全册综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某校5名同学到A、B、C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学.若同学甲去A公司，则不同的安排方法共有（ ）
A．18种 B．30种 C．42种 D．60种
2．有甲、乙、丙、丁四名同学参加亚运会志愿者服务工作，现需将四人随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．二项式的展开式中仅有第5项系数最大，则的展开式中x的系数为（ ）
A． B． C．28 D．56
4．近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020-2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1617，2106，2329，2896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量；当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知离散型随机变量和满足关系式，且随机变量的概率分布表如下：
0 1 3
若，则（ ）
A． B． C． D．
6．泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即.现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率不超过的概率约为（参考数据:）（ ）
A． B． C． D．
7．已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如表：
-2 -1 1 2 3
24 36 40 48 56
且回归方程为，则当时，的预测值为（ ）
A．59.5 B．60.5 C．61.5 D．62.5
8．为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据：
未发病 发病 总计
未注射疫苗
注射疫苗
总计
现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为0.5，则下列判断错误的是（ ）
A．注射疫苗发病的动物数为
B．从该试验未注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为
C．有99%的把握认为疫苗有效
D．该疫苗的有效率不超过
二、多选题
9．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法
B．分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，有180种分法
C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法
D．分给甲、乙、丙、丁四人，两人各2本，另两人各1本，有1080种分法
10．下列选项中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
11．某单位开展“学习强国”知识答题活动，在5道试题中（有3道选择题和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列说法正确的是（ ）
A．小明统计了近5次的数学考试成绩，分别是90，120，108，123，116，则这组数据的第60百分位数是116
B．一组数据，，，，的经验回归方程为，则当时，残差为
C．一组数据，，，的均值为，标准差为s，则数据，，…，的均值为
D．设随机变量，且，则
三、填空题
13．在的展开式中，不含字母的项为 ．
14．在的展开式中，x项的系数为10，则项的系数为 ．
15．在4次独立重复试验中，试验每次成功的概率为.则在至少成功1次的条件下，4次试验全部成功的概率为 .
16．某产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的数据如下表：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 a 50 70
已知y关于x的线性回归方程为，则表格中实数a的值为 ．
四、解答题
17．混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品．现需通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束．
(1)一共抽取了4次检测结束，有多少种不同的抽法
(2)若第一次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，检测结束时有多少种不同的抽法 （要求：解答过程要有必要的说明和步骤）
18．国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要按照以下要求到3所学校去任教，有多少种不同的分派方法.
(1)6人分配到三所学校甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人；
(2)6人分配到三所学校一校1人、一校1人、一校4人；
(3)6人分配到三所学校每所学校至少一人；
19．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励． 规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
(1) 若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
(2) 商场对奖励总额的预算是6000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值为10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由
20．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量 (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和． 单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系
年入流量
发电量最多可运行台数 1 2 3
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
21．随着人工智能的进一步发展，逐渐进入大众视野．是一种基于人工智能的语言模型，具备卓越的自然语言处理能力、广泛的知识覆盖范围和富有创造性的回答能力，是人们学习、工作与生活中的出色助手．尽管如此，也有部分人认为会对人类未来工作产生威胁，由于其在提高工作效率方面的出色表现，将在未来取代一部分人的职业．现对200家企业开展调查，统计每家企业一年内应用的广泛性及招聘人数的增减，得到数据结果统计如下表所示：
应用广泛性 招聘人数减少 招聘人数增加 合计
广泛应用 60 50 110
没有广泛应用 40 50 90
合计 100 100 200
(1)根据小概率的独立性检验，是否有99%的把握认为企业招聘人数的增减与应用的广泛性有关？
(2)用频率估计概率，从招聘人数减少的企业中随机抽取30家企业，记其中广泛应用的企业有X家，事件“”的概率为．求X的分布列并计算使取得最大值时k的值．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】分只有同学甲去A公司及除同学甲外还有一名同学去A公司进行讨论，结合排列数与组合数的计算即可得.
【详解】若只有同学甲去A公司，则共有种可能，
若除同学甲外还有一名同学去A公司，则共有种可能，
故共有种可能.
故选：B.
2．A
【分析】首先利用组合数公式求出基本事件总数，再根据古典概型的概率公式计算可得.
【详解】记甲、乙在同一组为事件，
将四人随机分成三组，每组至少一人的分法为，
其中甲、乙在同一组包含的基本事件个数为，
所以甲、乙在同一组的概率．
故选：A．
3．A
【分析】由二项式的展开式中仅有第5项系数最大，求出，然后求出的通项，再分别乘以和1，由的指数为1求出，则可以得到x的系数.
【详解】因为二项式的展开式中仅有第5项系数最大，所以，
因为的通项，
所以，当时，，
或，此时，，
所以的展开式中x的系数为．
故选：A.
4．B
【分析】根据题意，列出所有可能的情况，求出的分布列，即可求出.
【详解】从这4个数字中任取2个数字，结果有6种，
所取两个数字差的绝对值小于500的结果有2种，故，
不小于500的结果有4种，故，
所以．
故选：．
5．C
【分析】先根据分布列的性质和期望公式求出，再根据即可得解.
【详解】由题意可得，解得，
所以.
故选：C.
6．B
【分析】100个元件，次品率不超过，即次品数为0或1，根据题干公式，求即可.
【详解】由题意知，则，所以.
因为，
所以次品率不超过的概率约为.
故选：B
7．A
【分析】计算，由回归直线经过样本中心点，列方程求出，再预报时的预测值.
【详解】，，
因为回归直线经过点，
所以
所以，
故当时的预测值为.
故选：A.
8．C
【分析】易求得射疫苗发病的动物数判断A；列出列联表，可求得该试验未注射疫苗的动物中任取一只发病的概率可判断B；求得可判断C；未注射疫苗的动物中也有不发病的情况可判断D.
【详解】现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为，
则注射疫苗发病的动物数为，故A正确.
列出列联表如下：
未发病 发病 总计
未注射疫苗
注射疫苗
总计
从该试验未注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为，故B正确．
∵，
∴没有的把握认为疫苗有效，故C错误．
考虑未注射疫苗的动物中也有个不发病的情况，该疫苗的有效率不超过，故D正确．
故选：C.
9．CD
【分析】利用平均分配和部分平均分配原则一一计算可判定选项.
【详解】对于A，根据平均分组可知有，故A错误；
对于B，先选一人得4本书，有种方法，余下2本书分给两人有2种分法，
所以共有90种方法，故B错误；
对于C，先分给甲乙两人有种方法，余下2本书分给两人有2种分法，
所以共有180种方法，故C正确；
对于D，按照分步乘法计数原理知，所以D正确.
故选：CD
【点睛】思路点睛：对于平均分组或局部平均分组问题需要注意重复的部分，仔细计算即可.
10．BCD
【分析】AB选项，利用排列知识进行求解；CD选项，根据组合公式计算出答案.
【详解】A选项，因为，所以A错误；
B选项，因为，
所以，故B正确；
C选项，因为，所以C正确；
D选项，因为，
所以
，故D正确．
故选：BCD
11．CD
【分析】根据古典概型，对立事件，条件概率的计算公式逐一计算每个选项进行判断.
【详解】由题意可得，，故A错误，
，故B错误，
，，
，故C正确，
，故D正确．
故选：CD
12．BC
【分析】对于A，利用百分位数的定义可得答案；对于B，利用样本中心在回归直线方程上求得参数的值，进而求得根据残差；对于C，根据方差的计算公式，整理可得答案；对于D，利用正态分布的对称性即可判断.
【详解】对于A，将5次数学考试成绩按从小到大排序，依次为90，108，116，120，123．
而，所以这组数据的第60百分位数是，故A错误．
对于B，由题意，得，，
则，所以．
令，则，所以残差为，故B正确．
对于C，
，
所以数据，，…，的均值为，故C正确．
对于D，由对称性可知，，故D错误．
故选：BC．
13．
【分析】在的展开式的所有项中，若不含字母，则只能取2个与4个相乘，由此即可列式得解.
【详解】由条件可知不含字母的项为．
故答案为：.
14．10
【分析】由二项展开式的通项公式，依题先求出的值，再由通项求出指定项的系数即得.
【详解】，
由解得，所以，则．
因为，所以．
由得，则项的系数为．
故答案为：10.
15．
【分析】利用条件概率公式直接求解即可.
【详解】若在4次独立重复试验中，试验每次成功的概率为，
则在至少成功1次的条件下，4次试验全部成功的概率为，
由条件概率公式得.
故答案为：.
16．
【分析】
先求出，代入回归方程求出，再列方程求实数a的值.
【详解】由条件得，
则，
所以，
解得.
故答案为：.
17．(1)96种
(2)120种
【分析】（1）分两种情形：第一种是4次抽到的全是正品，第二种前3次抽到2件正品1件次品，且第4次抽到次品，由分类加法原理计算；
（2）由题意知第二次抽到的必是正品，第4次抽取的是次品，检测结束，或第4次抽取到正品，第五次再抽取一件（不论正品还是次品）都可以结束，由此计算可得．
【详解】（1）有以下两种情况：
4次均为正品，共有种；
前3次抽到2件正品1件次品，且第4次抽到次品，共种；
则共有96种．
（2）由题意知，第二次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束，
当抽取4次结束时，第4次抽到的必是次品，共有种抽法；
当抽取5次结束时，若第4次抽到正品且第5次抽到正品，则共有种抽法；
若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，则共有种抽法；
共120种抽法．
18．(1)60
(2)90
(3)540
【分析】（1）利用分步计数原理可求得方法数；
（2）先将名学生按分为三个组有种方法，则可求人分配到分配到三所学校方法数；
（3）分为三个组可分为三类，即①分组；②分组；③分组；再将再分好的三个组安排到三所学校可求总的方法数.
【详解】（1）名学生选名到甲学校任教有种方法；从剩余的名学生中选名到乙学校有种方法；剩余名学生都分配到丙学校去任教有种方法，
则人分配到三所学校甲学校人、乙学校人、丙学校人共有种分配方法；
（2）名学生按分为三个组有种方法，则人分配到三所学校一学校人、一学校人、一学校人共有种分配方法；
（3）由题可得学生的分配方案可以有：①；②；③；
①名学生按分为三个组有种方法，
则人分配到三所学校共有种分配方法；
②名学生按分为三个组有种分法，则人分配到三所学校一学校人、一学校人、一学校人共有种分配方法；
③名学生平均分配到所学校有种方法；
则人分配到三所学校每所学校至少一人一共有：种方法.
19．(1)①，②分布列见解析，40
(2)设计见解析，理由见解析
【分析】(1)由袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元,又规定每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.由获得60元的事件数除以总的事件数即可. 顾客获得奖励有两种情况20元,60元.分别计算出他们的概率,再利用数学期望的公式即可得结论.
(2) 根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.根据题意有两种获奖励的情况,确定符合题意的方案,分别仅有一种.再分别计算出两种方案相应的概率以及求出数学期望和方差.即可得到结论.
【详解】（1）设顾客获得的奖励额为．
①依题意，得，即顾客所获的奖励额为60元的概率是．
②依题意，随机变量的可能取值为．
．
得的分布列如下：
所以顾客所获的奖励额的期望为
（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为元．所以，先寻找期望为元的可能方案：
当球的面值为元和元时，
若选择方案，因为元是面值之和的最大值，所以期望不可能为；
若选择方案，因为元是面值之和的最小值，所以期望也不可能是．
因此可能的方案是，记为方案．
当球的面值为元和元时，同理可排除、的方案，
所以可能的方案是，记为方案．
以下是对两个方案的分析：
对于方案，即方案，设顾客所获的奖励额为，的可能取值为．
得的分布列如下：
的期望为
的方差为
对于方案，即方案，设顾客所获得奖励额为，的可能取值为．
得的分布列如下：
的期望为
的方差为
由于两种方案奖励额的期望都符合要求，但方案奖励额的方差要比方案的小，
所以应该选择方案，即标有面值元和面值元的球各两个．
20．(1)
(2)2
【分析】（1）根据题意先计算出，，，再由独立重复试验的概率公式求出在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率；
（2）记水电站年总利润为，分别求出安装1台、2台、3台发电机的对应年利润的期望值，由此能求出欲使水电站年总利润的均值达到最大，从而得到应安装几台发电机.
【详解】（1）依题意可得，，，，
记在未来年中，至多有年入流量超过为事件，
所以．
（2）记水电站年总利润为(单位：万元)，
①安装台发电机的情形．
由于水库年入流量总大于，所以一台发电机运行的概率为，
对应的年利润，且．
②安装2台发电机．
当时，一台发电机运行，此时，
因此，
当时，两台发电机运行，此时，
因此．
由此可得的分布列如下：
4200 10000
所以．
③安装3台发电机．
依题意，当时，一台发电机运行，此时，
因此；
当时，两台发电机运行，此时，
此时，
当时，三台发电机运行，此时，
因此，
由此可得的分布列如下：
所以．
因为，
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机台．
21．(1)无关；
(2)且；．
【分析】（1）计算出，对照临界值表即可作出判断；
（2）根据二项分布概率公式即可得分布列，由和，列不等式组求解可得k.
【详解】（1）零假设企业招聘人数的增减与应用的广泛性无关，
因为，
所以，根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可认为企业招聘人数的增减与应用的广泛性无关．
（2）由题知，从招聘人数减少的企业中随机抽取1家企业，该企业广泛应用的概率为，没有广泛应用的概率为，
因为，
所以X的分布列为且．
若是最大值，则且，
根据，
即，整理得，解得,
又且，所以．
即使取得最大值时k的值为18.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
