北京市广渠门中学2023—2024学年度第二学期期中试题
初一年级数学学科
本试卷共4页，100分．考试时长100分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效
一、选择题（共30分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在数轴上表示的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若是二元一次方程的一个解，则m的值为( )
A． B． C．1 D．
4．下列变形错误的是（ ）
A．由得 B．由得
C．由得 D．由得
5．如图，直线DE过点A，且，，，则的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．120°
6．下列命题中为假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
7．若点在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．中国象棋中的马沿“日”形对角线走，俗称马走日．三个棋子位置如图，若建立平面直角坐标系，使帅、相所在点的坐标分别为，，则马直接走到第一象限时所在点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图，的值接近黄金比，则黄金比（ ）（参考数据：，，，）
A．在到之间 B．在到之间
C．在到之间 D．在到之间
10．定义一种运算：，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
二、填空题（共16分）
11．用不等式表示“与7的差不小于3”： ．
12．将含的直角三角板与直尺如图所示放置，若，则的大小为 （度）．
13．如图，雷达探测器探测到三艘船，按照目标表示方法的规定，的位置分别表示为，，船的位置应表示为 ．
14．若一个正数的平方根为和，则x的值为 ．
15．如图，纸片的边缘互相平行，将纸片沿折叠，使得点B，D分别落在点处．若，则的度数是 ．
16．被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．书中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何”？原文大意为：“现在有5只雀、6只燕，分别集中放在天平上称重，聚在一起的雀重燕轻．将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀和6只燕共重1斤，问雀和燕各重多少？”设雀每只x斤，燕每只y斤，则可列出方程组为 ．
17．关于x的不等式组恰好有2个整数解，则a的取值范围是 ．
18．埃拉托斯特尼是古希腊著名的地理学家，他曾巧妙估算出地球的周长．如图，处是塞尼城中的一口深井，夏至日中午12时，太阳光可直射井底．处为亚历山大城，它与塞尼城几乎司一条经线上，两地距离约为800km，于是地球周长可近似为，太阳光线看作平行光线，他在亚历山大城测得天顶方向与太阳光线的夹角为7.2°．根据可以推导出的大小，依据是 ；埃拉托斯特尼估算得到的地球周长约为 km．
三、解答题（共54分，第19-21题每小题4分，第22、23题每小题5分，第24-26题每小题6分，第27、28题每小题7分）
19．如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图、解答．
（1）过点P作PQCD，交AB于点Q；
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；
（3）若∠DCB=120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由
20．解方程组：．
21．解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
22．解不等式组，并写出它的所有整数解．
23．按下图中程序进行计算，规定：从“输入x”到“结果是否”为一次程序操作．
(1)若开始输入的x值为1，则最后输出的结果是 ；
(2)若最后输出的结果是4，则开始输入的x值是 ；若程序操作进行了两次才停止，则x的取值范围是 ．
24．如图，已知四边形中，点为上一点，与交于点，．
(1)若，求的度数；
(2)若，平分，，求．
25．某地新建的一个企业，每月将产生2020吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：
污水处理器型号 A型 B型
处理污水能力（吨/月） 240 180
价格（万元/台） 10 8
为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述两种型号污水处理器共9台，则
(1)该企业有哪几种购买方案？
(2)哪种方案费用最低？最低费用是多少？
26．如图，先将三角形向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到三角形．
(1)画出三角形；
(2)求三角形的面积；
(3)设线段与轴的交点为，则点的坐标为______．
27．已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过F点作交延长线于点，作、的角平分线交于点，交于点，求的度数．
28．对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“近距离”，记作．如图，已知点，，，．
(1)d（点O，） ， ；
(2)记线段组成图形G已知点，若d（点T，G），求m的取值范围；
(3)若四边形内部的点和点满足（，四边形），请直接写出t的取值范围．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据算术平方根的定义求解．
【详解】解：∵，
∴9的算术平方根是3．
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是掌握正数的算术平方根是正的平方根，的算术平方根是，负数没有算术平方根．
2．A
【分析】根据在数轴上表示的不等式的解集的方法得出答案即可．
【详解】
如图，
在数轴上表示的x的取值范围为x＜2，
故选：A．
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集在数轴上的表示方法是正确判断的前提．
3．C
【分析】把与的值代入方程计算即可求出的值．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
故选：C．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
4．D
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
【详解】解：A、由得，原式变形正确，不符合题意；
B、由得，原式变形正确，不符合题意；
C．由得，原式变形正确，不符合题意；
D、由得，原式变形错误，符合题意；
故选：D．
5．C
【分析】根据两直线平行同旁内角互补求出∠BAE，即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
即：，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟记平行线的基本性质是解题关键．
6．B
【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质、平行公理等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、对顶角相等，正确，是真命题；
B、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误，是假命题；
C、在同一平面内，垂直于同条直线的两条直线互相平行，正确，是真命题；
D、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，正确，是真命题，
故选：B．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的性质与判定、平行公理等知识，难度不大．
7．A
【分析】本题主要考查了第二象限内点的坐标特点，解一元一次不等式组，根据第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正得到，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
∴，
故选：A．
8．C
【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，先根据帅、相所在点的坐标建立坐标系，再根据马的走棋规则求解即可．
【详解】解：根据题意可建立如下坐标系，根据马的走棋规则可知，马接走到第一象限时所在点的坐标是，
故选：C．
9．C
【分析】本题考查了无理数的估算，不等式的性质等知识．熟练掌握无理数的估算，不等式的性质是解题的关键．
由题意知，，即，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，即，
∴，
故选：C．
10．D
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式， 新定义，根据新定义分当，即时，当，即时，两种情况根据建立不等式求解即可．
【详解】解；当，即时，
∵，
∴，
∴；
当，即时，
∵，
∴，
∴，此时不符合题意；
综上所述，，
故选：D．
11．
【分析】本题主要考查了列不等式，与7的差为，不小于3即大于等于3，据此列出不等式即可．
【详解】解：用不等式表示“与7的差不小于3”为，
故答案为：．
12．50
【分析】如图：根据平行线的性质和余角的性质即可解答．
【详解】解：如图
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为50．
【点睛】本题考查了平行线的基本性质，本题的解题关键是找出角度的关系即可得出答案．
13．
【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解坐标的意义是解题关键．直接利用坐标的意义得出点坐标即可．
【详解】解：如图所示：船的位置应表示为，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了平方根的概念，一个正数的平方根由两个，且二者互为相反数，据此可得，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵一个正数的平方根为和，
∴，
解得，
故答案为：．
15．##50度
【分析】本题考查折叠的性质、平行线的性质，根据两直线平行、同位角相等，可得，根据折叠前后对应角相等，可得，由此可解．
【详解】解：，
，
，
由折叠的性质可知，
，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设雀、燕每1只各重x斤、y斤，根据等量关系：今有5只雀、6只燕，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤，列出方程组求解即可．
【详解】解：设雀、燕每只各重斤、斤．
根据题意，得，
故答案为：。
17．##
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组得到其解集为，再根据不等式组只有两个整数解求解即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∵关于x的不等式组恰好有2个整数解，
∴，
故答案为：．
18． 两直线平行，同位角相等 40000
【分析】根据太阳光线互为平行线，则亚历山大城、赛尼城与地球中心所成角和天顶方向与太阳光线的夹角为同位角，利用两直线平行，同位角相等求出，再代入计算求解．
【详解】解：由题意知，太阳光线互为平行线，则亚历山大城、赛尼城与地球中心所成角和天顶方向与太阳光线的夹角为同位角，
则亚历山大城、赛伊尼与地球中心所成角为=7.2°，
理由是两直线平行，同位角相等．
因为亚历山大城、赛尼城间距离为800km，
所以地球周长为km．
故答案为：两直线平行，同位角相等；40000．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，有理数的乘除运算，确定出=7.2°是解答关键．
19．（1）见解析；（2）见解析；（3）∠PQC=60°，理由见解析
【详解】解：如图所示：
（1）画出如图直线PQ
（2）画出如图直线PR
（3）∠PQC=60°
理由是：因为PQCD
所以∠DCB+∠PQC=180°
又因为∠DCB=120°
所以∠PQC=180°－120°=60°
20．
【分析】运用代入消元法或加减消元法求解
【详解】
解法一：代入消元法
由②，得
把③代入①，得
解得
把代入③，得
∴方程组的解为
解法二：加减消元法
，得
解得
把代入①，得
∴方程组的解为
【点睛】本题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
21．，数轴表示见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示出对应的解集即可．
【详解】解：．
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
数轴表示如下：
22．，整数解为
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为。
23．(1)
(2)，
【分析】本题考查了代数式求值、算术平方根和一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序运算方法进行计算判定是解题的关键．
（1）先把1代入代数式中，求值后再求其算术平方根，若大于2输出答案，若小于或等于2返回第一步再次计算，判定即可得出答案，
（2）根据据运行程序，先把第一次运算结果小于等于2，第二次运算结果大于2列出不等式组，然后求解即可．
【详解】（1）输入时，
第一次运算结果为：
，
取算术平方根为：，
，
返回计算，
输入时，
，
取算术平方根为：，
，
最后输出的结果是，
故答案为：；
（2）若最后输出的结果是4，
则
解得：，
，
程序操作进行了一次开始输入的x值是5；
若程序操作进行了两次才停止，列不等式组得：
，
解得：，
故答案为：5， ．
24．(1)
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质以及平角的定义进行计算即可；
（2）利用角平分线的定义，平行线的性质以及三角形内角和定理进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴
∵，，
∴
即．
【点睛】本题考查角平分线，平行线的性质和判定以及三角形内角和定理，掌握平行线的性质，三角形内角和定理以及角平分线的定义是正确解答的关键．
25．(1)方案1：购买A型号污水处理器7台、B型号污水处理器2台；方案2：购买A型号污水处理器8台、B型号污水处理器1台；方案3：全部购买A型号污水处理器9台．
(2)方案1费用最低，最低费用为86万元．
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，有理数四则运算的实际应用：
（1）设该企业决定购买A型污水处理器a台，则购买B型污水处理器台，由题意可列出不等式为：，由此得出或8或9，据此可得答案；
（2）根据（1）所求分别计算出三个方案的费用，比较即可得到答案．
【详解】（1）解：设该企业决定购买A型污水处理器a台，则购买B型污水处理器台．
依题意得．
解得，
∴整数或8或9．
故该企业有三种购买方案：
方案1：购买A型号污水处理器7台、B型号污水处理器2台；
方案2：购买A型号污水处理器8台、B型号污水处理器1台；
方案3：全部购买A型号污水处理器9台．
（2）解：方案1费用为：（万元）；
方案2费用为：（万元）；
方案3费用为：（万元）．
∵，
答：方案1费用最低，最低费用为86万元．
26．(1)画图见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（）利用平移的性质画图即可；
（）利用割补法计算即可求解；
（）利用待定系数法求出线段的解析式，再令求出，即可得出答案；
本题考查了作图平移变换、用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握平移的性质、用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：的面积；
（3）解：设线段的解析式为，将，代入得，
解得，
∴线段的解析式为 ，
令，得，
解得，
∴点的坐标为，
故答案为：．
27．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义：
（1）由平行线的性质得，再由内错角相等得出；
（3）过点作，则，由平行线的性质得到，，
设，，由角平分线的定义得到，，再由平行线的性质得到；证明得到，则，可得，则．
【详解】（1）证明：，
，
又，
，
；
（2）解；如图，过点作，
∵，
，
，，
设，，
、分别平分、，
，，
又，
，
又，，
∴
，
，
，
．
28．(1)6，8；
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了图形与坐标，新定义，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
（1）设交x轴于M，根据点的坐标得到轴，则，即可得到O到的距离，即d（点O，）；再推出，即可得到；
（2）在直线上找出到到距离等于2的点，画出图形即可得到答案；
（3）分三种情况：①当时，②当时，，③当时，分别求出（，四边形）和（，四边形）时t的值，进而结合图形和定义可得答案．
【详解】（1）解：设交x轴于M，
∵，
∴轴，
∴，
∴O到的距离，
∴d（点O，）
∵，，，，
∴，
∴
故答案为：6，8；
（2）解：作直线，取，如图：
在直线上，到距离为2，线段上的点到距离都小于2，
同理到的距离为2，线段上的点到的距离都小于2，
∴当d（点T，G），或；
（3）解：当时，
设与x轴交于G，与y轴交于H，则，
∵，，
∴，，
∴，
∴此时线段上的一点到四边形上一点的距离的最小值即为或的长，
当时，此时，即（，四边形）；
当时，此时，即（，四边形）；
∴当时，（，四边形）；
如图所示，当时，此时（，四边形）
当时，
同理可得当时，此时（，四边形）；
当时，此时（，四边形）；
∴当时，（，四边形）；
综上所述，或．
