专题03 三角函数与解三角形
考点一：三角函数常用公式
知识点1 同角三角函数基本关系式
1、平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
2、商数关系：＝tan α.
3、基本关系式的几种变形
（1）sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)．
（2）(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
（3）sin α＝tan αcos α.
知识点2 诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限
“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指π/2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。
知识点3 三角恒等变换公式
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
T(α－β) tan(α－β)＝； 变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
T(α＋β) tan(α＋β)＝； 变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
【注意】在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α±β)都有意义．
2、二倍角公式
S2α sin 2α＝2sin α cos α； 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 变形：cos2α＝，sin2α＝
T2α tan 2α＝
3、辅助角公式
一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)
或f(α)＝cos(α－φ) .
【题型1 齐次式的应用】
已知tan α求sin α，cos α齐次式中“切弦互化”的技巧 1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有： （1）sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解； （2）sin α，cos α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形． 2、切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．
1．（2024·山东泰安·一模）若，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】由，得，
即，即，
所以，所以，
则.故选：C.
2．（2024·四川·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为．故选:D．
3．（23-24高三下·湖南长沙·月考）已知，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】D
【解析】由题意知，
所以，故选：D．
4．（23-24高三下·江西·开学考试）已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为为锐角，则，
则，
整理可得，解得，
所以，
.故选：C.
5．（23-24高三下·山东·开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
故，解得或，
因为，所以，故，
.
故选：A
【题型2 sina·cosa与sina±cosa关系】
对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二， 若令sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．
1．（23-24·高三上·河南焦作·期末）已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】将两边同时平方可得，，
可得；
又，所以；
易知，可得；
又,所以.故选：C
2．（2023·辽宁鞍山·二模）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，则.
因为，则，故，
所以.故选：A
3．（23-24高三下·河北·开学考试）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，有，得，
.故选：D
4．（23-24高三下·黑龙江·月考）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，则，，所以，，
由可得，
所以，，
所以，，故.故选：D.
5．（2023·辽宁鞍山·二模）已知是第四象限角，且满足，则 ．
【答案】
【解析】由是第四象限角，可得，则，
因为，可得，
可得，
又由，
因为，可得，
联立方程组，可得，所以.
【题型3 三角恒等变换给角求值】
给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系.解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解. 在三角函数给角求值的问题中，为了达到求值的目的,必然要对给出的角进行分析，寻找它们的关系,并作出角的变换，使角度种类减少，或者三角函数可以”相消“或"相约"，或者在变换中产生特殊角从而直接得出三角函数的值.给角求值两种思路：一，化为相同角思路将不同的角化为同一角；二，利用余补角思路利用互余,互补的关系减少角度种类，进而相约.
1．（23-24高三·陕西西安·一模）等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】
.故选：C
2．（23-24高三下·湖北襄阳·开学考）已知，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】，故选：A
3．（23-24高三上·广东肇庆·月考）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
. 故选：C.
4．（23-24高三下·湖南湘潭·月考）的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】.故选：C.
【题型4 三角恒等变换给值求值】
1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用; ②变换待求式，便于将已求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 2、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如： 等.
1．（23-24高三下·重庆·月考）若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，
因为，所以，所以，
所以，
而，所以，
而.故选：B
2．（23-24高三·重庆·模拟预测）若，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，则,
由，
所以，则，则，
故.故选：D
3．（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
故故选：B
4．（2024·浙江·模拟预测）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于，则，
而，故，
由，可得，
则，
故，故选：D
5．（2024·福建漳州·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则，
所以
.故选：A．
【题型5 三角恒等变换给值求角】
“给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是： （1）求值：求出所求角的某种三角函数值. （2）界定范围：根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围. （3）求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小.
1．（23-24高三下·四川泸州·开学考试）已知，且为锐角，则（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】A
【解析】因为，且为锐角，
由公式，
得：；；
由两角和差公式得：，
从而，
因为为锐角，所以，且，得.故选：A.
2．（2024·江西九江·二模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以，解得，
所以，
又，所以，所以.故选：A
3．（2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，，得，，
∴，即，
∴，解得.
又，，，∴，∴，
∴，∴，∴.故选：A.
4．（23-24高三上·福建莆田·月考）设，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以．
因为，所以，
所以，则．故选：B.
【题型6 三角函数综合化简】
在三角函数的化简求值过程中，角的范围的确定一直是其重点和难点，在解题过程中要注意在已有条件的基础上挖掘隐含条件如：结合角的三角函数值的符号、三角形中各内角均在区间内、与已知角的三角函数值的大小比较结合三角函数的单调性等。 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 【注意】化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等．
1．（22-23高三上·河北张家口·期中）等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】由
故选：A
2．（2023·全国·模拟预测）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
.故选：B.
3．（22-23高三上·江苏南京·期末）若，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，
又，
所以即，
所以，
所以即，
又，所以，
所以，所以，
所以即，
又易知，所以，即，故选：A
4．（2023·广东珠海·模拟预测） ．
【答案】
【解析】法1：.
法2：.
法3：余弦定理，
根据正弦定理，，取三角形三个内角分别，
则．
5．（2024高三·江苏·专题练习）求值: .
【答案】
【解析】不妨设所求的值为,则,
由正弦的二倍角公式逆用有,
由诱导公式、二倍角公式及其逆用得
,
由两角和差的正弦公式得
.
考点二：三角函数的图象与性质
知识点1 三角函数的图象与性质
1、五点法画函数图象
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
知识点2 函数Asin(ωx＋φ)
1、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相
(A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ ωx＋φ
2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)
ωx＋φ 0 π 2π
x － － －
y＝Asin(ωx＋φ) 0 0 －A 0
知识点3 三角函数图象变换
由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
【题型1 三角函数的值域及应用】
许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性． 三角函数值域或最值的3种求法 1、直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出； 2、化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)； 3、换元法： （1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； （2）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)
1．（23-24高三下·浙江·开学考试）函数的值域为 .
【答案】
【解析】由题可得：
，
令，则，令，
所以函数的值域等价于在区间上的值域，
由于，所以当时，，，
则函数的值域为.
2．（23-24高三上·河南·期末）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
．
设，
则，从而，
由，得；由，得或；
则在和上单调递减，在上单调递增．
因为，所以，
即的值域为．故选：B
3．（2023·云南昆明·模拟预测）若函数，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由已知，，
由函数在区间上单调递增，知，
所以的最大值为1.故选：A.
4．（23-24高三上·天津和平·月考）函数 在区间 上的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】，
，
根据正弦函数的性质，，所以最小值为1，故选：C.
5．（22-23高三·江西抚州·开学考试）设函数在上的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由余弦函数的性质可知：当在上单调时，
；
当在上不单调时，在上的图象对称时，
即在取得最值时，最小，
此时有，即，
则；
所以的取值范围是.故选：B.
【题型2 三角函数的单调性及应用】
时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决。 1、求三角函数单调区间的2种方法 （1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； （2）图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 2、已知单调区间求参数范围的3种方法 （1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； （3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解。
1．（2024·天津·一模）下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对A：，，故不以为周期，故A错误；
对B：，故以为周期，
当时，，由在上单调递减，
且，故在上单调递减，故B错误；
对C：，，故不以为周期，故C错误；
对D：，故以为周期，
当时，，由在上单调递减，
但，故时，，
故在上单调递增，故D正确，故选：D.
2．（22-23高三上·河南·期末）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得：
，
因为，所以，
当，即时，单调递增.故选：D.
3．（2023·四川内江·一模）已知函数，若函数在上单调递减，则不能取（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为
，
由，，得，，
所以函数的单调递减区间为.
又函数在上单调递减，
所以，所以，，
因为，所以，，
当时，得，得，不成立；所以不可取；
当时，得，得，因为，所以时，可取到；
当时，得，得，因为，所以时，可取到；
当时，得，得，因为，所以时，可取到.
综上所述：不能取.故选：A
4．（2024·辽宁葫芦岛·一模）（多选）已知在区间上单调递增，则的取值可能在（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】，
当，由，则，
则有，，解得，，
即，，
有，，即，即或，
当时，有，时，有，
故的取值可能在或.故选：AC.
5．（2024·广东·一模）已知函数在区间上单调，且满足，，则 .
【答案】
【解析】依题意，，而函数在上单调，
则函数的最小正周期，又，，
因此，解得，所以.
【题型3 三角函数的奇偶性及应用】
与三角函数奇偶性相关的结论 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
1．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）下列函数中，是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，函数定义域为，且，为奇函数，A错误；
对于B，函数定义域为，且，为非奇非偶函数，B错误；
对于C，函数定义域为，且，为奇函数，C错误；
对于D，函数定义域为，，为偶函数，D正确.故选：D
2．（2024·宁夏银川·一模）“”是“函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数为偶函数，且为奇函数，
可知为奇函数，则，
即，整理得，
因为，可得，
即函数为偶函数，等价于，
显然是的真子集，
所以“”是“函数为偶函数”充分不必要条件.故选：A.
3．（2024·河南·模拟预测）已知函数，则“，”是“为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】函数，
当时，，
为偶函数，所以充分性成立；
为偶函数时，，解得，
不能得到，所以必要性不成立.
故“，”是“为偶函数”的充分不必要条件.故选：A
4．（2024·四川·模拟预测）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，显然它定义域关于原点对称，
且，所以为奇函数，
，则，
所以，.故选：C.
5．（2023·广西玉林·三模）函数，若，则 ．
【答案】3
【解析】由题得，∴，
所以．
【题型4 三角函数的对称性及应用】
三角函数对称性问题的2种求解方法 1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点； 2、公式法： （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为； （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为； （3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z
1．（23-24高三下·湖南长沙·开学考试）函数的图象（ ）
A．关于轴对称 B．关于原点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【答案】A
【解析】函数的定义域为R，，
而函数是偶函数，所以函数的图象关于轴对称.故选：A
2．（2023·贵州贵阳·模拟预测）下列可能是函数对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
令，，则，对称中心为，，
当时，对称中心为.故选：B．
3．（2024·全国·二模）若函数的图象关于轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，函数是偶函数，则，
即，而，所以.故选：B
4．（2024·甘肃陇南·一模）下列函数图象的对称轴方程为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A，，令，即，
即的对称轴方程为，A错误；
对于B，，令，即，
即的对称轴方程为，B正确；
对于C，，令，即，
即的对称轴方程为，C错误；
对于D，，令，即，
即的对称轴方程为，D错误；故选：B
5．（2024·北京丰台·一模）已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，则，，
若是奇函数，则，解得，
若是偶函数，则，解得，
所以若是偶函数且是奇函数，则，
所以由推得出是偶函数，且是奇函数，故充分性成立；
由是偶函数，且是奇函数推不出，故必要性不成立，
所以“”是“是偶函数，且是奇函数”的充分不必要条件.故选：A
【题型5 三角函数性质综合求参数】
一、求ω取值范围的常用解题思路 1、依托于三角函数的周期性 由的最小正周期为，所以，即确定了周期，就可以确定的取值. 2、利用三角函数的对称性 （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。 （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. 3、结合三角函数的单调性：函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围。 反之，从函数变换的角度来看的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等。
1．（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知函数，若在上的值域为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数可化为
，
所以，
因为，所以，
因为在上的值域为，所以，所以，
所以的取值范围为.故选：B.
2．（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为在上仅有2个零点，
当时，（），
所以，解得．故选：B.
3．（22-23高三上·辽宁辽阳·期末）已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以
，
因为，所以，
因为在上恰有3个零点，
所以，解得．故选：B．
4．（22-23高三上·贵州毕节·月考）已知，函数在上恰有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】.
时，，有3个零点，
故，解得.故选：D
5．（2024·陕西榆林·二模）已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意得的图象关于点中心对称且关于直线对称，
故，则，即，
由函数在上单调，
得，即，即，解得，
而，故或1，或2，
当时，，则，结合，得，
则，此时，
当时，，由于在上单调递增，
故在上单调递增，满足题意；
当时，，则，结合，得，
则，此时，
当时，，由于在上不单调，
故在上不单调，此时不合题意；
当时，，则，结合，得，
则，此时，
当时，，由于在上单调递增，
故在上单调递增，满足题意；
综上，或.故选：B
【题型6 三角函数的图象变换】
图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的量不同，平移的量为，平移的量为。 三角函数图象的变换 函数中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换： （1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； （2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换； （3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换． 图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”． 【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对而言，即本身加减多少值，而不是依赖于加减多少值； （2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同。
1．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）函数（其中）的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，则只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】由图象知，，则，又，所以，
当时，，解得，
由，得，
所以.
要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位即可.故选：B
2．（23-24高三下·陕西安康·月考）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】因为，
则向左平移个单位后得，故选：B.
3．（23-24高三上·浙江杭州·期末）（多选）已知函数，，则（ ）
A．将函数的图象右移个单位可得到函数的图象
B．将函数的图象右移个单位可得到函数的图象
C．函数与的图象关于直线对称
D．函数与的图象关于点对称
【答案】ACD
【解析】因为，
将函数的图象右移个单位可得到，
将函数的图象右移个单位可得到，故A正确，B错误；
由A选项可知，，
所以函数与的图象关于直线对称，故C正确；
若函数与的图象关于点对称，
则在上取点关于的对称点必在上，
所以，所以，
故D正确.故选：ACD.
4．（2024·云南·一模）（多选）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向左平行移动个单位 B．向左平行移动个单位
C．向右平行移动个单位 D．向右平行移动个单位
【答案】ACD
【解析】A选项，向左平行移动个单位，有，A正确；
B选项，向左平行移动个单位，有，B错误；
C选项，向右平行移动个单位，有，
，C正确；
D选项，向右平行移动个单位，有，
，D正确；故选：ACD
5．（2023·陕西铜川·一模）已知函数，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，再将图象向上平移个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为6，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，
将其图象上所有点横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到，
再将图象向上平移个单位长度后得到函数的图象，
因为的最大值为6，所以，解得，故.故选：A．
【题型7 三角函数的综合应用】
与三角函数的图象及性质相结合的综合问题 （1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成或的形式; （2）利用公式求周期； （3）根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值.
1．（23-24高三下·江苏泰州·月考）（多选）已知函数，则（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数在区间上单调递增
C．函数的图象向左平移个单位长度所得到的图象所对应的函数为偶函数
D．函数在区间上恰有3个零点
【答案】BCD
【解析】对A：，对称中心纵坐标为1，故A错误；
对B：，则，∴的一个单调增区间为，
而，∴在上单调递增，故B正确；
对C：，
故其为偶函数，故C正确；
对D：，则，或，、，
∴或，，；，；，，
∴在有三个零点，故D正确.故选：BCD．
2．（2023·湖南长沙·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期是
B．在上单调递增
C．是函数的一个对称中心
D．先将图象上各点的横坐标压缩为原来的，再将所得的函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象
【答案】D
【解析】，
因为的图象关于点对称，所以，故，
所以所以，所以，
所以．
因为当时，，，
故满足条件，
所以函数的最小正周期是，故A错误；
由时，可得，所以函数先增后减，故B错误；
因为当时，，，
故不是函数的对称中心，C错误；
先将图象上各点的横坐标压缩为原来的，可得的图象；
再将所得的函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
，D正确．故选：D.
3．（2024·山东潍坊·一模）函数（）的图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．是奇函数
C．的图象关于直线对称
D．若（）在上有且仅有两个零点，则
【答案】ACD
【解析】依题意，，
由，得，解得，
而，解得，，的最小正周期为，A正确；
是偶函数，B错误；
，令，
则，
的图象关于直线对称，C正确；
，，当时，，
依题意，，解得，D正确.故选：ACD
4．（2024·辽宁·一模）（多选）已知函数 的部分图像如图所示，则（ ）
A．的周期为6
B．
C．将的图像向右平移个单位长度后所得的图像关于原点对称
D．在区间上单调递增
【答案】ABD
【解析】由图可知，，所以，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又，所以，故，
则，则，故A正确；
，所以直线是的一条对称轴，故B正确；
，图象不关于原点对称，故C错误；
当时，，此时在区间上单调递增，故D正确；故选：ABD.
5．（2024·黑龙江·二模）（多选）函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的图象的一个对称中心为
D．设函数，则在上的最小值为
【答案】ABD
【解析】由图象可知，，所以，即，
又因为，所以，故A正确；
所以的解析式为，，，
所以，解得，故B正确；
所以，
故点不是的图象的一个对称中心，故C错误；
,
因为，所以，
当，即时，取的最小值为
，故D正确.故选：ABD.
考点三：解三角形
知识点1 正、余弦定理及变形
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C
变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝
【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．
知识点2 三角形常用面积公式
1、S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
2、S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
3、S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
知识点3 解三角形中的常用结论
1、三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.
2、三角形中的三角函数关系
（1）sin(A＋B)＝sin C； （2）cos(A＋B)＝－cos C；
（3）sin ＝cos ； （4）cos ＝sin .
3、三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
4、三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B a＞b sin A＞sin B.
知识点4 测量中的几个常用术语
名称 意义 图形表示
仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角
方位角 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α：
【题型1 正（余）弦定理解三角形】
1、解题时容易习惯性约去相同的项，没有注意到约分的条件，当此时，可以左右两边约去，从而造成漏解，所以考生在平时解题养成习惯，什么时候可以约，要牢记。 2、当解题过程中出现类似于sin2A=sin2B这样的情况要注意结合三角形内角范围进行讨论，另外当题设中出现锐角三角形时一定要注意条件之间的相互“限制”。 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理； 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简. 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。
1．（23-24高三上·海南·期末）记的内角的对边分别为，已知且．
（1）证明：；
（2）若，求．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由正弦定理可得，
，整理可得，
且，
或．
当时，，即，不符合条件．
．
（2）由及，可得．
由（1）及正弦定理可得，．
，
．
2．（22-23高三·天津·二模）在内，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的值；
（2）若的面积为，，求的周长．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由，得
由正弦定理，得．
．
．
又，．
又，．
又，．
（2）由（1）知，
①
又，故，，②
又，由①②，得，故，
∴，
故，周长为.
3．（2023·天津河北·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求边c及的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据正弦定理，由可得.
即，即，
因为，所以.
所以，即.
（2）由正弦定理，可得，解得，
根据余弦定理可得，
即，，解得或（舍去），故.
因为，所以，所以，
所以，
，
所以.
4．（2023·天津河西·模拟预测）的内角A，，的对边分别为，，，已知．
（1）求A；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由正弦定理，，
所以
即
因为且，所以，即
（2）由上知，所以，
又，，所以，
∴
∴
5．（2023·江西赣州·二模）在中，角A，B，C满足．
（1）求证：；
（2）若角，求角A的大小．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）
【解析】（1），由正弦定理得，
其中，所以，
变形得到，由正弦定理得；
（2），故，
即，
所以，，
因为，所以，故，解得.
【题型2 利用正（余）弦定理判断三角形形状】
判定三角形形状的两种常用途径 1、角化边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断； 2、边化角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断
1．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形
C．顶角为的等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由正弦定理可得，
因为，所以，
所以，即，
即，因为，所以，
所以，因为，所以，所以，
因为，所以，
所以，即，
即，因为，所以，所以，
因为.所以，
所以的形状为顶角为的等腰三角形.故选：B.
2．（2024·河南新乡·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ）
A．为锐角三角形 B．为直角三角形
C．为钝角三角形 D．的形状无法确定
【答案】C
【解析】由于,
故为钝角，进而三角形为钝角三角形故选：C
3．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）在中，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】由，得，
化简得，
当时，即，则为直角三角形；
当时，得，则为等腰三角形；
综上：为等腰或直角三角形，故D正确.故选：D.
4．（23-24高三下·四川内江·一模）在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】因为，所以，整理得到，
又由正弦定理，得到，
所以，得到，
又，所以，得到，
又，所以，故选：B.
5．（2023·甘肃酒泉·三模）中，，，分别是角，，的对边，且，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．直角或钝角三角形 D．钝角三角形
【答案】D
【解析】因为，，
所以，即，
所以，即，
所以，所以，
又因为，所以，
所以为钝角三角形，故选：D.
【题型3 三角形的面积公式及应用】
1、常用三角形的面积公式： （1）； （2）； （3）（为三角形内切圆半径）； （4），即海伦公式，其中为三角形的半周长。 2、求面积的最值范围，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形面积用所设变量表示出来，再利用正余弦定理列出方程求解。注意函数思想的应用。
1．（23-24高三下·河北张家口·开学考试）记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
（1）求；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，，．
所以，即，
所以，
于是．故，所以
（2）由（1）可知，
于是．
故据正弦定理，，得，因此.
故的面积.
2．（2023·山西临汾·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若点D是边AB上的一点，，，，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，，
所以，
因为，所以，
由正弦定理得，即，
因为，所以，
因为，所以，即.
（2）设，，则，
则在中，，
即，即，
在中，，
即，即，
联立，解得（非正值舍去），
所以，则，
所以.
3．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且.
（1）求B；
（2）若，且的面积为，求a，c.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1），
由正弦定理得:，
，
,
，，即，
，，，
，.
（2）,，①
,且，
②
联立①②解得或
4．（2023·浙江·二模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）证明：；
（2）若△ABC的面积为，求B．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由，△ABC的内角A，B，C，
则，
，，
，
，
，
.
（2）由题意，结合正弦边角关系有，且，
，
，
而，所以.
【题型4 解三角形的最值与范围】
解三角形中的最值范围问题 1、三角形中的最值、范围问题的解题策略 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2、求解三角形中的最值、范围问题的注意点 （1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． （2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等．
1．（2022·全国·模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为，且的面积.
（1）求角A；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵，∴.
∵，∴，又∵，∴.
（2）∵，
∴
.
∵，∴，∴，
∴，∴，
即的取值范围为.
2．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）在①；②；③，这三个条件中任选一个，填在下面的横线中，并完成解答.
在锐角中，内角所对的边分别为，且_______.
（1）求边长；
（2）若边上的高为，求角的最大值.
【答案】（1）2；（2）
【解析】（1）选①，，，
，；
选②，，，，；
选③，，，
，，
，由正弦定理得，.
（2），当且仅当时，等号成立，
，，
又由于，，，
，，即，
又在锐角中，，则，
，即，所以角的最大值为.
3．（2023·湖北黄冈·模拟预测）在中，所对的边分别为，且，其中是三角形外接圆半径，且A不为直角.
（1）若，求A的大小；
（2）求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在中，由余弦定理可得，
即，
由正弦定理可得，
所以 ，
又因为A不为直角，且，则，
则，所以.
（2）由（1）可知：由 ，可得，，
所以，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
3．（2023·湖南衡阳·模拟预测）在中，角的对边分别为
（1）求角；
（2）已知边的中点为，且，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
，即，所以，
又，所以，所以，即.
（2）因为，所以，
由余弦定理，解得，
又，所以，
所以
当且仅当时取等号，所以，
因为，所以面积的最大值为.
4．（2023·河北·模拟预测）在锐角中，内角所对的边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，
则，
整理得，
注意到，则，可得，即，
所以.
（2）因为，则，
且为锐角三角形，则，解得，
又因为，
当时，则，则，
所以；
当时，则，则，
所以；
当时，则，则
所以；
综上所述：的取值范围.
【题型5 三角形的中线、角平分线、垂线】
1、解三角形角平分线的应用 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， （1）利用角度的倍数关系： （2）内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。 （3）等面积法：因为，所以， 所以，整理的：（角平分线长公式） 2、解三角形中线的应用 （1）中线长定理：在中，是边上的中线，则 【分析】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 （2）向量法： 【分析】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 3、解三角形垂线的应用 （1）分别为边上的高，则 （2）求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度 高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。
1．（2024·辽宁·一模）已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中.
（1）求A；
（2）已知直线为的平分线，且与BC交于点M，若求的周长.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据题意可得，
由正弦定理得，
又，
故，
又，所以，则，
因为，所以.
（2）因为，
所以，
又平分，所以，
所以，
则，即
由余弦定理得，即，
所以，解得（负值舍去），
故的周长为.
2．（2024·河南南阳·一模）在中，角的对边分别为且.
（1）求角A;
（2）若的平分线交于点，求的长.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，
所以，
即
由正弦定理得，
又由余弦定理，可得
因为，所以；
（2）在中，，
由等面积法得，
即，
即，
所以.
3．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知函数．
（1）求在上的值域；
（2）已知锐角中，，，且，求边上的中线的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
，
因为，所以，所以，
所以在上的值域为.
（2）记的角A，B，C所对的边为a，b，c，
因为为锐角三角形，所以，，
又，所以，即.
因为，所以，
在中，由余弦定理得，所以，
因为为边上的中线，所以，
所以，
所以.
4．（2023·重庆·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．
（1）求；
（2）若，边上的高线长，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由已知得
，；
（2），，，
，，，
，
，，
又，，
，
，，
.
5．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）在锐角中，设边所对的角分别为，且．
（1）求角的取值范围；
（2）若，求中边上的高的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为，
所以，
所以，，又，
所以，整理可得，
所以或(舍去)，
所以，又为锐角三角形，
所以，所以；
（2）由题可知，即，
又，所以，
所以，
由，可得，
所以，所以，
即中边上的高的取值范围是.
【题型6 多边形的解三角形问题】
1、把多提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理求解； 2、寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果。
1．（2023·广东梅州·二模）如图，在平面四边形ABCD中，，，，设．
（1）当时，求BD的长；
（2）求BD的最大值．
【答案】（1）；（2）3
【解析】（1）在中，．
在中，因为，由余弦定理得，
，
因此．
（2）在中，．
在中，因为，
由余弦定理得，
，
所以．
所以当，即时，BD最长，的最大值为．
2．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，．
（1）若，，求的值；
（2）若，，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在中，，，则，
，
在中，由正弦定理得，
.
（2）在和中，由余弦定理得
，
，
得，又，得，
则，，
四边形ABCD的面积
.
3．（2024·安徽安庆·二模）如图，在平面凸四边形中，.
（1）求；
（2）若，，求.
【答案】（1）；（2）4
【解析】（1）由已知得：，
故，
所以．
因为，
故，由三角形内角范围知；
（2）由，，故为边长为4的等边三角形，
在中，，由正弦定理得，
故，
由于，
所以，故，
在中，由余弦定理得，
即，得.
4．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）如图，在平面四边形中，，，，.
（1）求线段的长度；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为，得，
在中，由余弦定理可得：，
.
故线段的长度.
（2）由（1）知，，
在中，由正弦定理可得：,
即，得，
又，所以,
在中，由正弦定理可得：,
即， .
所以的值为.
5．（23-24高三下·贵州·月考）在平面四边形中，平分，.
（1）证明：与相等或互补；
（2）若，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）在中由正弦定理可得，，
在中由正弦定理可得，.
因为平分，所以.
又，所以，
又、为三角形的内角，
所以与相等或互补.
（2）因为，
所以，所以，
又，
所以，即，
又，
所以，则（负值舍去）.
【题型7 解三角形的实际应用】
实际问题应用中有关名词、术语也是容易忽视和混淆的。要注意理解仰角、俯角、方向角、方位角、坡度的具体含义。 解三角形的实际应用问题的类型及解题策略 1、求距离、高度问题 （1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量． （2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 2、求角度问题 （1）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角． （2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用．
1．（23-24高三上·贵州安顺·期末）西秀山白塔位于安顺城南西秀山上，为仿阁楼式六棱九重实心石塔，白塔始建于元泰定三年（公元1326年），初仅为佛用砖塔.清咸丰元年（1851年），这座元代的砖塔倾斜严重，前安顺知府胡林翼倡捐廉银三十两，时值清中叶，我国华南地区开始以“制器尚象”的设计思维尊崇毛笔形状兴建了大批风水塔，以寓当地文风昌盛.位于西秀山的这座古塔正是在这样的潮流下，被设计成了一个套筒式的毛笔状白塔，咸丰二年普定知县邵鸿儒撰《重修安郡文峰碑》记录了这一大盛事，如图，某学习小组为了测量“西秀山白塔”BC的高度，在地面上A点处测得塔顶B点的仰角为，塔底C点的仰角为.已知山岭高CD为h，则塔高BC为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，，，
在中，，所以，
在中，，所以，
所以，
故A正确.故选：A.
2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（ ）
A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45
【答案】A
【解析】如图，设观赏者的眼睛在点处，油画的上沿在点处，下沿在点处，
点在线段延长线上，且保持与点在同一水平线上，则即观赏时的视角.
依题意，不妨设，则，
在中，由余弦定理，
，
因，则，当且仅当时，即时等号成立，
由可得，
则，则，
因函数在上单调递减，故得，
即最大视角为，此时观赏者距离油画的直线距离为.故选：A.
3．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（ ）（，精确到）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过点作，交于点，
在直角三角形中，因为，
所以，
在直角三角形中，因为，
所以，
则.故选：B.
4．（23-24高三下·湖南长沙·开学考试）海边近似平直的海岸线上有两处码头、，且.现有一观光艇由出发，同时在处有一小艇出发向观光艇补充物资，其速度为观光艇的两倍，在处成功拦截观光艇，完成补给.若两船都做匀速直线运动，观光艇行驶向海洋的方向任意的情况下，小艇总可以设定合适的出发角度，使得行驶距离最小，则拦截点距离海岸线的最远距离为 .
【答案】2
【解析】设，则，
设，则，
因此，
当且仅当，即时取等号，
所以拦截点距离海岸线的最远距离为2.
5．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）一艘轮船在江中向正东方向航行，在点处观测到灯塔在一直线上，并与航线成30角.轮船沿航线前进1000米到达处，此时观测到灯塔在北偏西方向，灯塔在北偏东方向.则此时轮船到灯塔之间的距离为 米.
【答案】
【解析】如图，在中，，，，
由正弦定理，得到，所以，专题03 三角函数与解三角形
考点一：三角函数常用公式
知识点1 同角三角函数基本关系式
1、平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
2、商数关系：＝tan α.
3、基本关系式的几种变形
（1）sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)．
（2）(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
（3）sin α＝tan αcos α.
知识点2 诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限
“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指π/2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。
知识点3 三角恒等变换公式
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
T(α－β) tan(α－β)＝； 变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
T(α＋β) tan(α＋β)＝； 变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
【注意】在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α±β)都有意义．
2、二倍角公式
S2α sin 2α＝2sin α cos α； 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 变形：cos2α＝，sin2α＝
T2α tan 2α＝
3、辅助角公式
一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)
或f(α)＝cos(α－φ) .
【题型1 齐次式的应用】
已知tan α求sin α，cos α齐次式中“切弦互化”的技巧 1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有： （1）sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解； （2）sin α，cos α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形． 2、切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．
1．（2024·山东泰安·一模）若，则（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2024·四川·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·湖南长沙·月考）已知，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
4．（23-24高三下·江西·开学考试）已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三下·山东·开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【题型2 sina·cosa与sina±cosa关系】
对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二， 若令sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．
1．（23-24·高三上·河南焦作·期末）已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
2．（2023·辽宁鞍山·二模）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·河北·开学考试）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·黑龙江·月考）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·辽宁鞍山·二模）已知是第四象限角，且满足，则 ．
【题型3 三角恒等变换给角求值】
给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系.解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解. 在三角函数给角求值的问题中，为了达到求值的目的,必然要对给出的角进行分析，寻找它们的关系,并作出角的变换，使角度种类减少，或者三角函数可以”相消“或"相约"，或者在变换中产生特殊角从而直接得出三角函数的值.给角求值两种思路：一，化为相同角思路将不同的角化为同一角；二，利用余补角思路利用互余,互补的关系减少角度种类，进而相约.
1．（23-24高三·陕西西安·一模）等于（ ）
A． B． C． D．1
2．（23-24高三下·湖北襄阳·开学考）已知，则（ ）
A． B． C． D．1
3．（23-24高三上·广东肇庆·月考）（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·湖南湘潭·月考）的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【题型4 三角恒等变换给值求值】
1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用; ②变换待求式，便于将已求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 2、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如： 等.
1．（23-24高三下·重庆·月考）若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三·重庆·模拟预测）若，且，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江·模拟预测）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·福建漳州·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【题型5 三角恒等变换给值求角】
“给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是： （1）求值：求出所求角的某种三角函数值. （2）界定范围：根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围. （3）求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小.
1．（23-24高三下·四川泸州·开学考试）已知，且为锐角，则（ ）
A． B．或 C． D．
2．（2024·江西九江·二模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·福建莆田·月考）设，且，则（ ）
A． B． C． D．
【题型6 三角函数综合化简】
在三角函数的化简求值过程中，角的范围的确定一直是其重点和难点，在解题过程中要注意在已有条件的基础上挖掘隐含条件如：结合角的三角函数值的符号、三角形中各内角均在区间内、与已知角的三角函数值的大小比较结合三角函数的单调性等。 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 【注意】化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等．
1．（22-23高三上·河北张家口·期中）等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三上·江苏南京·期末）若，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．（2023·广东珠海·模拟预测） ．
5．（2024高三·江苏·专题练习）求值: .
考点二：三角函数的图象与性质
知识点1 三角函数的图象与性质
1、五点法画函数图象
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
知识点2 函数Asin(ωx＋φ)
1、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相
(A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ ωx＋φ
2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)
ωx＋φ 0 π 2π
x － － －
y＝Asin(ωx＋φ) 0 0 －A 0
知识点3 三角函数图象变换
由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
【题型1 三角函数的值域及应用】
许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性． 三角函数值域或最值的3种求法 1、直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出； 2、化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)； 3、换元法： （1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； （2）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)
1．（23-24高三下·浙江·开学考试）函数的值域为 .
2．（23-24高三上·河南·期末）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·云南昆明·模拟预测）若函数，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（23-24高三上·天津和平·月考）函数 在区间 上的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（22-23高三·江西抚州·开学考试）设函数在上的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 三角函数的单调性及应用】
时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决。 1、求三角函数单调区间的2种方法 （1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； （2）图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 2、已知单调区间求参数范围的3种方法 （1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； （3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解。
1．（2024·天津·一模）下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高三上·河南·期末）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川内江·一模）已知函数，若函数在上单调递减，则不能取（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·辽宁葫芦岛·一模）（多选）已知在区间上单调递增，则的取值可能在（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广东·一模）已知函数在区间上单调，且满足，，则 .
【题型3 三角函数的奇偶性及应用】
与三角函数奇偶性相关的结论 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
1．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）下列函数中，是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·宁夏银川·一模）“”是“函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·河南·模拟预测）已知函数，则“，”是“为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·四川·模拟预测）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·广西玉林·三模）函数，若，则 ．
【题型4 三角函数的对称性及应用】
三角函数对称性问题的2种求解方法 1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点； 2、公式法： （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为； （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为； （3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z
1．（23-24高三下·湖南长沙·开学考试）函数的图象（ ）
A．关于轴对称 B．关于原点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
2．（2023·贵州贵阳·模拟预测）下列可能是函数对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·二模）若函数的图象关于轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·甘肃陇南·一模）下列函数图象的对称轴方程为的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·北京丰台·一模）已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【题型5 三角函数性质综合求参数】
一、求ω取值范围的常用解题思路 1、依托于三角函数的周期性 由的最小正周期为，所以，即确定了周期，就可以确定的取值. 2、利用三角函数的对称性 （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。 （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. 3、结合三角函数的单调性：函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围。 反之，从函数变换的角度来看的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等。
1．（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知函数，若在上的值域为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三上·辽宁辽阳·期末）已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高三上·贵州毕节·月考）已知，函数在上恰有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西榆林·二模）已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型6 三角函数的图象变换】
图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的量不同，平移的量为，平移的量为。 三角函数图象的变换 函数中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换： （1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； （2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换； （3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换． 图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”． 【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对而言，即本身加减多少值，而不是依赖于加减多少值； （2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同。
1．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）函数（其中）的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，则只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
2．（23-24高三下·陕西安康·月考）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
3．（23-24高三上·浙江杭州·期末）（多选）已知函数，，则（ ）
A．将函数的图象右移个单位可得到函数的图象
B．将函数的图象右移个单位可得到函数的图象
C．函数与的图象关于直线对称
D．函数与的图象关于点对称
4．（2024·云南·一模）（多选）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向左平行移动个单位 B．向左平行移动个单位
C．向右平行移动个单位 D．向右平行移动个单位
5．（2023·陕西铜川·一模）已知函数，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，再将图象向上平移个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为6，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【题型7 三角函数的综合应用】
与三角函数的图象及性质相结合的综合问题 （1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成或的形式; （2）利用公式求周期； （3）根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值.
1．（23-24高三下·江苏泰州·月考）（多选）已知函数，则（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数在区间上单调递增
C．函数的图象向左平移个单位长度所得到的图象所对应的函数为偶函数
D．函数在区间上恰有3个零点
2．（2023·湖南长沙·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期是
B．在上单调递增
C．是函数的一个对称中心
D．先将图象上各点的横坐标压缩为原来的，再将所得的函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象
3．（2024·山东潍坊·一模）函数（）的图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．是奇函数
C．的图象关于直线对称
D．若（）在上有且仅有两个零点，则
4．（2024·辽宁·一模）（多选）已知函数 的部分图像如图所示，则（ ）
A．的周期为6
B．
C．将的图像向右平移个单位长度后所得的图像关于原点对称
D．在区间上单调递增
5．（2024·黑龙江·二模）（多选）函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的图象的一个对称中心为
D．设函数，则在上的最小值为
考点三：解三角形
知识点1 正、余弦定理及变形
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C
变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝
【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．
知识点2 三角形常用面积公式
1、S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
2、S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
3、S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
知识点3 解三角形中的常用结论
1、三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.
2、三角形中的三角函数关系
（1）sin(A＋B)＝sin C； （2）cos(A＋B)＝－cos C；
（3）sin ＝cos ； （4）cos ＝sin .
3、三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
4、三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B a＞b sin A＞sin B.
知识点4 测量中的几个常用术语
名称 意义 图形表示
仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角
方位角 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α：
【题型1 正（余）弦定理解三角形】
1、解题时容易习惯性约去相同的项，没有注意到约分的条件，当此时，可以左右两边约去，从而造成漏解，所以考生在平时解题养成习惯，什么时候可以约，要牢记。 2、当解题过程中出现类似于sin2A=sin2B这样的情况要注意结合三角形内角范围进行讨论，另外当题设中出现锐角三角形时一定要注意条件之间的相互“限制”。 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理； 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简. 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。
1．（23-24高三上·海南·期末）记的内角的对边分别为，已知且．
（1）证明：；
（2）若，求．
2．（22-23高三·天津·二模）在内，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的值；
（2）若的面积为，，求的周长．
3．（2023·天津河北·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求边c及的值.
4．（2023·天津河西·模拟预测）的内角A，，的对边分别为，，，已知．
（1）求A；
（2）若，求的值．
5．（2023·江西赣州·二模）在中，角A，B，C满足．
（1）求证：；
（2）若角，求角A的大小．
【题型2 利用正（余）弦定理判断三角形形状】
判定三角形形状的两种常用途径 1、角化边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断； 2、边化角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断
1．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形
C．顶角为的等腰三角形 D．等腰直角三角形
2．（2024·河南新乡·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ）
A．为锐角三角形 B．为直角三角形
C．为钝角三角形 D．的形状无法确定
3．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）在中，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
4．（23-24高三下·四川内江·一模）在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
5．（2023·甘肃酒泉·三模）中，，，分别是角，，的对边，且，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．直角或钝角三角形 D．钝角三角形
【题型3 三角形的面积公式及应用】
1、常用三角形的面积公式： （1）； （2）； （3）（为三角形内切圆半径）； （4），即海伦公式，其中为三角形的半周长。 2、求面积的最值范围，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形面积用所设变量表示出来，再利用正余弦定理列出方程求解。注意函数思想的应用。
1．（23-24高三下·河北张家口·开学考试）记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
（1）求；
（2）若，求的面积．
2．（2023·山西临汾·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若点D是边AB上的一点，，，，求的面积．
3．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且.
（1）求B；
（2）若，且的面积为，求a，c.
4．（2023·浙江·二模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）证明：；
（2）若△ABC的面积为，求B．
【题型4 解三角形的最值与范围】
解三角形中的最值范围问题 1、三角形中的最值、范围问题的解题策略 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2、求解三角形中的最值、范围问题的注意点 （1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． （2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等．
1．（2022·全国·模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为，且的面积.
（1）求角A；
（2）若，求的取值范围.
2．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）在①；②；③，这三个条件中任选一个，填在下面的横线中，并完成解答.
在锐角中，内角所对的边分别为，且_______.
（1）求边长；
（2）若边上的高为，求角的最大值.
3．（2023·湖北黄冈·模拟预测）在中，所对的边分别为，且，其中是三角形外接圆半径，且A不为直角.
（1）若，求A的大小；
（2）求的最小值.
3．（2023·湖南衡阳·模拟预测）在中，角的对边分别为
（1）求角；
（2）已知边的中点为，且，求面积的最大值.
4．（2023·河北·模拟预测）在锐角中，内角所对的边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）求的取值范围．
【题型5 三角形的中线、角平分线、垂线】
1、解三角形角平分线的应用 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， （1）利用角度的倍数关系： （2）内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。 （3）等面积法：因为，所以， 所以，整理的：（角平分线长公式） 2、解三角形中线的应用 （1）中线长定理：在中，是边上的中线，则 【分析】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 （2）向量法： 【分析】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 3、解三角形垂线的应用 （1）分别为边上的高，则 （2）求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度 高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。
1．（2024·辽宁·一模）已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中.
（1）求A；
（2）已知直线为的平分线，且与BC交于点M，若求的周长.
2．（2024·河南南阳·一模）在中，角的对边分别为且.
（1）求角A;
（2）若的平分线交于点，求的长.
3．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知函数．
（1）求在上的值域；
（2）已知锐角中，，，且，求边上的中线的长．
4．（2023·重庆·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．
（1）求；
（2）若，边上的高线长，求．
5．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）在锐角中，设边所对的角分别为，且．
（1）求角的取值范围；
（2）若，求中边上的高的取值范围．
【题型6 多边形的解三角形问题】
1、把多提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理求解； 2、寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果。
1．（2023·广东梅州·二模）如图，在平面四边形ABCD中，，，，设．
（1）当时，求BD的长；
（2）求BD的最大值．
2．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，．
（1）若，，求的值；
（2）若，，求四边形ABCD的面积．
3．（2024·安徽安庆·二模）如图，在平面凸四边形中，.
（1）求；
（2）若，，求.
4．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）如图，在平面四边形中，，，，.
（1）求线段的长度；
（2）求的值.
5．（23-24高三下·贵州·月考）在平面四边形中，平分，.
（1）证明：与相等或互补；
（2）若，求的值.
【题型7 解三角形的实际应用】
实际问题应用中有关名词、术语也是容易忽视和混淆的。要注意理解仰角、俯角、方向角、方位角、坡度的具体含义。 解三角形的实际应用问题的类型及解题策略 1、求距离、高度问题 （1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量． （2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 2、求角度问题 （1）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角． （2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用．
1．（23-24高三上·贵州安顺·期末）西秀山白塔位于安顺城南西秀山上，为仿阁楼式六棱九重实心石塔，白塔始建于元泰定三年（公元1326年），初仅为佛用砖塔.清咸丰元年（1851年），这座元代的砖塔倾斜严重，前安顺知府胡林翼倡捐廉银三十两，时值清中叶，我国华南地区开始以“制器尚象”的设计思维尊崇毛笔形状兴建了大批风水塔，以寓当地文风昌盛.位于西秀山的这座古塔正是在这样的潮流下，被设计成了一个套筒式的毛笔状白塔，咸丰二年普定知县邵鸿儒撰《重修安郡文峰碑》记录了这一大盛事，如图，某学习小组为了测量“西秀山白塔”BC的高度，在地面上A点处测得塔顶B点的仰角为，塔底C点的仰角为.已知山岭高CD为h，则塔高BC为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（ ）
A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45
3．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（ ）（，精确到）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·湖南长沙·开学考试）海边近似平直的海岸线上有两处码头、，且.现有一观光艇由出发，同时在处有一小艇出发向观光艇补充物资，其速度为观光艇的两倍，在处成功拦截观光艇，完成补给.若两船都做匀速直线运动，观光艇行驶向海洋的方向任意的情况下，小艇总可以设定合适的出发角度，使得行驶距离最小，则拦截点距离海岸线的最远距离为 .
5．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）一艘轮船在江中向正东方向航行，在点处观测到灯塔在一直线上，并与航线成30角.轮船沿航线前进1000米到达处，此时观测到灯塔在北偏西方向，灯塔在北偏东方向.则此时轮船到灯塔之间的距离为 米.
