2023-2024学年第二学期甘肃省武威市凉州区金塔中学联片教研
九年级数学第三次模拟考试试卷
一、选择题(共30分)
1．（3分）据统计，2022年考研报名人数约有457万，创下历史新高，把457万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，直线，直线，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）计算 的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，挂在弹簧秤上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧秤的读数F（kg）与时间t（s）的函数图象大致是（ ）
A．B．C． D．
6．（3分）如图，双曲线与直线相交于A、B两点，点A坐标为，则点B坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图， 是 的弦，半径 于点 且 则 的长为（ ）.
A． B． C． D．
8．（3分）如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度发生变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化.经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他继续往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），此时塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为（ ）（精确到0.1米，参考数值： ， ）
A．7.6米 B．7.8米 C．8.6米 D．8.8米
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，则AC的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
10．（3分）如图，点A，B在反比例函数 的图象上，点C，D在反比例函数 的图象上，AC//BD//y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为 ，则k的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
二、填空题(共24分)
11．（3分）﹣5的相反数是 ．
12．（3分）在平面直角坐标系中，点P（-1，2）向右平移3个单位长度得到的点的坐标是 ．
13．（3分）如图，若，且，，则 °.
14．（3分）分解因式：2x2﹣8=
15．（3分）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为 ．
16．（3分）如图，正方形的对角线交于点中，，将绕点旋转（边在正方形外面），现随机向正方形内抛掷一枚小针，则针尖落在与正方形重叠部分的概率为 ．
17．（3分）如图，，分别切于点，，点是上一点，过作的切线，交，于点，，若，则的周长是 ．
18．（3分） 如图，是平行四边形边的延长线上一点，，则 ．
三、计算题(共8分)
19．（8分）
（1）（4分）计算：；
（2）（4分）解一元二次方程：.
四、作图题(共6分)
20．（6分）如图，已知中，为的中点．
（1）（3分）请用尺规作边的垂直平分线，交AC于点，交BC于点F，并连接（保留作图痕迹，不要求写作法）．
（2）（3分）在（1）的条件下，若的周长为3，求的周长．
五、解答题(共52分)
21．（6分）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，求证：AB＝DC.
22．（6分）如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，AD＝3，CD＝5，若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线．求EF的长.
23．（6分）如图，为直径，点为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为交于点．
（1）（3分）求证：平分；
（2）（3分）若，求的直径．
24．（8分）在中，，点为边上任意一点（与不重合），以为直角边构造等腰直角三角形为的中点．
（1）（4分）如图2，将绕点旋转，当点与重合时，求证：；
（2）（4分）如图3，将绕点旋转，当点在上且时，求证：．
25．（8分）凉州区各义务教育学校按照“一校一案”的要求，每学期坚持以校内教师提供项目为主，按需求从区级“白名单”二次遴选非学科校外培训机构和团体提供相关项目进入学校，拓宽课后服务渠道，满足学生兴趣特长发展需求．甲、乙两名同学准备报名参加学校课后服务活动，各自随机选择篮球、舞蹈、书法三种中的一种，记篮球为，舞蹈为，书法为．假设这两名同学选择参加哪种课后服务活动不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲同学的选择为，乙同学的选择为．
（1）（4分）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
（2）（4分）求甲、乙两名同学选择参加同一种课后服务活动的概率．
26．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，延长AB至点D，使得∠DCB＝∠CAB，点E为的中点，连接CE交AB于点F，连接BE．
（1）（4分）求证：DC为⊙O的切线；
（2）（4分）若CD＝4，tan∠CEB＝，求CF CE．
27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、（左右），与轴交于点，直线经过点、.
（1）（3分）求抛物线的解析式；
（2）（3分）如图2，点为第一象限内抛物线上一点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）（4分）在（2）的条件下，如图3，交轴于点，，点为轴上点右侧一点，，将线段绕着点逆时针旋转至，，连接交抛物线于点，求点的坐标.
答案
1-5 ACBAC 6-10 ADCBB
11．5 12．（2，2） 13．50 14．2（x+2）（x﹣2）
15．1.5 16． 17．12 18．
19．（1） （2），.
20．（1）如图所示：即为所求；
（2）是的垂直平分线，
为的中点，
为的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
21．∵点E，F在BC上，BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE；
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB＝CD（全等三角形的对应边相等）.
22．∵平行四边形ABCD
∴AB // CD，AD = BC
∵ AF ，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线
23．（1）连接OC
是的切线，，
，
．
，
∴
平分
（2）过点作于点E，
，
四边形是矩形，，
在Rt中，，
解得圆O的直径是20．
24．（1）如图2中，
是等腰直角三角形，绕点旋转，当点E与F重合，
是等腰直角三角形，∴∠DBF=∠BFD=45°，BD=DF，
∵F为AD的中点，∴AF=DF，∴BD=AF，
∵∠ABC=90°，∴∠ABF+∠DBC=∠ABF+∠BAF=45°，∴∠BAF=∠DBC，
∵AB=BC，∴△ABF≌△BCD（SAS），
∴∠ABF=∠BCD，∴∠BAE+∠BCD=45°；
（2）如图3中，作于交于于．
由（1）可知△CBM≌△BAN，∴BN=CM，AN=BM，
∵AB=AD，AN⊥BD，∴BN=DN，
∵ED⊥BD，∴，
∴∠GAF=∠FDE，BG=GE，∴DE=2GN，
在△AGF和△DEF中，∠GAF=∠FDE，∠AFG=∠DFE，AF=DF，
∴△AGF≌△DEF（AAS），∴AG=DE=BD，∴AN=3BN，BM=3CM，
∵BN=DN，∴DM=CM，∴△CDM是等腰直角三角形，
，，
，．
25．（1）方法一，列表如下：
∴所有可能出现的结果为：，，，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有9种．
答：所有可能出现的结果共有9种．
方法二，画树状图如图：
∴所有可能出现的结果为：，，，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有9种．
答：所有可能出现的结果共有9种．
（2）由表（图）可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等．其中甲、乙两名同学选择参加同一种课后服务活动的结果有3种：，故．
答：甲、乙两名同学选择参加同一种课后服务活动的概率为．
26．（1）连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
又∵∠DCB＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DCB，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠DCB+∠OCB＝90°，
∴∠OCD＝90°，
即OC⊥CD，
∵OC为半径，
∴DC为⊙O的切线；
（2）∵∠DAC＝∠DCB，∠D＝∠D，
∴△DCB∽△DAC，
∴＝＝＝tan∠A＝tan∠CEB＝，
∵CD＝4，
∴BD＝CD＝2，AD＝2CD＝8，
∴AB＝AD﹣BD＝6，
在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝2BC，
∵AC2+CB2＝AB2，
即 （2CB）2+CB2＝62，
∴BC＝，AC＝，
∵点E为 的中点，
∴∠ACF＝∠ECB，
又∵∠CAF＝∠CEB，
∴△ACF∽△ECB，
∴，
∴CE CF＝AC CB
＝
＝．
27．（1）直线经过点、
当时，，
当时，，
把，代入得
，解得
抛物线的解析式为
（2）解：在抛物线上，点的横坐标为
过点作于
当时，
解得，
，
，
（3）解：过点作轴于点
，
由（2）得
，
由勾股定理得，，
过点作于点
由双勾股得，
即，解得
，
，
连接，
，
过点作于点
，，，
，，
过点作轴，，
设直线解析式为，把点代入得
解得，的解析式为
，解得
点在第二象限
