）
11．如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．，的长是，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A． B． C． D．
（2023 官渡区一模）
12．“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（ ）
A． B． C． D．
（2023 白城模拟）
13．雪上项目占据了2022年北京冬奥会的大部分比赛项目，有自由式滑雪、越野滑雪、跳台滑雪、无舵雪橇、有舵雪橇、高山滑雪等．如图，某滑雪运动员在坡度为5：12的雪道上下滑65m，则该滑雪运动员沿竖直方向下降的高度为（ ）
A．13m B．25m C．m D．156 m
（2023 南岗区二模）
14．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，堤坝高为米，则迎水坡面的长度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
（2022秋 德惠市期末）
15．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．75m B．50m C．30m D．12m
（2023 惠山区三模）
16．北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB．已知坡AB的长为30m，坡角约为37°，则坡AB的铅直高度AH约为 m．（参考数据：，，．）
（2023 开封模拟）
17．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角为，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．
(1)真空管上端B到水平线AD的距离．
(2)求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．（结果精确到0.1米）
参考数据：，，，，，
（2023 成都模拟）
18．如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度米，坡面的倾斜角，距B点8米处有一建筑物，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面的坡度，把倾斜角由减至，即使得新坡面的倾斜角为．若新坡面底端A处与建筑物之间需要留下至少3米宽的人行道，那么该建筑物是否需要拆除？请说明理由．（结果精确到0．1米；参考数据：，）
（2023 兴安盟模拟）
19．图1、图2别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，假设G、E、D三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离长为，．
(1)求此滑雪运动员的小腿的长度；
(2)求此运动员的身高．（参考数据：，，）
（2023春 金华月考）
20．如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山处的位置向乙山处拉电线．已知甲山上点到河边的距离米，点到的垂直高度为120米；乙山的坡比为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为25°（参考值：，，）
(1)求乙山处到河边的垂直距离；
(2)求河的宽度．（结果保留整数）
【题型3 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】
（2023 农安县一模）
21．如图所示，塔底B与观测点A在同一水平线上．为了测量铁塔的高度，在A处测得塔顶C的仰角为，塔底B与观测点A的距离为80米，则铁塔的高为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
（2023 光明区二模）
22．在综合实践课上，某班同学测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，在C处测得树顶D的仰角为37°（点A、B、C在同一条水平主线上），已知测量仪的高度米，米，则树BD的高度是（ ）【参考数据：，，】
A．12米 B．12.65米 C．13米 D．13.65米
（2023 新华区校级模拟）
23．如图，在离铁塔100米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高为1.4米，则铁塔的高为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
（2023 东营区一模）
24．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为，则甲楼高度为（ ）
A．15米 B．米 C．米 D．米
（2023 泰安模拟）
25．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌 CD，小明在斜坡上 B 处测得标识牌顶部C 的仰角为 45°， 沿斜坡走下来在地面 A 处测得标识牌底部 D 的仰角为 60°，已知斜坡 AB 的坡角为 30°，AB＝AE＝10 米．则标识牌 CD 的高度是( )米．
A．15－5 B．20－10 C．10－5 D．5－5
（2023 黄州区校级二模）
26．如图，在小山的东侧点A处有一个热气球，由于受西风的影响，以的速度沿与地面成角的方向飞行，后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为，则小山东西两侧A，B两点间的距离为
（2023 范县一模）
27．郑州 中国绿化博览园，是第二届中国绿化博览会的主会场，是国家级旅游景区，集生态休闲、自然教育、亲子娱乐于一体的生态园林，是远离城市喧嚣，邂逅生态之美、探自然奇趣的近郊游玩好去处！在学校组织的实践活动中，某数学兴趣小组决定利用所学知识测量绿博园观光塔的高度．如图，明明同学先在湖对面的广场处放置做好的测倾器，测得观光塔的塔尖的仰角为，接下来明明向前走之后到达处，测得此时观光塔的塔尖的仰角为已知测倾器的高度为，点、、在同一直线上，求观光塔的高度；（结果精确到.，参考数据：≈，≈，≈，≈）
（2023 市中区校级模拟）
28．小明同学想利用刚学的三角函数知识测量一栋教学楼的高度，如图，他在A处测得教学楼顶B点的仰角为，走到C处测得B的仰角为，已知O、A、C在同一条直线上．求教学楼的高度．（参考数据：，，，结果精确到）
（2023 振兴区校级一模）
29．如图，一座山的一段斜坡BD的长度为400米，且这段斜坡的坡度（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B处测得山顶A的仰角（即）为，在斜坡D处测得山顶A的仰角（即）为．求山顶A到地面的高度是多少米？
（2023 开平市二模）
30．建筑物MN一侧有一斜坡AC，在斜坡坡脚A处测得建筑物顶部N的仰角为60°，当太阳光线与水平线夹角成45°时，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处，另一部分影子落在斜坡上AP处，已知点P的距水平地面AB的高度米，斜坡AC的坡度为（即），且M，A，D，B在同一条直线上．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）
(1)求此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长；
(2)求建筑物MN的高度．
【题型4 解直角三角形应用-方向角问题】
（2023 宁南县校级模拟）
31．一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为（ ）（参考数据：，，）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
（2023春 大冶市期中）
32．如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为海里．观测站B到AC的距离BP是（ ）
A． B．1 C．2 D．
（2023 柳南区二模）
33．如图，某海防哨所O发现在它的西北方向距离哨所米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东 60° 方向的B处，则此时OB为 米．
（2023 龙凤区校级模拟）
34．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为 ．
（2022秋 丛台区校级期末）
35．在一次海上救援中，两艘专业救助船、同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距60海里．
(1)求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离（结果保留根号）；
(2)求救助船、分别以20海里/小时，15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
（2023 邵阳模拟）
36．如图，某湖心岛上有一亭子，在亭子的正东方向上的湖边有一棵树，在这个湖心岛的湖边处测得亭子在北偏西方向上，测得树在北偏东方向上，又测得、之间的距离等于米，求树到亭子的距离（结果精确到米）．（参考数据：，，，，）
（2023 东明县三模）
37．某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．
(1)求A、P之间的距离AP；
(2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．
（2023 鹤峰县一模）
38．某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h(即m/s)，交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度检测点A，在如图所示的坐标系中，A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．
(1)在图中直接标出表示60°和45°的角；
(2)写出点B、点C坐标；
(3)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用时间为15s．请你通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？(本小问中取1.7)
（2022 乌兰浩特市模拟）
39．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
(1)求的度数；
(2)已知在灯塔P的周围20海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据等腰三角形等边对等角得∠ABC的度数，进而得∠BDE的度数，再解直角三角形得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质，关键是根据等边对等角求得∠ABC的度数．
2．B
【分析】根据等腰三角形的性质及，可得，根据等腰三角形的性质及，可得，在中，由，求得的长度．
【详解】解：∵等腰三角形，，为边上的高，
∴，
∵，
∴．
∵等腰三角形，，，
∴．
∵为边上的高，，
∴在中，
，
∵，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键．
3．A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．先求出，再用三角函数定义，求出，即可得出答案．
【详解】解：过点A作于点D，如图所示：
∵，，
∴，
在中，，
∴点A到的距离为，故A正确．
故选：A．
4．C
【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择三角函数关系是解题关键．由已知条件易求的长，在光线、遮阳板和窗户构成的直角三角形中，角的正切值等于窗户高：遮阳板的宽，据此即可解答．
【详解】解：∵米，米，
∴米，
∵光线与地面成角，
∴．
又∵，
∴．
故选：C．
5．米
【分析】根据直角三角形的边角间关系，可用含的代数式表示出、，由于，得到关于的方程，求解即可．
【详解】解：由题意，四边形、四边形、四边形均为矩形，
、均为直角三角形，
所以米，米．
在中，，
即，
在中，，
即，
又，
，
即，
，
（米），
故答案为：米．
【点睛】本题考查了解直角三角形．掌握直角三角形的边角关系是解决本题的关键．
6．2.05
【分析】在Rt△ADC中，求出AD即可．
【详解】解：∵AB=AC=2.5m，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴AD=AC sin55°=2.5×0.82≈2.05（m），
故答案为2.05．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．的长约为157米．
【分析】根据题意，过点作，交的延长线于点，先通过求出AF，然后再根据进行求解即可．
【详解】如下图，过点作，交的延长线于点
在中，米，
∴米
在中，
∴米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握解直角三角形的方法以及构造直角三角形并通过锐角三角函数表示各边之间的关系是解决本题的关键．
8．(1)，理由见解答
(2)的长为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）连接，根据题意可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可解答；
（2）过点作，垂足为，根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：，
理由：连接，
∵，
∴，
∵
∴
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴；
（2）过点作，垂足为，
在中，，
，
∴的长为．
9．m
【分析】利用锐角三角函数可求出、的长，即可求解．
【详解】解：在中，，m．
，
，
∴，∴m．
，
，m．
在中，
，
，
m．
∴m．
答：的长约为m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数求线段的长是解题的关键．
10．1.84米
【分析】首先根据题意表示出，然后利用三角函数表示出和，然后列方程求解即可．
【详解】解：根据题意可知，（米）．
在中，，
∴．
在中，
，
∴，
∴（米），
∴（米）．
答：该设备的安装高度约为1.84米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解决本题的关键．
11．C
【分析】本题考查的是含30度角直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．作交的延长线于E，根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】解：作交的延长线于E，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
12．A
【分析】过点A作AC⊥BC于C，根据正弦的定义解答即可．
【详解】解：如图，过点A作AC⊥BC于C，
在Rt△ABC中，sinB=，
则AC=AB sinB=100sin65°（米），
故选：A．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
13．B
【分析】根据题意，画出图形，设，根据勾股定理可得x=5，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：AC=65m，，∠B=90°，
可设，
∵，
∴，解得：x=5，
∴AB=25m，
即该滑雪运动员沿竖直方向下降的高度为25m．
故选：B
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
14．D
【分析】根据解直角三角形的知识可知：=sinα，即可求出AB．
【详解】∵=sinα，
∴AB=.
故选D.
【点睛】本题考查的是解三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键.
15．A
【分析】根据坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比列式计算即可．
【详解】解：∵斜坡AB的坡度i＝1：2.5，
∴BC：AC＝1：2.5，
∵BC＝30m，
∴AC＝30×2.5＝75m，
故选A．
【点睛】本题主要考查了坡度的定义，解题的关键在于能够熟练掌握坡度的定义.
16．18
【分析】由结合再解方程即可.
【详解】解：由题意得：
m，
故答案为：18
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，掌握“由锐角的正弦求解直角三角形的边长”是解本题的关键.
17．(1)1.8米
(2)0.9米
【分析】（1）过B作BF⊥AD于F．构建Rt△ABF中，根据三角函数的定义与三角函数值即可求出答案．
（2）根据BF的长可求出AF的长，再判定出四边形BFDC是矩形，可求出AD，根据BC＝DF＝AD AF计算即可．
【详解】（1）如图，过B作BF⊥AD于F．
在Rt△ABF中，
∵sin∠BAF＝，
∴BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈1.8．
∴真空管上端B到AD的距离约为1.8米．
（2）在Rt△ABF中，
∵cos∠BAF＝，
∴AF＝ABcos∠BAF＝3cos37°≈2.4，
∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，
∴四边形BFDC是矩形．
∴BF＝CD，BC＝FD，
∵EC＝0.5米，
∴DE＝CD CE＝1.3米，
在Rt△EAD中，
∵tan∠EAD＝，
∴，
∴AD＝3.25米，
∴BC＝DF＝AD AF＝3.25 2.4＝0.85≈0.9
∴安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，培养学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，掌握三角函数是解题的关键．
18．该建筑物不需要拆除，理由见解析
【分析】先解求出，再解求出，进而求出米，再由米，求出米，在比较的长与3的大小即可得到答案．
【详解】解：该建筑物不需要拆除，理由如下：
在中，米，
∴米；
在中，米，
∴米；
∴米，
∵米，
∴米，
∵，
∴该建筑物不需要拆除．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确求出的长是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）在中，，，，即可得出；
（2）由（1）得，，则，在中，，，解得，，根据运动员的身高为可得出答案．
【详解】（1）解：在中，，，，
，
∴．
故滑雪运动员的小腿的长度为；
（2）由（1）得，，∴．
∵，∴．
在中，，，．
∴，即：，
，即：，
解得，，
∴运动员的身高为（）
【点睛】本题考查解直角三角形的应用——坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
20．(1)360米
(2)195米
【分析】（1）过B作于点F，由坡度的概念和勾股定理即可得出结论；
（2）过A作于点E，过A作于点H，则四边形为矩形，得米，，由锐角三角函数定义求出的长，再由勾股定理求出的长，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，过B作于点F，
∵乙山的坡比为，
∴，
设米，则米，
∴（米），
又米，
∴，
∴，
∴米，
答：乙山B处到河边的垂直距离为360米；
（2）解：过A作于点E，过A作于点H，则四边形为矩形，
，
∴米，，
∴（米），
∵从B处看A处的俯角为，
∴，
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，由勾股定理得：（米），
由（1）可知，米，
∴（米），
答：河的宽度约为195米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21．C
【详解】解：根据题意得：
，
∴(米)．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的实际应用，理解正切的含义是解答关键．
22．D
【分析】设米，根据可得到、，然后利用解直角三角形的知识计算求解即可．
【详解】解：连接交于点M，则，
，．
设米，
∵在中，，
∴，
∴．
在中，，
∴，即：，解得，即．
∴（米）．
∴树的高度约为米．
故选D．
【点睛】本题主要考查了仰角型解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解答本题的关键．
23．A
【分析】过点作，为垂足，由锐角三角函数的定义求出的长，再由即可得出结论．
【详解】解：过点作，为垂足，如图所示：
则四边形为矩形，米，
米，
在中，，
，
（米，
故选：A．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线，解题的关键是构造出直角三角形．
24．B
【分析】分析题意可得：过点作，交于点；可构造，利用已知条件可求；而乙楼高．
【详解】解：过点作，交于点，
在中，米，，
∴（米），
∴（米）．
∴甲楼高为（）米．
故选B．
【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.
25．A
【分析】过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋EN DE即可求出结论．
【详解】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．
在Rt△ABE中，AB＝10米，∠BAM＝30°，
∴AM＝AB cos30°＝5（米），BM＝AB sin30°＝5（米）．
在Rt△ACD中，AE＝10（米），∠DAE＝60°，
∴DE＝AE tan60°＝10（米）．
在Rt△BCN中，BN＝AE＋AM＝10＋5（米），∠CBN＝45°，
∴CN＝BN tan45°＝10＋5（米），
∴CD＝CN＋EN DE＝10＋5＋5 10＝15 5（米）．
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形 仰角俯角问题及解直角三角形 坡度坡脚问题，通过解直角三角形求出BM，AM，CN，DE的长是解题的关键．
26．
【分析】过点A作于点H，则，证明是等腰直角三角形，则，在中，，即可得到答案．
【详解】解：过点A作于点H，则，
由题意可得，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
即A，B两点间的距离为．
故答案为：
【点睛】此题考查了解直角三角形、含的直角三角形的性质等知识，添加辅助线是解题的关键．
27．米
【分析】延长交于点，则，米，，，，设米，先在．中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进
行计算即可解答．
【详解】解：延长交于点，
则，米，，，，
设米，
∴米，
在中，，
∴（米），
在中，，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∴（米），
答：观光塔的高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
28．
【分析】在中，可得，从而得到，在中，根据，即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
答：教学楼的高度约为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
29．山顶A到地面的高度是米
【分析】
作于H．设．在中，根据，构建方程即可解决问题．
【详解】解：作于H．设．
∵，
在中，，
∴，
在中，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∴
答：山顶A到地面的高度是米．
【点睛】本题考查仰角的定义（高于水平线的角度），要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．解此题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．
30．(1)米；
(2)米．
【分析】（1）利用， 米，可求出米，在利用勾股定理即可求出AP；
（2）设，则，作交MN于点E，所以，，利用可求出x，进一步求出MN．
【详解】（1）解：∵，米，
∴米，
由勾股定理得：米．
（2）解：设，作交MN于点E，如下图：
∵，
∴，
∴，
∵PDME是矩形，，，
∴，，
∵
∴，即：，解得：，
∴米．
【点睛】本题考查解直角三角形，正切，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半．要掌握正切的概念是解（1）的关键；证明是解（2）的关键．
31．C
【分析】由题意可得，，，则，，在中，利用正弦函数的定义求解即可．
【详解】解：如图所示标注字母，根据题意得：
，，，，
∴，
，
∴，
在中，，
∴（海里），
∴此时与灯塔的距离约为海里．
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题，理解题意，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．也考查了三角形的内角和定理和直角三角形两锐角互余．
32．B
【分析】证△BCP是等腰直角三角形，得BP=PC，再由含30°角的直角三角形的性质得PA=BP，然后由PA+PC=AC，得BP+BP=+1，求解即可．
【详解】解：由题意得：∠BAC=90°-60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°，
∵BP⊥AC，
∴∠BPA=∠BPC=90°，
∵∠C=45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BP=PC，
∵∠BAC=30°，
∴PA=BP，
∵PA+PC=AC，
∴BP+BP=+1，
解得：BP=1（海里），
故选：B．
【点睛】本题考查了的解直角三角形的应用—方向角问题，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
33．800
【分析】通过解直角△OAC求得OC的长度，然后通过解直角△OBC求得OB的长度即可．
【详解】如图，设线段AB交y轴于C，
在直角△OAC中，∠ACO=∠CAO=45°，则AC=OC．
∵OA=400米，
∴OC=OA cos45°=400(米)，
∵在直角△OBC中，∠COB=60°，OC米，
∴OB=(米)，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角的问题．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法构造直角三角形．
34．30海里
【分析】根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．
【详解】由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，
故AB=2AP=60（海里），
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：
BP=（海里）
故答案为30海里.
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键．
35．(1)海里
(2)救助船先到达，计算过程见解析
【分析】（1）如图，作于，在中先求出的长，继而在中求出的长即可；
（2）根据“时间=路程÷速度”分别求出救助船A和救助船B所需的时间，进行比较即可．
【详解】（1）解：如图，过点P作于，
∴，
由题意得：海里，，，
∴海里，是等腰直角三角形，
∴海里，海里，
答：收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离为海里；
（2）解：∵海里，海里，救助船分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发，
∴救助船所用的时间为(小时)，
救助船所用的时间为(小时)，
∵，
∴救助船先到达．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理的应用等，熟练正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．
36．米．
【分析】过点作的垂线交于，要先求出的值然后再求， 的值，进而得出的长．
【详解】解：如图，过点作，垂足为点，
由题意得，，米，
在中，，
∴，
∵，
∴米，
∵，
∴，
∵，
∴米，
在中，，
∵，
∴，
∴米，
∴（米），
∴ 米，
答：树到亭子的距离为米．
【点睛】此题考查了直角三角形的应用，解题的关键是根据方向角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形.如果两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边一般是解题的常用方法．
37．(1)
(2)没有，理由见解析
【分析】（1）过点P作PC⊥AB交AB的延长线于点C，根据题意得：∠PAB=90°-60°=30°，∠PBC=90°-45°=45°，AB=，设PC=x，利用三角函数分别得出AC，BC，列出方程求解即可；
（2）由（1）中结论得出PC=，然后与半径比较即可．
【详解】（1）解：过点P作PC⊥AB交AB的延长线于点C，
根据题意得：∠PAB=90°-60°=30°，∠PBC=90°-45°=45°，AB=，
设PC=x，
∴AC=，BC=，
∴AC-BC=，即，
解得：x=，即PC=，
∴AP=；
（2）PC=，半径r为海里的圆形海域内有暗礁．
∵，
∴海监船由B处继续向东航行没有触礁危险．
【点睛】题目主要考查解三角形的应用，实数的大小比较，理解题意，熟练运用解三角形的方法是解题关键．
38．（1）∠OAB=60°，∠OAC=45°；（2）C的坐标是（100，0）；（3）该汽车在这段限速路上超速了．
【分析】（1）根据方向角的定义即可表示60°和45°的角；
（2）已知OA=100m，求B、C的坐标就是求OB、OC的长度，可以转化为解直角三角形；
（3）先求出BC的长，除以时间就得到汽车的速度，再与60km/h（即m/s）比较就可以判断是否超速．
【详解】（1）如图所示，∠OAB=60°，∠OAC=45°；
（2）∵在直角三角形ABO中，AO=100，∠BAO=60度，∴OB=OA tan60°=100，∴点B的坐标是（﹣100，0）；
∵△AOC是等腰直角三角形，∴OC=OA=100，∴C的坐标是（100，0）；
（3）BC=BO+OC=100+100≈270（m）．
270÷15=18（m/s）．
∵18＞，∴该汽车在这段限速路上超速了．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
39．(1)
(2)海监船继续向正东方向航行安全，理由见解析．
【分析】（1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题；
（2）作PD⊥AB于D．求出PD的值即可判定；
【详解】（1）解：由题意得，∠PAB=30°，∠PBD=60°，
∴∠APB=∠PBD-∠PAB=30°，
（2）由（1）可知∠APB=∠PAB=30°，
∴PB=AB=40（海里）
过点P作PD⊥AB于点D，
在Rt△PBD中， PD=BPsin60°=（海里），
，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
