谷城县初中毕业年级 2024 年数学第一次适应性考试试卷
（时限： 120 分钟， 满分：120 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条 形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号， 答在试题卷上无效．
3．非选择题(主观题)用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B 铅笔或 0.5 毫米黑色签字笔．
4．考试结束后，请将本试题卷与答题卡一并上交．
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题3 分，共30 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答．
1. 某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 把不等式的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ）
A. 点数的和为1 B. 点数的和为6
C. 点数的和大于12 D. 点数的和小于13
6. 一根直尺和一个角的三角板按如图方式叠合在一起，若经，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
7. 正八边形的外角和是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图①，P是直线m外一点．如图②，在直线m 上取一点Q，作直线．以点Q为圆心，以任意长为半径画圆弧分别交和直线m于点A、B．再以点P 为圆心，以长为半 径画圆弧交于点D，以点D为圆心，以长为半径画圆弧交于点E，过点P、E作直线n，则的理论依据是（ ）
A 内错角相等，两直线平行 B. 同位角相等，两直线平行
C. 同旁内角互补， 两直线平行 D. 平行于同一条直线两直线互相平行
9. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠BDC＝130°，则∠BOC的度数为（ ）
A. 130° B. 120° C. 110° D. 100°
10. 如图，二次函数的图象与轴交于和原点，且顶点在第二象限．下列说法正确的是（ ）
A. B. 当时，y的值随x值的增大而减小
C. D. 函数值有最小值
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）把答案填在答题卡的对应位置的 横线上．
11. 某电子直径约为米，这个数可用科学记数法表示为 _____．
12. 已知a，β是一元二次方程两个实数根，则的值是_____ ．
13. 如图，等边三角形是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为___________．
14. 《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为______．
15. 如图，矩形中，，，为的中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是____.
三、解答题（本大题共 9 个题，共 75 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并 且写在答题卡上每题对应的答题区域内．
16 课堂上老师出了一道题：解方程组
（1）小组学习时，老师发现有同学这么做：
由②得， ③ ，
将③代入①得： ，
解得，
把代入③得，
∴ 方程组的解为，
该同学使用了______消元法解这个方程组， 目的是把方程组从“二元 ”变为“一元”，体现了___________的数学思想；
（2）请用另一种消元方法解这个方程组．
17. 如图，矩形的对角线，相交于点O ， ，．求证：四边形是菱形．
18. 如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角为，C点的俯角为，为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度为6m，求甲建筑物的高度.
（，，，结果保留整数）.
19. 三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于分（满分分）．
【收集数据】随机从七、八年级各抽取名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A.，B.，C.，D.，E.）．
①八年级学生成绩在D组的具体数据是：，，，，，，．
②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）：
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级
八年级 m
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取八年级学生的样本容量是______；
（2）频数分布直方图中，C组的频数是_______；
（3）本次抽取八年级学生成绩的中位数_______；
（4）分析两个年级样本数据的对比表，你认为______年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）；
（5）若八年级有名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于分的学生有______人．
20. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式，
（2）连接，，求的面积．
21. 如图，在中，，，以为直径的与边交于点D．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
22. 某批发商以24元/箱的进价购进某种蔬菜，销往零售超市，已知这种蔬菜的标价为45元/箱，实际售价不低于标价的八折．批发商通过分析销售情况，发现这种蔬菜的销售量y（箱）与当天的售价x（元/箱）满足一次函数关系，下表是其中的两组对应值．
售价（元/箱） … …
销售量（箱） … …
（1）若某天这种蔬菜的售价为42元/箱，则当天这种蔬菜的销售最为________箱；
（2）该批发商销售这种蔬菜能否在某天获利1320元？若能，请求出当天的销售价；若不能，请说明理由．
（3）批发商搞优惠活动，购买一箱这种蔬菜，赠送成本为6元的土豆，这种蔬菜的售价定为多少时，可获得日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？
23. 如图，在菱形中，，为对角线．点是边延长线上的任意一点，连接交于点，平分交于点G．
（1）求证：；
（2）若，．
① 求菱形的面积；
② 求的值．
24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像 与x 轴交于 ， 两点，与y 轴交于点C ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是直线下方抛物线上的一个动点，连接，线段 与交于点 Q，设 的面积为 ，的面积为，当取最大值时，求点P的坐标；
（3）当时， 二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m 的取值范围．谷城县初中毕业年级 2024 年数学第一次适应性考试试卷
（时限： 120 分钟， 满分：120 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条 形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号， 答在试题卷上无效．
3．非选择题(主观题)用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B 铅笔或 0.5 毫米黑色签字笔．
4．考试结束后，请将本试题卷与答题卡一并上交．
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题3 分，共30 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答．
1. 某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数的大小比较，即可作出判断．
【详解】解：，
故温度最低的城市是哈尔滨，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较的知识，解答本题的关键是掌握有理数的大小比较法则．
2. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”
根据定义，A、C、D都不中心对称图形，只有B是中心对称图形.
故选：B.
3. 把不等式的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式，利用数轴表示不等式的解集，先通过移项求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可，注意在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆圈表示．
【详解】解：解不等式，得，
在数轴上表示为：
，
故选C．
4. 下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查合并同类项，幂的乘方，二次根式的减法，完全平方公式，根据相关运算法则逐项计算，即可得出答案．
【详解】解：，故A选项运算错误，不合题意；
，故B选项运算错误，不合题意；
，故C选项运算正确，符合题意；
，故D选项运算错误，不合题意；
故选C．
5. 掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ）
A. 点数的和为1 B. 点数的和为6
C. 点数的和大于12 D. 点数的和小于13
【答案】B
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、点数和为1，是不可能事件，不符合题意；
B、点数和为6，是随机事件，符合题意；
C、点数和大于12，是不可能事件，不符合题意；
D、点数的和小于13，是必然事件，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6. 一根直尺和一个角的三角板按如图方式叠合在一起，若经，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的性质，平角的定义，先求解，再利用平行线的性质可得答案．
【详解】解：如图，∵，，
∴，
∵，
∴，
故选A
7. 正八边形的外角和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了多边形的外角，根据多边形的外角和等于解答即可．
【详解】解：∵任意多边形的外角和等于，
∴正八边形的外角和等于
故选：A．
8. 如图①，P是直线m外一点．如图②，在直线m 上取一点Q，作直线．以点Q为圆心，以任意长为半径画圆弧分别交和直线m于点A、B．再以点P 为圆心，以长为半 径画圆弧交于点D，以点D为圆心，以长为半径画圆弧交于点E，过点P、E作直线n，则的理论依据是（ ）
A. 内错角相等，两直线平行 B. 同位角相等，两直线平行
C. 同旁内角互补， 两直线平行 D. 平行于同一条直线的两直线互相平行
【答案】A
【解析】
【分析】由作图可知：，再根据内错角相等，两直线平行即可判断．本题考查作图 复杂作图，平行线判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【详解】解：由作图可知：，
∴（内错角相等，两直线平行），
故选：A．
9. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠BDC＝130°，则∠BOC的度数为（ ）
A. 130° B. 120° C. 110° D. 100°
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质得出，再根据圆周角定理即可求出的度数．
【详解】∵四边形内接于，
∴，而，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质．
10. 如图，二次函数的图象与轴交于和原点，且顶点在第二象限．下列说法正确的是（ ）
A. B. 当时，y的值随x值的增大而减小
C. D. 函数值有最小值
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象，会利用对称轴的范围求与的关系，根的判别式的熟练运用．采用形数结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断、、的符号，把两根关系与抛物线与轴的交点情况结合起来分析问题．
【详解】解：抛物线的开口方向下，
．故A错误；
二次函数的图象与轴交于和原点，且顶点在第二象限，
对称轴，且开口向下，
当时，的值随值的增大而减小，
故B正确；
的图象与轴有两个交点，
，故C错误；
，对称轴，
时，函数值有最大值，
故D错误；
故选：B．
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）把答案填在答题卡的对应位置的 横线上．
11. 某电子的直径约为米，这个数可用科学记数法表示为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，指数为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 已知a，β是一元二次方程的两个实数根，则的值是_____ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是方程的两个根，那么，，代入求解即可．
【详解】解：由题意知，，
因此，
故答案为：．
13. 如图，等边三角形是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率的计算方法即可求解．
【详解】解：∵一粒米可落在9个等边三角形内的任一个三角形内，而落在阴影区域的只有5种可能，
∴一粒米落在阴影区域的概率为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了简单事件的概率，关键是求得所有事件的可能结果数，某个事件发生时的可能结果数．
14. 《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为______．
【答案】
【解析】
【分析】设醇酒为斗，行酒为斗，根据“醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒”，列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设醇酒为斗，行酒为斗，
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是理解题意，找准等量关系．
15. 如图，矩形中，，，为的中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是____.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意连接EC.再根据勾股定理计算EC、GC的长，设BF=x,根据勾股定理列方程进而求解未知数x.再计算EF的长度.
【详解】根据题意连接EC,
沿折叠后，点恰好落到上的点处
为直角三角形，
在直角三角形中，
所以
设BF=x,所以 ，BC=12
根据勾股定理可得
所以可得x=
所以可得
因此答案为 .
【点睛】本题主要考查矩形的知识，关键在于折叠的图形的性质不变,和原来的图形是全等的.
三、解答题（本大题共 9 个题，共 75 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并 且写在答题卡上每题对应的答题区域内．
16. 课堂上老师出了一道题：解方程组
（1）小组学习时，老师发现有同学这么做：
由②得， ③ ，
将③代入①得： ，
解得，
把代入③得，
∴ 方程组的解为，
该同学使用了______消元法解这个方程组， 目的是把方程组从“二元 ”变为“一元”，体现了___________的数学思想；
（2）请用另一种消元方法解这个方程组．
【答案】（1）代入，消元
（2）
【解析】
【分析】本题考查了用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤．
（1）根据代入消元法的定义，即可解答；
（2）得，再求出y的值，最后将y的值代入①，求出x的值即可．
【小问1详解】
解：根据题意可得：同学使用了代入消元法解这个方程组， 目的是把方程组从“二元 ”变为“一元”，体现了消元的数学思想，
故答案为：代入，消元；
【小问2详解】
解：，
得：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为．
17. 如图，矩形的对角线，相交于点O ， ，．求证：四边形是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
首先证明出四边形是平行四边形，然后由矩形的性质得到，即可证明出四边形是菱形．
【详解】∵ ，
∴四边形是平行四边形
∵四边形矩形
∴
∴平行四边形是菱形．
18. 如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角为，C点的俯角为，为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度为6m，求甲建筑物的高度.
（，，，结果保留整数）.
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，则，，，在中，，设，则，，，在中，，解得，进而可得出答案．
【详解】解：如图，过点作于点，设，
根据题意可得：，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度为，
∴，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
即，
∴
解得，
经检验是原分式方程的解且符合题意，
∴．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，涉及到锐角三角函数，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，分式方程等知识．熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
19. 三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于分（满分分）．
【收集数据】随机从七、八年级各抽取名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A.，B.，C.，D.，E.）．
①八年级学生成绩在D组的具体数据是：，，，，，，．
②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）：
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级
八年级 m
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取八年级学生的样本容量是______；
（2）频数分布直方图中，C组的频数是_______；
（3）本次抽取八年级学生成绩的中位数_______；
（4）分析两个年级样本数据的对比表，你认为______年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）；
（5）若八年级有名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于分的学生有______人．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）八 （5）该年级成绩不低于分的学生约有人；
【解析】
【分析】（1）根据样本容量是抽取的个数求解即可得到答案；
（2）利用总数减去其它频数即可得到答案；
（3）找到最中间两个数求平均即可得到答案；
（4）根据方差越大波动越大，方差越小波动越小即可得到答案；
（5）利用总人数乘以符合的频率即可得到答案；
【小问1详解】
解：∵随机从七、八年级各抽取名学生测试成绩，进行整理和分析，
∴本次抽取八年级学生的样本容量是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴C组的频数是；
【小问3详解】
解：∵，，
∴中位数落在D组上，
∴ ，两个数是：，，
∴中位数是：；
【小问4详解】
解：∵，
∴八年级的学生测试成绩较整齐；
【小问5详解】
解：由题意可得，
（人），
答：该年级成绩不低于分的学生约有人；
【点睛】本题考查中位数，方差，样本容量，利用频率估算，解题的关键是熟练掌握几个定义．
20. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式，
（2）连接，，求的面积．
【答案】（1），
（2）4
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求得反比例函数，再求得B点的坐标，最后再根据待定系数法求得一次函数；
（2）根据，只需根据一次函数求得的长度，即可解答．
【小问1详解】
解：把代入，得，
∴
把代入上式，得
把，代入，得
解得：
∴
【小问2详解】
解：把代入，得．
∴
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数中的三角形面积问题，根据数形结合思想求解是解题的关键．
21. 如图，在中，，，以为直径的与边交于点D．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定，求不规则图形面积，等边对等角，圆周角定理：
（1）利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明 从而可得结论；
（2）如图，连接，先证明 再利用阴影部分的面积等于三角形的面积减去三角形的面积，减去扇形的面积即可．
【小问1详解】
证明：，，
即
在上，
为的切线．
【小问2详解】
解：如图，连接，
，
∴
，
，
，，
，
．
22. 某批发商以24元/箱的进价购进某种蔬菜，销往零售超市，已知这种蔬菜的标价为45元/箱，实际售价不低于标价的八折．批发商通过分析销售情况，发现这种蔬菜的销售量y（箱）与当天的售价x（元/箱）满足一次函数关系，下表是其中的两组对应值．
售价（元/箱） … …
销售量（箱） … …
（1）若某天这种蔬菜的售价为42元/箱，则当天这种蔬菜的销售最为________箱；
（2）该批发商销售这种蔬菜能否在某天获利1320元？若能，请求出当天的销售价；若不能，请说明理由．
（3）批发商搞优惠活动，购买一箱这种蔬菜，赠送成本为6元的土豆，这种蔬菜的售价定为多少时，可获得日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？
【答案】（1）116 （2）不能，理由见详解
（3）这种蔬菜的售价为45元，可获得最大日利润为1650元
【解析】
【分析】（1）设与之间的函数关系为，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意列出关于的一元二次方程，解方程求出的值，然后根据这种蔬菜的标价为45元箱，实际售价不低于标价的八折得出的取值范围为，从而确定方程的解；
（3）根据每天的利润单箱的利润销量列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值．
【小问1详解】
解：设与之间的函数关系为，
根据题意得：，
解得：，
，
当时，，
当天这种蔬菜的销售量为116箱；
故答案为116；
【小问2详解】
解：根据题意得：，
解得，，
这种蔬菜售价不低于，且不高于45，
，
，90都不满足题意，
所以该批发商销售这种蔬菜不能在某天获利1320元；
【小问3详解】
解：设日获得利润为元，
则，
，
抛物线开口向下，
当时，的值随值的增大而增大，
这种蔬菜售价不低于，
，
当时，（元），
答：这种蔬菜的售价为45元，可获得最大日利润为1650元．
【点睛】本题考查了销售问题的数量关系在解决实际问题是的运用，一次函数的解析式的运用和二次函数的解析式的运用，解答时根据题意建立函数关系是解答本题的难点和关键．
23. 如图，在菱形中，，为对角线．点是边延长线上的任意一点，连接交于点，平分交于点G．
（1）求证：；
（2）若，．
① 求菱形的面积；
② 求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）由菱形的性质得，，可证明，得，而，所以；
（2）①连接交于点，交于点，由，，，根据勾股定理可求得，则，即可由求出菱形的面积；②先由证明，则，所以，再由得，则，即可由，得，可求得，所以，再求出的值即可．
【小问1详解】
证明：如图1，四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
①如图2，连接交于点，交于点，
，
，
，，
，
，
，
，
；
②，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题重点考查菱形的性质、平行线的判定、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，锐角三角函数的应用等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像 与x 轴交于 ， 两点，与y 轴交于点C ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是直线下方抛物线上的一个动点，连接，线段 与交于点 Q，设 的面积为 ，的面积为，当取最大值时，求点P的坐标；
（3）当时， 二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将 ，代入解析式，利用待定系数法求解；
（2）由可得当点P与二次函数图象的顶点重合时，取最大值，取最大值，由此可解；
（3）分，，三种情况，结合二次函数图象求出最大值、最小值，作差判断是否为定值即可．
【小问1详解】
解：将 ，代入，
得：，
解得，
二次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：由（1）知，
当时，，
，
，
，，
；
，
二次函数图象的顶点坐标为；
，
当点P与二次函数图象的顶点重合时，取最大值，取最大值，
此时点P的坐标为；
【小问3详解】
解：由（2）得，
二次函数图象的对称轴为直线，
当时，，y有最大值0，
，y有最小值，
最大值与最小值的差为：，不是定值，不合题意；
当时，，y有最小值，
，y有最大值0，
最大值与最小值的差为：，是定值，符合题意；
当时，，y有最小值，
，y有最大值，
最大值与最小值的差为：，不是定值，不合题意；
综上可知，当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、二次函数中的面积问题，难度较大，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解题的关键．
