新余一中2023－2024学年初一下学期段考数学试卷
考试时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列数中是无理数的是（ ）
A. 0 B. C. D.
2. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 7的算术平方根是49 B. 同旁内角互补
C. 相等的角是对顶角 D. 若，则，都是正数或，都是负数
3. 若 与是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A. 3 B. C. 1 D.
4. 若，是关于和二元一次方程的解，则的值等于
A. 3 B. 6 C. D.
5. 如图，将沿射线方向平移得到，连接．则的长为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向从原点出发，第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，……，按这样的运动规律，点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 在平面直角坐标系中，点A（﹣2，3）在第_____象限．
8. 如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为______．
9. 若，则的整数部分是__________．
10. 若关于，的方程组的解满足，则的值为______．
11. 如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为______°．
12. 在“折纸与平行”的拓展课上，小胡老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，，，点是边上的固定点，请在上找一点，将纸片沿折叠（为折痕），点落在点处，使与三角形的一边平行，则的度数为______．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 计算：
（1）；
（2）．
14. 解方程组：
（1）
（2）
15. 在平面直角坐标系中，已知点，．
（1）若点在第四象限且到坐标轴的距离相等，求的值并写出点的坐标；
（2）若线段，求值．
16. 甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了，解得，乙解题时看错了，解得．请你根据以上两种结果，求的平方根．
17. 生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于平行于地面，求的度数．
解：如图，过点作，
，
（ ）（平行于同一条直线的两条直线平行）
（______）（______），
，
（ ），
（辅助线作法），
∴（______），
，
（ ）．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，已知，∠B=∠D，AE交BC的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若∠1=∠2=60°，∠BAC=2∠EAC，求∠DCE的度数．
19. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）画出把先向右平移5个单位，再向下平移2个单位后所得到的；
（2）求面积；
（3）平移后与轴交点为点，求点坐标．
20. 如图，已知长方形为平面直角坐标系原点，，点在第四象限．
（1）直接写出点的坐标______；
（2）点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动．当三角形的面积为3时，直接写出点的坐标______；
（3）若过点的直线与长方形的边交于点，且直线将长方形的面积分为两部分，求点的坐标．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
（1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________；
（2）请你参照上面的方法：
①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）
②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长）
22 已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．
（1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．
（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？
（3）在（2）条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒．
六、解答题（12分）
23. 如图1，在平面直角坐标系中，大正方形OABC的边长为m厘米，小正方形ODEF的边长为n厘米，且．
（1）求点、点的坐标．
（2）起始状态如图1所示，将大正方形固定不动，小正方形以1厘米/秒的速度沿x轴向右平移，如图2．设平移的时间为t秒，在平移过程中两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米．
①当t=1.5时，S=________平方厘米；
②在这段时间内，小正方形的一条对角线扫过的图形的面积为________平方厘米；
③在小正方形平移过程中，若S=2，则小正方形平移的时间t为________秒．
（3）将大正方形固定不动，小正方形从图1中起始状态沿x轴向右平移，在平移过程中，连接AD，过D点作DM⊥AD交直线BC于M，∠DAx的角平分线所在直线和∠CMD的角平分线所在直线交于N（不考虑N点与A点重合的情形），求∠ANM的大小并说明理由．新余一中2023－2024学年初一下学期段考数学试卷
考试时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列数中是无理数的是（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，有规律但是不循环的数，含的数；据此逐个判断即可．
【详解】解：A、0是有理数，不符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、是无理数，符合题意；
D、是有理数，不符合题意；
故选：C．
2. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 7的算术平方根是49 B. 同旁内角互补
C. 相等的角是对顶角 D. 若，则，都是正数或，都是负数
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了判断命题的真假、算术平方根、平行线的性质、对顶角、有理数的乘法，根据算术平方根的定义可以判断A；根据平行线的性质可以判断B；根据对顶角的性质可以判断C；根据有理数的乘法可以判断D，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A、7的算术平方根是，故原选项错误，不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，故原选项错误，不符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，故原选项错误，不符合题意；
D、若，则，都是正数或，都是负数，故原选项正确，符合题意；
故选：D．
3. 若 与是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A. 3 B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平方根的性质列方程求解即可；
【详解】∵ 与是同一个正数的两个平方根，
∴ 与互为相反数，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程，正确理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决本题的关键．
4. 若，是关于和的二元一次方程的解，则的值等于
A. 3 B. 6 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把解代入方程，整体代入进行求解即可．
【详解】解：将代入方程得：，
．
故选：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的根，代数式求值，准确计算是解题的关键．
5. 如图，将沿射线方向平移得到，连接．则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平移．根据平移的性质得到，然后根据，求得，即可得解．熟练掌握平移的性质是解题的关键．平移的性质：图形上每个点移动的方向都相同，都移动了相同的距离．
【详解】解：由平移可知，，
∵，
∴，
∴，
则，
故选：C．
6. 如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向从原点出发，第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，……，按这样的运动规律，点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析动点的坐标，找出规律，即可求解．
【详解】解：根据图象得到动点的坐标为：
第次运动到点，
第次运动到点，
第次运动到点，
第次运动到点，
第次运动到点，
第次运动到点，
第次运动到点，
第次运动到点，
……
可得点的运动每次位置循环一次．每循环一次向右移动个单位，
第次运动到点，
第次运动到点，
第次运动到点，
第次运动到点，
∵，
故点的坐标是，
故选：D．
【点睛】本题考查了点的坐标规律，解题关键是找到动点运动过程中，每运动多少次形成一个循环．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 在平面直角坐标系中，点A（﹣2，3）在第_____象限．
【答案】二
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：点A（﹣2，3）在第二象限．
故答案为：二．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
8. 如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键．根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可．
【详解】解：由题意可得每个方块的体积为
则其边长为
故答案为：．
9. 若，则的整数部分是__________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据算术平方根的非负性和无理数的估算求解即可.
【详解】解：∵，
∴，
解得
∴，
∵，
∴
∴的整数部分为4，
故答案为：4.
【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性，无理数的估算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
10. 若关于，的方程组的解满足，则的值为______．
【答案】2023
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程解，根据二元一次方程解的定义代入计算即可．
【详解】解：关于，的方程组，
方程①方程②得，，即，
又，
，
，
故答案为：2023．
11. 如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为______°．
【答案】100
【解析】
【分析】过点作，过点作，根据平行线的性质和垂直的定义，进行求解即可．
【详解】解：过点作，过点作，
则：，
∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：100．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质．解题的关键是过拐点构造平行线．
12. 在“折纸与平行”的拓展课上，小胡老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，，，点是边上的固定点，请在上找一点，将纸片沿折叠（为折痕），点落在点处，使与三角形的一边平行，则的度数为______．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查折叠性质、平行线性质，分时和时，利用折叠性质和平行线的性质以及三角形的内角和求解即可．熟练掌握折叠性质，利用分类讨论思想，结合图形进行角的运算是解答的关键．
【详解】解：当时，如图，则，
由折叠性质得：，，
，
当时，如图，则，
；
当时，如图，则，
由折叠性质得：，
综上，的度数为或或．
故答案为：或或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）3 （2）3
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握开平方，开立方，绝对值化简计算．
（1）根据实数混合运算法则即可解题．
（2）根据开平方、开立方、以及绝对值的运算法则，逐项进行化简计算，即可解题．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
14. 解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
（1）用代入消元法求解即可；
（2）化简后用加减消元法求解即可．
【小问1详解】
，
把①代入②，得
，
解得，
把代入①，得
．
∴；
【小问2详解】
化简，得
，
，得
，
∴，
把代入①，得
，
∴，
∴．
15. 在平面直角坐标系中，已知点，．
（1）若点在第四象限且到坐标轴的距离相等，求的值并写出点的坐标；
（2）若线段，求的值．
【答案】（1），点的坐标为
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征，解题关键在于理解题干意思，将题干转化为数学模型列式求解．
（1）根据点在第四象限且到坐标轴的距离相等，可得，即可求解；
（2）根据段，可得或，即可求解．
【小问1详解】
解：∵点在第四象限且到坐标轴的距离相等，
∴，
∴，
则点的坐标为；
【小问2详解】
∵线段，
∴或，
∴或．
16. 甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了，解得，乙解题时看错了，解得．请你根据以上两种结果，求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组．把甲的解代入中求出n的值，把乙的解代入中求出m的值；把m与n的值代入即可求得平方根．
【详解】解：把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴的平方根为，
即：的平方根为．
17. 生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于平行于地面，求的度数．
解：如图，过点作，
，
（ ）（平行于同一条直线的两条直线平行）
（______）（______），
，
（ ），
（辅助线作法），
∴（______），
，
（ ）．
【答案】；；两直线平行，同旁内角互补；90；；270
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论．
【详解】解：如图，过点作，
，
（平行于同一条直线的两条直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补），
，
，
（辅助线作法），
∴，
．
故答案为：；；两直线平行，同旁内角互补；90；；270．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，已知，∠B=∠D，AE交BC的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若∠1=∠2=60°，∠BAC=2∠EAC，求∠DCE的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；
（2））根据AB//CD，∠2=60°，得到∠BAE=∠2=60°，∠BAC=∠ACD，进而得出∠CAE+∠BAC=60°，又根据∠BAC=2∠EAC，得到∠BAC=∠ACD=40°，根据内角和定理即可求出∠DCE的度数．
【详解】解：（1）∵，
∴
∵，
∴，
∴，
（2）∵，，
∴，
∴
∵，
∴
∵
∴
【点睛】本题考查平行线的性质和判定的应用，能熟练地运用定理进行推理是解答此题的关键．
19. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）画出把先向右平移5个单位，再向下平移2个单位后所得到的；
（2）求面积；
（3）平移后与轴交点为点，求点坐标．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了作图—平移变换，求三角形面积，熟练掌握平移变换的性质是解此题的关键．
（1）根据平移变化的性质找出对应点即可得解；
（2）利用割补法求三角形面积即可；
（3）由图可知，，，，设的坐标为，则，由，列出方程即可求得点的坐标为．
【小问1详解】
解：如图，即为所作，
【小问2详解】
面积为；
【小问3详解】
由图可知，，，，
设的坐标为，则，
∵，
∴，解得：，
∴点的坐标为．
20. 如图，已知长方形为平面直角坐标系的原点，，点在第四象限．
（1）直接写出点的坐标______；
（2）点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动．当三角形的面积为3时，直接写出点的坐标______；
（3）若过点的直线与长方形的边交于点，且直线将长方形的面积分为两部分，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）点的坐标为或
【解析】
【分析】本题只要考查了坐标与图形、三角形的面积，熟练掌握坐标与图形的性质，采用数形结合的思想以及分类讨论的思想解题，是解题的关键．
（1）根据长方形的性质即可得出点的坐标；
（2）设点的纵坐标为，由三角形的面积为3，可得，从而得到，再结合图形分：当在上时，当在上时，分别得出坐标即可；
（3）分两种情况：当点在上时；当点在上时，根据直线将长方形的面积分为两部分，进行计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：长方形，，，
，，
点在第四象限，
，
故答案为：；
【小问2详解】
设点的纵坐标为，
三角形的面积为3，
，
即，
或，
由图可知，
，
如图，此时存在两种情况：当在上时，，当在上时，，
点的坐标为或；
故答案为：或；
【小问3详解】
当点在上时，设点，
直线将长方形的面积分为两部分，
，
，
即，
解得：，
，
当点在上时，设点，
直线将长方形的面积分为两部分，
，
，
即，
解得：，
，
综上所述：点的坐标为或．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
（1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________；
（2）请你参照上面的方法：
①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）
②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长）
【答案】（1），；（2）①图见解析，；②见解析
【解析】
【分析】（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数
（2）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可；
（3）从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即是a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M，再把这个长方形向左平移3个单位，用同样的方法得到点N．
【详解】（1）由图1知，小正方形的对角线长是，
∴图2中点A表示的数是，点B表示的数是，
故答案是：，；
（2）①长方形面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5，
∴正方形的边长是，
如图所示：
故答案是：；
②如图所示：
【点睛】本题考查无理数的表示方法，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解．
22. 已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．
（1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．
（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？
（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒．
【答案】（1）60，75；（2）秒；（3）3或12或21或30
【解析】
【分析】（1）根据题意利用互余和互补的定义可得：∠EOC与∠FOD的度数．
（2）由题意先根据，得出∠EOF=150°，则射线OE'、OF'第一次重合时，其OE'运动的度数+OF'运动的度数=150，列式解出即可；
（3）根据题意分两种情况在直线OE的左边和右边，进而根据其夹角列4个方程可得时间．
【详解】解：（1）∵∠BOE=90°，
∴∠AOE=90°，
∵∠AOC=α＝30°，
∴∠EOC=90°-30°=60°，
∠AOD=180°-30°=150°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠FOD=∠AOD=×150°=75°；
故答案为：60，75；
（2）当，．
设当射线与射线重合时至少需要t秒，
可得，解得：；
答：当射线与射线重合时至少需要秒；
（3）设射线转动的时间为t秒，
由题意得：或或或，
解得：或12或21或30．
答：射线转动时间为3或12或21或30秒．
【点睛】本题考查对顶角相等，邻补角互补的定义，角平分线的定义，角的计算，第三问有难度，熟记相关性质是解题的关键，注意要分情况讨论．
六、解答题（12分）
23. 如图1，在平面直角坐标系中，大正方形OABC的边长为m厘米，小正方形ODEF的边长为n厘米，且．
（1）求点、点的坐标．
（2）起始状态如图1所示，将大正方形固定不动，小正方形以1厘米/秒的速度沿x轴向右平移，如图2．设平移的时间为t秒，在平移过程中两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米．
①当t=1.5时，S=________平方厘米；
②在这段时间内，小正方形的一条对角线扫过的图形的面积为________平方厘米；
③在小正方形平移过程中，若S=2，则小正方形平移的时间t为________秒．
（3）将大正方形固定不动，小正方形从图1中起始状态沿x轴向右平移，在平移过程中，连接AD，过D点作DM⊥AD交直线BC于M，∠DAx的角平分线所在直线和∠CMD的角平分线所在直线交于N（不考虑N点与A点重合的情形），求∠ANM的大小并说明理由．
【答案】（1），；
（2）①3；②4；③1秒或5秒；
（3）或，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）由非负数的性质以及算术平方根的性质可得出，的值，则答案可求出；
（2）①1.5秒时，小正方形向右移动，即可计算出重叠部分的面积；
②画出图形，计算所得图形面积即可；
③小正方形的高不变，根据就即可求出小正方形平移的距离和时间；
（3）分当点在射线的反向延长线上或当点在射线上时，
过作轴，过作轴，设，则，，则，，得出，从而得出．
【小问1详解】
解：∵ ．
，，
，，
【小问2详解】
解：①当t=1.5时，小正方形向右移动1.5cm，
S=2×1.5=3cm2；
②如图1所示，小正方形的一条对角线扫过的面积为灰色平行四边形，
面积2×2=4cm2；
③如图2，小正方形平移距离为4+1=5cm，
∴小正方形平移距离为1cm或5cm，
∴t=1或5．
综上所述，小正方形平移的时间为1或5秒，
【小问3详解】
解：如图3，当点N在射线MG的反向延长线上时，
过D作DQ∥x轴，过N作NP∥x轴，
∵MN平分∠CMD，
∴设∠CMG=∠DMG=y，则∠PNM=∠NMB=y，
∠MDQ=∠CMD=2y，
∵DM⊥AD，
∴∠ADQ=∠OAD=90° 2y，
∴∠DAx=180° ∠OAD=180° （90° 2y）=90°+2y，
∵AN平分∠DAx，
∴∠NAx=∠DAx=45°+y=∠PNA，
∴∠ANM=∠PNA ∠PNM=45°+y y=45°，
当点N在射线MG上时，
同理∠ANG=45°，
∴∠ANM=135°，
综上：∠ANM=135°或45°．
【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形的性质，平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的性质及平移的性质是解题的关键．
