2023～2024学年度第二学期期中学业监测
八年级数学
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1. 四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项合题意；
故选：D．
2. 下列调查中，最适合采用普查方式的是（ ）
A. 了解我市老年人健康状况
B. 调查全国中小学生的视力情况
C. 对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查
D. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
【详解】解：A、适合用抽样调查，不符合题意；
B、适合用抽样调查，不符合题意；
C、适合用普查，符合题意；
D、适合用抽样调查，不符合题意；
故选C．
3. 已知数据，3.14，，，，其中无理数出现的频率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了求算术平方根，求立方根，无理数的定义，求频率，掌握以上知识是解题的关键．
先判断无理数的个数，然后根据频率等于频数除以总数即可求解．
【详解】解：数据，，，，，
其中，，是无理数，共2个，
∴无理数出现的频率，
故选：B．
4. 下列事件是随机事件的是（ ）
A. 通常温度降到以下，纯净的水结冰 B. 从地面发射1枚导弹，击中空中目标
C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 太阳从东方升起
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了随机事件以及必然事件、不可能事件的定义，根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案，正确把握相关定义是解题关键．
【详解】A、通常温度降到以下，纯净的水结冰是必然事件，故A错误，不符合题意；
B、从地面发射1枚导弹，击中空中目标是随机事件，故B正确，符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，故C错误，不符合题意；
D、太阳从东方升起是必然事件，故D错误，不符合题意；
故选：B．
5. 用反证法证明“已知：中，，求证：．”时，第一步应假设（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【详解】解：用反证法证明：“已知在中，，求证：．”时，
第一步应假设：，
故选：D
6. 如图，要使成为菱形，则需添加的一个条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了菱形判定，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关键．利用对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证．
【详解】解：对角线垂直的平行四边形为菱形．
要使成为菱形，则需添加的一个条件是．
故选：C．
7. 如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则旋转角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形两底角相等求，再根据都是旋转角解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵绕点A旋转得到，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
8. 如图①，在矩形的边上有一点，连结，点从顶点出发，沿以1cm/s的速度匀速运动到点．图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的长为（ ）
A. 5cm B. 4cm C. 3cm D. 2cm
【答案】D
【解析】
【分析】抓住关键点，函数图象最高点纵坐标为9，横坐标为6，得的最大面积为9，此时、重合，，，通过图象知道点到终点时，的面积是6，此时、重合，，得，即可求得的长．
【详解】解：∵是矩形，
∴
由图象可知，当、重合，，，
可得：，
当时、重合，，可得：，
则：．
故选：D．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把正确答案直接写在答题卡相应的位置上）
9. 某校七年级体育成绩优秀的学生有100人，占总人数的40%，在扇形统计图中，表示这部分同学的扇形圆心角是______度．
【答案】144
【解析】
【分析】本题考查求扇形统计图中的圆心角的度数，利用所占比例，进行求解即可．
【详解】解：；
故答案为：144．
10. 中国古代数学家祖冲之算出圆周率约为，在这个数中数字1出现的频数是______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查频数，熟练掌握频数的求法是解题的关键；根据“频数是指在统计学中，变量值中代表某种特征的数出现的次数”进行求解即可．
【详解】解：在这个数中数字1出现的频数是2；
故答案为2．
11. 如图，在正方形中，点，分别在和边上，，，，则的面积为______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，先根据正方形的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，得到，则，最后根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8．
12. 两个矩形位置如图所示，若，则________________．
【答案】##55度
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的性质及角度的计算．由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解．
【详解】解：如图，
由题意得：，
，，
，
．
故答案为：．
13. 如图，如果要测量池塘两端，的距离，可以在池塘外取一点，连接，，点、分别是、的中点，测得的长为米，则的长为_______米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查三角形的中位线，解题的关键是直接根据三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）计算即可．
【详解】解：∵点、分别是、的中点，
∴是的中位线，的长为米，
∴（米），
∴的长为米．
故答案为：．
14. 如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为__________°．
【答案】90
【解析】
【分析】本题考查了旋转对称图形，观察图形可得，图形由四个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键．
【详解】图形可看作由一个基本图形旋转4次所组成，
故最小旋转角为．
故答案为：90．
15. 以A点为圆心，5为半径画弧，再以B点为圆心，相同长度为半径画弧，交前弧于M、N两点，已知，则以A、B、M、N四点为顶点的四边形的面积是______．
【答案】24
【解析】
【分析】首先根据题意得到四边形是菱形，进而得到，，然后利用勾股定理得到，求出，最后利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】根据题意可得，，
∴四边形是菱形，
∴设和交于点O，
∴，，
∴
∴
∴四边形的面积．
故答案为：24．
【点睛】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
16. 如图，点P是中斜边（不与A，C重合）上一动点，分别作于点M，作于点N，点O是的中点，若，，当点P在上运动时，则的最小值是______．
【答案】1.2##
【解析】
【分析】由题意可得，四边形是矩形．根据矩形对角线相等且互相平分可得，当时，有最小值，进而可求出的最小值．
【详解】解：
∴四边形是矩形
，
当时，有最小值
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短等相关知识点．推导出是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共72分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出必要的演算步骤或文字说明）
17. 如图，在中，、分别为边、的中点，是对角线，
求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查的是平行线的性质及判定定理，属于基础题型．解决这个问题的关键就是要对平行四边形的性质和判定非常熟悉．
根据平行四边形的性质得出和平行且相等，根据中点的性质得出和平行且相等，从而得出为平行四边形，从而得出答案．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵、分别为边、的中点，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形，
∴=．
18. 小明在一次调查中收集了20个数据，结果如下：
95 91 93 95 97 99 95 98 90 99
96 94 95 97 96 92 94 95 96 98
（1）在列频数分布表时，如果取组距为2，那么应该分成多少组？
（2）这组的频数是多少？频率是多少？
【答案】（1）5 （2）8，
【解析】
【分析】（1）由样本数据得，最大为99，最小为90，所以，而组数为整数，运用进一法可知应分5组；
（2）找出这组有多少个数据即为频数，利用频数除以20即可求频率．
【小问1详解】
解：∵，
∴应分5组；
【小问2详解】
解：这组的数据为95，95，95，96，95，96，95，96，共8个，
故频率为．
【点睛】本题考查的是频数与频率，掌握组距、分组数的确定方法：组距=（最大值-最小值）÷组数，以及频率的计算方法是解题的关键．
19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（-3，2），B（-1，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180，画出旋转后对应的△A1B1C；
（2）平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（-5，-2），画出平移后的△A2B2C2；
（3）若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）（-1，0）．
【解析】
【分析】（1）根据图中的网格结构分别找出点A、B绕点C旋转180°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据旋转的性质，确定出旋转中心即可．
【详解】解：（1）△A1B1C如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）如图所示，旋转中心为（﹣1，0）．
【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，作图﹣平移变换．
20. 某中学为了解学生最喜欢的课外活动，以便更好地开展课后服务，随机抽取若干名学生进行了问卷调查.调查问卷如下：
调查问卷 在下列课外活动中，你最喜欢的是（ ）（单选） A.文学 B.科技 C.艺术 D.体育
根据统计得到的数据，绘制成下面两幅不完整的统计图.
请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）本次调查采用的调查方式为______（填写“普查”或“抽样调查”）；
（2）请补全条形统计图并计算扇形统计图中的值为______；
（3）若该校共有1500名学生参加课外活动，则估计选择“文学”类课外活动的学生比选择“艺术”类课外活动的学生多多少人？
【答案】（1）抽样调查
（2）22 （3）255人
【解析】
【分析】本题主要考查了全面调查与抽样调查，条形统计图，扇形统计图，正确利用条形统计图和扇形统计图得出正确信息是解题关键．
（1）根据抽样调查的定义即可得出答案；
（2）用1减去其他几个活动所占百分比即可求解，用喜欢体育的人数除以所占百分比即可求出总人数，进而可补全图形；
（3）用1500乘以选择“文学”类的百分比与“艺术”类的百分比的差即可．
【小问1详解】
解：抽样调查，
故答案为：抽样调查；
【小问2详解】
解：体育类所占百分比为：，
扇形统计图中的值为22；
总人数为：，
艺术类人数为：，
补全图形如下：
故答案为：22；
【小问3详解】
解：（人）
答：估计选择“文学”类课外活动的学生比选择“艺术”类课外活动的学生多255人
21. 如图，菱形的对角线、相交于点，，垂足为点，，，求、的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
根据菱形的性质，得出，勾股定理求得，进而等面积法求得，即可求解．
【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点，，，
∴，
∴中，，
∵，
∴，
∴．
22. 在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接，．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，，求证：平分．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，进而得到，因此四边形是平行四边形，再由即可证得是矩形；
（2）由勾股定理可求得，从而得到，进而，由得到，因此，即可解答．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形，
∵，即，
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
∵，
∴在中，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，角平分线的判定以及平行线的性质，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键．
23. 如图，在矩形中，是对角线．
（1）利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点，交边于点，交边于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）连接、，求证四边形为菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质、菱形的判定和矩形的性质．
（1）利用基本作图作的垂直平分线即可；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到，，再证明得到，然后利用对角线互相垂直平分的四边形为菱形得到结论．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
；
【小问2详解】
证明：垂直平分，
，，
四边形为矩形，
∴，
，
在和中，
，
，
，
与互相垂直平分，
四边形为菱形．
24. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=9．将矩形纸片折叠，使点B和点D重合．
（1）求ED的长；
（2）求折痕EF的长．
【答案】（1）5；（2）
【解析】
【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明三角形DEF为等腰三角形，从而得到ED=DF，设DE=x，则DF=x，FC=9-x，然后在△DFC中依据勾股定理列方程求解即可；
（2）过点E做EM垂直于BC，垂足为M．先求得MF的长度，然后依据勾股定理可求得EF的长．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=3．
∵AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF．
∵∠BFE=∠EFD，
∴∠EFD=∠DEF，
∴DE=DF．
设DE=x，则DF=x，FC=9﹣x．
在Rt△DFC中，FC2+DC2=DF2，
∴（9﹣x）2+32=x2．解得x=5．
∴DE=5．
（2）过点E做EM垂直于BC，垂足为M．
根据（1）可知BF=DF=5,
AE=CF=4，
∵AE=CF=4，BF=DF=5，
∴MF=BF﹣BM=5﹣4=1．
∴Rt△MEF中，EF2=EM2+MF2=32+12=10
∴
【点睛】本题意在考查矩形性质，翻折变换（折叠问题），熟练掌握勾股定理是解题的关键.
25. 在矩形中，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中．
（1）若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？
解： ；（直接填空，不用说理）
（2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值；
【答案】（1）四边形是平行四边形
（2）或
【解析】
【分析】本题考查矩形的判定及性质，平行四边形的判定．
（1）由矩形的性质证得，得到，，得到四边形是平行四边形；
（2）连接，则四边形是矩形，．分点E，F相遇前和相遇后两种情况讨论，根据矩形的对角线相等即可解答．
【小问1详解】
∵四边形矩形，
∴，，
∴，
∵G，H分别是，中点，
∴，，
∴，
∵点E，F的运动速度相同，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴四边形是平行四边形．
故答案为：四边形是平行四边形
【小问2详解】
如图1，连接，
图1
∵G，H分别是，中点，
∴，，
∴，
∵，
∵在矩形中，，，
∴四边形是矩形，
∴，
（1）如图1，当四边形是矩形时，
，
∵，
∴，
，
，
；
（2）如图2，当四边形是矩形时，
图2
同理，
，
；
综上所述，四边形为矩形时，或．
26. 本学期我们研究了三角形的中位线的性质，回顾研究的过程，请回答以下问题：
（1）三角形中位线定理是： ；
（2）梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图①，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？
小明思考之后给出了如下的证明思路：如图②，连接并延长，交的延长线于点G．先证和全等，再说明是△ABG的中位线．经过你的分析，请写出梯形的中位线和两底、之间的关系： 、 ；
（3）已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是 ；
（4）如图③，直线l为外的任意一条直线，过A、B、C、D分别作直线l的垂线段、、、，请探索线段、、、之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半
（2）；
（3）42 （4），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形中位线定理解答即可；
（2）先证和全等，再说明是△ABG的中位线．利用三角形中位线定理得出结论；
（3）根据梯形的中位线长为，得出梯形两底和的一半等于于，再根据梯形面积公式计算即可；
（4）连接、相交于O，过点O作于P，利用平行四边形的性质和平行线等分线段定理得出是梯形的中位线，是梯形的中位线，再利用梯形的中位线性质得出结论．
【小问1详解】
解：三角形中位线定理是：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
【小问2详解】
解：；．
证明：连接并延长，交的延长线于点G．如图，
∵，
∴，，
∵就是梯形的中位线，
∴
∴
∴，，
∴是的中位线，
∴，，即，
∵
∴．
【小问3详解】
解：∵梯形的中位线长为，
∴梯形两底和的一半等于于，
∴
【小问4详解】
解：，
证明：连接、相交于O，过点O作于P，如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，，，
∴，
∴，，
∴是梯形的中位线，是梯形的中位线，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查三角形与梯形中位线性质，全等三角形的判定与性质，平行线等分线段定理．熟练掌握三角形中位线性质和应用是解题的关键．
27. 【操作发现】如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点，点C的对应点为点．连接；
②在①中所画图形中，______°．
【问题解决】
在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：
如图2，在等边中，点P在内部，且，，，求的长．
经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找、、三边之间的数量关系…
请参考他们的想法，完成解答过程．
【学以致用】
如图3，在等腰直角中，，P为内一点，，，，求的长．
【拓展延伸】如图4，在四边形中，，垂足为E，，；，，，求的长．
【答案】操作发现：；问题解决：；学以致用：；拓展延伸：
【解析】
【分析】操作发现：根据旋转前后的图形全等和等腰直角三角形两底角等于可得结果；
问题解决：按照题中要求作出图形，根据旋转的性质可得，，再根据等边三角形的性质和判定得到，即可证得结论；
学以致用：将绕点C顺时针旋转得到，连接，证明计算即可．
拓展延伸：将绕点A逆时针旋转得到，连接，根据旋转的性质及等边三角形的判定得出与均为等边三角形，再通过导角证得，即可通过勾股定理求得结果．
【详解】解：操作发现：旋转后的图形如图所示，连接，
，，
；
故答案为：；
问题解决：由题中作图方式作出图形如图所示，则，，
是等边三角形，，，
等边，
，，
，
；
学以致用：∵是等腰直角三角形，
∴．
将绕点C顺时针旋转得到，连接，如图：
则，
∴是等腰直角三角形
∴，
∴，
∴P、、B三点共线，
∴，
∴，
∴．
拓展延伸：连接，
，，
，
如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则，
，
，
，，
，
与均为等边三角形，
，，
，，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定，较为综合，解决本题的关键是利用的旋转的性质作出辅助线，构造直角三角形，从而得到线段之间的关系．2023～2024学年度第二学期期中学业监测
八年级数学
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1. 四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列调查中，最适合采用普查方式的是（ ）
A. 了解我市老年人健康状况
B. 调查全国中小学生的视力情况
C. 对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查
D. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命
3. 已知数据，3.14，，，，其中无理数出现的频率是（ ）
A B. C. D.
4. 下列事件是随机事件的是（ ）
A. 通常温度降到以下，纯净的水结冰 B. 从地面发射1枚导弹，击中空中目标
C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 太阳从东方升起
5. 用反证法证明“已知：中，，求证：．”时，第一步应假设（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，要使成为菱形，则需添加的一个条件是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则旋转角的度数是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图①，在矩形的边上有一点，连结，点从顶点出发，沿以1cm/s的速度匀速运动到点．图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的长为（ ）
A. 5cm B. 4cm C. 3cm D. 2cm
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把正确答案直接写在答题卡相应的位置上）
9. 某校七年级体育成绩优秀的学生有100人，占总人数的40%，在扇形统计图中，表示这部分同学的扇形圆心角是______度．
10. 中国古代数学家祖冲之算出圆周率约为，在这个数中数字1出现的频数是______．
11. 如图，在正方形中，点，分别在和边上，，，，则的面积为______．
12. 两个矩形的位置如图所示，若，则________________．
13. 如图，如果要测量池塘两端，的距离，可以在池塘外取一点，连接，，点、分别是、的中点，测得的长为米，则的长为_______米．
14. 如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为__________°．
15. 以A点为圆心，5为半径画弧，再以B点为圆心，相同长度为半径画弧，交前弧于M、N两点，已知，则以A、B、M、N四点为顶点的四边形的面积是______．
16. 如图，点P是中斜边（不与A，C重合）上一动点，分别作于点M，作于点N，点O是的中点，若，，当点P在上运动时，则的最小值是______．
三、解答题（本大题共11小题，共72分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出必要的演算步骤或文字说明）
17. 如图，在中，、分别为边、的中点，是对角线，
求证：．
18. 小明一次调查中收集了20个数据，结果如下：
95 91 93 95 97 99 95 98 90 99
96 94 95 97 96 92 94 95 96 98
（1）在列频数分布表时，如果取组距为2，那么应该分成多少组？
（2）这组的频数是多少？频率是多少？
19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（-3，2），B（-1，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180，画出旋转后对应的△A1B1C；
（2）平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（-5，-2），画出平移后的△A2B2C2；
（3）若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标．
20. 某中学为了解学生最喜欢的课外活动，以便更好地开展课后服务，随机抽取若干名学生进行了问卷调查.调查问卷如下：
调查问卷 在下列课外活动中，你最喜欢的是（ ）（单选） A.文学 B.科技 C.艺术 D.体育
根据统计得到的数据，绘制成下面两幅不完整的统计图.
请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）本次调查采用的调查方式为______（填写“普查”或“抽样调查”）；
（2）请补全条形统计图并计算扇形统计图中的值为______；
（3）若该校共有1500名学生参加课外活动，则估计选择“文学”类课外活动的学生比选择“艺术”类课外活动的学生多多少人？
21. 如图，菱形的对角线、相交于点，，垂足为点，，，求、的长．
22. 在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接，．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，，求证：平分．
23. 如图，在矩形中，是对角线．
（1）利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点，交边于点，交边于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）连接、，求证四边形为菱形．
24. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=9．将矩形纸片折叠，使点B和点D重合．
（1）求ED的长；
（2）求折痕EF长．
25. 在矩形中，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中．
（1）若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？
解： ；（直接填空，不用说理）
（2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求t值；
26. 本学期我们研究了三角形的中位线的性质，回顾研究的过程，请回答以下问题：
（1）三角形中位线定理是： ；
（2）梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图①，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？
小明思考之后给出了如下的证明思路：如图②，连接并延长，交的延长线于点G．先证和全等，再说明是△ABG的中位线．经过你的分析，请写出梯形的中位线和两底、之间的关系： 、 ；
（3）已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是 ；
（4）如图③，直线l为外的任意一条直线，过A、B、C、D分别作直线l的垂线段、、、，请探索线段、、、之间的数量关系，并证明．
27. 【操作发现】如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点，点C的对应点为点．连接；
②在①中所画图形中，______°．
【问题解决】
在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：
如图2，在等边中，点P在内部，且，，，求的长．
经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找、、三边之间的数量关系…
请参考他们的想法，完成解答过程．
【学以致用】
如图3，在等腰直角中，，P为内一点，，，，求的长．
【拓展延伸】如图4，在四边形中，，垂足为E，，；，，，求的长．
